Презентация по математике на тему Определители. Подготовлена студентами колледжа к семинарскому занятию
Тема: «Определители»Подготовили студентки гр.БУ-23Сандулова Надежда и Самбур ВикторияГПОУ «Амвросиевский индустриально-экономический колледж», 2016 г.
В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы. Определитель матрицы используется в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе, поэтому без навыка решения определителей просто не обойтись.Цель работы: повторить правила и определить возможности упрощения вычислений определителей порядка выше третьего.
Фрэнсис Гальтон (16.02.1822 – 17.01.1911)английский исследователь, географ, психолог «Где это возможно, считайте!»
Обозначается: , , ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫОпределитель – это число, характеризующее квадратную матрицу.
Определителем первого порядка матрицыназывается число , то есть:Определителем второго порядка матрицы А называется число, которое определяется по правилу:
Определителем третьего порядка называется число, которое определяется по правилу:
Для вычисления определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников:
Пример Вычислить определители матриц:Решение:
Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием строкии столбца, на пересечении которых стоитданный элемент.Минор элемента определителя обозначается как Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1)S ,где S – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
В частности, минор элемента определителя третьего порядка найдется по правилу:Его алгебраическое дополнение:
Теорема о вычислении определителя (теорема Лапласа) Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополненияПусть задан detA =а11 а12 а13a21 а22 а23а31 а32 а33, тогдаdet A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 ПРИМЕЧАНИЯ1.Обычно выбирают ту строку или столбец, в котором есть нули.2. В подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно с использованием теоремы Лапласа
Вычислить определитель:Пример Раскладываем определитель по третьей строке:Решение:=Находим алгебраические дополнения:Подставляем полученный результат:=
Правило СаррюсаПервые два столбца матрицы записываются справа возле матрицы. Произведения элементов, стоящих на линиях с пометкой «плюс», складываются, затем из результата вычитаются произведения элементов, находящихся на линиях с пометкой «минус»
Свойства определителей Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.1Например:
Перестановка двух строк или столбцов определителя эквивалентна умножению его на (-1).2Например:Меняем местами первую и вторую строки:
Если определитель имеет две одинаковые строки или столбца,то он равен нулю.3Например:
Общий множитель строки или столбца можно выносить за знакопределителя.4Например:Выносим из второй строки множитель 2:
Определитель не изменится, если к элементам одной строки или столбца прибавить соответственные элемент другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число.5Например:Первую строкуумножаем на 2и складываем со второй:
Потренироваться, раскрыть, провести расчёты — это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее?Оказывается, время, которое потратится на вычисления определителя, зависит от вашего опыта и от знаний свойств определителей.
Рациональные приёмы, упрощающие вычисления: – треугольный определитель равен произведению чисел его главной диагонали; – чтобы избавиться от «минуса» перед определителем, рациональнее поменять местами любые две строки или любые два столбца. – определитель выгоднее раскрывать по ТОЙ строке(столбцу), где нулей побольше и числа поменьше.
Возникает вопрос, а нельзя ли нули организовать специально с помощью какого-нибудь преобразования? Можно!Ещё один очень мощный способ — Понижение порядка определителя
«Едва ли кто-нибудь из нематематиков в состоянии освоиться с мыслью, что цифры могут представлять собой культурную или эстетическую ценность, или иметь какое-нибудь отношение к таким понятиям, как красота, сила, вдохновение. Я решительно протестую против этого косного представления о математике. Математика — один из видов искусства.»Норберт Винер, (26.11.1894 – 18.03.1964)
Подводя итоги мы можем с уверенностью сказать, что мы научились вычислять определители разных порядков , повторили правила и возможности упрощения вычислений определителей порядка выше третьего.