Двойственные пространства аффинно-метрической связности

УДК 514.764.3
Т. Г. АЛЕНИНА

ДВОЙСТВЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
АФФИННО-МЕТРИЧЕСКОЙ СВЯЗНОСТИ

Исследования геометрии оснащенных подмногообразий, погруженных в пространство аффинно-метрической связности 13 EMBED Equation.3 1415 до настоящего времени в математической литературе почти не проводились; исключение составляет работа А. В. Столярова «Пространство аффинно-метрической связности и риманово пространство постоянной кривизны».
В данной работе изучаются некоторые вопросы двойственной геометрии нормализованного пространства аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415. В частности, вводятся в рассмотрение двойственные пространства аффинно-метрической связности 13 EMBED Equation.3 1415, индуцируемые невырожденной нормализацией пространства аффинно-метрической связости 13 EMBED Equation.3 1415. К изучению привлекаются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод внешних дифференциальных форм Э. Картана и теоретико-групповой метод Г.Ф. Лаптева [1].
Полученные результаты являются новыми, актуальными и достоверными.
Ключевые слова: аффинная связность, пространство аффинно-метрической связности, пространство с абсолютным параллелизмом, невырожденная нормализация, гармоническая нормализация.
В работе индексы пробегают следующие значения:
13 EMBED Equation.3 1415
1. Пусть задано пространство аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415 системой 13 EMBED Equation.3 1415 форм Пфаффа 13 EMBED Equation.3 1415 подчиненных структурным уравнениям [1]
13 EMBED Equation.3 1415
где
13 EMBED Equation.3 1415
при этом 13 EMBED Equation.3 1415 независимых первых интегралов вполне интегрируемой системы 13 EMBED Equation.3 1415 являются локальными координатами точки 13 EMBED Equation.3 1415 базы 13 EMBED Equation.3 1415. С каждой точкой 13 EMBED Equation.3 1415 связывается локальное центроаффинное пространство 13 EMBED Equation.3 1415 (слой), отнесенное к реперу 13 EMBED Equation.3 1415, вершина 13 EMBED Equation.3 1415 которого условно отождествляется с точкой 13 EMBED Equation.3 1415 базы 13 EMBED Equation.3 1415. Формы 13 EMBED Equation.3 1415 инвариантным образом определяют главную часть инфинитезимального аффинного отображения соседнего локального пространства 13 EMBED Equation.3 1415 (слоя) на исходное 13 EMBED Equation.3 1415 при помощи отображения реперов:
13 EMBED Equation.3 1415
В уравнениях (1) каждая из систем функций 13 EMBED Equation.3 1415 представляет собой тензор – соответственно тензор кручения и тензор кривизны пространства аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415.
Известно [2], [3], что для того чтобы пространство аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415 было аффинным (локально), необходимо и достаточно, чтобы оно обладало нулевой кривизной 13 EMBED Equation.3 1415 и нулевым кручением 13 EMBED Equation.3 1415.
Согласно работе [4], система из 13 EMBED Equation.3 1415 пфаффовых форм 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
в силу (1) удовлетворяет структурным уравнениям пространства проективной связности 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
где тензор кривизны-кручения 13 EMBED Equation.3 1415 пространства 13 EMBED Equation.3 1415 имеет строение
13 EMBED Equation.3 1415
Система пфаффовых форм 13 EMBED Equation.3 1415 определяет пространство проективной связности 13 EMBED Equation.3 1415, ассоциированное с пространством аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415. При этом пространство проективной связности 13 EMBED Equation.3 1415 вырождается в проективное пространство 13 EMBED Equation.3 1415 тогда и только тогда, когда исходное пространство аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415 является аффинным 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Согласно работе [4], нормализация пространства проективной связности 13 EMBED Equation.3 1415 полем ковектора 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
то есть полем гиперплоскостей 13 EMBED Equation.3 1415, равносильна нормализации соответствующего пространства аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415 тем же полем ковектора 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
то есть полем нормализующих гиперплоскостей 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415–неоднородные координаты точек нормализующей гиперплоскости относительно репера 13 EMBED Equation.3 1415
Продолжая уравнения (5), с использованием (2), (3) получаем дифференциальные уравнения
13 EMBED Equation.3 1415
где
13 EMBED Equation.3 1415
Будем считать, что нормализация пространства 13 EMBED Equation.3 1415 (а следовательно, и пространства 13 EMBED Equation.3 1415) является невырожденным; это равносильно тому, что тензор
13 EMBED Equation.3 1415
невырожден 13 EMBED Equation.3 1415
Отметим, что в уравнениях (9) с учетом (8) получаем
13 EMBED Equation.3 1415
Нормализацию пространства 13 EMBED Equation.3 1415 с полем симметричного тензора 13 EMBED Equation.3 1415 по аналогии с нормализованным 13 EMBED Equation.3 1415 (см. [2]) назовем гармонической.
В случае невырожденной нормализации пространства 13 EMBED Equation.3 1415 существует поле
взаимного тензора 13 EMBED Equation.3 1415, компоненты которого определяются из соотношений
13 EMBED Equation.3 1415
и удовлетворяют дифференциальным уравнениям
13 EMBED Equation.3 1415
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 есть относительный инвариант и в силу (3), (7), (9) удовлетворяет дифференциальному уравнению
13 EMBED Equation.3 1415,
где
13 EMBED Equation.3 1415
Продолжая уравнения (9), (13), имеем
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
где
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Согласно уравнениям (5), (16), система функций
13 EMBED Equation.3 1415
образует тензор:
13 EMBED Equation.3 1415
в силу (9), (18) справедливо
13 EMBED Equation.3 1415
Следуя работе [5], возьмем системы форм 13 EMBED Equation.3 1415где
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

В силу соотношений (3), (5), (10), (11),(13), (14) формы систем (21)–(23) удовлетворяют структурным уравнениям Картана–Лаптева [6], [7]:

13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 являются структурными формами пространства проективной связности 13 EMBED Equation.3 1415, компоненты тензора кривизны-кручения 13 EMBED Equation.3 1415 которого имеют следующие строения:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Замечание 1. Из (25) следует, что 13 EMBED Equation.3 1415, то есть
пространства 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 могут быть проективными лишь одновременно:
13 EMBED Equation.3 1415
Замечание 2. Можно показать, что в случае 13 EMBED Equation.3 1415 пространство 13 EMBED Equation.3 1415 (или 13 EMBED Equation.3 1415), индуцируемое невырожденной нормализацией аффинного пространства 13 EMBED Equation.3 1415, является проективным тогда и только тогда, когда данная нормализация есть гармоническая; при этом 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание 3. В случае аффинной нормализации пространства аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, при этом нормализующая гиперплоскость 13 EMBED Equation.3 1415 в каждом слое является несобственной) тензор 13 EMBED Equation.3 1415; при этом вести речь о пространствах 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет смысла.
3. Согласно (5), (21)–(23), поле ковектора 13 EMBED Equation.3 1415 определено в пространствах 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; следовательно все четыре пространства проективной связности нормализованы одним полем ковектора 13 EMBED Equation.3 1415, причем уравнения (5) с учетом (21)-(23) можно записать в следующих видах:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
из этих уравнений находим
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь, согласно (9) , имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
Из соотношений (30) в силу 13 EMBED Equation.3 1415 следует, что все четыре пространства проективной связности 13 EMBED Equation.3 1415 нормализованы невырожденным образом, причем гармоничность нормализации одного из пространств влечет гармоничность нормализации всех других.
Согласно (21)-(23), (30) из диференциальных уравнений (9) тензора 13 EMBED Equation.3 1415 имеем
13 EMBED Equation.3 1415,
где
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
В силу соотношений (11), (13), (30), (31) справедливо
13 EMBED Equation.3 1415
Теперь, согласно соотношениям (30)-(32), очевидно, что преобразования 13 EMBED Equation.3 1415 структурных форм пространства 13 EMBED Equation.3 1415 по законам (21)–(23) является инволютивными [5], то есть 13 EMBED Equation.3 1415, ибо

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Соотношения (21)-(23) и (33)-(35) говорят о том, что пространство 13 EMBED Equation.3 1415
двойственно [5] с каждым из пространств 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 относительно инволютивных преобразований соответственно 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично показывается, что:

 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Таким образом, справедлива следующая схема двойственности пространств 13 EMBED Equation.3 1415, индуцируемых невырожденной нормализацией пространства аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415:











Доказана
Теорема 1. С пространством аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415, нормализованным полем ковектора 13 EMBED Equation.3 1415 (см. (6)) невырожденным образом, ассоциируются четыре пространства проективной связности 13 EMBED Equation.3 1415, нормализованные невырожденным образом полем ковектора 13 EMBED Equation.3 1415, причем эти пространства попарно двойственны относительно трех инволютивных преобразований форм связности (см. (21)-(23)) по схеме рис.1; при этом гармоничность нормализации одного из пространств 13 EMBED Equation.3 1415 влечет гармоничность нормализации других.
Замечание. В общем случае (например, при 13 EMBED Equation.3 1415) теорема 1 остается в силе и в случае 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Возьмем четыре системы пфаффовых форм:
13 EMBED Equation.3 1415
согласно уравнениям (3), (5), (24), (28) каждая из четырех систем форм 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяет структурным уравнениям Картана-Лаптева:
13 EMBED Equation.3 1415
где
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, каждая из систем форм 13 EMBED Equation.3 1415 определяет пространство с фундаментально-групповой аффинной связностью. Эти пространства назовем соответственно первым, вторым, третьим, четвертым пространствами аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415, индуцированными невырожденной нормализацией данного пространства аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415; при этом тензор кручения 13 EMBED Equation.3 1415 пространства 13 EMBED Equation.3 1415 совпадает с тензором кручения соответствующего пространства проективной связности 13 EMBED Equation.3 1415
В силу двойственности нормализованных пространств 13 EMBED Equation.3 1415 соответствующие им пространства 13 EMBED Equation.3 1415 также являются попарно двойственными относительно надлежащих инволютивных преобразований 13 EMBED Equation.3 1415.
С использованием соотношений (4), (25)–(27), (30), (38) компоненты тензоров кручения 13 EMBED Equation.3 1415 и кривизны 13 EMBED Equation.3 1415 (см.(38)) пространств 13 EMBED Equation.3 1415 можно записать в виде
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Доказана следующая
Теорема 2. При невырожденной нормализации пространства аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415 индуцируются четыре двойственные между собой (относительно инволютивных преобразований Ja) пространства аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415, определяемые системами форм 13 EMBED Equation.3 1415 (см. (36)); тензоры кручения 13 EMBED Equation.3 1415и кривизны 13 EMBED Equation.3 1415этих пространств имеют вид (39), (40), (41),(42).
Из выражений (36) с учетом (21) следует, что формы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415связности пространств 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 связаны соотношениями
13 EMBED Equation.3 1415
В силу последних соотношений дифференциальные уравнения (9) можно записать в виде


Уравнения (43) доказывают следующее предложение:
Теорема 3. Аффинные связности 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, индуцируемые невырожденной
нормализацией пространства аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415, являются обобщенно сопряженными [2] относительно поля тензора 13 EMBED Equation.3 1415
Замыкание уравнений (43) с использованием (37) (при 13 EMBED Equation.3 1415) приводит к соотношениям
13 EMBED Equation.3 1415
следовательно, тензоры кривизны пространств 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 могут обращаться в нуль лишь одновременно.
Известно [2], [3], что тождественное обращение в нуль тензора кривизны пространства аффинной связности есть условие, при выполнении которого данное пространство обладает абсолютным параллелизмом.
Доказана
Теорема 4. Пространства 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, индуцируемые невырожденной нормализацией пространства аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415, могут быть пространствами с абсолютным параллелизмом лишь одновременно.
Замечание. Аналогичным образом показывается справедливость уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
что говорит о том, что аффинные связности 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 являются обобщенно сопряженными относительно поля тензора 13 EMBED Equation.3 1415
Из соотношений (39)-(42) находим
13 EMBED Equation.3 1415
следовательно, справедлива
Теорема 5. Если из четырех пространств аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415, индуцируемых невырожденной нормализацией пространства аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415, любые три – без кручения, то четвертое пространство также имеет нулевое кручение.
5. Известно [7], что пространством проективно-метрической связности 13 EMBED Equation.3 1415 называется пространство проективной связности 13 EMBED Equation.3 1415, обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик. Доказано [8], что критерием того, что 13 EMBED Equation.3 1415 есть пространство проективно-метрической связности 13 EMBED Equation.3 1415 с полем локальных абсолютов 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
отличных от сдвоенных гиперплоскостей, является выполнение уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
при этом форма 13 EMBED Equation.3 1415 является главной:
13 EMBED Equation.3 1415
Известно [8], что наличие инвариантного поля локальных гиперквадрик (44) приводит к конечным соотношениям для компонент тензора кривизны-кручения пространства 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Согласно [9], пространство 13 EMBED Equation.3 1415 называется пространством аффинно-метрической связности, если пространство проективной связности 13 EMBED Equation.3 1415, ассоциированное с исходным пространством аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415, является пространством проективно-метрической связности.
Ниже пространство аффинно-метрической связности обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415
В неоднородных координатах 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение локального абсолюта 13 EMBED Equation.3 1415 пространства 13 EMBED Equation.3 1415, согласно (44), имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
в силу (2), (45), (46) функции 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяют дифференциальным уравнениям
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
В силу (4), (47) компоненты тензоров кривизны 13 EMBED Equation.3 1415и кручения 13 EMBED Equation.3 1415 пространства 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяют конечным соотношениям
13 EMBED Equation.3 1415
Известно [9], что пространство аффинно-метрической связности 13 EMBED Equation.3 1415 без кручения является эквиаффинным; последнее очевидно из соотношений (481) в силу 13 EMBED Equation.3 1415.
6.Рассмотрим пространство аффинно-метрической связности 13 EMBED Equation.3 1415, нормализованное невырожденным образом полем ковектора 13 EMBED Equation.3 1415 (см.(5), (6)); при этом индуцируются четыре двойственных между собой пространства аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415. При некоторых предположениях найдем условие, при котором 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415фиксировано) также является пространством аффинно-метрической связности.
С пространством аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415 ассоциируется пространство проективной связности 13 EMBED Equation.3 1415, определяемое системой пфаффовых форм 13 EMBED Equation.3 1415 по схеме (2) :
13 EMBED Equation.3 1415
с использованием 13 EMBED Equation.3 1415 (см. (2)), (21)-(23), (36) получим:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Каждая из систем форм 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяет структурным уравнениям пространства проективной связности 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
где, согласно (4), компоненты тензора кривизны-кручения 13 EMBED Equation.3 1415 имеют строение
13 EMBED Equation.3 1415
заметим, что в (51) тензоры кручения 13 EMBED Equation.3 1415 и кривизны 13 EMBED Equation.3 1415 пространства 13 EMBED Equation.3 1415 имеют вид (39)-(42).
Из (49) с использованием 13 EMBED Equation.3 1415, (46) имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
где
13 EMBED Equation.3 1415
Продифференцировав соотношения (53), с использованием (2), (5), (9), (16), (451), (49) находим
13 EMBED Equation.3 1415
где
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Чтобы 13 EMBED Equation.3 1415 было пространством аффинно-метрической связности 13 EMBED Equation.3 1415, необходимо (но не достаточно), чтобы тензор 13 EMBED Equation.3 1415 был симметричным; найдем условие его симметричности.
Используя соотношения (10), (18), (25)–(27), (38), (44), (53), (55), находим
13 EMBED Equation.3 1415
Предположим, что при некотором фиксированном 13 EMBED Equation.3 1415 тензор 13 EMBED Equation.3 1415 симметричен, то есть 13 EMBED Equation.3 1415. Продолжая уравнения (54), в силу соотношений (50), (52) находим
13 EMBED Equation.3 1415
где
13 EMBED Equation.3 1415
при этом из уравнений (57) имеем
13 EMBED Equation.3 1415
Симметричность тензора 13 EMBED Equation.3 1415 равносильна тождеству
13 EMBED Equation.3 1415
Замыкая тождества (60), с учетом уравнений (50), (52), (57) получим
13 EMBED Equation.3 1415
что приводит к соотношениям
13 EMBED Equation.3 1415
Из выражений (58), (59), (61) следует
13 EMBED Equation.3 1415
В силу (62) уравнения (57) перепишутся в виде
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнения (54), (63) доказывают следующее предложение:
Теорема 6. Если для пространства 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415 фиксировано), индуцируемого невырожденной нормализацией пространства аффинно-метрической связности 13 EMBED Equation.3 1415, тензор 13 EMBED Equation.3 1415– симметрический, то оно является пространством аффинно-метрической связности с полем метрического тензора 13 EMBED Equation.3 1415 тогда и только тогда, когда справедливо
13 EMBED Equation.3 1415
Допустим, что при некоторой невырожденной гармонической нормализации пространства аффинно-метрической связности 13 EMBED Equation.3 1415 все четыре пространства аффинной связности 13 EMBED Equation.3 1415 имеют нулевое кручение; заметим, что, согласно теореме 5, для последнего достаточно, чтобы любые три из них (например, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415) имели нулевое кручение. Таким образом, согласно нашему допущению, справедливо
13 EMBED Equation.3 1415
Из последних соотношений в силу (39), (40), (42), (48) находим
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Кроме того, в силу соотношений (53), (66) справедливо
13 EMBED Equation.3 1415
В силу соотношений (39)-(42), (51), (65)-(68) условия (64) запишутся в виде
при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Очевидно, что последние соотношения в силу (483), (66) совпадают с (69).
Таким образом, при предположениях (65) условия (64) для любых 13 EMBED Equation.3 1415 эквивалентны соотношениям (69). Заметим, что при этих предположениях в силу (56), (67) тензоры 13 EMBED Equation.3 1415 при любом 13 EMBED Equation.3 1415 симметричны. Доказана
Теорема 7. Если каждое из двойственных пространств 13 EMBED Equation.3 1415, индуцируемых невырожденной гармонической нормализацией пространства аффинно-метрической связности 13 EMBED Equation.3 1415, имеет нулевое кручение, то условие, при котором любые из них является пространством аффинно-метрической связности, выражается равенствами (69).
Покажем, что условие (69) эквивалентно тому, что нормализация пространства 13 EMBED Equation.3 1415 является полярной относительно поля локальных абсолютов (44), то есть
13 EMBED Equation.3 1415
Действительно, свернув соотношения (69) с симметричным тензором 13 EMBED Equation.3 1415, находим
13 EMBED Equation.3 1415
откуда следует справедливость (70).
Обратно, если справедливо (70), то очевидно, что соотношения (69) также выполнены.
Таким образом, в условиях теоремы 7 соотношения (69) и (70) равносильны.
Продифференцировав соотношения (70), с использованием (2), (5), (9), (45), (46) находим
13 EMBED Equation.3 1415
продифференцировав последние равенства, с учетом уравнений (9), (452), (46) имеем
13 EMBED Equation.3 1415
Из строения слоевых форм (36) пространств 13 EMBED Equation.3 1415 в силу (21)-(23), (70)-(72) получим, что
13 EMBED Equation.3 1415
то есть пространства 13 EMBED Equation.3 1415 вырождаются в одно пространство 13 EMBED Equation.3 1415. Доказана
Теорема 8. Если каждое из двойственных пространств 13 EMBED Equation.3 1415, индуцируемых невырожденной гармонической нормализацией пространства аффинно-метрической связности 13 EMBED Equation.3 1415, имеет нулевое кручение, то любое из них есть пространство аффинно-метрической связности тогда и только тогда, когда нормализация пространства 13 EMBED Equation.3 1415 является полярной; при этом пространства 13 EMBED Equation.3 1415 вырождаются в одно пространство 13 EMBED Equation.3 1415.
В условиях теоремы 8 локальный абсолют 13 EMBED Equation.3 1415 пространства 13 EMBED Equation.3 1415 (44) в силу равенств (70), (71) в неоднородных координатах имеет уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
а следовательно, она является гиперквадрикой овального типа.



ЛИТЕРАТУРА

Лаптев Г. Ф. О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверхности пространства аффинной связности // ДАН СССР. - 1943. - Т.41. - №8. - С. 329-331.
Норден А. П. Пространства аффинной связности. - М.: Наука, 1976. – 432 с.
Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: Наука, 1967.- 664 с.
Столяров А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности // Вестник Чувашск. гос. пед. ун-та. - Чебоксары, 2005. - №4. - С. 21-27.
Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. - Чебоксары, 1994. - 290 с.
Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. - М.: ВИНИТИ, 1979.- Т.9. - 247 с.
Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. матем. об-ва. - 1953. - Т.2. - С. 275-382.
Столяров А. В. Пространство проективно-метрической связности // Известия вузов. Математика. - 2003.- №11. - С. 70-76.
Столяров А. В. Аффинно-метрическая связность // Вестник Чувашск. гос. пед. ун-та. - Чебоксары, 2006. - №5. - С. 158-167.


ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет»
Аспирант специальности 01.01.04 «Геометрия и топология»
E-mail: AleninaTanya@mail.ru

9 октября 2008 г.








13PAGE 15





13PAGE 15


13PAGE 141215



(1)

(2)

(45)

(14)

13 EMBED Equation.3 1415

(53)

(3)

(67)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(13)

(15)

(16)

(44)

(17)

(18)

13 EMBED Equation.3 1415

(19)

(20)

(21)

(22)


(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)


(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)


(63)

(65)

(66)

(68)

(69)

(70)

(64)

(10)

(11)

(12)

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

(43)

Рис. 1

13 EMBED Equation.3 1415

(71)

(72)




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native