Лекция по математике на тему Комплексные числа
Лекция 9
Тема 9. Комплексные числа.
Время: 2 часа
Цель лекции: Познакомить с понятием комплексного числа, алгебраической, тригонометрической и показательной формами комплексных чисел. Теоретически обосновать действия над комплексными числами. Показать возможность решения алгебраических уравнений в комплексной области.
План лекции:
Понятие комплексного числа.
Формы записи комплексных чисел.
Действия над комплексными числами.
Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме.
Основная теорема алгебры.
Понятие комплексного числа.
Комплексным числом z называется выражение вида z = x +iy, где х и у – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i2= –1.
Если х = 0, то число 0+iy = iy называется чисто мнимым; если у = 0, то число x +i0 = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. R(С.
Число х – действительная часть комплексного числа z и обозначается х=Rе z, а у – мнимой частью z, у=Im z.
Два комплексных числа z1 = x1 +iy1 z2 = x2 +iy2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Понятия больше и меньше для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.
Всякое комплексное число можно изобразить точкой М(х,у) плоскости Оху такой, что х=Rе z, у=Im z. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Ось абсцисс – действительная ось, ось ординат – мнимая. Комплексное число можно задать в виде радиус вектора 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Длина вектора 13 EMBED Equation.3 1415 называется модулем этого числа и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415 или r.
Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором 13 EMBED Equation.3 1415, изображающим комплексное число – аргумент этого числа, обозначается Arg z или 13 EMBED Equation.3 1415. Аргумент комплексного числа z=0 не определён. Аргумент комплексного числа z13 EMBED Equation.3 14150 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 13 EMBED Equation.3 1415 (k =0,–1,1,–2,2,): Arg z= аrg z + 13 EMBED Equation.3 1415, где аrg z – главное значение аргумента, заключённое в промежутке 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415( аrg z (13 EMBED Equation.3 1415 (иногда в качестве главного аргумента берут величину из промежутка 13 EMBED Equation.3 1415).
Формы записи комплексных чисел.
Запись числа в виде 13 EMBED Equation.3 1415 называют алгебраической формой комплексного числа. Модуль r и аргумент 13 EMBED Equation.3 1415 можно рассматривать как полярные координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, изображающего комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда получаем 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, комплексное число можно записать в виде 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Такая запись называется тригонометрической формой.
Модуль 13 EMBED Equation.3 1415 однозначно определяется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415. Например, 13 EMBED Equation.3 1415. Аргумент 13 EMBED Equation.3 1415 определяется из формул
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента z, т.е. считать 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415( аrg z (13 EMBED Equation.3 1415, то из формулы 13 EMBED Equation.3 1415 получаем, что
13 EMBED Equation.3 1415
Используя формулу Эйлера 13 EMBED Equation.3 1415, комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415 можно записать в показательной (или экспотенциальной) форме 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – модуль комплексного числа, а угол 13 EMBED Equation.3 1415.
В силу формулы Эйлера функция 13 EMBED Equation.3 1415– периодическая с основным периодом 2(. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1: Записать комплексные числа z1 = –1+i и z2 = –1 в тригонометрической и показательной формах.
Решение: Для числа z1 имеем:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 , т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415
Для z2 имеем 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415.
Действия над комплексными числами.
Суммой двух комплексных чисел z1 и z2 у z1+z2
называется комплексное число, определяемое z2
равенством 13 EMBED Equation.3 1415. z1
O x
Сложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами. Из определения следует, что комплексные числа складываются как векторы. Из рисунка видно, что 13 EMBED Equation.3 1415 . Это соответствие называют неравенством треугольника.
Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z, которое будучи сложенным с z2, даёт число z1, т.е. z = z1 – z2, если 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Из равенства следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. Из рисунка видно, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Отметим, что13 EMBED Equation.3 1415, т.е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому, например, равенство 13 EMBED Equation.3 1415 определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. окружность с центром в 13 EMBED Equation.3 1415 и радиусом 1.
Произведением комплексных чисел z1 = x1+iy1 и z2 = x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством:
13 EMBED Equation.3 1415
Произведение комплексных чисел можно находить путём формального перемножения двучленов x1 +iy1 и x2 +iy2, учитывая, что i2= –1.
Например, (2–3i)(–5+4i)= –10+8i+15i–12i2 = –10+23i+12=2+23i.
Заметим, что 13 EMBED Equation.3 1415– действительное число.
Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.
Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности
13 EMBED Equation.3 1415 – формула Муавра.
Пример 2: Найти 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Запишем сначала число 13 EMBED Equation.3 1415 в тригонометрической форме:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
По формуле Муавра имеем
13 EMBED Equation.3 1415
Частным двух комплексных чисел z1 и z2
·0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z2, даёт число z1, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Если положить 13 EMBED
· Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то из равенства 13 EMBED Equation.3 1415 следует
13 EMBED Equation.3 1415
Решая систему, найдём значения х и у:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
На практике частное двух комплексных чисел находят путём умножения числителя и знаменателя на число, сопряжённое знаменателю.
Пример 3: Выполнить деление 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
Для тригонометрической формы комплексного числа деление имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415,
т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющее равенству 13 EMBED Equation.3 1415.
Если положить 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415, то по определению корня и формуле Муавра, получаем
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда имеем 13 EMBED Equation.3 1415
Т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 (арифметический корень).
Поэтому корень п-ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, которые находятся по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Точки, соответствующие значениям 13 EMBED Equation.3 1415, являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 с центром в начале координат.
Пример 4: Найти все значения 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Запишем комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415 в тригонометрической форме.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 5: Какое множество точек на комплексной плоскости определяется условием 13 EMBED Equation.3 1415?
Решение: Комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415 изображается вектором, началом которого является точка 13 EMBED Equation.3 1415, а концом точка z. Угол между этим вектором и осью ОХ есть 13 EMBED Equation.3 1415, и он меняется в пределах от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми, выходящими из точки 13 EMBED Equation.3 1415 и образующими с осью ОХ углы в 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 рад.
Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, тогда:
Произведение 13 EMBED Equation.3 1415;
Частное 13 EMBED Equation.3 1415;
Возведение в n – ю степень 13 EMBED Equation.3 1415;
Извлечение корня n – й степени 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Формулы Эйлера.
Рассмотрим разложение функции 13 EMBED Equation.3 1415 по формуле Маклорена.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если действительную переменную х заменить комплексной переменной z, то получим ряд по степеням z:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Аналогично определяются тригонометрические функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 комплексной переменной z:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Подставим в (1) 13 EMBED Equation.3 1415 вместо z и сгруппируем в правой части все слагаемые, содержащие множитель i и не содержащие этот множитель.
13 EMBED Equation.3 1415
Сравнивая полученный результат с формулами (2) и (3), получаем
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, с помощью понятия комплексного числа устанавливается связь между тригонометрическими и показательной функциями:
Складывая и вычитая эти два выражения, получим
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Используя понятие комплексных чисел, вводится понятие гиперболических синуса и косинуса:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Из формулы Эйлера следует, что
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Приведенные известные из элементарной математики формулы:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415,
справедливы и для комплексных значений аргументов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Основная теорема алгебры:
Функция вида 13 EMBED Equation.3 1415, где п – натуральное число, 13 EMBED Equation.3 1415 – постоянные коэффициенты, называется многочленом п-ой степени с действительными коэффициентами (или целой рациональной функцией).
Корнем многочлена называется такое значение х0 (вообще говоря комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.
Теорема: Если х1 есть корень многочлена 13 EMBED Equation.3 1415, то многочлен делится без остатка на х–х1, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – многочлен степени (п–1).
Теорема: (основная теорема алгебры) Всякий многочлен п-ой степени (n>0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.
Теорема: Всякий многочлен 13 EMBED Equation.3 1415 можно представить в виде
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – корни многочлена, 13 EMBED Equation.3 1415– коэффициент многочлена при хп.
Множители 13 EMBED Equation.3 1415 называются линейными множителями.
Пример 1: Разложить многочлен 13 EMBED Equation.3 1415 на множители.
Решение: Многочлен 13 EMBED Equation.3 1415 обращается в нуль при 13 EMBED Equation.3 1415 Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2: Представить выражение 13 EMBED Equation.3 1415 в виде произведения линейных множителей.
Решение: Легко проверить, что 13 EMBED Equation.3 1415 является корнем данного многочлена.
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет два комплексных корня 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Если в разложении многочлена какой-либо корень встретился k раз, то он называется корнем кратности k. Тогда разложение многочлена можно записать в виде: 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 кратности соответственно корней 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема: Если многочлен 13 EMBED Equation.3 1415 с действительными коэффициентами имеет комплексный корень 13 EMBED Equation.3 1415, то он имеет сопряжённый корень 13 EMBED Equation.3 1415.
Перемножив линейные множители,
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415,
получили трёхчлен второй степени с действительными коэффициентами
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряжённым корням, можно заменить квадратным трёхчленом с действительными коэффициентами. Поэтому справедлива следующая теорема:
Теорема: Всякий многочлен п-ой степени с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415,
х1, х2, , хr – корни многочлена, а все квадратные трехчлены не имеют действительных корней.
Пример: 13 EMBED Equation.3 1415 этот многочлен имеет корни: х1= 2 и х2=3, других действительных корней нет. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
13PAGE 15
13PAGE 14915
О х х
М
у
у
13 EMBED Equation.3 1415
(
-1 О х
у
О х
z2
z1
1+i i
y
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native2Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native