Лекция по математике на тему «Основные методы интегрирования»

Лекция «Основные методы интегрирования»
План:
1. Непосредственное интегрирование
2. Метод подстановки
3. Интегрирование по частям

Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.
Пример.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Метод подстановки. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, то есть перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.
Теорема 1. Пусть функция x=((t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х µ множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Эта формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.
Пример1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример2.
13 EMBED Equation.3 1415

Пример3.
13 EMBED Equation.3 1415

Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям основан на применении формулы дифференцирования произведения двух функций.
Теорема 2. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция u’(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х функция u(x)v’(x) также имеет первообразную и справедлива формула
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Эта формула называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям рекомендуется использовать для нахождения интегралов от функции 13 EMBED Equatio
·n.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и т. д., где n, k – целые положительные постоянные, 13 EMBED Equation.3 1415 а также отыскание некоторых интегралов от функций, содержащих обратные тригонометрические и логарифмические функции. В качестве функции u(x) принимается функция которая дифференцированием упрощается или трансцендентные функции ln x, arctg x, arcsin x.
Пример 1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 3.

· х2 ех dх = u = х2 ( du = 2хdх = х2 ех - 2
· хех dх =
dv = ех dх ( v =
· ех dх = ех

= u = х ( du = dх = х2 е2 – 2(хех -
· ех dх) = х2 ех – 2хех +
dv = ех dх ( v =
· ех dх = ех

+ 2 ех + с = е2 (х2 – 2х + 2) + с
Пример 4.

· х cos 2х dх = u = х ( du = dх =
dv = cos 2х dх ( v =
· cos 2х dх = Ѕ sin 2х
=
х
sin 2х -
·
1
sin 2х dх =
х
sin 2х +
1
сos 2х + с

Основная литература
Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. 2 тома, М., «Высшая школа». 1980.
Зорич В.А. Математический анализ. 2 тома, М., «Наука». 1980.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. 2 тома. М., «Наука». 1980.
Никольский С.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 2 тома. М., «Наука».
Темиргалиев Н.Т. МатематикалыK анализ. 3 тома. Алматы, 1977.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 3 тома. М., «Наука», 1980.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., Астрель АСТ, 2002.
Рудин У. Основы математического анализа. М., «Мир». 1986.