Проект по алгебре учащейся 9б класса ГБОУ СОШ №26 г.Сызрани Загуменновой Ксении Решаем задачи по теме Геометрическая прогрессия

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области
средняя общеобразовательная школа №26 города Сызрани
городского округа Сызрань Самарской области
Проект по алгебре
Решаем задачи по теме «Геометрическая прогрессия»
Выполнила проект
Учащаяся 9б класса
ГБОУ СОШ №26 г.СызраниЗагуменнова Ксения
Проверила
учитель I категории
Гаврилина Ж.Ю.
Сызрань, 2017 г.
Содержание.
Цели и задачи проекта.
Теоретическая часть
Практическая часть
Информационные ресурсы
Цели и задачи проекта
- рассмотрение некоторых видов задач по теме «Геометрическая прогрессия» с целью усвоения, углубления, расширения знаний по теме;
- формирование представлений о способах решения задач;
- формирование умений применять определение и формулы по теме в задачах;
- формирование коммуникативных действий, направленных на структурирование информации по данной теме.
- развитие умения выделять информацию из разных источников.
Теоретическая часть по теме
«Геометрическая прогрессия».
Геометрическая прогрессия - это последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, т.е. bn+1 = bn·q и bn ≠ 0.
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти любой член прогрессии.
INCLUDEPICTURE "http://www.grandars.ru/images/1/review/id/1679/952b973b48.jpg" \* MERGEFORMATINET
Геометрическая прогрессия обладает следующим свойством:
Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего её членов.
bn2 = bn-1· bn+1
Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии.
При решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии:
INCLUDEPICTURE "http://www.grandars.ru/images/1/review/id/1679/af758c271a.jpg" \* MERGEFORMATINET
или
INCLUDEPICTURE "http://www.grandars.ru/images/1/review/id/1679/537bbd9f3b.jpg" \* MERGEFORMATINET
Практическая часть.
В геометрической прогрессии ( bn) известно, что b1= 4, q = -2. Найти пятый член этой прогрессии.
Решение.
bn = b1∙qn-1b5 = b1∙q5-1 = 4 ∙(-2)4 = 64 Ответ. 64
Геометрическая прогрессия  ( bn) задана формулой  n - го члена  bn= 34∙(-3)n-1. Укажите четвертый член этой прогрессии.
Решение.
 bn= 34∙(-3)n-1 b4= 34∙(-3)4-1= 22∙ (-27) = -594
Ответ. -594
Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен 2, а b1=-34 . Найдите сумму первых шести её членов.
Решение.
S6 =(gn-1)g-1∙b1 =(26-1)2-1 ∙(-0,75) = 63∙-0,75 = -47,25
Ответ. -47,25
4. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.
 
Решение.
b1+b2=75b2+b3=150b1+b1g=75b1q+b1q2=150b1+b1g=75qb1+b1g=150b1+b1g=75q∙75=150b1+b1g=75q=150:75b1+b1g=75q=2b1+2b1=75q=2 3b1=75q=2b1=75 :3q=2b1=25q=2b1 = 25
b2 = 25 ∙2 = 50
b3 = 50 ∙2 = 100
Ответ : 25 ; 50 ; 100.
5. Геометрическая прогрессия задана условием bn = 162∙3n . Найдите сумму первых её 4 членов.
Решение:
b1 = 162 ∙31 = 486
S4 = 34-13-1 ∙486= 802 ∙486= 19440
Ответ : 19440
6. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 17, 68, 272, ... Найдите её четвёртый член.
Решение:
6817 = 4
q = 4
b4 = 272 ∙4 = 1088
Ответ : 1088
7. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: … ; 162,5 ; x ; 6,5 ; 1,3 ; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.
Решение:
6,51,3 = 5
X = 6,5 ∙5 = 32,5
Ответ : 32,5
8. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −1024; −256; −64; … Найдите сумму первых 5 её членов.
Решение:
b1 = -1024
-1024-256 = 14q = 14 = 0,25
b4 = - 64 ∙14 = - 16
b5 = - 4
S5 = -1024 – 256 – 64 – 16 – 4= - 1364
Ответ : - 1364
9. Геометрическая прогрессия задана условием bn= 168∙(12 ) n .Найдите сумму первых её 4 членов.
Решение:
b1 = 168 ∙12 = 84
b2 = 84 ∙12 = 42
b3 = 42 ∙12 = 21
b4 = 21 ∙12 = 10,5
S4 = 84+ 42 + 21 + 10,5 = 157,5
Ответ : 157,5
10. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: … ; 1,75; x; 28 ; −112; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.
Решение:
28-112 = - 14X = 28 ∙( - 14 ) = - 7
Ответ : - 7
11. Дана геометрическая прогрессия (bn), для которой b5 = −14, b8 = 112. Найдите знаменатель прогрессии.
Решение:
b1 ∙ q4 = - 14
b1 ∙ q7 = 112
q7 – q4 = q3
q3 = 112 : ( - 14) = - 8
q = - 2
Ответ : - 2
12. Геометрическая прогрессия задана условием b1 = −7, bn + 1 = 3bn. Найдите сумму первых 5 её членов.
Решение:
S5 = 35-13-1 ∙(-7 )= 2422 ∙( -7 )= - 847
Ответ : - 847
13. Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен 3, а b1 = 19. Найдите b4.
Решение:
b4 = 19 ∙ 33 = 19 ∙ 27 = 513
Ответ : 513
14. Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен 5, а b1=25 . Найдите сумму первых 6 её членов.
Решение:
S6 = 56-15-1 ∙ 25 = 15644 ∙ 25 = 1562,4Ответ : 1562,4
15. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: − 256; 128; − 64; … Найдите сумму первых семи её членов.
Решение:
-256128 = - 12S7 = (-0,5)7-1-0,5-1 ∙ -256 = 2∙129 ∙2-3 ∙ -256= -172Ответ : - 172
16. Дана геометрическая прогрессия (bn), для которой b3 = 47,  b6 = -196. Найдите знаменатель прогрессии.
Решение:
b1 ∙ q2 = 47b1 ∙ q5 = - 196
q7 – q4 = q3
q3 = - 196 : 47 = - 343
q = - 7
Ответ : - 7
17. Геометрическая прогрессия задана условием b1 = −3, bn + 1 = 6bn. Найдите сумму первых 4 её членов.
Решение:
q = 6
S4 = 64-16-1 ∙ -3 = 12955 ∙ -3= -777Ответ : - 777
18. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: … ; -12 ; x ; -3 ; 1,5 ; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.
Решение:
- 31,5 = - 2
X = - 2 ∙( -3 ) = 6
Ответ : 6
19. Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим членам прибавить соответственно числа 25, 27 и 1, то получатся 3 числа, образующих арифметическую прогрессию. Найти седьмой член геометрической прогрессии.
Решение:
b1, b2, b3 – члены геометрической прогрессий
b1 + 25, b2 + 27, b3 + 1 – члены арифметической прогрессий
b1+ b2+ b3=912 b2+27 = b1+25+ b3+1b1+ b1q + b1q2=912 b1q+27 = b1+25+ b1q2+1b1 1+q+ q2 =912b1q+54- b1- b1q2=26b1 1+q+ q2 =91-b1q2+2b1q- b1= -28b1= 911+q+ q2b1 q2-2q+1 =2891 ( q2-2q+1 )1+q+ q2 = 28
91 ( q2 – 2q + 1) = 28 ( 1 + q + q2 )
91q2 – 182q + 91 = 28 + 28q + 28q2
91q2 – 28q2 – 182q – 28q + 91 -28 = 0
63q2 – 210q + 63 = 0 /: 21
3q2 – 10q + 3 = 0
D = 100 - 4 ∙3 ∙3 = 100 – 36 = 64
q1 = 10-8 6 = 13 b1 = 91 : (1 + 13 + 19 ) = 63
q2 = 10+ 86 = 3 b1 = 91 : (1+ 3 + 9 ) = 7
b7 = b1 ∙q6 = 63 ∙136 = 6336 = 781b7 = b1q6 = 7 ∙ 36 = 5103
Ответ: 5103 или 78120. Положительные числа х1, х2, х3, х4 образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. При этом числа х1, х2 – корни уравнения х2 - 12х + а = 0; числа х3, х4 – корни уравнения х2 - 3х + b = 0. Найдите а и b.
Решение:
Применим теорему Виета.
Так как числа х1, х2 – корни уравнения х2 - 12х + а = 0, то х1 + х2 = 12, х1 · х2 = а.
Так как числа х3, х4 – корни уравнения х2 - 3х + b = 0, то х3 + х4 = 3, х3 · х4 = b.
Составим систему уравнений :х1+х2=12х3+х4=3По условию задачи х1, х2, х3, х4 – положительные числа и образуют геометрическую прогрессию,тох1+qх1=12q2х1+q3х1=3х1·(1+q)=12q2х1·(1+q)=3Разделим второе уравнение системы на первое, получим:
q2 = 14, значит q1 = 12, q2 = - 12 (не удовл). Тогда из первого уравнения системы получим
х1= 121+12 = 8, х2= 8·12 = 4
а = х1 · х2 = 8·4 = 32
b = х3 · х4 = q2х1·q3х1 = 14·8·18·8 = 2
Ответ: а = 32, b = 2.
21. Три числа образуют убывающую геометрическую прогрессию. Если среднее из них удвоить, наименьшее – утроить, а наибольшее оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Чему равен знаменатель такой геометрической прогрессии?
Решение:
По условию прогрессия имеет вид: х, qх, q2х – члены геометрической прогрессии, а х, , 2qх, 3q2х – члены арифметической прогрессии с разностью d, тогда
х+d=2qхх+2d=3q2хd=2q-1хd=12∙3q2-1х2q-1=12∙3q2-13q2-4q+1=0, q1=13, q2=1
По условию прогрессия убывающая, т.е. q<1, то q =13 Ответ: q =13Информационные ресурсы
Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др. Алгебра, 9 класс. М.: «Просвещение», 2009.
Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА-2016. Учебно – тренировочные тесты. – Ростов-на-Дону: Легион, 2016.
https://oge.sdamgia.ruhttp://www.egeigia.ru/all-gia/materialy-gia/matematika/1957-oge-2015-matematika-varianty-zadaniy-yashchenko