Презентация по математике на тему Задача №8 ЕГЭ-2015 по математике, профильный уровень

Учитель математики ГБОУ гимназия №1 города Похвистнево Самарской области Антонова Г.В.Задача №8 ЕГЭ-2015 по математике, профильный уровень Задача №8Тип задания по кодификатору требований: Задание на выполнение действий с функциями и производными функций, исследование функций. Характеристика задания: Задача на чтение графика функции для ответа на вопрос о каком-то из свойств производной этой функции либо на чтение графика производной функции для ответа на вопрос о каком-то из свойств самой функции. Комментарий: Для решения задачи достаточно знать, что - в каждой точке интервала возрастания дифференцируемой на этом интервале функции её производная положительна; - в каждой точке интервала убывания дифференцируемой на этом интервале функции её производная отрицательна; - в каждой точке экстремума непрерывной функции производная либо равна нулю, либо не существует («угол» на графике функции). Задача №8общие точки графика производной и оси абсцисс (т.е. точки, в которых производная равна нулю) либо являются точками максимума, если график производной пересекает ось абсцисс «сверху вниз» (т.е. производная меняет знак с плюса на минус: возрастание функции сменяется убыванием), либо являются точками минимума, если график производной пересекает ось абсцисс «снизу вверх» (т.е. производная меняет знак с минуса на плюс: убывание функции сменяется возрастанием), либо не являются точками экстремума (график производной не пересекает ось абсцисс, а лишь касается её: в этом случае не происходит смены знака производной и характер монотонности функции НЕ МЕНЯЕТСЯ).Обратно, если дан график производной функции, то на тех интервалах, где он расположен выше оси абсцисс (т.е. производная положительна), функция возрастает; на тех интервалах, где он расположен ниже оси абсцисс (т.е. производная отрицательна), функция убывает; 1. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну 𝑥𝑡=−𝑡4+6𝑡3+5𝑡+23 (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни 𝑡=3с. Ре­ше­ние:Ответ: 59.𝑣𝑡=𝑥′𝑡=−4𝑡3+18𝑡2+5; Задача №8При t = 3cек    𝑣3=−4∙33+18∙32+5==−4∙27+18∙9+5=−108+162+5=59. 2. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну 𝑥𝑡=𝑡2−13𝑡+23 (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 3 м/с?  Ре­ше­ние:   𝑣𝑡=𝑥′𝑡=2𝑡−13; По условию 𝑣𝑡=3 ⇒ 2𝑡−13=3,  значит t = 8сек. Ответ: 8В бланке:8



Задача №83. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну 𝑥𝑡=13𝑡3−3𝑡2−5𝑡+3 (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 2 м/с?  Ре­ше­ние: Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:𝑣𝑡=𝑥′𝑡=𝑡2−6𝑡−5 (м/с). Чтобы найти, в какой мо­мент вре­ме­ни ско­рость была равна 2 м/с, решим уравнение:  t2−6t−5=2, т.е.        t2−6t−7=0⇒ t1=−1  или  t2=7,   Но t >0, поэтому t = 7. Ответ: 7В бланке:7


Задача №84. Пря­мая 𝑦=7𝑥−5 па­рал­лель­на ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функции 𝑦=𝑥2+6𝑥−8. Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния. Ре­ше­ние: Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му коэффици­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная параллельна пря­мой 𝑦=7𝑥−5, их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны. По­это­му абс­цис­са точки ка­са­ния на­хо­дит­ся из урав­не­ния y′ = 7:  𝑥2+6𝑥−8′=7  ⇔  2𝑥+6=7   ⇔   𝑥=0,5. Ответ: 0,5.5. Пря­мая 𝑦=−4𝑥−11 яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции 𝑦=𝑥3+7𝑥2+7𝑥−6 . Най­ди­те абс­цис­су точки касания. Ре­ше­ние: Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции 𝑦=𝑓𝑥 и пря­мой 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 задаётся условиями: 𝑓′𝑥=𝑘,𝑓𝑥=𝑘𝑥+𝑏. 



Задача №8(продолжение решения задачи 5)В нашем слу­чае имеем: 3𝑥2+14𝑥+7=−4,𝑥3+7𝑥2+7𝑥−6=−4𝑥−11;   ⇔ 3𝑥2+14𝑥+11=0,𝑥3+7𝑥2+11𝑥+5=0;⇔ 𝑥1=−113,𝑥2=−1,𝑥3+7𝑥2+11𝑥+5=0 (∗) Про­вер­ка под­ста­нов­кой по­ка­зы­ва­ет, что пер­вый ко­рень не удо­вле­тво­ря­ет, а второй удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию (*). По­это­му ис­ко­мая абс­цис­са точки ка­са­ния −1.Ответ: -1.В бланке:-



Задача №86. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x). Пря­мая, проходящая через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, ка­са­ет­ся гра­фи­ка этой функции в точке с абс­цис­сой 8. Най­ди­те f'(8). Т.к. ка­са­тель­ная проходит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат и точку (8;10), проведём её. 810По­сколь­ку уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной равен зна­че­нию про­из­вод­ной в точке ка­са­ния, по­лу­ча­ем: 𝑓′8=𝑡𝑔𝛼=108=1,25.  𝛼 Ответ: 1,25.



Задача №87. На рисунке изображён график производной функции 𝑓𝑥. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику 𝑦=𝑓𝑥 параллельна прямой 𝑦=2𝑥−2 или совпадает с ней.  Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Т.к. касательная параллельна прямой 𝒚=𝟐𝒙−𝟐 или совпадает с ней, то она имеет угловой коэффициент равный 2 и ⇒ 𝒇′𝒙𝟎=𝟐.  Ре­ше­ние:25𝒇′𝒙𝟎=𝟐 при x = 5.  Ответ: 5.



Задача №88. На рисунке изображён график производной функции 𝑓𝑥. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику 𝑦=𝑓𝑥 параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.  Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Т.к. касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, то она имеет вид y = b и её k = 0. Производная = 0 в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс. Ре­ше­ние:•-3Искомая точка 𝒙=−𝟑. Ответ: - 3.В бланке:3‒



Задача №89. На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите точку, в которой функция f(x) принимает наибольшее значение на отрезке [-4;3]. Ответ: функция принимает наибольшее значение при х = 3.В бланке:33-4𝒚наибольшее 



Задача №810. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Одна из первообразных этой функции равна 𝐹𝑥=13𝑥3−𝑥2+2𝑥−5. Найдите площадь заштрихованной фигуры. 𝑺фигуры=−𝟏𝟐𝒇𝒙𝒅𝒙=𝑭𝟐−𝑭−𝟏= =13∙23−22+2∙2−5−13∙−13−−12+2∙−1−5=83−4+4−5−−13−1−2−5=223−5+813=11−5=6. Ответ: 6.В бланке:6

Задача №811. На рисунке изображён график y = F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-8;7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5;5].Решение: По определению первообразной на заданном интервале 𝐹′𝑥=𝑓𝑥. Поэтому решением уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5;5] являются точки экстремумов функции y = F(x).  -55••••Таковыми являются точки x=-4, x=-2, x=1 и x=4, т.е. количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5;5] равно 4.Ответ: 4.




Задача №812. На рисунке изображены график функции y=f′(x) –  производной функции f(x), и семь точек на оси абсцисс: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7. В скольких из этих точек функция f(x) возрастает? y=f′(x) >0 y=f′(x) >0 𝒚=𝒇(𝒙) 𝒚=𝒇(𝒙) Решение:Выделим интервалы, где производная больше нуля.Если y=f′(x) >0, то сама функция y = f(x) возрастает.  Функция f(x) возрастает в точках 𝑥1, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7.  Ответ: 5.






Задача №813. На рисунке изображён график функции 𝑦=𝑓𝑥 и отмечены точки -7, -3, 1, 7. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.  Решение: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который равен tg угла, образованного касательной и положительным направлением оси абсцисс.В точках -7 и -3 – значение производной положительно. Функция y=tgx возрастает на интервале −𝜋2;𝜋2, следовательно, в точке x=7 значение производной наименьшее. Ответ: 7.



Задача №814. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определённый интеграл −7−1𝑓𝑥𝑑𝑥. Решение: −7−1𝑓𝑥𝑑𝑥=𝑆∆𝐴𝐵𝐶+𝑆прямоуг.𝐵𝐶𝑀𝑁=12∙2∙2+4∙2=10. ACBMNОтвет: 10В бланке:0




Задача №815. На рисунке изображён график функции y=f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−3;8). Найдите точку максимума функции f(x).y=f′(x) >0 𝒚=𝒇(𝒙) y=f′(x) >0 y=f′(x) <0 𝒚=𝒇(𝒙) 𝒚=𝒇(𝒙) Решение: Если производная меняет знак с плюса на минус, т.е. возрастание функции сменяется убыванием, то эта точка является точкой максимума функции.•Т.е. x = - 2 – точка максимума.Ответ: -2






ppt_yppt_yppt_y
Задача №816. На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите наименьшее значение функции f(x) на отрезке [1;9].y = - 49y = - 4 – наименьшее значение функции f(x) на отрезке [1;9].Ответ: -4


Задача №817. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна? В каждой точке интервала убывания дифференцируемой на этом интервале функции её производная отрицательнаВ интервалы убывания функции попадают точки 𝑥2 и 𝑥4. Т.е. количество таких точек равно 2.  Ответ: 2




18. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой  𝑥0. Найдите значение производной функции f(x) в точке 𝑥0. 19. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна? Ответ: 2Ответ: 3Задача №8В бланке:2𝒇′𝒙>𝟎 𝒇′𝒙>𝟎 ° ° ° 𝒇′𝒙𝟎=𝟖𝟒 𝒚=𝒇(𝒙) 𝒚=𝒇(𝒙) 










20. На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−9;8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−3;3].Ответ: - 2Задача №8В бланке:2-•𝒙=−𝟐 −точка 𝒎𝒊𝒏 



21. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0. Найдите значение производной функции f(x) в точке 𝑥0. Ответ: -1,2522. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 4). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.° ° ° ° ° ° ° Ответ: –6+(–2)+(–1)+0+1+2+3= - 3Задача №8В бланке:,52-𝜶 𝜷 𝒇′𝒙𝟎=𝒕𝒈𝜶=−𝒕𝒈𝟏𝟖𝟎°−𝜶=−𝒕𝒈𝜷 𝒕𝒈𝜷=−𝟓𝟒 𝒇′𝒙>𝟎 𝒇′𝒙>𝟎 𝒚=𝒇(𝒙) 𝒚=𝒇(𝒙) 

















23. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0. Найдите значение производной функции f(x) в точке 𝑥0. 24. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (−9;5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.Ответ: - 0,2Ответ: 9° ° ° ° ° ° ° ° ° Задача №8В бланке:0-,2𝑓′𝑥=0 в точках экстремума (точки min и max) ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨












25. На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (−8;4). В какой точке отрезка [−2;3] функция f(x) принимает наименьшее значение?Ответ: - 226. На рисунке изображён график функции y=f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−3;8). Найдите точку минимума функции f(x).Ответ: 4Задача №8-23𝒇′𝒙>𝟎 𝒚=𝒇(𝒙) ° 𝒇′𝒙>𝟎 𝒇′𝒙>𝟎 𝒇′𝒙<𝟎 𝒚=𝒇(𝒙) 𝒚=𝒇(𝒙) 𝒚=𝒇(𝒙) 4










ppt_yppt_yppt_y
Задача №827. На рисунке изображён график функции y=f(x). Прямая, проходящая через точку (-6;-1), касается этого графика в точке с абсциссой 6. Найдите 𝑓′6. -6••𝜶 6Решение: 𝑓′6=𝑡𝑔𝛼 (𝛼 – угол, образованный касательной к графику функции в точке х = 6 и положительным направлением оси абсцисс 𝑓′6=312=14=0,25. Ответ: 0,25





Задача №828. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке 𝑥0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции 𝑦=−14𝑓𝑥+5 в точке 𝑥0. Решение: 𝑦′𝑥0=−14𝑓𝑥+5′=−14∙𝑓′𝑥0+0.  Но уравнение касательной: y = - 2x + 15, значит 𝑓′𝑥0=−2.  Тогда𝑦′𝑥0=−14∙𝑓′𝑥0+0=−14∙−2=0,5.  Ответ: 0,5

29. На рисунке изображен график y=f′(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−11;11). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [−10;10].Задача №8Точки графика функции f(x), принадлежащих отрезку [−10;10] являются точками экстремума, если график производной этой функции пересекает ось абсцисс, т.е. в этом случае происходит смена знака производной и характера монотонности.Таких точек на рисунке 5: х = -6, х=-2, х=2, х=6, х=9.Ответ: 5˅˅˅˅˅




Задача №830. На рисунке изображен график y=f′(x)  — производной функции y=f(x), определенной на интервале (−12;4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.На интервалах [-11;-7] и [-3;3] y=f′(x)>0, следовательно функция y=f(x) на этих интервалах возрастает.  46Длина наибольшего промежутка возрастания функции y=f(x) равна 6.Ответ: 6




Задача №8http://reshuege.ru/ЕГЭ 2015. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 / И.Р.Высоцкий, П.И.Захаров, В.С.Панфёров, С.Е.Посицельский, А.В.Семёнов, М.А.Семёнова, И.Н.Сергеев, В.А.Смирнов, С.А.Шестаков, Д.Э.Шноль, И.В.Ященко. – М.: Издательство МЦНМО, 2015. – 215, [1] с. (Серия «ЕГЭ. 30 вариантов. Типовые тестовые задания»)http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/4?page=169Источник шаблона: Фокина Лидия Петровна, учитель начальных классов, МКОУ «СОШ ст. Евсино» Искитимского района Новосибирской области, сайт http://linda6035.ucoz.ru/ Использованные источники