Презентация по математике на тему Задача №14 ЕГЭ-2015 по математике, профильный уровень

Задача №14 ЕГЭ-2015 по математике, профильный уровеньУчитель математики ГБОУ гимназии №1 города Похвистнево Самарской области Антонова Галина Васильевна Задача №14Тип задания по кодификатору требований: Задание на выполнение действий с функциями и производными функций, исследование функций.Характеристика задания: Задание на вычисление с помощью производной точек экстремума данной функции или наибольшего (наименьшего) значения данной функции на данном отрезке.Комментарий: Решение задания связано с нахождением при помощи производной точек минимума (максимума) заданной функции или её наименьшего (наибольшего) значения на отрезке. При нахождении точек минимума (максимума) заданной функции, наименьшего (наибольшего) значения функции на отрезке используются стандартные алгоритмы.2Антонова Г.В.

Производные некоторых элементарных функций𝐜′=𝟎, где 𝐜−𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭;(𝐱𝛂)′=𝛂∙𝐱𝛂−𝟏,  где 𝛂−𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭;(𝐱)′=𝟏𝟐𝐱;𝟏𝐱′=−𝟏𝐱𝟐;𝐬𝐢𝐧𝐱′=𝐜𝐨𝐬𝐱;𝐜𝐨𝐬𝐱′=−𝐬𝐢𝐧𝐱;𝐭𝐠𝐱′=𝟏𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱; 𝐜𝐭𝐠𝐱′=−𝟏𝐬𝐢𝐧𝟐𝐱;𝐚𝐱′=𝐚𝐱𝐥𝐧𝐚;𝐞𝐱′=𝐞𝐱;𝐥𝐨𝐠𝐚𝐱′=𝟏𝐱∙𝐥𝐧𝐚;𝐥𝐧𝐱′=𝟏𝐱. Задача №143Антонова Г.В. Правила дифференцирования𝐜∙𝐮′=𝐜∙𝐮′, 𝐜 −𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭;𝐮±𝐯′=𝐮′±𝐯′;𝐮𝐯′=𝐮′𝐯+𝐮𝐯′;𝐮𝐯′=𝐮′𝐯−𝐮𝐯′𝐯𝟐;𝐲=𝐟𝐠𝐱,  𝐲′=𝐟′𝐮∙𝐠′𝐱, где  𝐮=𝐠𝐱. Задача №144Антонова Г.В. Задача №141. Найдите точку максимума функции 𝑦=𝑥3+12𝑥2+13.  Решение: 1) 𝑦′=𝑥3+12𝑥2+13′=3𝑥2+24𝑥+0.2) 𝑦′=0, если  3𝑥2+24𝑥=0 ⇔ 𝑥=0𝑥=−8 .  x••3)y′y−8 0+ + − 4)x=−8 −точка max 𝑥=0 −точка 𝑚𝑖𝑛 Ответ: −8 5Антонова Г.В.










Задача №142. Найдите точку минимума функции 𝑦=19+4𝑥−𝑥33.  Решение: 1) 𝑦′=19+4𝑥−𝑥33′=0+4−𝑥2=−𝑥2+4.2) 𝑦′=0,  если −𝑥2+4=0 ⇔ 𝑥=−2𝑥=2 .  4)x=−2 −точка min 𝑥=2 −точка 𝑚𝑎𝑥 x••3)y′y−2 2− − + Ответ: −2 6Антонова Г.В.










Задача №143. Найдите точку максимума функции 𝑦=𝑥3+6𝑥2+11.  Решение: 1) 𝑦′=𝑥3+12𝑥2+13′=3𝑥2+12𝑥.2) 𝑦′=0⇒ 3𝑥2+12𝑥=0 при 𝑥=0 или  𝑥=−4.  x••3)y′y−4 0+ + − 4)x=−4 −точка max 𝑥=0 −точка 𝑚𝑖𝑛 Ответ: −4 7Антонова Г.В.










Задача №144. Найдите точку минимума функции 𝑦=𝑥3−3𝑥2+17.  Решение: 1) 𝑦′=𝑥3−3𝑥2+17′=3𝑥2−6𝑥.2) 𝑦′=0⇒3𝑥2−6𝑥=0 при 𝑥=0 или  𝑥=2.  3)x••y′y0 2+ + − 4)x=0 −точка max 𝑥=2 −точка 𝑚𝑖𝑛 Ответ: 2 8Антонова Г.В.










95. Найдите наименьшее значение функции 𝑦=𝑥−18𝑒𝑥−17 на отрезке [16; 18]. Задача №14Решение: 1) 𝑦′=𝑥−18𝑒𝑥−17′=𝑥−18′𝑒𝑥−17+𝑥−18𝑒𝑥−17′=𝑒𝑥−17+𝑥−18𝑒𝑥−17=𝑒𝑥−171+𝑥−18=𝑒𝑥−17(𝑥−17).2) 𝑦′=0⇒𝑒𝑥−17𝑥−17=0 при 𝑥=17.  x•y′y17+ − 4)𝑥=17 −точка 𝑚𝑖𝑛 3)5)𝑦наим=𝑦17=17−18𝑒17−17=−1∙1=−1. []1618Ответ: −1 Антонова Г.В.










Задача №14106. Найдите точку максимума функции 𝑦=2𝑥−3𝑐𝑜𝑠𝑥−2𝑠𝑖𝑛𝑥+10,  принадлежащую промежутку 0;𝜋2.  Решение: 1) 𝑦′=2𝑥−3𝑐𝑜𝑠𝑥−2𝑠𝑖𝑛𝑥+10′=2𝑥−3′𝑐𝑜𝑠𝑥+2𝑥−3𝑐𝑜𝑠𝑥′−2𝑠𝑖𝑛𝑥′+10′=2𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥2𝑥−3−2𝑐𝑜𝑠𝑥+0=−𝑠𝑖𝑛𝑥2𝑥−3.2) 𝑦′=0, т.е.   −𝑠𝑖𝑛𝑥2𝑥−3=0 при 𝑥=1,5∈0;𝜋2 и 𝑥=0∉0;𝜋2 3)y′yx()0𝜋2 •1,5+ − 4)𝑥=1,5 −точка 𝑚𝑎𝑥 Ответ: 1,5 Антонова Г.В.









Задача №1411Ответ: −16 7. Найдите наибольшее значение функции 𝑦=𝑥2+64𝑥 на отрезке [-18; -4]. Решение: 1) 𝑦′=𝑥2+64′𝑥−𝑥2+64𝑥′𝑥2=2𝑥∙𝑥−𝑥2−64𝑥2=𝑥2−64𝑥2 2) Найдём точки, в которых производная равна 0 или не существует. 1) 𝑦′=0, если   𝑥2−64=0 ⇔ 𝑥=−8,𝑥=8. 3) xy𝑦′ -8• • 8− 0+ ∘4) 𝑥=−8 – точка max 5) На заданном отрезке наибольшее значение достигается в точке максимума  𝑦наиб=𝑦−8=−82+64−8=2∙64−8=−16.  [−18 ]−4 Антонова Г.В.












Задача №1412Ответ: 3 8. Найдите наименьшее значение функции 𝑦=𝑥−102𝑥+1+3 на отрезке [5; 14]. Решение: 1) 𝑦′=𝑥−102′𝑥+1+𝑥−102𝑥+1′+3′=2𝑥−10𝑥+1+𝑥−102=𝑥−102𝑥+1+𝑥−10=(𝑥−10)(3𝑥−8). 2) Найдём нули производной на заданном отрезке: 𝑥−103𝑥−8=0,5≤𝑥≤14. ⇔ 𝑥=10,𝑥=38,5≤𝑥≤14⇔ 𝑥=10. 3) 𝑥 𝑦′ 𝑦 51410[]•+ − 4)                                     𝑥=10 −точка 𝑚𝑖𝑛 5) 𝑦наим=𝑦10=10−10210+1+3=0+3. Антонова Г.В.









Задача №1413Ответ: 11 9. Найдите наименьшее значение функции 𝑦= 2𝑐𝑜𝑠𝑥−16𝑥+9 на отрезке −3𝜋2;0. Решение: 1) 𝑦′=−2𝑠𝑖𝑛𝑥−16. 2) Найдём нули производной на заданном отрезке: −2𝑠𝑖𝑛𝑥−16=0,−3𝜋2≤𝑥≤0. уравнение −2𝑠𝑖𝑛𝑥−16=0 не имеет решений, т.к. −1≤𝑠𝑖𝑛𝑥≤1,  −2≤−2𝑠𝑖𝑛𝑥≤2,−18≤−2𝑠𝑖𝑛𝑥−16≤−14, т.е. производная меньше 0 при любых х ⇒ данная функция монотонно убывающая и наименьшего значения достигает при х = 0. 3) 𝑦наим=𝑦0=2𝑐𝑜𝑠0−16∙0+9=2∙1+9=11. Антонова Г.В.

Задача №141410. Найдите наибольшее значение функции 𝑦= 11+24𝑥−2𝑥𝑥 на отрезке 63;65. Решение: 1) 𝑦′=24𝑥′−2𝑥32′=24−2∙32𝑥12=24−3𝑥. 2) Найдём нули производной на заданном отрезке: 24−3𝑥=0, 3𝑥=24,  𝑥=8,  𝑥=64.  𝑥 𝑦′ 3)𝑦 []646563•− + 4)                                     𝑥=64 −точка 𝑚𝑎𝑥 5) 𝑦наиб=𝑦64=11+24∙64−2∙6464=11+1536−128∙8=1547−1024=523. Ответ: 523Антонова Г.В.







Задача №141511. Найдите наименьшее значение функции 𝑦= 8𝑐𝑜𝑠𝑥−17𝑥+6 на отрезке −3𝜋2;0. Решение: 1) 𝑦′=−8𝑠𝑖𝑛𝑥−17. 2) Найдём нули производной на заданном отрезке: −8𝑠𝑖𝑛𝑥−17=0,−3𝜋2≤𝑥≤0. уравнение −8𝑠𝑖𝑛𝑥−17=0 не имеет решений, т.к. −1≤𝑠𝑖𝑛𝑥≤1,  −8≤−8𝑠𝑖𝑛𝑥≤8,−25≤−8𝑠𝑖𝑛𝑥−17≤−9, т.е. производная меньше 0 при любых х, ⇒ данная функция монотонно убывающая и наименьшего значения функция достигает при х = 0. 3) 𝑦наим=𝑦0=8𝑐𝑜𝑠0−17∙0+6=8∙1+6=14. Ответ: 14Антонова Г.В.

Задача №141612. Найдите наименьшее значение функции 𝑦=𝑥−22𝑒𝑥−21 на отрезке [20; 22]. Решение: 1) 𝑦′=𝑥−22𝑒𝑥−21′=𝑥−22′𝑒𝑥−21+𝑥−22𝑒𝑥−21′=𝑒𝑥−21+𝑥−22𝑒𝑥−21=𝑒𝑥−211+𝑥−22=𝑒𝑥−21(𝑥−21).2) 𝑦′=0⇒𝑒𝑥−21𝑥−21=0 при 𝑥=21.  3)xy′y20[22]21•+ − 4)𝑥=21 −точка 𝑚𝑖𝑛 5)𝑦наим=𝑦21=21−22𝑒21−21=−1∙1=−1. Ответ: −1 Антонова Г.В.










Задача №141713. Найдите наименьшее значение функции 𝑦=𝑥3+6𝑥2+9𝑥+8 на отрезке −2;0 Решение: 1) 𝑦′=3𝑥2+12𝑥+9. 2) Найдём нули производной на заданном отрезке: 3𝑥2+12𝑥+9=0,−2≤𝑥≤0; ⇔ 𝑥=−3,𝑥=−1,−2≤𝑥≤0; ⇔ 𝑥=−1. 𝑥 𝑦′ 3)𝑦 []−1 −2 0 •− + 4)𝑥=−1 −точка 𝑚𝑖𝑛 5)𝑦наим=𝑦−1=−13+6∙−12+9∙−1+8=−1+6−9+8=4. Ответ: 4 Антонова Г.В.








Задача №1418Ответ:714. Найдите наибольшее значение функции 𝑦=9𝑡𝑔𝑥−9𝑥+7 на отрезке −𝜋4;0. Решение: 1) 𝑦′=9𝑐𝑜𝑠2𝑥−9=9−9𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥=91−𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥=9𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥=9𝑡𝑔2𝑥. 2) Замечаем, что 9𝑡𝑔2𝑥>0 при любых х.  Поэтому сама функция является монотонно возрастающей. 3) Тогда наибольшего своего значения функция достигает в крайней правой точке отрезка −𝜋4;0, т.е. в точке 𝑥=0. 4) 𝑦наибольшее=𝑦0=9∙𝑡𝑔0−9∙0+7=9∙0−0+7=7. Антонова Г.В.


Задача №1419Ответ:-1015. Найдите точку минимума функции 𝑦=−𝑥2+100𝑥. Решение: 1) 𝑦′=−𝑥2+100′∙𝑥−𝑥2+100∙𝑥′𝑥2=−2𝑥∙𝑥−𝑥2+100∙1𝑥2=−2𝑥2−𝑥2−100𝑥2=−𝑥2−100𝑥2. 2) Найдём нули производной: −𝑥2−100𝑥2=0,𝑥=−10,𝑥=10,𝑥≠0;. 𝑥 𝑦′ 3)𝑦 −10 0 10 ••°−−++𝑥=−10 −точка 𝑚𝑖𝑛 4)Антонова Г.В.









Задача №1420Ответ: 516. Найдите наибольшее значение функции 𝑦=13𝑡𝑔𝑥−13𝑥+5 на отрезке −𝜋4;0. Решение: 1) 𝑦′=13𝑐𝑜𝑠2𝑥−13=13−13𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥=131−𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥=13𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥=13𝑡𝑔2𝑥. 2) Заметим, что 13𝑡𝑔2𝑥>0 при любых значениях переменной х.  Поэтому сама функция является монотонно возрастающей на заданном отрезке. 3) Тогда наибольшего своего значения функция достигает в крайней правой точке отрезка −𝜋4;0, т.е. в точке 𝑥=0. 4) 𝑦наибольшее=𝑦0=13∙𝑡𝑔0−13∙0+5=9∙0−0+5=5. Антонова Г.В.


Задача №1421Ответ: 217. Найдите наименьшее значение функции 𝑦=𝑥2−10𝑥+29. Решение: 1) Функция 𝑦=𝑓(𝑥) возрастающая,⇒ наименьшего значения функция достигает тогда, когда 𝑓𝑥=𝑥2−10𝑥+29 принимает наименьшее значение. 2) Функция 𝑓𝑥=𝑥2−10𝑥+29 – квадратичная, которая принимает наименьшее значение в вершине параболы, т.е.  наименьшее значение исходной функции будет 𝑦наим=𝑦𝑥0=𝑦−𝑏2𝑎=𝑦−−102∙1=𝑦5==52−10∙5+29=25−50+29=4=2. Антонова Г.В.

Задача №1422Ответ: 218. Найдите наименьшее значение функции 𝑦=𝑥2+12𝑥+40. Решение: 1) Функция 𝑦=𝑓(𝑥) возрастающая,⇒ наименьшего значения функция достигает тогда, когда 𝑓𝑥=𝑥2+12𝑥+40 принимает наименьшее значение. 2) Функция 𝑓𝑥=𝑥2+12𝑥+40– квадратичная, которая принимает наименьшее значение в вершине параболы (ветви параболы в данном случае направлена вверх, т.к. a=1>0), т.е.  наименьшее значение исходной функции будет 𝑦наим=𝑦𝑥0=𝑦−𝑏2𝑎=𝑦−122∙1=𝑦−6==−62+12∙−6+40=36−72+40=−36+40=4=2. Антонова Г.В.

Задача №1423Ответ: 219. Найдите наибольшее значение функции 𝑦=−12−8𝑥−𝑥2. Решение: 1) Функция 𝑦=𝑓(𝑥) возрастающая,⇒ наибольшего значения функция достигает тогда, когда 𝑓𝑥=−12−8𝑥−𝑥2 принимает наибольшее значение. 2) Функция 𝑓𝑥=−12−8𝑥−𝑥2– квадратичная, которая принимает наибольшее значение в вершине параболы (ветви параболы в данном случае направлена вниз, т.к. a= − 1<0), т.е.  наибольшее значение исходной функции будет 𝑦наиб=𝑦𝑥0=𝑦−𝑏2𝑎=𝑦−−82∙−1=𝑦−4==−12−8∙−4−−42=−12+32−16=20−16=4=2. Антонова Г.В.

Задача №1424Ответ: 2120. Найдите наибольшее значение функции 𝑦=𝑙𝑛𝑥+83−3𝑥 на отрезке −7,5;0. Решение: 1) 𝑦′=𝑙𝑛𝑥+83′−3𝑥′=𝑥+83′𝑥+83−3=3𝑥+82𝑥+83−3=3𝑥+8−3=3−3𝑥+8𝑥+8=31−𝑥−8𝑥+8=3(−𝑥−7)𝑥+8  . 2) 𝑦′=0⇒3(−𝑥−7)𝑥+8=0 при 𝑥=−7 на отрезке −7,5;0. 𝑥 𝑦′ 3)𝑦 []−7,5 0•−7 +− 4) 𝑥=−7 − точка max 5) 𝑦наиб=𝑦−7=𝑙𝑛−7+83−3∙−7=𝑙𝑛1+21=0+21=21.  Антонова Г.В.







Задача №1425Ответ: 1421. Найдите наибольшее значение функции 𝑦=𝑙𝑛𝑥+37−7𝑥 на отрезке −2,5;0. Решение: 1) 𝑦′=𝑙𝑛𝑥+37′−7𝑥′=𝑥+37′𝑥+37−7=7𝑥+36𝑥+37−7=7𝑥+3−7=7−7𝑥+3𝑥+3=71−𝑥−3𝑥+3=7(−𝑥−2)𝑥+3  . 2) 𝑦′=0⇒7(−𝑥−2)𝑥+3=0 при 𝑥=−2 на отрезке −2,5;0. 𝑥 𝑦′ 3)𝑦 []−2,5 0•−2 +− 4) 𝑥=−2 − точка max 5) 𝑦наиб=𝑦−2=𝑙𝑛−2+37−7∙−2=𝑙𝑛1+14==0+14=14.  Антонова Г.В.







Задача №1426Ответ: −5 22. Найдите наибольшее значение функции 𝑦=4𝑥−4𝑡𝑔𝑥+𝜋−9 на отрезке −𝜋4;𝜋4. Решение: 1) 𝑦′=4−4𝑐𝑜𝑠2𝑥+0=4𝑐𝑜𝑠2𝑥−4𝑐𝑜𝑠2𝑥=4𝑐𝑜𝑠2𝑥−1𝑐𝑜𝑠2𝑥=−4𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥==−4𝑡𝑔2𝑥. 2) Заметим, что −4𝑡𝑔2𝑥<0 при любых х.  Поэтому сама функция является монотонно убывающей. 3) Тогда наибольшего своего значения функция достигает в крайней левой точке отрезка −𝜋4;𝜋4, т.е. в точке 𝑥=−𝜋4. 4) 𝑦наибольшее=𝑦−𝜋4=4∙−𝜋4−4∙𝑡𝑔−𝜋4+𝜋−9=−𝜋−4∙−1+𝜋−9=4−9=−5. Антонова Г.В.


Задача №1427Ответ: −7 23. Найдите наименьшее значение функции 𝑦=𝑒2𝑥−8𝑒𝑥+9 на отрезке 0;2. Решение: 1) 𝑦′=𝑒2𝑥−8𝑒𝑥+9′=𝑒2𝑥∙2𝑥′−8𝑒𝑥+0==2𝑒2𝑥−8𝑒𝑥=2𝑒𝑥(𝑒𝑥−4). 2) 𝑦′=0,т.е.  2𝑒𝑥𝑒𝑥−4=0; 2𝑒𝑥>0 при любых значениях х, ⇒ только 𝑒𝑥−4=0 на отрезке 0;2, отсюда 𝑒𝑥=4 и 𝑥=𝑙𝑛4. Заметим, что 𝑙𝑛4∈0;2, причём   𝑙𝑛4>1. 𝑥 𝑦′ 3)𝑦 []02𝑙𝑛4 •1•− +4) 𝑥=𝑙𝑛4− точка min 5) 𝑦наим=𝑦𝑙𝑛4=𝑒2𝑙𝑛4−8𝑒𝑙𝑛4+9=𝑒𝑙𝑛42−8∙4+9=42−32+9=16−32+9=−16+9=−7.  Антонова Г.В.









Задача №1428Ответ: −2 24. Найдите наименьшее значение функции 𝑦=𝑒2𝑥−6𝑒𝑥+7 на отрезке 0;2. Решение: 1) 𝑦′=𝑒2𝑥−6𝑒𝑥+7′=𝑒2𝑥∙2𝑥′−6𝑒𝑥+0==2𝑒2𝑥−6𝑒𝑥=2𝑒𝑥(𝑒𝑥−3). 2) 𝑦′=0,т.е.  2𝑒𝑥𝑒𝑥−3=0; 2𝑒𝑥>0 при любых значениях х, ⇒ только 𝑒𝑥−3=0 на отрезке 0;2, отсюда 𝑒𝑥=3 и 𝑥=𝑙𝑛3. Заметим, что 𝑙𝑛3∈0;2, причём   𝑙𝑛3>1. 𝑥 𝑦′ 3)𝑦 [0]2•𝑙𝑛3 1•− +4) 𝑥=𝑙𝑛3− точка min 5) 𝑦наим=𝑦𝑙𝑛3=𝑒2𝑙𝑛3−6𝑒𝑙𝑛3+7=𝑒𝑙𝑛32−6∙3+7=32−18+7=9−18+7=−9+7=−2.  Антонова Г.В.









1. Автор шаблона презентации: Фокина Лидия Петровна, учитель начальных классов МКОУ «СОШ ст. Евсино» Искитимского района Новосибирской области, cайт http://linda6035.ucoz.ru/ Задача №14292. ЕГЭ 2015. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 / И.Р.Высоцкий, П.И.Захаров, В.С.Панферов, С.Е.Посицельский, А.В.Семёнов, М.А.Семёнова, И.Н.Сергеев, В.А.Смирнов, С.А.Шестаков, Д.Э.Шноль, И.В.Ященко; под ред. И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2015.Использованные источники3. ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. И.В.Ященко. – М. : Издательство «Национальное образование», 2015.Антонова Г.В.4. http://reshuege.ru/