Презентация по математике на тему Задача №4 ЕГЭ-2015 по математике, профильный уровень

Задача №4 ЕГЭ-2015 по математике, профильный уровеньУчитель математики ГБОУ гимназии №1 города Похвистнево Самарской области Антонова Галина Васильевна Планиметрическая задача на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей).Задача №4Задание на вычисление площади треугольника, четырёхугольника, круга и его частей, в том числе по данным рисунка, представляющего собой изображение фигуры, площадь которой требуется найти, на координатной плоскости или клетчатой бумаге (сетке) со стороной клетки 1⨯1.Тип задания Характеристика задания

Задача №4Площадь искомой фигуры может быть найден по известной формуле. Например, для треугольника или параллелограмма во многих случаях достаточно провести мысленно высоту к одной из сторон. Выбирать в качестве стороны и высоты нужно те, длины которых выражаются целым числом делений сетки, либо те, которые параллельны осям координат. В некоторых случаях для вычисления недостающих элементов можно использовать теорему Пифагора. Ряд задач можно решить, разбив фигуру на части, вычисление площадей которых не представляет труда, или заметив, что фигура сама является частью другой фигуры, а площадь последней можно найти почти сразу.Комментарий 1. В треугольнике ABC  CD — медиана, угол C равен 90°, угол B равен 35°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.2. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.ACBЗадача №435° 35° 𝟓𝟓° тогда ∠𝐴𝐶𝐷=90°−35°=55°. Т.к. ∠C=90°, 𝐶𝐷-медиана, то CD=AD=BD ⇒ ∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐷𝐶𝐵=35°, Ответ: 𝟓𝟓° HПроведём высоту BH⊥ AC Ответ: 10⇒ 𝑆∆𝐴𝐵𝐶=4∙52=10. 






3. Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.4. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=35, SD=37. Найдите длину отрезка BD.Задача №4𝑺мал.кв.=𝑺больш.кв.−𝟒∙𝑺∆𝑨𝑩𝑪= ABC𝟗∙𝟗−𝟒∙𝟐∙𝟕𝟐=𝟖𝟏−𝟐𝟖=𝟓𝟑. Ответ: 53ABCD-квадрат, т.к. пирамида правильная,BD-диагональ квадрата, BD=2DO, DO найдём из прямоугольного ∆𝑺𝑶𝑫 DO=𝑺𝑫𝟐−𝑺𝑶𝟐=𝟑𝟕𝟐−𝟑𝟓𝟐=𝟑𝟕−𝟑𝟓𝟑𝟕+𝟑𝟓=𝟐∙𝟕𝟐=𝟒∙𝟑𝟔=𝟏𝟐 ⇒ BD=2∙𝟏𝟐=𝟐𝟒. Ответ: 24








5. Площадь круга, изображённого на клетчатой бумаге, равна 16. Найдите площадь заштрихованного кругового сектора.6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐷, 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1, 𝐷1, 𝐸1,𝐹1  правильной шестиугольной призмы ABCDEF𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 2. ∎ ∎ ∎ ∎ ∎ ∎ ∎ Задача №4𝑺заштрих.=𝟑𝟖∙𝑺круга=𝟑𝟖∙𝟏𝟔=𝟔. Ответ: 6𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1−пирамида⇒𝑉𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1=13∙12∙2=8. Ответ: 8










7. В треугольнике ABC  AC=BC, AB=14, AH — высота, BH=7. Найдите косинус угла BAC.8. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки C, 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 правильной треугольной призмы ABC𝐴1𝐵1𝐶1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 9. ABC𝐴1 𝐶1 𝐵1 HABCЗадача №4147Из ∆𝑨𝑯𝑩 (∠𝑯=𝟗𝟎°) ⇒, что 𝒄𝒐𝒔∠𝑨𝑩𝑯=𝟕𝟏𝟒=𝟏𝟐=𝟎,𝟓, значит 𝒄𝒐𝒔∠𝑩𝑨𝑪=𝟎,𝟓 (т.к. косинусы равных углов равны)  Ответ: 0,5.•••• 𝐶𝐴1𝐵1𝐶1−пирамида⇒ 𝑉𝐶𝐴1𝐵1𝐶1=13∙4∙9=12. Ответ: 12.









9. В треугольнике ABC  AD — биссектриса, угол C равен 104°, угол CAD равен 5°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.Ответ: 𝟔𝟔 10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.Задача №4𝟏𝟎𝟒° 𝟓° 𝟓° ∠𝑩=𝟏𝟖𝟎°−𝟏𝟎𝟒°+𝟓°+𝟓°=𝟏𝟖𝟎°−𝟏𝟏𝟒°=𝟔𝟔° MN••M и N – середины AC и BC ⇒ MN – средняя линия треугольника ABC , тогда по свойству средней линии MN ∥ AB и MN = 𝟏𝟐AB = 𝟏𝟐∙𝟓 =2,5. 2,Ответ: 5









11. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB12. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AB.Задача №4••MNMN – средняя линия ⇒ MN = 𝟏𝟐AB = 𝟏𝟐∙𝟏 =0,5.  Ответ: 0,5HCH – высота к стороне AB и AB = 5.Ответ: 5







13. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AB.14. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.ABCDЗадача №4HCH⊥AB, CH = 4Ответ: 4MNMN – средняя линия трапеции, значит по свойству средней линии MN∥BC∥AD и MN = 𝐵𝐶+𝐴𝐷2=3+62=4,5.  Ответ: ,54






15. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь.16. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь.ABCDABDCЗадача №4Первый способ:О𝑺ромба=𝟒∙𝑺∆𝐀𝐎𝐁=𝟒∙𝟏𝟐∙𝑶𝑩∙𝑶𝑨=𝟐∙𝟐∙𝟑=𝟏𝟐. DB⊥AC⇒ ∆𝐀𝐎𝐁 −прямоугольный Ответ: 12Второй способ:𝑺ромба=𝑺прямоуг−𝟒𝑺∆𝐀𝐌𝐁=𝟖∙𝟒−𝟒∙𝟏𝟐∙𝟐∙𝟒=𝟑𝟐−𝟏𝟔=𝟏𝟔. MОтвет: 16








17. Найдите площадь квадрата ABCD. Размер каждой клетки 1см⨯1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.Задача №4𝑺квадрата=а𝟐 aHABDCПо теореме Пифагора a = 𝑩𝑯𝟐+𝑨𝑯𝟐=𝟐𝟐+𝟏𝟐=𝟓. 𝑺квадрата=а𝟐=𝟓𝟐=𝟓. Ответ: 5



18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.Задача №4ACDB••••MN𝑴𝑵=𝟏𝟐𝑨𝑩=𝟏𝟐∙𝟒=𝟐. Ответ: 2MN𝑴𝑵=𝑨𝑩+𝑪𝑫𝟐∙𝑨𝑯 H=𝟓+𝟏𝟐𝟐∙𝟔= =𝟏𝟕∙𝟑=𝟓𝟏. Ответ: 2M,N-середины АС и ВСM,N-середины АС и ВD










20. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.21. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его медианы, проведённой к гипотенузе.Задача №4•••H𝝆𝑨,(𝑩𝑪)=𝑨𝑯=𝟒. Ответ: 4BACMM – середина AB, но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе равна её половине: 𝑪𝑴=𝟏𝟐𝑨𝑩=𝟏𝟐∙𝟕=𝟑,𝟓. Ответ: 35,









22. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.Задача №4𝑺=𝒂∙𝒉 a = 3h = 5=𝟑∙𝟓=𝟏𝟓. Ответ: 1523. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.𝑺трапеции=𝒂+𝒃𝟐∙𝒉= a = 4-2=2b = 10-4=6h=6-3=3=𝟐+𝟔𝟐∙𝟑=𝟏𝟐. Ответ: 12









24. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его медианы, проведённой к гипотенузе.25. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его биссектрисы, выходящей из вершины прямого угла.Задача №4ABCABCMM-середина АВ, по свойству прямоугольного треугольника 𝑪𝑴=𝟎,𝟓∙𝑨𝑩=𝟎,𝟓∙𝟓=𝟐,𝟓. Ответ: 2,5Т.к. треугольник прямоугольный и равнобедренный, то биссектриса, выходящая из вершины прямого угла является и медианой, MCM=0,5∙AB=0,5∙𝟕=𝟑,𝟓. Ответ: 3,5










26. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (9;7), (7;7).a = 9 – 7 = 2b = 10 – 1 = 9h = 7 – 1 =8𝑺трапеции=𝒂+𝒃∙𝒉𝟐 𝑺трапеции=𝟐+𝟗∙𝟖𝟐=𝟏𝟏∙𝟒=𝟒𝟒. Ответ: 44




27. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB.28. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите его градусную величину. ∙ ∙ Задача №4HПо теореме Пифагора 𝑨𝑩=𝑨𝑯𝟐+𝑩𝑯𝟐=𝟔𝟐+𝟖𝟐=𝟏𝟎𝟎=𝟏𝟎. Ответ: 10СH1) CH-биссектриса угла С, значит ∠МСН = 𝟗𝟎° Милиtg ∠МСН =𝑨𝑩𝑪𝑨=𝟐𝟐=𝟏 ⇒ ∠МСН =arctg1= 𝟗𝟎° Ответ: 90BA










29. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.30. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AB.Задача №4OЦентр O окружности, описанной около прямоугольного ∆𝑨𝑪𝑩, - середина гипотенузы AB ⇒ R = 𝟏𝟐𝑨𝑩=𝟏𝟐∙𝟗=𝟒,𝟓. BACОтвет: 4,5HВысота, опущенная на сторону AB – это отрезок CH и CH=5.Ответ: 5






31. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, 𝐶1 правильной треугольной призмы ABC𝐴1𝐵1𝐶1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9. 32. Диаметр основания конуса равен 32, а длина образующей равна 65. Найдите высоту конуса.ABC𝑨𝟏 𝑪𝟏 𝑩𝟏 Задача №4••••𝑨𝑩𝑪𝑪𝟏−правильная треугольная пирамида и 𝑽𝑪𝟏𝑪𝑨𝑩=𝟏𝟑𝑺осн∙𝒉=𝟏𝟑∙𝟔∙𝟗=𝟏𝟖. Ответ: 18OASSA – образующая, OA – радиус, SO - высота конуса, из ∆𝑺𝑶𝑨 ∠𝑶=𝟗𝟎° SO=𝟔𝟓𝟐−𝟏𝟔𝟐=(𝟔𝟓−𝟏𝟔)∙(𝟔𝟓+𝟏𝟔)=𝟒𝟗∙𝟖𝟏=𝟕∙𝟗=𝟔𝟑. Ответ: 63









33. В треугольнике ABC  AD — биссектриса, угол C равен 62°, угол CAD равен 31°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.34. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.Задача №4ah𝟔𝟐° 𝟑𝟏° 𝟑𝟏° ∠𝑩=𝟏𝟖𝟎°−𝟑𝟏°∙𝟐+𝟔𝟐°=𝟏𝟖𝟎°−𝟏𝟐𝟐°=𝟓𝟖° Ответ: 58𝑺парал.=𝒂∙𝒉=𝟖−𝟒∙𝟒−𝟏=𝟒∙𝟑=𝟏𝟐. Ответ: 12








35. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1см⨯1см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.𝑺зелёного многоугольника= =𝑺жёлтого квадрата− −𝑺𝟏квадрат+𝑺𝟐∆+𝑺𝟑∆+𝑺𝟒∆+𝑺𝟓∆= 𝑺𝟏 𝑺𝟒 𝑺𝟑 𝑺𝟐 𝑺𝟓 =𝟗∙𝟗−𝟑∙𝟑+𝟏𝟐∙𝟐∙𝟑+𝟏𝟐∙𝟒∙𝟗+𝟏𝟐∙𝟒∙𝟗+𝟏𝟐∙𝟐∙𝟑=𝟖𝟏−𝟗+𝟑+𝟏𝟖+𝟏𝟖+𝟑=𝟖𝟏−𝟓𝟏=𝟑𝟎. 30Ответ: Задача №4






36. Периметр треугольника ABC равен 8. Найдите периметр треугольника FDE, вершинами которого являются середины сторон треугольника ABC.𝑷∆FDE=𝑭𝑫+𝑫𝑬+𝑬𝑭=𝟏𝟐𝑩𝑪+𝟏𝟐𝐀𝐂+𝟏𝟐𝑨𝑩=𝟏𝟐𝑩𝑪+𝑨𝑪+𝑨𝑩=𝟏𝟐∙𝑷𝑨𝑩𝑪=𝟏𝟐∙𝟖=𝟒. 4Ответ: Задача №4
CABDE37. Площадь треугольника ABC равна 24. DE – средняя линия. Найдите площадь трапеции ABDE.𝑺𝑨𝑩𝑫𝑬=𝑺∆𝑨𝑩𝑪−𝑺∆𝑪𝑫𝑬=𝟐𝟒−𝑺∆𝑪𝑫𝑬; 𝑯𝟏 H𝑪𝑯𝟏=𝟏𝟐𝑪𝑯 (𝑬𝑫 −средняя линия треугольника  ⇒ ∆𝑪𝑬𝑫~∆𝑨𝑩𝑪  с коэффициентом подобия 𝒌=𝟏𝟐); 𝑺∆𝑪𝑫𝑬=𝟏𝟐𝑬𝑫∙𝑪𝑯𝟏=𝟏𝟐∙𝟏𝟐𝑨𝑩∙𝟏𝟐𝑪𝑯=𝟏𝟒∙𝟏𝟐𝑨𝑩∙𝑪𝑯=𝟏𝟒𝑺∆𝑨𝑩𝑪=𝟏𝟒∙𝟐𝟒=𝟔. Ответ: 6Задача №4



DFECBA38. Средняя линия трапеции равна 18, а меньшее основание равно 10. Найдите большее основание трапеции.1810Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме, т.е.𝑬𝑭=𝑫𝑪+𝑨𝑩𝟐;  𝟏𝟖=𝟏𝟎+𝑨𝑩𝟐;   𝟑𝟔=𝟏𝟎+𝑨𝑩;   𝑨𝑩=𝟐𝟔. Ответ: 62Задача №4


39. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1см⨯1см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.𝑺четырёхугольника= =𝑺зелёного прямоугольника− 𝑺𝟏 𝑺𝟓 𝑺𝟒 𝑺𝟑 𝑺𝟐 −𝑺𝟏прямоугольник+𝑺𝟐∆+𝑺𝟑∆+𝑺𝟒∆+𝑺𝟓∆ =𝟕∙𝟖−𝟐∙𝟓+𝟏𝟐∙𝟐∙𝟐+𝟏𝟐∙𝟒∙𝟖+𝟏𝟐∙𝟑∙𝟑+𝟏𝟐∙𝟓∙𝟑=𝟓𝟔−𝟏𝟎+𝟐+𝟏𝟔+𝟒,𝟓+𝟕,𝟓=𝟓𝟔−𝟒𝟎=𝟏𝟔. Ответ: 61Задача №4







40. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1см⨯1см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.𝑺трапеции=𝒂+𝒃∙𝒉𝟐 a =3b =7h = 5𝑺трапеции=𝟑+𝟕∙𝟓𝟐=𝟓∙𝟓=𝟐𝟓. Ответ: 52Задача №4




41. На клетчатой бумаге с размером клеток 1см⨯1см изображён четырёхугольник ABCD. Найдите диагональ BD.HРассмотрим прямоугольный треугольник BHD, по теореме Пифагора BD = 𝑯𝑩𝟐+𝑯𝑫𝟐=𝟑𝟐+𝟒𝟐=𝟗+𝟏𝟔=𝟓. Ответ: 5Задача №4


42. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.Диаметр окружности равен стороне зелёного квадрата, следовательноa = 7𝒓=𝟏𝟐𝒂=𝟏𝟐∙𝟕=𝟑,𝟓. Задача №4Ответ: 5,3



Задача №4Использованные источники:http://www.fipi.ru/http://reshuege.ru/Подготовка к ЕГЭ по математике в 2015 году. Базовый и профильный уровни. Методические указания / И.В.Ященко, С.А.Шестаков, А.С.Трепалин. – М.: МЦНМО, 2015.ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И.В.Ященко. – М. : Издательство «Национальное образование», 2015. Источник шаблона: Фокина Лидия Петровна, учитель начальных классов МКОУ «СОШ ст. Евсино» Искитимского района Новосибирской области, сайт http://linda6035.ucoz.ru/