Функционалды? те?деулерді шешуді? негізгі ?дістері
М.Тынышпаев атындаCы JазККА АKмола колледжі
Математика п‰ні оKытушысы
Шакирова Эльмира Айдакашевна
ФункционалдыK теSдеулерді шешудіS негізгі ‰дістері
ФункционалдыK теSдеулерді шешу математикалыK анализдіS негізгі т_сініктерін Cана _йренуді талап етеді, сондыKтан олар барлыK математикалыK класс оKушыларыныS ж‰не математика факультетініS студенттерініS KызыCушылыCын танытады.
ФункционалдыK теSдеулерді шешудіS ‰дістерін KарастырмаK бaрын функционалды теSдеу aCымынан бастайыK.
Функционалды теSдеу деп белгісіз функцияныS композиция операциясымен байланысKан функциясын атайды. ФункционалдыK теSдеуге келесі мысалды KарастыруCа болады:
13 QUOTE 1415
ж‰не
МaндаCы 13 QUOTE 1415- белгісіз функция, х ж‰не у –т‰уелсіз айнымалылар.
Екі теSдеуде де белгісіз бір айнымалы функциясы болып табылады, біраK екінші теSдеуде екі белгісіз айнымалылар бар, олардыS бірі бос айнымалы(мысалы,у).
Екінші теSдеуге KараCанда бірінші теSдеу бос айнымалысыз теSдеу болып саналады.
13 QUOTE 1415 D облысындаCы функционалдыK теSдеу шешімі деп аталады, егер ол осы облыстаCы барлыK т‰уелсіз айнымалыларды KанаCаттандыратын болса.
Мысалы,
13 QUOTE 1415 (1)
теSдеу шешімі
13 QUOTE 1415, мaндаCы
·
·- кез-келген тaраKты сан.
Т™мендегі теSдеу шешімі
13 QUOTE 1415 (2)
13 QUOTE 1415 с1 *3х + с2 *2х, мaндаCы с1 ж‰не с2 –кез-келген тaраKты сан.
Ж‰не, соSында т™мендегі теSдеу шешімі
Мaнда х13 QUOTE 1415 болCанда 13 QUOTE 1415, мaндаCы Ф- кез-келген функция.
Бaл мысалдардан функционалдыK теSдеулерін шешу деSгейлері ‰р т_рлі екендігін к™реміз.Сонымен, бірінші мысалда теSдеу шешімі
·
· кез-келген тaраKтыCа байланысты, ал екінші мысалда- с1 ж‰не с2 тaраKтылар ж‰не _шінші мысалда кез-келген Ф функциясына байланысты екендігі к™рініп тaр.
Егер функионалдыK теSдеуді шешімі кез-келген тaраKтылардан немесе кез-келген функциялардан тaрса, онда осы тaраKтылар мен функцияларCа ‰р т_рлі м‰ндерді бере отырып, теSдеудіS ‰р т_рлі шешімдерін аламыз, олар жеке шешімдер деп аталады. Жеке шешімді алу _шін ‰детте Kосымша шарттар беріледі.
Мысалы, егер (1) теSдеуініS шешімі 13 QUOTE 1415 Kосымша шартты 13 QUOTE 1415=4 KанаCаттандырса, онда шешімде x=2 деп алып, алатынымыз 4 =13 QUOTE 1415. Осыдан
·
·=2 ж‰не с‰йкесінше Kосымша шарты 13 QUOTE 1415=4 кезінде (1) теSдеуініS жеке шешімі болып 13 QUOTE 1415 функциясы табылады.
`Kсас т_рде Kaрамында екі еркін тaраKтысы бар (2) теSдеуініS шешімі Kосымша шарттыры 13 QUOTE 1415 ж‰не 13 QUOTE 1415 кезінде келесідей жеке шешімге айналады
13 QUOTE 1415
Бaдан кейін, ережеге сай, ізделіп отырCан функция бір айнымалыныS функциясы болып табылатын теSдеуді Kарастырамыз. Алайда, к™рсетілгендей, бaндай теSдеудіS Kaрамында еркін айнымалы болуы м_мкін немесе жоK болуы да м_мкін.
Осындай екі класKа жататын теSдеулерді шешу ‰дістерініS айтарлыKтай айырмашылыKтары бар ж‰не сондыKтан олар жеке -жеке зерттеледі.
ФункционалдыK теSдеудіS шешімін іздеу функция класына байланысты екендігін айта кетейік. Осылайша, _зіліссіз функция (сонымен Kатар дифференциалданатын функция класында) класында (1) теSдеуініS шешімі 13 QUOTE 1415 функциясы болады, мaндаCы
·
· – _зілісті функция класындаCы тaраKты, оныS шешімі болып келесі функция табылады
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
ЕS Kарапайым жаCдайларда функционалды теSдеуді шешу _шін бір Kатар Kиын емес математикалыK операцияларды орындау жеткілікті. Мысалы, келесі теSдеуді шешу _шін
313 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415
Осылайша келесі теSдеуді жазуCа болады
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
бaл теSдеуде 13 QUOTE 1415 деп алып 13 QUOTE 1415ге Kатысты квадраттыK теSдеуді аламыз
13 QUOTE 1415
Бaл теSдеудіS екі шешімі болCандыKтан 13 QUOTE 1415(4)= 4 онда функционалдыK теSдеудіS де екі шешімі болады
13 QUOTE 1415 ж‰не 13 QUOTE 1415
Алайда, функционалдыK теSдеуді шешудіS KарапайымдылыCы сирек кездеседі.
К™птеген жаCдайда сыртKы формасы бойынша да функционалдыK теSдеу шешімін табу _шін ™те к_рделі ‰дістерді Kолданылуды талап етеді. Одан басKа, басKа математикалыK теорияларCа KараCанда функционалдыK теSдеулер теориясында шешімді табудыS жалпы ‰дістері ™те аз. Бaндай жаCдай функционалдыK теSдеулердіS алуан т_рлілігімен ж‰не оларды зерттеу кезіндегі туындайтын KиындыKтармен т_сіндіріледі.
ФункционалдыK теSдеулер классикалыK математикалыK сарапатаманыS туындауымен Kатар пайда болды.
XVIII CасырдыS ортасында к_ш параллелограммасыныS м‰селесі Даламберді 13 QUOTE 1415 функционалдыK теSдеуін шешуге алып келді.
Бaл теSдеуді Коши ХІХ CасырдыS басында шешкен еді. Ол келесідей теSдеуді KарауCа енгізді:
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
Олар математиканыS ‰р т_рлі б™лімдерінде Kолданылады, жеке жаCдайларда, элементарлыK функцияларды аныKтаудыS негізіне Kойылуы м_мкін. Оларды Коши теSдеулері деп атау Kабылданды.
Бaндай Коши (ж‰не оларCа туыстас) теSдеулерін шешу _шін Kазіргі кезде соныS атымен аталып ж_рген ‰діс aсынылды.
Коши функционалдыK теSдеуі Н.И.Лобачевскиймен оныS геометриясында Kолданылды, ал 13 QUOTE 1415 формуласы параллелдік бaрыш _шін келесідей теSдеуді шешу арKылы Лобачевский тапты.
БірKатар маSызды функционалдыK теSдеулер норвегиялыK математик Абельмен зерттелген еді, ол оларды дифференциалдыK теSдеулерге алмастырды.
€сіресе, функционалдыK теSдеулер теориясында айырмашылыKты теSдеулер ерекше орынCа ие. Jолданбалы математиканыS к™птеген есептерін шешуге байланысты олардыS ролі ерекше.
ПайдаланылCан ‰дебиеттер:
Л.М.Лихтарников «Элементарное введение в функциональные уравнения» Лань, 1997ж.
Н.ТемірCалиев «МатематикалыK анализ» І-ІІ б™лімдері,Алматы «Ана тілі»,1991ж.
Заголовок 315