Методические указания к расчетной работе «Приближенное вычисление определенных интегралов»
Методические указания к расчетной работе
«Приближенное вычисление определенных интегралов»
I. Теоретическая часть
1. Постановка задачи
Пусть требуется вычислить, 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывная на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 функция. Если можно найти первообразную 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415, то интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница 13 EMBED Equation.3 1415 Но формула Ньютона – Лейбница не всегда позволяет вычислить данный определенный интеграл. Во многих случаях первообразные функции либо вообще не выражаются через элементарные функции, либо оказываются слишком сложными для расчетов. Если же подынтегральная функция 13 EMBED Equation.3 1415 задана в виде таблицы, то понятие первообразной вообще теряет смысл. Здесь на помощь приходит приближенное вычисление определенных интегралов с необходимой точностью. (Кстати на практике часто не требуется знать точное значение данного интеграла).
Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 по заданным или вычисленным значениям подынтегральной функции 13 EMBED Equation.3 1415 в некоторых точках (узлах) отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 Численное определение однократного интеграла называется механической квадратурой, а соответствующие формулы численного интегрирования – квадратурными. Рассмотри простейшие из них.
2. Метод прямоугольников
Если 13 EMBED Equation.3 1415 на сегменте 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 представляет собой площадь криволинейной трапеции 13 EMBED Equation.3 1415, ограниченной сверху графиком функции 13 EMBED Equation.3 1415 снизу отрезком 13 EMBED Equation.3 1415 оси Ox, с боков отрезками прямых 13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 3.1 Рис. 3.2
Составим интегральную сумму, соответствующую делению отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 равных частей (отрезков) длины 13 EMBED Equation.3 1415 точками 13 EMBED Equation.3 1415. Обозначим далее через 13 EMBED Equation.3 1415 значения функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точках деления 13 EMBED Equation.3 1415
Составим суммы 13 EMBED Equation.3 1415 Каждая из этих сумм является интегральной суммой для 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 и поэтому приближенно выражает интеграл. Обозначив, 13 EMBED Equation.3 1415 получим 13 EMBED Equation.3 1415 (3.1)
13 EMBED Equation.3 1415 (3.2) Формулы (3.1) и (3.2) называют формулами прямоугольников.
Формула (3.1) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников (см. рис. 3.1)), а формула (3.2) – площадь ступенчатой фигуры, составленной из «выходящих» прямоугольников (см. рис. 3.2)).
Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формулам прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число 13 EMBED Equation.3 1415 (т.е. чем меньше шаг деления 13 EMBED Equation.3 1415).
Абсолютная погрешность приближенных равенств (3.1) и (3.2) оценивается с помощью следующей формулы
13 EMBED Equation.3 1415 (3.3)
3. Метод трапеций
Естественно ожидать, что мы получим более точное значение определенного интеграла, если данную кривую 13 EMBED Equation.3 1415 заменим не ступенчатой линией, как это было в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной (см. рис. 3.3).
Разобьем отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 равных частей длины 13 EMBED Equation.3 1415 Абсциссы точек деления 13 EMBED Equation.3 1415 Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Заменим кривую 13 EMBED Equation.3 1415 ломаной
линией, звенья которой
соединяют концы ординат
Рис. 3.3
13 EMBED Equation.3 1415 Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями 13 EMBED Equation.3 1415 и высотой 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 или
13 EMBED Equation.3 1415 (3.4)
Формулу (3.4) называют формулой трапеций, так как её геометрический смысл связан с заменой площади каждой прямоугольной полоски, на которые разбивается криволинейная трапеция, на площадь прямоугольной трапеции (рис. 3.3).
Заметим, что формулы (3.1), (3.2), (3.4) приближают интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 тем лучше, чем больше 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. число делений промежутка 13 EMBED Equation.3 1415. Известно, что абсолютная ошибка Rn , которая получается при замене определённого интеграла на 13 EMBED Equation.3 1415 его приближенным значением по формуле трапеций –
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. (3.5)
Отсюда видно, что при возрастании 13 EMBED Equation.3 1415 ошибка убывает примерно как 13 EMBED Equation.3 1415
4. Метод парабол (метод Симпсона )
Если заменить график функции 13 EMBED Equation.3 1415 на каждом отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 Предварительно найдём площадь S криволинейной трапеции,
ограниченной сверху графиком параболы 13 EMBED Equation.3 1415 сбоку – прямыми 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и снизу – отрезком 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть парабола проходит через три точки 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415- ордината параболы в точке
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415- ордината параболы в точке
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 - ордината параболы в
точке 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис 3.4). Площадь S равна
Рис. 3.4.
13 EMBED Equation.3 1415 (3.6)
Выразим эту площадь через 13 EMBED Equation.3 1415 Из равенств для ординат 13 EMBED Equation.3 1415 находим, что 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Подставляя эти значения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 в равенство (3.6), получаем
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (3.6?)
Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Рис. 3.5
Для этого отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 разобьём на 13 EMBED Equation.3 1415 равных частей (отрезков) длинной 13 EMBED Equation.3 1415 точками 13 EMBED Equation.3 1415 В точках деления 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляем значения подынтегральной функции 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис.3.5)
Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными 13 EMBED Equation.3 1415, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 13 EMBED Equation.3 1415.
На отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 парабола проходит через три точки 13 EMBED Equation.3 1415 Используя формулу (3.6) находим 13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично находим 13 EMBED Equation.3 1415,,13 EMBED Equation.3 1415
Сложив полученные равенства, имеем
13 EMBED Equation.3 1415 или
13 EMBED Equation.3 1415. (3.7)
Формула (3.7) называется формулой парабол (или Симпсона).
Абсолютная погрешность вычисления по формуле (3.7) оценивается соотношением 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (3.8)
13 EMBED Equation.3 1415 убывает примерно как 13 EMBED Equation.3 1415.
Если, например 13 EMBED Equation.3 1415то формулы прямоугольников и трапеций дают ошибку порядка 13 EMBED Equation.3 1415, а параболическая формула –13 EMBED Equation.3 1415.
Отметим, что формула (3.7) даёт точное значение интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 во всех случаях, когда 13 EMBED Equation.3 1415 - многочлен, степень которого меньше или равна трём (тогда 13 EMBED Equation.3 1415).
Если отыскание четвертой производной подынтегральной функции затруднительно, то для оценки погрешности вычисления интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 по формуле Симпсона можно применить следующий прием.
Полагая 13 EMBED Equation.3 1415, вычисляют приближенное значение данного интеграла по формуле Симпсона для шага 13 EMBED Equation.3 1415; пусть найденное значение интеграла есть 13 EMBED Equation.3 1415; затем шаг 13 EMBED Equation.3 1415 удваивают, и вычисление по формуле Симпсона проводят для шага 13 EMBED Equation.3 1415; пусть найденное значение интеграла есть 13 EMBED Equation.3 1415; погрешность второго вычисления приблизительно в 16 раз больше погрешности первого и обе они имеют одинаковый знак. Поэтому погрешность первого вычисления
( при шаге 13 EMBED Equation.3 1415) определяется следующей формулой (учитывающей и знак погрешности): 13 EMBED Equation.3 1415 (этот способ можно назвать оценкой погрешности формулы Симпсона по методу удвоения шага вычислений).
5. Графическое интегрирование
Это еще один способ вычисления определенного интеграла, который применяется тогда, когда подынтегральная функция задана графически. Этот метод основан на теореме о среднем.
Теорема о среднем. Если 13 EMBED Equation.3 1415непрерывная на 13 EMBED Equation.3 1415функция, то внутри этого промежутка найдется, по крайней мере одно значение 13 EMBED Equation.3 1415такое, что13 EMBED Equation.3 1415, (3.9)
т.е. в точке 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 функция принимает свое среднее значение.
Равенство (3.9) представим в виде 13 EMBED Equation.3 1415 и предположим, что 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415, тогда геометрический смысл теоремы состоит в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с тем же основанием 13 EMBED Equation.3 1415 и высотой, равной среднему значению функции или ординате в точке 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 3.6). На рис. 3.6 функция достигает среднего значения в двух точках 13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 3.6 Рис. 3.7
Рассмотрим криволинейную трапецию (рис. 3.7), площадь ее по теореме о среднем равна 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415- площади прямоугольника с высотой 13 EMBED Equation.3 1415, и длиной 13 EMBED Equation.3 1415. Проведем «на глаз» горизонтальную прямую, примерно так чтобы получить нужный прямоугольник. Абсциссы точек пересечения прямой и кривой будут те точки 13 EMBED Equation.3 1415, о которых упоминается в теореме о среднем. Отложим на оси Ox, слева от начала координат масштабную единицу, (на рис. 3.7 13 EMBED Equation.3 1415) и продолжим проведенную горизонтальную прямую до пересечения с осью ординат. (Если a<0, то лучше вначале слева от a провести вертикальную прямую, и при дальнейших действиях заменить ось Oy этой прямой). Пусть прямая пересекает ось Oy в точке Q, тогда OQ=f(13 EMBED Equation.3 1415). Соединим точки P и Q и из точки a проведем прямую aM параллельно PQ до пересечения в точке M с ординатой из точки b.
Покажем, что 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. величина отрезка bM численно равна значению определенного интеграла.
Действительно 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда
13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. На рис.3.7 функция f(x)>0 и bM>0. Высказанное предложение имеет место для любой непрерывной на 13 EMBED Equation.3 1415функции f(x). Например, на рис. 3.8 функция f(x) меняет знак.
Заштрихованные площади равны по модулю и противоположны по знаку, 13 EMBED Equation.3 1415 будет
Рис. 3.8 отрицателен. Проведя предыдущие построения, получаем отрезок bM, величина которого отрицательна и здесь 13 EMBED Equation.3 1415.
II. Порядок выполнения работы
Задание 3.1
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 по формуле Ньютона – Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, разбивая интервал интегрирования на 13 EMBED Equation.3 1415 равных частей. Оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам.
Решение:
Вычислим по формуле Ньютона – Лейбница 13 EMBED Equation.3 1415.
Делим интервал интегрирования 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 равных частей длиной 13 EMBED Equation.3 1415 точками 13 EMBED Equation.3 1415, при этом 13 EMBED Equation.3 1415. (Для формулы Симпсона на 13 EMBED Equation.3 1415 частей с шагом 13 EMBED Equation.3 1415).
Вычислим значения подынтегральной функции 13 EMBED Equation.3 1415
Полученные значения занесем в таблицу 3.1:
Таблица 3.1 5. Вычислим данный интеграл по приближенным
формулам:
k
xk=x0+kh
yk=f(xk)
0
x0=a
y0
1
x1=a+h
y1
n
xn=a+nh
yn
1) по первой формуле прямоугольников
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем абсолютную ошибку этого приближения
13 EMBED Equation.3 1415 (по недостатку) и относительную
(процентную) ошибку 13 EMBED Equation.3 1415.
2) по второй формуле прямоугольников 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем для этого приближения абсолютную и относительную (по избытку) (см.1)).
3) по формуле трапеций 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем абсолютную и относительные ошибки.
4) по формуле Симпсона 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем абсолютную и относительные ошибки этого приближения.
Результаты занесем в таблицу 3.2. Таблица 3.2
Методы вычисления
Фор-ла Ньютона-
Лейбница
Фор-ла прямоугол.
Фор-ла
трапеций
Фор-ла Симпсона
по
недост.
по избыт.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
-
13 EMBED Equation.3 1415
-
Задание 3.2
Определить на какое число частей следует разделить интервал интегрирования 13 EMBED Equation.3 1415, для приближенного вычисления интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 методом:
а) прямоугольников; б) трапеций; в) Симпсона, чтобы получить заданную точность вычисления 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
а). Найдем 13 EMBED Equation.3 1415 для формул прямоугольников:
1. Найдем производную подынтегральной функции 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдем наибольшее значение 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Подставив значения 13 EMBED Equation.3 1415, запишем выражение предельной абсолютной погрешности 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Решая неравенство 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- заданное значение, найдем искомое число 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Найдем 13 EMBED Equation.3 1415 для формулы трапеций:
1. Найдем 13 EMBED Equation.3 1415, дифференцируя найденное значение 13 EMBED Equation.3 1415 второй раз.
2. Найдем наибольшее значение 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Подставив значения 13 EMBED Equation.3 1415, запишем выражение предельной абсолютной погрешности: 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Решая неравенство 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- заданное значение точности, найдем искомое число 13 EMBED Equation.3 1415.
в) Найдем 13 EMBED Equation.3 1415 для формулы Симпсона:
1. Найдем 13 EMBED Equation.3 1415, дважды дифференцируя найденную вторую производную 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдем наибольшее значение 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Подставив значения 13 EMBED Equation.3 1415, запишем выражение предельной абсолютной погрешности: 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Решая неравенство 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- заданная степень точности, найдем искомое число 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание 3.3.
Пусть функция 13 EMBED Equation.3 1415 представлена на 13 EMBED Equation.3 1415кривой, изображенной на рис. Графически проинтегрировать эту кривую.
Решение:
Разобьем 13 EMBED Equation.3 1415 на n не обязательно равных частей, но так, чтобы на каждом частичном интервале функция вела себя монотонно точками 13 EMBED Equation.3 1415. Отмечаем середину каждого из частичных интервалов: 13 EMBED Equation.3 1415, проводим ординаты точек 13 EMBED Equation.3 1415 до пересечения с кривой и проектируем точки пересечения на ось Oy. Получаем OQ1=f(13 EMBED Equation.3 1415), OQ2=f(13 EMBED Equation.3 1415),, OQn=f(13 EMBED Equation.3 1415). Будем считать, что точки 13 EMBED Equation.3 1415, это точки, фигурирующие в теореме о среднем на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Так как промежуток 13 EMBED Equation.3 1415 мал, то мы считаем, что 13 EMBED Equation.3 1415- середина промежутка.
Слева от начала координат на оси Ox откладываем отрезок OP, причем 13 EMBED Equation.3 1415(масштабная единица) и соединяем P с точками Q1, Q2,,Qn.
Из точки a проводим прямую aM1//PQ1 до пересечения в точке M1 с ординатой из x1. Согласно высказанного вначале предложения
13 EMBED Equation.3 1415.
Далее из точки M1 проводим прямую M1M2//PQ2 до пересечения в точке M2 с ординатой из x2.
13 EMBED Equation.3 1415.
Из точки M2 проводим прямую M2M3//PQ3 до пересечения в точке M3 с ординатой из x3.
13 EMBED Equation.3 1415. И т.д.
Из точки Mn-1 проводим прямую Mn-1Mn//PQn до пересечения в точке Mn с ординатой из xn=b.
13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. Ломанная aM1M2Mn изображает (приближенно) график функции 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 3.9). Так что если взять какое-то значение x13 EMBED Equation.3 1415, то ордината ломанной, соответствующая этому значению x, будет величина 13 EMBED Equation.3 1415. Конечно, чем больше n, тем точнее получается результат.
III. Примеры
Задание 3.1
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 по формуле Ньютона – Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, разбивая интервал интегрирования на 8 равных частей. Оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам.
Решение:
Вычислим по формуле Ньютона – Лейбница 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Делим интервал интегрирования 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 равных частей длиной 13 EMBED Equation.3 1415точками 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим значения подынтегральной функции
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14154. Полученные значения занесем в таблицу 3:
Таблица 3.3
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xk
1
2
3
4
5
6
7
8
9
yk
1,0000
2,6458
3,6056
4,3589
5,0000
5,5678
6,0828
6,5574
7,0000
5. Вычислим данный интеграл по приближенным формулам:
1) по первой формуле прямоугольников: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем абсолютную ошибку этого приближения (по недостатку) 13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415 и относительную (процентную) ошибку
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
2) по второй формуле прямоугольников 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем для этого приближения абсолютную ошибку (по избытку) 13 EMBED Equation.3 1415 и относительную ошибку
13 EMBED Equation.3 1415
3) по формуле трапеций 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415Найдем абсолютную ошибку этого приближения 13 EMBED Equation.3 1415 и относительную ошибку
13 EMBED Equation.3 1415
4) по формуле Симпсона 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем абсолютную ошибку 13 EMBED Equation.3 1415 и относительную ошибку этого приближения
13 EMBED Equation.3 1415
Результаты занесем в таблицу 3.4.
Таблица 3.4
Методы вычисления
Фор-ла Ньютона-
Лейбница
Фор-ла прямоугол.
Фор-ла
трапеций
Фор-ла Симпсона
по
недост.
по избыт.
13 EMBED Equation.3 1415
38
34,8183
40,8183
37,8183
37,9655
13 EMBED Equation.3 1415
-
3,1817
2,8183
0,1817
0,0345
13 EMBED Equation.3 1415
-
8,37%
7,42%
0,48%
0,09%
Задание 3.2
Определить на какое число частей следует разделить интервал интегрирования 13 EMBED Equation.3 1415, для приближенного вычисления интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 методом:
а) прямоугольников; б) трапеций; в) Симпсона с точностью 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
а). Найдем 13 EMBED Equation.3 1415 для формул прямоугольников:
1. Найдем производную подынтегральной функции 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдем наибольшее значение 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Подставив значения 13 EMBED Equation.3 1415, запишем выражение предельной абсолютной погрешности 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Решая неравенство 13 EMBED Equation.3 1415, найдем искомое число 13 EMBED Equation.3 1415. Т.к. 0,00001=10-5, то, 13 EMBED Equation.3 1415 Следовательно, чтобы
вычислить данный интеграл с точностью до 0,00001 надо разделить интервал интегрирования на n=123246 равных частей.
б) Найдем 13 EMBED Equation.3 1415 для формулы трапеций:
1. Найдем 13 EMBED Equation.3 1415, дифференцируя найденное значение 13 EMBED Equation.3 1415 второй раз.
13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдем наибольшее значение 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3. Подставив значения 13 EMBED Equation.3 1415, запишем выражение предельной абсолютной погрешности: 13 EMBED Equation.3 1415
4. Решая неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Нашли число n=180 (как ближайшее целое число к 179,58), на которое надо разбить интервал интегрирования, чтобы вычислить приближенно по формуле трапеций данный интеграл с точностью 0,00001
в) Найдем 13 EMBED Equation.3 1415 для формулы Симпсона:
1. Найдем 13 EMBED Equation.3 1415, дважды дифференцируя найденную вторую производную 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдем наибольшее значение 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Подставив значения 13 EMBED Equation.3 1415, запишем выражение предельной абсолютной погрешности: 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Решая неравенство
13 EMBED Equation.3 1415 Ближайшее четное число большее 8,5 - n=10 , следовательно, интервал интегрирования надо разделить на 10 равных частей, чтобы при вычислении данного интеграла получить его приближенное значение по формуле Симпсона с точностью до 0,00001.
Задание 3.3.
Графически проинтегрировать кривую, изображенную на рис. 3.9.
Рис. 3.9
Решение:
Пусть функция 13 EMBED Equation.3 1415 представлена на 13 EMBED Equation.3 1415кривой, изображенной на рис.8.
Разобьем 13 EMBED Equation.3 1415на n не обязательно равных частей, но так, чтобы на каждом частичном интервале функция вела себя монотонно. На рис. 3.9 n=4 и точки деления a=x0, x1 ,x2 ,x3,x4=b.
Отмечаем середину каждого из частичных интервалов: 13 EMBED Equation.3 1415, проводим ординаты точек 13 EMBED Equation.3 1415 до пересечения с кривой и проектируем точки пересечения на ось Oy. Получаем OQ1=f(13 EMBED Equation.3 1415), OQ2=f(13 EMBED Equation.3 1415), OQ3=f(13 EMBED Equation.3 1415), OQ4=f(13 EMBED Equation.3 1415). Будем считать, что точки 13 EMBED Equation.3 1415, это точки, фигурирующие в теореме о среднем на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Так как промежуток 13 EMBED Equation.3 1415 мал, то мы считаем, что 13 EMBED Equation.3 1415- середина промежутка.
Слева от начала координат на оси Ox откладываем отрезок OP, причем 13 EMBED Equation.3 1415(масштабная единица) и соединяем P с точками Q1, Q2,Q3,Q4.
Из точки a проводим прямую aM1//PQ1 до пересечения в точке M1 с ординатой из x1. Согласно высказанного вначале предложения
13 EMBED Equation.3 1415.
Далее из точки M1 проводим прямую M1M2//PQ2 до пересечения в точке M2 с ординатой из x2.
13 EMBED Equation.3 1415.
Из точки M2 проводим прямую M2M3//PQ3 до пересечения в точке M3 с ординатой из x3.
13 EMBED Equation.3 1415.
Из точки M3 проводим прямую M3M4//PQ4 до пересечения в точке M4 с ординатой из x4=b.
13 EMBED Equation.3 1415.
IV. Контрольные вопросы
1. В каких случаях применяется приближенное вычисление определенных интегралов?
2. Формулы прямоугольников.
3. Формула трапеций.
4. Формула Симпсона.
5. Формула абсолютной погрешности.
6. Формула относительной погрешности.
7. Когда применяется графическое интегрирование?
8. Сформулировать теорему о среднем.
9. Графический смысл теоремы о среднем.
10. Алгоритм метода графического интегрирования?
V. Индивидуальные задания
Задание 3.1 Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 по формуле Ньютона – Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, разбивая интервал интегрирования на 13 EMBED Equation.3 1415 равных частей. Оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой.
Таблица 3.5
№
вар
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
№
вар
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
№
вар
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
1
13 EMBED Equation.3 1415 n=10.
11
13 EMBED Equation.3 1415
21
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415, n=10.
12
13 EMBED Equation.3 1415
22
13 EMBED Equation.3 1415
3
13 EMBED Equation.3 1415 n=10.
13
13 EMBED Equation.3 1415
23
13 EMBED Equation.3 1415
4
13 EMBED Equation.3 1415 n=10.
14
13 EMBED Equation.3 1415
24
13 EMBED Equation.3 1415
5
13 EMBED Equation.3 1415, n=10.
15
13 EMBED Equation.3 1415
25
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415 n=10.
16
13 EMBED Equation.3 1415
26
13 EMBED Equation.3 1415
7
13 EMBED Equation.3 1415, n=10.
17
13 EMBED Equation.3 1415
27
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415 n=10.
18
13 EMBED Equation.3 1415
28
13 EMBED Equation.3 1415
9
13 EMBED Equation.3 1415, n=10.
19
13 EMBED Equation.3 1415
29
13 EMBED Equation.3 1415
10
13 EMBED Equation.3 1415, n=10.
20
13 EMBED Equation.3 1415
30
13 EMBED Equation.3 1415
Задание 3.2
Определить на какое число частей следует разделить интервал интегрирования 13 EMBED Equation.3 1415, для приближенного вычисления интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 методом: а) прямоугольников; б) трапеций; в) Симпсона, чтобы получить заданную точность вычисления 13 EMBED Equation.3 1415.
Таблица 3.6
№ вар 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
№ вар 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
№ вар 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
1. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
11. 13 EMBED Equation.3 1415
21.13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
12. 13 EMBED Equation.3 1415
22.13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13. 13 EMBED Equation.3 1415
23.13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
14.13 EMBED Equation.3 1415
24.13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
15. 13 EMBED Equation.3 1415
25.13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
16. 13 EMBED Equation.3 1415
26.13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
17. 13 EMBED Equation.3 1415
27.13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
18. 13 EMBED Equation.3 1415
28.13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
19. 13 EMBED Equation.3 1415
29.13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415
20. 13 EMBED Equation.3 1415
30.13 EMBED Equation.3 1415
Симпсон Томас (1710-1761) – английский математик.
13PAGE 15
13PAGE 14215
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native