Рабочая тетрадь по теме Уравнения и неравенства. Задачи с параметрами (11 класс)
Рабочая тетрадь
По теме
«Решение уравнений и неравенств. Задачи с параметрами»
Пояснительная записка
Назначение данной тетради - помочь обучающему в достижении ряда важных целей, которые стоят перед ним в процессе обучения математике.
Задачи с параметрами традиционно представляют для обучающихся сложность в логическом, техническом и психологическом плане. Однако именно решение таких задач открывает перед ними большое число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом математическом материале.
К задачам с параметрами, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений и неравенств в общем, виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.
Главной методической особенностью тетради является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.
В тетради задачи сформированы по основным темам алгебры :
- решение линейных уравнений;
- решение линейных неравенств;
- решение квадратных уравнений;
- решение квадратных неравенств;
- решение системы уравнений, неравенств.
В каждой теме в начале дан алгоритм решения и представлено решение некоторых задач.
В завершении каждой темы даны тесты для итогового контроля уровня знаний.
Обучающиеся должны:
Знать
Уметь
Понятия:
-параметр в уравнениях и неравенствах;
-линейное уравнение, неравенство;
- квадратное уравнение , неравенство;
“числовая окружность”, единичная окружность, длина дуги окружности. Координата точки на числовой окружности, четверти окружности.
- решать линейные уравнения и неравенства с параметрами;
- решать квадратные уравнения и неравенства с параметром;
- решать системы уравнений, неравенств с параметрами.
Тетрадь поможет обучающимся привить интерес к решению задач с параметрами в процессе самоподготовки и самопроверки уровня знаний и навыков решения задач с параметрами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Горбачев В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. М., Математика в школе №6/2009 с.60-68
Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. 3600 задач для школьников и поступающих в вузы.- М.: Дрофа. 2009 г. – 382 с.
Кожухов С.К Различные способы решений задач с параметрами. – М., Математика в школе, №6/2009 с.9-12
Крамар В.С. Примеры с параметрами и их решения. Пособие для поступающих в вузы. – М.:АРКТИ 2010 – 48 с.
Мещерякова Г.П. Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям. М., Математика в школе, №5/2011 с.60-62
I. Решение линейных уравнений с параметрами
Определение. Уравнение вида kx=b , где х – переменная , k и b -
некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Алгоритм решения уравнения k(a)x =b(a)
Условие для поиска значений параметра «а»
Характеристика множества корней
k(a) – не имеет смысла
b(a) – не имеет смысла
13 EMBED Equation.3 1415
Нет корней
1. 13 EMBED Equation.3 1415
Один корень х = 13 EMBED Equation.3 1415
1.13 EMBED Equation.3 1415
х– любое из R
1. Решите уравнение ax =1.
Решение: если а = 0 , то нет решений
если а ( 0 , то х = 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: если а ( 0 , то х = 13 EMBED Equation.3 1415
если а = 0 , то нет решения
2. Проанализируйте решение уравнения (а – 2) х = 3.
Решение:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ:_______________________________________________________________________________________________________________________________
3. При каких значениях а, уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений?
Решение : х ( -2 , дробь равна нулю, когда х =а , значит уравнение не имеет
решение если а = -2
Ответ: при а = -2 нет решений
4. При каких значениях a, уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет решение?
Решение:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: при а (-2, х = 2 .
5. Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Обоснуйте решение ___________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________
6. Решите уравнение : 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: При х ( 2 уравнение равносильно уравнению а + 3 = х –2, откуда
х = а + 5 . Найдем значение а, при котором х =2, 2 =а + 5, а = -3.
Ответ: при а (-3 , х = а + 5
при а = -3 нет корней.
7. Для каждого значения а решите уравнение: ах – 2х + а = 0
Решение:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: при а (2 , х = 13 EMBED Equation.3 1415
при а=2 решений нет .
8. Найдете значения а , при каждом из которых уравнение а(3х-а) =6х – 4 имеет положительный корень.
Решение: ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: при а ( (0;+()
9. При каких значениях параметра а среди корней уравнения
2ах – 4х –а2 + 4а - 4 = 0 есть корни больше 1.
Решение: 2ах – 4х – а2 + 4а - 4 = 0
2(а-2) х = а2 –4а +4
2(а-2) х = (а-2)2
При а = 2, 0 х = 0 решением будет любое число, в том числе и большее 1.
При а ( 2 х = 13 EMBED Equation.3 1415, по условию х> 1, то 13 EMBED Equation.3 1415 > 1, а>4 .
Ответ : при а ({2} ( (4 ; + ( ) .
10. При каких значениях а среди корней уравнения х – ах + а2 – 1=0 есть корни больше 1?
Решение:_____________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: при а ( (0 ; + () .
11. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: если а =2, то ____________________________________________
если а = -3, то ____________________________________________
если а= -2 ,то ____________________________________________
если а (2 , а (-2 , а (-3 , то х = _____________________________
Ответ: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12. Решите уравнение (а2-1) х = а +1 .
Решение: ____________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: если а =1, то решений нет
если а = -1, то х – любое число .
если а ( 1, а ( - 1, то х =13 EMBED Equation.3 1415
13. Решите уравнение | х –2 | + | х+а | = 0
Решение: т. к. каждое слагаемое не отрицательно, то решение этого
уравнения равносильно решению системы
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: если а ( - 2 нет решений
если а = -2, то х =2 .
При каких значениях а, уравнение |х+2| +|а(х-1)| = 0 имеет решение?
Обоснуйте решение: __________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
·____
Ответ: если а = 0, то х = -2 .
15. Обоснуйте и найдите значения а, при которых уравнение
(х- a +1)2 – (х + a - 1) 2 = 2х + 6 имеет отрицательный корень.
Решение: ___________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ : при а > 13 EMBED Equation.3 1415
Тест 1
1. Решите уравнение mx + 2 = - 1 относительно х .
А. x = - 13 EMBED Equation.3 1415, при m ( 0
Б. 1) при m = 0 корней нет;
2) при m ( 0 x = 13 EMBED Equation.3 1415
В. 1) при m = 0 корней нет
2) при m ( 0 x = - 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Решите уравнение k(х – 4 ) + 2(х + 1) = 1 относительно х .
А.1) при k = -2 корней нет;
2) при k ( -2 х = 13 EMBED Equation.3 1415
Б.1) при k = - 2 корней нет
2) при k = 13 EMBED Equation.3 1415 x = 0
В.1) при k = 0 корней нет.
2) при k ( 0 х = 13 EMBED Equation.3 1415
3) при k ( -2 , k ( 13 EMBED Equation.3 1415 х = 13 EMBED Equation.3 1415
3. Решите уравнение 2а (а-2)х = а2-5а+6 относительно х .
А. 1) при а =2 х ( R
2) при а =0 корней нет
3) при а ( 0 и а ( -2, х =13 EMBED Equation.3 1415
Б. 1) при а =2 х ( R
2) при а =0 корней нет
3) при а(0 и а ( 2, х = 13 EMBED Equation.3 1415
В. 1) при а=2 х ( R
2) при а =0 корней нет
3) при а =3 х =3
4) при а (2, а ( 0, а( 3 х = 13 EMBED Equation.3 1415
4. При каких значениях b уравнение 1+2х –bх=4+х имеет отрицательное решение?
А.При b < 1 Б. При b > 1 В. При b < -2
II.Решение линейных неравенств с параметром
Алгоритм решения неравенства к(х) >b(a)
Условия для значений параметра а .
Характеристика множества решений.
1. 13 EMBED Equation.3 1415
Нет решений
2. 13 EMBED Equation.3 1415
x>13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
x>13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
x - любое из R.
1 .Решите неравенство: (а-4) х +а-5>0.
Решение: (а-4) х>5-a.
если а>4,то х > 13 EMBED Equation.3 1415
если а<4, то х< 13 EMBED Equation.3 1415
если 13 EMBED Equation.3 1415 то х – любое из R .
если 13 EMBED Equation.3 1415 , то нет решений .
2.Обоснуйте при каких значениях а неравенство (а2-а-6)х >13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений?
Решение:_____________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: при а ( [ -2;2) ({3}
3.Для каждого значения параметра а найдете решение неравенства ax +1 >0.
Решение: если а=0,то 0х +1>0, 0x>-1 при любом х.
если а>0, то х>- 13 EMBED Equation.3 1415
если a<0, то х<- 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: при а=0 , х любое
при а>0, х>- 13 EMBED Equation.3 1415
при a<0, то х<- 13 EMBED Equation.3 1415
Решите неравенство а-а2х <-2.
Решение: если а=0, то _______________________________________________
___________________________________________________________
если а ( 0, то _______________________________________________
___________________________________________________________
Ответ: при а=0 , нет решений.
при а(0, х >13 EMBED Equation.3 1415
5.Решите неравенство 4ах –5х +3>2ах+3х+11
Решение: ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: при а>4 , x>13 EMBED Equation.3 1415
при а<4, x<13 EMBED Equation.3 1415
при а=4, решений нет.
Решите неравенство |х+3| >-а2
Решение: если а=0, то |х+3|>0, значит х>-3 или х<-3
если а (0, то при любом х левая часть больше правой части.
Ответ: при а =0, х>-3 или х<-3.
при а(0, х –любое.
7.Решите неравенство а(х-1)+4х-9>13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 1. если а>2 , то неравенство равносильно (а2+2а-15)х> а2+7а+10.
при а=3 ,то ________________________________________________
при а ( (2;3),то ____________________________________________
___________________________________________________________
при а>3 ,то _________________________________________________
___________________________________________________________
если а< 2, то неравенство равносильно (а2+2а-15)х < а2+7а+10.
при а=-5 ,то_________________________________________________
при а< -5, то ________________________________________________
___________________________________________________________
при а((-5;2), то _____________________________________________
___________________________________________________________
Тест 2
1.При каких значениях a неравенство ax – a2 +9 >0 не имеет решений?
А. a=0 Б. 13 EMBED Equation.3 1415 В.13 EMBED Equation.3 1415
2. При каких значениях b неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 выполнимо при любом значении x?
А. b=2, Б. b<2 В. b(2,
b=-2. b13 EMBED Equation.3 1415-2.
3. При каких значениях а неравенство ax-2x+a>0 справедливо при любом x?
А. a>2 Б. 13 EMBED Equation.3 1415 В.13 EMBED Equation.3 1415
4. При каких значениях а неравенство 4ax –5x+3>2ax+3x+11 не имеет решения?
А. a>4 Б. a<4 В.a=4
Решения и ответы
Решение линейных уравнений.
№2 (a-2)x =3, если a=2, то нет решений, если a(2, то x=13 EMBED Equation.3 1415.
№4 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, при a(-2 x=2.
№5 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, если a=2, то нет решений
если a(2, то x = a.
№7 ax –2x +a = 0, (a-2)x =-a, 13 EMBED Equation.3 1415, если a=2, то нет решений
если a(2, то 13 EMBED Equation.3 1415.
№8 a(3x-a) = 6x-4
3ax –a2 = 6x-4
(3a-6)x = a2 –4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
№10 x – ax + a 2 –1 =0
(1-a)x=1- a 2
если a=1, то 0x=0, x – любое, в том числе и больше 1;
если a(1, то x=1+ a, по условию x>1, то a+1>1, т.е. a>0
при 13 EMBED Equation.3 1415есть корни больше 1.
№11 если a=2, то 0x=0, x – любое
если a=-3, то x=0
если a=-2, то 0x=0, x – любое
если a(2, a(-2, a(-3, то x= a+3
№12 (a2 –1)x = a + 1
(a-1)(a+1)x = a +1
если a=-1, то 0x=0, x – любое
если a=1, то 0x=2 – нет решения
если a(-1, a(1, то x=13 EMBED Equation.3 1415.
№14 уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
решение равносильно решению системы 13 EMBED Equation.3 1415, значит,
при a=0, то x=-2
№15 13 EMBED Equation.3 1415
2x –2bx - 2bx + 2x = 2x+6
x-2bx=3
13 EMBED Equation.3 1415, т.к. x<0, то 13 EMBED Equation.3 1415,
при 13 EMBED Equation.3 1415, x<0
ТЕСТ №1
Номер задания
1
2
3
4
Код верного ответа
В
А
Б
Б
II.Решение линейных неравенств с параметрами.
№2 1)13 EMBED Equation.3 1415, т.е. при 13 EMBED Equation.3 1415 нет решений
2)13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415 неравенство не имеет решений
№4 если a=0, то нет решений
если a(0, то 13 EMBED Equation.3 1415
№5 13 EMBED Equation.3 1415равносильно
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415, нет решений
если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
№8 1) если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415 нет решений
при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2) если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
ТЕСТ №2
Номер задания
1
2
3
4
Код верного ответа
Б
А
Б
В
13 PAGE 14315
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native