Лекция по математике Комплексные числа

Комплексные числа.
Мнимые числа – это чудо анализа, гибрид
из мира идей, двойственная сущность,
находящаяся между бытием и небытием.
Лейбниц.
Комплексным числом называется число вида Z = a+bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица.
Комплексные числа необходимы для решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом, для разложения на множители многочленов вида . Ввел в обращение комплексные числа итальянский математик Бомбелли.
В настоящее время комплексные числа применяют не только в математике: с их помощью исследуют течение воды, полет самолетов и ракет, их применяют для вычерчивания географических карт, для изучения явлений в атомах и ядрах и т.д.

Мнимой единицей i называется число, квадрат которого равен – 1.

Степень числа i.
С помощью мнимой единицы можно извлекать корни из отрицательных чисел:
.
Запись называется алгебраической формой комплексного числа.
и - противоположные комплексные числа.
и - сопряженные комплексные числа.
Действительные числа – это частный случай комплексных чисел.
Числа , ,  – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.
Изображают комплексные числа в координатной плоскости точкой (а; b) или радиус-вектором, соединяющим эту точку с началом координат.
Комплексная плоскость состоит из двух осей: – действительная ось – мнимая ось

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа: INCLUDEPICTURE "http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image036.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image038.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image040.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image042.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image044.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image046.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image048.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image050.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image052.gif" \* MERGEFORMATINET , INCLUDEPICTURE "http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image054.gif" \* MERGEFORMATINET
На чертеже следует поставить букву С, обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.
Действия над комплексными числами.
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел выполняются по правилам действий над многочленами; при делении необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на выражение сопряженное со знаменателем и учесть, что .Пример.
Выполнить сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел:





Т.к. комплексные числа геометрически представляются векторами на
плоскости, то все векторные физические величины могут быть охарактеризованы при помощи комплексных чисел. Представление векторных физических величин комплексными числами облегчает выполнение расчетов, т.к. действия над векторами, которые выполняются графически, заменяются действиями над комплексными числами, которые выполняются аналитически, что гораздо проще.
Особенно широкое применение комплексные числа получили в электротехнике при расчете электрических цепей.