Программа элективного курса Графический способ решения заданий с параметрами

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
1 Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение ©Средняя общеобразовательная школа №108ª Программа элективного курса ©Графический способ решения заданий с параметрамиª . Возраст 15 - 18 лет. Срок реализации - 1 год. Работу выполнила Пушкарёва Елена Юрьевна, учитель математики Пермь, 2014 2 Оглавление. Пояснительная записка«««««««««««««««««««« 2 Учебно - тематический план«««««««««««««««««« 4 Содержание программы (методическое обеспечение)««««««.. 5 Тема 1. Графический способ решения задач с параметрами««««. 5 Тема 2. адания с параметрами вида f(x)а «««««««««. 7 Тема 3. адачи с параметрами вида f(x)= ሺ ܽ Ǣ ሻ ««««««««. 12 Тема 4. Системы уравнений, где одно из уравнений с параметром «««««.. 20 Тема 5. Неравенства вида f(x) ሺ ܽ Ǣ ሻ и системы неравенств«« 31 Тема 6. Системы двух линейных уравнений, где оба уравнения с параметром «««««««««««««««««««« 38 Тема 7 . Уравнения с параметром, решаемые в системе хоа ««««. 40 Тема 8 . Системы неравенств с параметром, решаемые в системе хоа .. 47 Литература« «««««««««««««««««««««««. 51 3 Пояснительная записка. Данный спецкурс направлен на расширение и углубление знаний учащихся по математике. Спецкурс расширяет стандартный курс математики, наполняет его дополнительными разделами, а также углубляет путем насыщения более сложным и разнообразным задачным материал ом. адачи с параметрами – это высший пилотаж, ибо человек, умеющий решать задачи с параметрами, в совершенстве знает теорию и умеет применять её не механически, а с логикой. Он ©понимаетª функцию, ©чувствуетª её, считает её своим другом или хотя бы хороши м знакомым, а не просто знает о её существовании, как мы знаем и об английской королеве, но вот незнакомы с ней. Если человек умеет решать задачи с параметрами, он ас в математике. В настоящее время на выпускных экзаменах, различного уровня олимпиадах предлагаются задачи с параметрами, решение которых вызывает большие затруднения у учащихся, а также учителей. Существует несколько вариантов условий параметрических примеров: исследовать уравнение, решить уравнение, определить количество решений и т.д. Р ешение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики. При решении задач с параметрами требуется, кроме хорошего знания стандартных методов решений уравнений и неравенств, умение проводить довольно разветвленные логические построения, аккуратность и внимательность для того, чтобы не потерять решений и не приобрести лишних. Это требует от школьника более развитого логического мышления и математической культуры, но, в свою очередь, эти задачи сами способствуют их развитию. адачи с параметрами представляют собой небольшие исследовательские задачи. К сожалению, в программах по математике для общеобразовательных школ задачам с параметром практически не отводится места, что затрудняет систематическое изучение данной темы. Между тем, я считаю, что задачи с параметрами можно и нужно использовать уже начиная с линейных и квадратных уравнений и неравенств. Это могут быть задачи нахождения решений в общем виде, определения корней, удовлетворяющих каким - либо свойствам, исследования ко личества корней в зависимости от значений параметра. Важно, чтобы школьники уже на первых простых примерах усвоили: во - первых, необходимость аккуратного обращения с параметром – фиксированным, но неизвестным числом, поняли, что оно имеет двойственную приро ду (с одной стороны, это некоторое число, с другой стороны, степень свободы общения с ним ограничивается его неизвестностью); во - вторых, что запись ответа существенно отличается от записи ответов аналогичных уравнений и неравенств без параметра. Сказанное выше указывает на актуальность выбранной темы. Целью спецкурса является изучение уравнений, неравенств и их систем с параметрами 4 Для этого нужно будет решить следующий комплекс вопросов: - рассмотреть задания с параметром, классифициров ать их по способам решения; - рассмотреть основные типы графического способа решения задач с параметрами; Данный спецкурс рассматривается как элективный для 10 - 11 классов (частично можно рассмотреть и в 9 классе). Программа спецкурса рассчитана н а то, что учащиеся уже изучили графики элементарных основных функций, их преобразования, графики функций, содержащие модули. Программа рассчитана на 30 занятий, включая контрольную работу. Ожидаемый результат: умение решать графически задания с параметром Учебно - тематический план. № Тема Кол - во часов 1 Определение параметра. Алгоритм решения заданий с параметром графическим способом 2 2 адания с параметрами вида f(x)а 2 3 адачи с параметрами вида f(x)= ሺ ܽ Ǣ ሻ 4 4 Системы уравнений, где одно из уравнений с параметром 4 5 Неравенства с параметром вида f(x)= ሺ ܽ Ǣ ሻ и системы неравенств 4 6 Системы двух линейных уравнений, где оба уравнения с параметром 1 7 Уравнения с параметром, решаемые в системе хоа 3 8 Системы неравенств с параметром, решаемые в системе хоа 4 13 Решение заданий с параметрами 5 14 Контрольная работа 1 5 Тема 1 . Графический способ решения заданий с параметрами Что же такое уравнение с параметром? Если уравнение f ( x ; a )=0 нужно решить относительно переменной х , а под а понимается произвольное действительное число, то уравнение называют уравнением с параметром а . Рассмотрим графический метод решения заданий с параметрами. Лучше всего этот метод работае т в тех случаях, когд а в условии задачи ставится вопрос о количестве корней в зависимости от значений параметра или определения значений параметра, при которых решение отсутствует или единственно. Графическое представление уравнения или системы уравнений с параметром обладает несколькими несомненными преимуществами: во - первых, построив график (графики), можно определить, как влияет на них и, соответственно, на решение уравнения изменение параметра; во - вторых, иногда график дает возможность сформулировать аналитически необходим ые и достаточные условия для решения поставленной задачи и, в - третьих, ряд теорем позволяет на основании графической информации делать вполне строгие и обоснованные заключения о количестве корней уравнения, об их границах и т.д. Алгоритм решения за даний с параметром вида f ( x ) v g ( a ;х ) 1. Ввести функции f ( x ) и g ( x ) , так что f ( x ) - статистическая функция (без параметра), g ( x ) - динамическая (с параметром). Пример: ȁ ˘ െ ܽ ȁ ൅ ʹ െ ܽ ൅ ଶ ଶ െ ʹ ܽ ൅ ȁ െ ܽ ȁ f ( x ) = ଶ െ ʹ g ( x ) = ܽ ൅ ȁ െ ܽ ȁ 2. Провести полное исследование функции f ( x ): - D ( f ) - Непрерывность Оставшийся анализ по типу функций А) ൅ ܾ – линейная Б) ܽ ଶ ൅ ܾ ൅ ܿ – квадратичная (парабола) - ветви - вершина, сжатие, ȁ ܽ ȁ - коэффициент сжатия В) ሺ െ ܽ ሻ ଶ ൅ ሺ െ ܾ ሻ ଶ ଶ – окружность ሺ ܽ Ǣ ܾ ሻ െ центр , ȁ ȁ - радиус Г) ି ൅ ܾ – гипербола X = a Y = b асимптоты , ȁ ȁ - коэффициент сжатия k �0 – функция убывает k 0 – функция возрастает 6 д) െ ܽ ൅ ܾ ܽ ǡ ܾ - исходная точка Е) Асимптота х0, М(1;0) ሼ ሽ , a � 1 – функция возрастает 0 a 1 – функция убывает Ж) ܽ - показательная Асимптота у0, М(0;1) ሼ ܽ ሽ a � 1 – функция возрастает 0 a 1 – функция убывает )Анализ функций, содержащих модули. 1) Найти нули модулей ȁ ˘ ȁ ൅ ȁ ˘ ൅ ˖ ȁ ͳ Нули ൤ ˘ Ͳ ˘ ൅ ˖ Ͳ ൤ ˘ Ͳ ˖ െ ˘ 2) Смоделировать интервалы ограничения нулями модулей I . ቄ ˖ ൒ െ ˘ ˘ ൏ Ͳ - хху1 у1 II . ቄ ˖ ൒ െ ˘ ˘ ൒ Ͳ хху1 у - 2х1 III . ቄ ˖ ൑ െ ˘ ˘ ൒ Ͳ х - х - у1 у - 1 IV . ቄ ˖ ൑ െ ˘ ˘ ൏ Ͳ - х - х - у1 у - 2х - 1 3. Полный анализ динамической фун кции g ( x ). У любой динамической функции есть статичные и динамичные характеристики. Для анализа функции с параметром: А) указать тип функции (линейная, квадратичная,«) Б) найти все статистические параметры функции. В) Описать движение функции в зависимости отпараметра. Пример1 : у а(х1) - линейная функция. Точки пересечения с ох: у0, х - 1, ( - 1; 0) ሼ ˖ ˃ ሺ ˘ ൅ ͳ ሻ ሽ - статистическая характеристика. График - пучок прямых, проходящих через точку ( – 1 ; 0) 7 а - угловой коэффицие нт. Пример 2 : у (х – а  1) 2  2а - 3 – парабола Статистические : ветви вверх, не сжатая Динамические: вершина ( а – 1; 2а – 3) ൜ ˘ ˅ ܽ െ ͳ ˖ ˅ ʹ ܽ െ ͵ ൜ ܽ ˅ ൅ ͳ ˖ ˅ ʹ ˘ ˅ ൅ ʹ െ ͵ ˖ ˅ ʹ ˘ ˅ െ ͳ - вершина лежит на этой прямой Пример 3: ሺ ˘ െ ܽ ሻ ଶ ൅ ሺ ൅ ͵ ሻ ଶ ͳ – окружность Статистические: R =1 Динамические: О( а ; - 3) - центр окружности лежит на прямой у - 3 4. Изобразить на координатной плоскости статистическую функцию f ( x ) , а затем нарисовать такие случаи динамической функции, чтобы были выполнены касания со статистической. 5. Исследовать все случаи касания: 1)Если точка касания очевидна, то ее координаты подставить в g ( x ) и найти параметр. 2) если точка касания неочевидна и к асающиеся функции степенные со степенью не выше 2, то решение уравнения f ( x )= g ( x ) сводится к решению квадратного уравнения и условию D =0 . 3)если точка касания неочевидна, а касающиеся функции разных типов, то параметр находится из условия: ൜ ሺ ଴ ሻ ሺ ଴ ሻ ሺ ଴ ሻ ሺ ଴ ሻ . 6. Исследовать вопрос задачи между каждым случаем касания и в них. 7. В ответе указать нужный случай. Тема 2. адания с параметром вида f ( x ) = a Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение | х 2 - 5 | х | 4 | а имеет максимальное количество корней Решение : Строим ሺ ሻ ȁ ଶ െ ͷ ȁ ˘ ȁ ൅ Ͷ ȁ ൜ ȁ ଶ െ ͷ ൅ Ͷ ȁ ǡ ˈ˔ˎˋ ˘ ൒ Ͳ ǡ ȁ ଶ ൅ ͷ ൅ Ͷ ȁ ǡ ˈ˔ˎˋ ˘ ൏ Ͳ ⇔ ൜ ȁ ሺ ˘ െ ʹ ǡ ͷ ሻ ଶ െ ʹ ǡ ʹͷ ȁ ǡ ˈ˔ˎˋ ˘ ൒ Ͳ ȁ ሺ ˘ ൅ ʹ ǡ ͷ ሻ ଶ െ ʹ ǡ ʹͷ ȁ ǡ ˈ˔ˎˋ ˘ ൏ Ͳ С помощью элементарных преобразований строим график данной функции . g ( x )= а - прямые, параллельные ох . 8 Проводя прямые у  а , убеждаемся, что при а < 0 они не имеют общих точек с графиком функции ˖ ȁ ଶ െ ͷ ȁ ˘ ȁ ൅ Ͷ ȁ ; при а =0 - четыре общие точки; при 0 ൏ ˃ ൏ ʹ ǡ ʹͷ - восемь; при а =2,25 – шесть; при 2,25 ൏ ˃ ൏ Ͷ - четыре; при а =4 – три; при а ൐ 4 – две. Ответ: Макси мальное число корней уравнения | х 2 - 5 | х | 4 |  а равно восьми . Пример 2 . Определите при каких значениях параметра а количество различных корней уравнения |х 2 - 4 x + 3| = 3 a - 2 a 2 больше двух. . Решение . Обозначим f (х)  |х 2 - 4х  3 | и g ( x ) = 3 а - 2а 2 = А . f (х)  х 2 - 4х  3 – парабола с вершиной (2; - 1), ветви вверх. f (х)  |х 2 - 4х  3| получаем из параболы, симметрично отображая график относительно ох для у ൏ Ͳ . g ( x ) = 3 а - 2а 2 = А – прямая, параллельная ох 9 Из рисунка видно, что уравнение имеет: при А < О - 0 корней при А0 - 2 корня при 0 < А < 1 - 4 корня при А 1 - три корня при А � 1 – 2 корня уравнение имеет больше двух корней при при 0 А ൑ 1. А3 а - 2а 2 0<А ൑ 1 ܽ െ ʹ ܽ ଶ ൐ Ͳ ܽ െ ʹ ܽ ଶ ൑ ͳ ǡ ǡ Ответ: а (0; Ͳ ǡ ͷ ⋃ ͳ ;1,5) Пример 3 . При каких значениях параметра уравнение ˘ ૛ െ ૟ ˘ ൅ ૡ ൅ ˘ ૛ െ ૟ ˘ ൅ ૞ имеет ровно три корня? ʟˈ˛ˈːˋ е: Построим функцию f (х) ȁ ˘ ଶ െ ͸ ˘ ൅ ͺ ȁ ൅ ȁ ˘ ଶ െ ͸ ˘ ൅ ͷ ȁ Нули модулей: 2; 4; 1;5. Если х ൑ ͳ , х ൒ ͷ , то f (х) = ˘ ଶ െ ͸ ˘ ൅ ͺ ൅ ˘ ଶ െ ͸ ˘ ൅ ͷ f (х) = ʹ ˘ ଶ െ ͳʹ ˘ ൅ ͳ͵ - парабола, х в 3, у в = - 5 если ˘ ሺ ͳ Ǣ ʹ ሻ ሺ Ͷ Ǣ ͷ ሻ , то f (х) = ˘ ଶ െ ͸ ˘ ൅ ͺ െ ˘ ଶ ൅ ͸ ˘ െ ͷ f (х) = ͵ – прямая если ˘ ʹ Ǣ Ͷ , то f (х) = െ ˘ ଶ ൅ ͸ ˘ െ ͺ െ ˘ ଶ ൅ ͸ ˘ െ ͷ f (х) = െ ʹ ˘ ଶ ൅ ͳʹ ˘ െ ͳ͵ - парабола, х в 3, у в =5 10 по графику: ܽ ൏ ͵ Ȃ ːˈ˕ ˍˑ˓ːˈˌ ܽ ͵ െ ˄ˈ˔ˍˑːˈ˚ːˑ ˏːˑˆˑ ˍˑ˓ːˈˌ ͵ ൏ ܽ ൏ ͷ െ Ͷ корня ܽ ͷ െ ͵ ˍˑ˓ː ܽ ൐ ͷ െ ʹ корня Ответ: ܽ ͷ Пример 4 . Найти все значения параметра , при каждом из которых график функции f (х) ˘ ૛ െ ˘ ૛ ൅ ૛ ˘ െ ૜ െ пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках . Решение: Переформулируем задачу: при каких значениях параметра ܽ , уравнение ˘ ଶ െ ȁ ˘ ଶ ൅ ʹ ˘ െ ͵ ȁ ܽ имеет более двух корней. Построим функцию f (х) ˘ ଶ െ ȁ ˘ ଶ ൅ ʹ ˘ െ ͵ ȁ Нули модуля: - 3 и 1. Если х ൑ െ ͵ ,х ൒ ͳ , то f (х) ˘ ଶ െ ˘ ଶ െ ʹ ˘ ൅ ͵ f (х) െ ʹ ˘ ൅ ͵ - прямая если - 3<х<1, то f (х) ˘ ଶ ൅ ˘ ଶ ൅ ʹ ˘ െ ͵ f (х) ʹ ˘ ଶ ൅ ʹ ˘ െ ͵ - парабола х в = - 0,5, у в = - 3,5 ሺ ˘ ሻ ൜ െ ʹ ˘ ൅ ͵ ǡ ˈ˔ˎˋ ˘ ൑ െ ͵ ǡ ˘ ൒ ͳ ʹ ˘ ଶ ൅ ʹ ˘ െ ͵ ǡ ˈ˔ˎˋ െ ͵ ൏ ˘ ൏ ͳ 11 По графику: ܽ ൏ െ ͵ ǡ ͷ െ ͳ ˍˑ˓ˈː ܽ െ ͵ ǡ ͷ െ ʹ ˍˑ˓ː െ ͵ ǡ ͷ ൏ ܽ ൏ ͳ െ ͵ корня ܽ ͳ െ ʹ ˍˑ˓ː ܽ ൐ ͳ െ ͳ корень Ответ: െ ͵ ǡ ͷ ൏ ܽ ൏ ͳ Примеры для самостоятельного решения : 1. Найти при каком значении параметра а функция f (х) ȁ ˘ ଶ ൅ ʹ ˘ െ ͵ ȁ െ ܽ имеет более двух нулей. Ответ: а �0 2. Для каждого параметра а укажите количество корней уравнения ˘ ȁ ˘ െ ʹ ȁ െ ܽ Ͳ . Ответ: при ܽ 0, ܽ ൐ ͳ - 1 корень при ܽ Ͳ ǡ ܽ ͳ - 2 корня при 0< ܽ ൏ ͳ - 3 корня. 3. При каком значении параметра ܽ уравнение ȁ ˘ ଶ െ ͷ ˘ ൅ Ͷ ȁ ൅ ܽ Ͳ имее т 4 решения. Ответ: - 2,25 ܽ ൏ Ͳ 4. При каких значениях параметра ܽ число корней уравнения 12 ȁ ˘ ଶ െ ͺ ȁ ˘ ȁ ൅ ͹ ȁ ܽ равно ܽ ? ʝ˕˅ˈ˕ ǣ ܽ ͹ 5. Найти все значения параметра ܽ , при каждом из которых график функции f (х) ˘ ଶ െ ͵ ˘ ൅ ʹ െ ȁ ˘ ଶ െ ͷ ˘ ൅ Ͷ ȁ െ ܽ пересекает ось абсцисс менее чем в трех различных точках. Ответ: ܽ ሺ െ Ǣ െ ʹ ሿ Ǣ ሾ Ͳ Ǣ ሻ 6. При каком значении параметра ˔ уравнение ȁ ˘ ଶ െ ʹ ˘ ȁ ൅ ȁ ˘ ଶ െ ͵ ˘ ൅ ʹ ȁ ˘ ଶ െ Ͷ ˘ ൅ ˔ имеет 3 различных решения. ʝ˕˅ˈ˕ ǣ ˔ Ͷ ǡ ˔ Ͷ ǡ ͹ͷ Тема 3 . адания с параметром вида f ( x ) = g ( a ;х ) . Пример 5 . Определить графически количество корней уравнения ૝ െ ȁ ૛ ˘ ȁ  х 2 + а в зависимости от значений параметра а . Решение. Построим график функции f (х) = Ͷ െ ȁ ʹ ˘ ȁ (см. рис.): f (х) = Ͷ െ ȁ ʹ ˘ ȁ = Ͷ ൅ ʹ ˘ ǡ ˈ˔ˎˋ ˘ ൏ Ͳ ǡ Ͷ െ ʹ ˘ ǡ ˈ˔ˎˋ ˘ ൒ Ͳ Функция вида g (х)  х 2 + а задает семейство парабол, получаю щихся из у  х 2 параллельным переносом на а единиц вдоль оси Оу . Имеется два c лучая касания этих парабол : . 1 случай Парабола проходит через точки А(2;0 ) и B ( - 2;0) , подставим эти значения в g (х): 04 ܽ , ܽ െ Ͷ 2 случай – через точку С(0;2), подставим 20 ܽ , ܽ ʹ 13 Ответ. Если а  2 , то один корень х  0 ; если - 4 ≤ а < 2 , то два корня; если а - 4 и а > 2 , то уравнение действительных кор ней не имеет. Пример 6 . При каких значениях па раметра а уравнение ах 2  | х – 1| = 0 имеет три решения? Решение . Перепишем данное уравне ние в следующем виде: ах 2 = - \ х - 1|. Введем функции f (х) = - |х - 1| - ©уголокª с вершиной в точке (1:0), ветви которого направлены вниз (см. рис.) . ሺ ˘ ሻ ቄ х െ ͳ ǡ если х ൏ ͳ െ ൅ ͳ ǡ если ൒ ͳ Функция g (х)  ах 2 задает семейство парабол с вер шиной (0;0) при а ≠ 0 и прямую у  0 при а  0. Изменение параметра а влияет на направление ветвей параболы. I . Если а  0, то прямая у  0 и график функции у - |х - 1| имеют одну общую точку, а следовательно данное уравнение – один корень. начение а  0 не удовле творяет условию задачи. II . Если а > 0 , то ветви параболы направ лены вверх, и графики не имеют общих точек. III . Пусть а < 0, тогда ветви параболы бу дут направлены вниз. Рассмотрим случай касания. А - точка касания прямой у  - х  1 и функции у  ах 2 , Найдем при каком значении ܽ : ах 2 = - х  1, Д0 14 ах 2 х - 1=0 Д14 а0 а - 0,25 при а - 0,25 – два решения при а - 0,25 - три решения при - 0,25 а 0 – четыре решения Ответ: ܽ െ ଵ ସ Пример 7(ЕГЭ 2013). Найти при каком значении параметра уравнение ૚૜ ൅ ૜૞ ൅ ૛ െ ૛ ൅ ૟ имеет имеет единственный корень . Перепишем уравнение: ͵ͷ ൅ ʹ െ ଶ െ ͸ ܽ െ ͳ͵ ܽ Пусть f (х) = ͵ͷ ൅ ʹ െ ଶ െ ͸ ; g (х) = ܽ െ ͳ͵ ܽ Исследуем функцию f (х) Д( f ) : ͵ͷ ൅ ʹ െ ଶ ൒ Ͳ ; ˘ ሾ െ ͷ Ǣ ͹ ሿ у ͵ͷ ൅ ʹ െ ଶ െ ͸ у  6  ͵ͷ ൅ ʹ െ ଶ ˖ ଶ ൅ ͳʹ ˖ ൅ ͵͸ ͵ͷ ൅ ʹ ˘ െ ˘ ଶ ሺ ˖ ଶ ൅ ͳʹ ˖ ൅ ͵͸ ሻ ൅ ሺ ˘ ଶ െ ʹ ˘ ൅ ͳ ሻ ͵͸ ሺ ˘ െ ͳ ሻ ଶ ൅ ሺ ˖ ൅ ͸ ሻ ଶ ͵͸ - верхняя полуокружность с центром (1; - 6) и радиусом R =6 . При этом ˖ ൒ െ ͸ g (х): g (х) а(х - 13) точки пересечения с ох: у0 а(х - 13)=0 х13 , > М(13;0) ሺ ˘ ሻ g (х) а(х - 13) - пучок прямых, проходящих через точку М(13;0). 15 Рассмотрим случаи касания: 1)К(7; - 6) - точка касания. Подставим в функцию g (х). 7 а - 13 а = - 6 а =1 2) N ( - 5; - 6) ሺ ˘ ሻ �= - 5 a - 13 a = - 6 а = ଵ ଷ 3) L(1;0) ሺ ˘ ሻ �= a - 13a=0 a=0 при ܽ ൏ Ͳ െ ːˈ˕ ˍˑ˓ːˈˌ ܽ Ͳ െ ͳ ˍˑ˓ˈː Ͳ ൏ ܽ ൏ ଵ ଷ െ ʹ корня ܽ ͳ ͵ െ ʹ ˍˑ˓ː ଵ ଷ ൏ ܽ ൏ ͳ - ͳ ˍˑ˓ˈː ܽ ͳ െ ͳ ˍˑ˓ˈː ܽ ൐ ͳ െ ːˈ˕ ˍˑ˓ːˈˌ Ответ: ܽ ሺ െ ଵ ଷ Ǣ ͳ ሿ Ǣ ሼ Ͳ ሽ Пример 8. Найти при каких значениях параметра уравнение ൅ ૟ െ ૛ െ ૡ ૜ ൅ ૚ ൅ ૛ െ ૛ െ ૛ имеет одно решение . ͸ െ ଶ െ ͺ െ ͵ ͳ ൅ ʹ ܽ െ ܽ ଶ െ ଶ െ ܽ Введем функции: f (х) ͸ െ ଶ െ ͺ െ ͵ и g (х) ͳ ൅ ʹ ܽ െ ܽ ଶ െ ଶ െ ܽ f (х): у ͸ െ ଶ െ ͺ െ ͵ Д( f ): ͸ െ ଶ െ ͺ ൑ Ͳ х ሾ ʹ Ǣ Ͷ ሿ Е( f ): у ൒ െ ͵ у3 ͸ െ ଶ െ ͺ (у3) 2 х 2 - 6х9 - 8+9 ሺ ˘ െ ͵ ሻ ଶ ൅ ሺ ˖ ൅ ͵ ሻ ଶ ͳ - верхняя полуокружность с центром (3; - 3) и радиусом R =1 g (х ): у ͳ ൅ ʹ ܽ െ ܽ ଶ െ ଶ െ ܽ , у ൒ െ ܽ ሺ ˖ ൅ ܽ ሻ ଶ ቀ ͳ ൅ ʹ ܽ െ ܽ ଶ െ ଶ ቁ ଶ ሺ ˖ ൅ ܽ ሻ ଶ ൅ ଶ െ ʹ ܽ ൅ ܽ ଶ ͳ ሺ െ ܽ ሻ ଶ ൅ ሺ ˖ ൅ ܽ ሻ ଶ ͳ – полуокружность верхняя с центром ( a ; - a ) и радиусом 1. Центр лежит на прямой у - х 16 ʟ˃˔˔ˏˑ˕˓ˋˏ ˔ˎ˖˚˃ˋ ˍ˃˔˃ːˋ : 1) Точка касания (3; - 2), при этом a =2 2) Точка касания (4; - 3 ), при этом a = 4 3) При a =3 бесконечно много решений = ൐ одно решение при ܽ ሾ ʹ Ǣ ͵ ሻ Ǣ ሺ ͵ Ǣ Ͷ ሿ . Ответ: ܽ ሾ ʹ Ǣ ͵ ሻ Ǣ ሺ ͵ Ǣ Ͷ ሿ Пример 9 . Решить уравнение ૚ െ ૛ െ . F (х) = ͳ െ ଶ и g (х) ܽ െ f (х) : у ͳ െ ଶ . Д( f ): ሾ െ ͳ Ǣ ͳ ሿ , Е( f ): у ൒ Ͳ у 2 =1 – х 2 х 2  у 2 = 1 - верхняя полуокружность с центром (0;0) и радиусом 1. G (х): у а - х – прямая, параллельная биссектрисе II и IV координатных углов. 17 Рассмотрим случаи касания: 1) Точка касания ( - 1;0) ሺ ˘ ሻ =� 0= а1, а - 1 2) Точки пересечения (1;0) и (0;1) , а1 3) М - точка касания прямой у а - х и полуокружности ˖ ͳ െ ଶ Найдем при каком а : ͳ െ ଶ а - х, Д0 ͳ െ ଶ ܽ ଶ െ ʹ ܽ ൅ ଶ ʹ ଶ െ ʹ ܽ ൅ ܽ ଶ െ ͳ =0 ʹ െ ܽ ଶ =0 ܽ ʹ ˋ ܽ െ ʹ ːˈ ˖ˇˑ˅ˎ Ǥ ˖˔ˎˑ˅ˋ Находим решения: ˒˓ˋ ܽ ൏ െ ͳ ːˈ˕ ˍˑ˓ːˈˌ при а = - 1 – 1 корень х - 1 при – 1 а<1 графики пересекаются в одной точке ͳ െ ଶ а - х ʹ െ ܽ ଶ ˘ ૚ ି ૛ ି ૛ ૛ , ˘ ૛ ା ૛ ି ૛ ૛ , х 1 <х 2 . В этом случае решением будет меньший корень, т.е. ˘ ି ૛ ି ૛ ૛ При а1, два корня х0, х1 При 1 а ૛ два корня ˘ ૚ ି ૛ ି ૛ ૛ , ˘ ૛ ା ૛ ି ૛ ૛ При а ૛ Прямая касается полуокружности в точке М( ૛ ૛ Ǣ ૛ ૛ ሻ , х ૛ ૛ 18 При а � ʹ решений нет. Ответ : нет корней при а � ૛ , ܽ ൏ െ ͳ Один корень х - 1 при а = - 1 х ૛ ૛ при а ૛ ˘ ି ૛ ି ૛ ૛ при – 1 а<1 два корня ˘ ૚ ି ૛ ି ૛ ૛ , ˘ ૛ ା ૛ ି ૛ ૛ при 1< а ૛ Примеры для самостоятельного решения: 7. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение ͳ െ ʹ ˘ ܽ െ ͷ ȁ ȁ имеет более двух корней. Ответ: ܽ ሾ ʹ ǡ ͷ Ǣ ʹ ǡ ͸ ሻ 8. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение ͳͲ ܽ ൅ െ ͵ͷ ൅ ͳʹ െ ଶ ܽ ൅ ͳ имеет единственное решение. Ответ: ܽ ሺ ଵ ହ Ǣ ଵ ଷ ሿ Ǣ ሼ Ͳ ሽ 9. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение ˘ ଶ െ ܽ имеет два корня. Ответ: ܽ ൐ ଵ ା ଶ ଶ 10. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение െ ܽ ȁ ʹ ȁ െ ͳ имеет ровно три корня. Ответ: ܽ ሼ െ ͳ Ǣ െ Ͳ ǡ ͷ ሽ 11. Найти при как их значени ях параметра ܽ уравнение ȁ ͷ ȁ െ ͳͲ ܽ ൅ ͵ имеет более двух корней. Ответ: ܽ ሾ ʹ ǡ ͷ Ǣ ʹ ǡ ͸ ሻ 12. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение ȁ ˘ ൅ ʹ ȁ ܽ ˘ ൅ ͳ имеет два корня. Ответ: ܽ ሺ െ ͳ Ǣ Ͳ ǡ ͷ ሻ 13. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение ȁ ˘ െ Ͷ ȁ ܽ ˘ ൅ ʹ не имеет решений. Ответ: ܽ ሾ െ ͳ Ǣ െ Ͳ ǡ ͷ ሻ 14. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение ȁ ˘ ଶ െ ͷ ˘ ൅ ͸ ȁ ܽ ˘ имеет три различных решения. Ответ: ܽ ͷ െ ʹ ͸ 15. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение ȁ ˘ ଶ െ Ͷ ˘ ൅ ͵ ȁ ܽ ሺ ˘ െ ͳ ሻ имеет два корня. Ответ: ܽ ሺ െ Ǣ െ ʹ ሻ Ǣ ሼ Ͳ ሽ Ǣ ሾ ʹ Ǣ ሻ 16. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение ȁ ˘ ൅ ʹ ȁ ൅ ܽ ȁ െ ͳ ȁ ͵ А)имеет единственный корень и найти его; Б) имеет ровно два корня и найти их; В)имеет бесконечно много корней 19 Ответ: а) ˒˓ˋ ȁ ܽ ȁ ൐ ͳ െ ˍˑ˓ˈː ˘ ͳ Б)при Ответ: ܽ ሺ െ ͳ Ǣ ͳ ሻ െ ʹ ˍˑ˓ː ˘ ͳ ǡ ˘ ି ହ ା ଵ В)при a= ͳ 17. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение ȁ ʹ ˘ െ ܽ ȁ ൅ ͳ ȁ ˘ ൅ ͵ ȁ имеет единственный корень. Ответ: ܽ ሼ െ ͺ Ǣ െ Ͷ ሽ 18. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение ȁ ˘ ൅ ܽ ȁ ˘ ଶ ൅ ͳ имеет не более одного корня. Ответ: ܽ ൒ ʹ 19. Н айти при каких значениях параметра ܽ уравнение ȁ ͵ ˘ ൅ ͸ ȁ ൅ ȁ ͵ ˘ െ ͺ ȁ ͳʹ െ ܽ ˘ имеет не более одного корня. Ответ: ܽ ሺ െ Ǣ െ ͸ ሿ Ǣ ቄ െ ଷ ସ Ǣ ͳ ቅ Ǣ ሾ ͸ Ǣ ሻ 20. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение ʹ ȁ ˘ ȁ െ ʹ ܽ ˘ െ ʹ ܽ ൅ ͳ имеет три корня. Ответ: ܽ ሼ െ ͳ ǡ ͷ Ǣ Ͳ ǡ ʹͷ ሽ 21. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение ˘ ൅ ͳ ܽ ൅ имеет единственное решение. Ответ: ܽ ሺ െ Ǣ ͳ ሻ Ǣ ሼ ͳ ǡ ʹͷ ሽ 22. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение െ ͳ͸ െ ˘ ଶ ܽ ൅ имеет единственное решение. Ответ: ܽ ሺ െ Ͷ Ǣ Ͷ ሿ Ǣ ൛ െ ͵ʹ ൟ 23. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение ˘ െ ͻ ܽ ൅ ͹ ܽ െ ͵ имеет единственное решение. Ответ: ܽ ቄ Ͳ ǡ ʹͷ Ǣ ଷ ଵ଺ ቅ 24. Найти при каких значениях параметра ܽ уравнение ͸ ˘ െ ʹ ܽ ൅ ͹ имеет единственное решение. Ответ: ܽ ሾ െ ͵ ǡ ͷ Ǣ Ͳ ሿ Ǣ ሼ ͳ ሽ 25. Решить уравнение ȁ Ͷ െ ˘ ȁ ܽ . Ответ: корней нет при - 1 ൑ ܽ ൏ Ͳ один корень х2 при а 1, х4 при а0 Х ସ ା ଵ при а ൏ െ ͳ ǡ ܽ ൐ ͳ два корня ˘ ଵ ସ ା ଵ ǡ ˘ ଶ ସ ଵ ି при 0 ൏ ܽ ൏ ͳ 20 Тема 4 . Системы уравнений, где одно из уравнений с параметром. Способ решения данных систем уравнений точно такой же, как и решение уравнений вида f (х) g ( a ;х) Пример10 . Определить в зависимости от значений параметра а количество решений системы уравнений ൜ ȁ ˘ ȁ ൅ ȁ ˖ ȁ ˘ ૛ ൅ ˖ ૛ ૝ Решение . Введем функции: f (х): ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ Ͷ и g (х) : ȁ ˘ ȁ ൅ ȁ ˖ ȁ ܽ f (х): окружность с центром (0;0) и радиусом 2 g (х): ȁ ˘ ȁ ൅ ȁ ˖ ȁ ܽ a ൏ Ͳ уравнение решений не имеет а0, х0, у0 график точка (0;0) 1) ൝ ൒ Ͳ ൒ Ͳ ൅ ܽ ൝ ൒ Ͳ ൒ Ͳ െ ˘ ൅ ܽ 2) ൝ ൏ Ͳ ൒ Ͳ െ ൅ ܽ ൝ ൏ Ͳ ൒ Ͳ ˘ ൅ ܽ 3) ൝ ൒ Ͳ ൏ Ͳ െ ܽ ൝ ൒ Ͳ ൏ Ͳ ˘ െ ܽ 4) ൝ ൏ Ͳ ൏ Ͳ െ െ ܽ ൝ ൏ Ͳ ൏ Ͳ െ ˘ െ ܽ График квадрат , центр квадрата (0;0), сторона меняется в зависимости от а . 21 Рассмотрим случаи касания: 1) Точка касания (2;0), подставим в g ( a ;х) . 2+0= ܽ , ܽ ʹ 2) Случай касания, когда окружность внутри квадрата . Пусть точка А - точка касания. ¨АОВ - прямоугольный. ОА2 - катет ൐ гипотенуза ОВ2 ʹ . ܽ 2 ʹ По графику: При ܽ ൏ ʹ решений нет При ܽ ʹ ˚ˈ˕ ˓ˈ ˓ˈ˛ˈːˋ При 2 <а < 2 ʹ каждая сторона имеет две общие точки с окруж - ностью, а значит, система будет иметь восемь решений. При а = 2 ʹ четыре решения При а > 2 ʹ система решений не имеет. Ответ . Если а 2 или а � 2 ʹ , то решений нет; если 2 < а 2 ʹ , то восемь решений; если а  2 и ли а = 2 ʹ , то четыре решения. Пример 11 .Р еш ить систему уравнений ? Решение . Введем функции: f (х): ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ Ͷ и g (х) : уха f (х): окружность с центром (0;0) и радиусом 2 g (х): у=х+а - пря мые, параллельные ух 22 Рассмотрим случаи касания: 1) Точка С - точка касания окружности и прямой. Найдём координаты т.А из треугольника ОСА – прямоугольного. ОС2 R , ОССА2. По теореме Пифагора ОА 2 ОС 2 СА 2 . ОА 2 448. ОА2 ʹ . Следовательно, А(0; - 2 ʹ ) и К(0;2 ʹ ), следовательно прямая 2 – y = x - 2 ʹ . y = x - ʹ ʹ y = ʹ - ʹ ʹ = െ ʹ . С ( ʹ ; - ʹ ) при а< - 2 ʹ - нет решений при ܽ െ ʹ ʹ одно решение ( ʹ Ǣ െ ʹ ሻ при - 2 ʹ ܽ 2 ʹ - 2 решения Найдём точку пересечения x 2 + y 2 =4 ; y = x + a . х 2 (ха) 2 =4 х 2 х 2 2аха 2 =4 2х 2 2ах(а 2 - 4)=0 ସ =a 2 - 2(a 2 - 4)=a 2 - 2a 2 +8=8 - a 2 , т . к . - ʹ ʹ a ʹ ʹ D�0 х 2 = ି а ି ଼ ି а ଶ х 4 = ି а ା ଼ ି а ଶ у 2 = ି а ି ଼ ି а ଶ а а ି ଼ ି а ଶ у 4 = ି а ା ଼ ି а ଶ а а ା ଼ ି а ଶ при ܽ ʹ ʹ прямая имеет вид y = x +2 ʹ , a =2 ʹ - 1 решение ( െ ʹ ; ʹ ) 23 при а>2 ʹ - нет решений Ответ: при а ൏ െ ʹ ʹ , а>2 ʹ - нет решений При а - 2 ʹ - 1 решение ( ʹ Ǣ െ ʹ ) При а ʹ ʹ - 1 решение ( - ʹ Ǣ ʹ ) При - 2 ʹ <а<2 ʹ - 2 решения ( ି а ି ଼ ି а ଶ ; а ି ଼ ି а ଶ ) и ( ି а ା ଼ ି а ଶ ; а ା ଼ ି а ଶ ሻ . Пример 12 . При каких значениях па раметра а система уравнений ሺ ൅ ૡ െ ૛ ሻ ሺ ૛ ൅ ȁ ȁ ሻ ૙ ǡ ૛ െ ૡ ൅ ૛ имеет ровно два решения? Решение. Введем функции: f (х): (у + 8 - х 2 )(2х| у |)  0 <> ൤ ଶ െ ͺ ǡ ȁ ȁ െ ʹ (1) аметим также, что ȁ у ȁ െ ʹ х ⇔ ൝ ൥ у ʹ х ǡ у െ ʹ х ǡ х ൑ Ͳ Геометрическое место точек плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют совокупности (1) состоит из параболы у  x 2 - 8 и двух лучей, лежащих на пря мых у  2х и у  - 2х. 24 g ( a ;х) : Графиками функции у  2ах - (8+ а 2 ) при разных значениях а являются прямые . Определим, при каких значениях пара метра а прямая, заданная уравнением у  2ах - (8+ а 2 ) является касательной к па раболе у  х 2 - 8 . Для этого используем условие касания графиков функции f (х) и g ( x ), состоящем в том, что в точке каса ния совпадают значе ния производных функций и ординаты графиков . В нашем случае имеем ൜ ȁ ሺ ଴ ሻ ȁ ሺ ଴ ሻ ሺ ଴ ሻ ሺ ଴ ሻ ቄ ʹ х ʹ а х ଶ െ ͺ ʹ ах െ ͺ െ а ଶ ቄ ܽ ܽ ଶ Ȃ ͺ ܽ ଶ Ȃ ͺ Из первого уравнения получаем х  а . Второе уравнение при этом превращается в тождество. Следовательно, при каждом а эти прямая и парабола касаются в точке с координатами ( а, а 2 - 8 ). Соответствен но при любом значении а исходная сис тема имеет решение (а , а 2 - 8). При разных значениях а имеется четы ре критических положения прямой у  2ах - 8 - а 2 (см. рис.): I. Прямая паралл ельна прямой y = 2 x . Так как угловой коэффициент этой прямой равен 2, то из уравнения 2а  2 получаем а 1. II. Прямая параллельна прямой у  - 2х. Так как угловой коэффициент этой прямой равен - 2. то из уравнения 2а = - 2 полу чаем а = - 1. III. Прямая проходит через точку А (точку пересечения прямой у  2х и пара болы при х ≤ 0). Из уравнения х 2 - 8  2х получаем х  - 2 и х  4 (не подходит). В этом случае а  - 2. IV. Прямая проходит через точку В (точку пересечения прямой у = - 2х и па раболы при х≤0). Из уравнения х 2 - 8 = - 2х получаем х  - 4 и х  2 (не подходит). В этом случае а  - 4. Точки - 4, - 2, - 1 и 1 разбивают число вую прямую Оа на промежутки. амечаем (см. рис.), что условию за дачи удовлетворяют все а такие, что а [ - 1; 1)и{ - 4}и{ - 2}. При этих значени ях пара метра система (2) имеет два реше ния. Ответ: а - - 4, а = - 2, - 1 ≤ а 1. Пример 13 . Найти все значе ния параметра а, при каждом из кото рых система ൝ ˖ ૛ ൅ ˘˖ െ ૠ ˘ െ ૚૝ ˖ ൅ ૝ૢ ૙ ˖ ˃˘ ൅ ૚ ˘ ൒ ૜ имеет единственное решение. Решение. Введем функции: f (х): у 2  ху - 7х - 1 4 у + 49 = ( у 2 - 14 у + 49) + (ху - 7х)  = (у - 7) 2  х(у - 7) = ( у - 7 ) ( у  х - 7). Тогда первое уравнение системы рав носильно совокупности двух линейных уравнений . 25 ˖ ଶ ൅ ˘˖ െ ͹ ˘ െ ͳͶ ˖ ൅ Ͷͻ Ͳ ⇔ ൤ ˖ ͹ ˖ െ ˘ ൅ ͹ при х ൒ ͵ g ( a ;х ): у = ax + 1 задает семейство прямых, проходящих через точку с координатами (0; 1). Исходная система будет иметь единст венное решение при тех значениях пара метра а, при которых соответствующая прямая из этого семейства имеет только одну точку пересечения с прямой у  7 или прямой у = - х + 7 в полуплоскости, расположенной правее прямой х  3 (см. рис. 25). Имеется четыре критических положе ния для прямых у  ах 1: I. Прямая у  ах 1 проходит через точку А( 3; 7). Из уравнения 7  а 1 + 1 получаем а  2. II. Прямая у = ax +1 проходит через точку пересечения прямых х  3 и у = - х + 7 с координатами В (3; 4). Из уравнения 4  а 2 + 1 получаем а =1. III. Прямая у = а х 1 параллельна прямой у =7 , т.е. а = 0 . IV. Прямая у  ах + 1 параллельна прямой у = - Х + 7, т.е. а  - 1. При ܽ ൏ - 1 решений нет ܽ െ ͳ нет решений െ ͳ ൏ ܽ ൏ Ͳ - одно решение ܽ Ͳ - одно решение Ͳ ൏ ܽ ൏ ͳ - два решения ܽ ͳ - два решения ͳ ൏ ܽ ൏ ʹ - одно решение 26 ܽ ʹ - одно решение ܽ ൐ ʹ - нет решений Ответ . ( - 1; 0] ⋃ (1; 2]. Пример 14 . Найти при каких значениях параметра ܽ система уравнений ൜ ˘ ૛ ൅ ˖ ૛ ȁ ˘ ȁ ൅ ૛ ȁ ˖ ȁ ൅ ȁ ૛ ˖ െ ૜ ˘ ȁ ૚૛ имеет ровно два решения. Решение: f (х): ȁ ˘ ȁ ൅ ʹ ȁ ˖ ȁ ൅ ȁ ʹ ˖ െ ͵ ˘ ȁ ͳʹ Нули модуля ˘ Ͳ ˖ Ͳ ˖ ଷ ଶ ˘ I. ˘ ൒ Ͳ ˖ ൒ Ͳ ˖ ൒ ૜ ૛ ˘ х2у2у - 3х12 Ͷ ˖ ʹ ˘ ൅ ͳʹ У ૚ ૛ ˘ ൅ ૜ II. ˘ ൒ ૙ ˖ ൒ ૙ ˖ ൏ ଷ ଶ ˘ х2у - 2у3х12, х3 III. ˘ ൒ ૙ ˖ ൏ Ͳ ˖ ൏ ଷ ଶ ˘ х - 2у - 2у3х12, ух - 3 IV. ˘ ൏ Ͳ ˖ ൏ Ͳ ˖ ൏ ଷ ଶ ˘ - х - 2у - 2у3х12, у ૚ ૛ ˘ െ ૜ V. ˘ ൏ Ͳ ˖ ൏ Ͳ ˖ ൒ ଷ ଶ ˘ - х - 2у2у - 3х12, х - 3 VI. ˘ ൏ Ͳ ˖ ൒ ૙ ˖ ൒ ଷ ଶ ˘ - х2у2у - 3х12, ух3 g ( a ;х) : ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ ܽ - окружность с центром (0;0) и R = ܽ . 27 Случаи касания: I. Окружность внутри шестиугольника . Точка А - точка касания. Треугольник ОАВ - прямоугольный. ОВ3, 2 ОА 2 9, ОА 2 = ૢ ૛ , ОА ૜ ૛ = ൐ ܽ ଽ ଶ II. (3;0) - точка касания. R=3 . ܽ ͻ III. С - точка касания и точка пересечения прямых Х3 и У ૚ ૛ ˘ ൅ ૜ = ൐ у4,5. ОС 2 =3 2 + ቀ ૢ ૛ ቁ ૛ ૚૚ૠ ૝ , ܽ ଵଵ଻ ସ По графику: При ܽ ൏ Ͷ ǡ ͷ нет решений При ܽ 4,5 два решения При 4,5 ൏ ܽ ൏ ͻ четыре решения При ܽ ͻ четыре решения При 9 ൏ ܽ ൏ ʹͻ ǡ ʹͷ четыре решения При ܽ ʹͻ ǡ ʹͷ два решения Ответ: 4,5; 29,25. Пример 15 . Найти при каких значениях параметра ܽ система уравнений ሺ ˘ െ ૚ െ ૝ ܽ ሻ ૛ ൅ ሺ ˖ െ ૚ െ ૜ ܽ ሻ ૛ ૢ ૛ ሺ ˘ െ ૞ ሻ ૛ ൅ ሺ ˖ െ ૜ ሻ ૛ ૝ имеет единственное решение. 28 f (х): ሺ ˘ െ ͷ ሻ ଶ ൅ ሺ ˖ െ ͵ ሻ ଶ Ͷ - окружность с центром О(5;3) и R =2 . g ( a ;х) : ˘ െ ሺ ͳ ൅ Ͷ ܽ ሻ ଶ ൅ ˖ െ ሺ ͳ ൅ ͵ ܽ ሻ ଶ ͻ ܽ ଶ – окружность с центром (1+4 ܽ Ǣ ͳ ൅ ͵ ܽ ሻ и радиусом R =3 ܽ . ൜ ˘ ଴ Ͷ ܽ ൅ ͳ ˖ ଴ ͵ ܽ ൅ ͳ ܽ ଵ ସ ˘ ଴ െ ଵ ସ ˒ˑˇ˔˕ ˅ ˖ ଴ ˖ ଴ ଷ ସ ˘ ଴ െ ଷ ସ ൅ ͳ ˖ ଴ ଷ ସ ˘ ଴ ൅ ଵ ସ - центр лежит на этой прямой. . Касание вн еш ним образом Окр 1 (О;ОА) О(5;3), ОА2. Окр 2 (О 1 ;О 1 А) О 1 (4 ܽ ൅ ͳ ; 3 ܽ ൅ ͳ ሻ , О 1 А3 ȁ ܽ ȁ ൐ Ͳ d ( ОО 1 )ОАО 1 А. по формуле расстояния между двумя точками. ሺ ૞ െ ૝ ܽ െ ͳ ሻ ૛ ൅ ሺ ૜ െ ૜ ܽ െ ͳ ሻ ૛ ૜ ȁ ܽ ȁ ൅ ૛ ሺ ૝ െ ૝ ܽ ሻ ૛ ൅ ሺ ૛ െ ૜ ܽ ሻ ૛ ૢ ܽ ૛ ൅ ૚૛ ܽ ൅ Ͷ ૛ ܽ ૛ െ ૠ ܽ ൅ ʹ Ͳ Д33 ܽ ૚ ૠ ି ૜૜ ૝ ˔ˎ˖˚˃ˌ ܽ ૛ ૠ ା ૜૜ ૝ ˔ˎ˖˚˃ˌ II . Касание вн утрен ним образом. Окр 1 (О;ОА) О(5;3), ОА2 Окр 3 (О 2 ;О 2 К) О 2 (4 ܽ ൅ ͳ ; 3 ܽ ൅ ͳ ሻ • ОК2, О 2 К3 ȁ ܽ ȁ ൐ 0, О 2 ОО 2 К – ОК ሺ ૞ െ ૝ ܽ െ ͳ ሻ ૛ ൅ ሺ ૜ െ ૜ ܽ െ ͳ ሻ ૛ ૜ ȁ ܽ ȁ െ ૛ ሺ ૝ െ ૝ ܽ ሻ ૛ ൅ ሺ ૛ െ ૜ ܽ ሻ ૛ ૢ ܽ ૛ െ ૚૛ ܽ ൅ Ͷ ܽ ૛ െ ૛ ܽ ൅ ͳ Ͳ ܽ ͳ . ʝ˕˅ˈ˕ : 1; ଻ േ ଷଷ ସ 29 Примеры для самостоятельного решения : 26. Найти при каких значениях система уравнений ൜ Ͷ ȁ ˖ െ ͵ ȁ ͳʹ െ ͵ ȁ ˘ ȁ ˖ ଶ െ ଶ ͵ ሺ ʹ െ ͵ ሻ െ ଶ имеет ровно четыре решения Ответ: ሺ െ Ͷ Ǣ െ ͵ ሻ Ǣ ሼ െ ʹ ǡ Ͷ Ǣ ʹ ǡ Ͷ ሽ Ǣ ሺ ͵ Ǣ Ͷ ሻ 27. Найти при каких значениях ܽ система уравнений ൜ ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ ͳ ˘ ൅ ˖ ܽ имеет единственное решение. Ответ: ʹ 28. Найти при каких значениях ܽ система уравнений ൜ ͵ ȁ ˘ ȁ ൅ ʹ ȁ ˖ ȁ ͳʹ ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ ܽ имеет наибольшее число решений. Ответ: ଵସସ ଵଷ ൏ ܽ ൏ ͳ͸ 29. Найти при каких значениях ܽ система уравнений ൜ ȁ ˖ ȁ ˘ ଶ െ Ͷ ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ ܽ имеет ровно два решения . Ответ: ܽ Ͷ 30. Найти при каких значениях ܽ система уравнений ൜ ˘ ൅ ˖ Ͷ ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ ܽ имеет решения. Ответ: ܽ ൒ ͺ 31. Сколько решений имеет система уравнений ൜ ȁ ˘ ȁ ൅ ȁ ˖ ȁ ܽ ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ ͳ в зависимости от параметра ܽ . Ответ: нет решений при ܽ ൏ ͳ ǡ ܽ ൐ ʹ ; четыре решения при ܽ ͳ ǡ ܽ ʹ ; восемь решений при 1 ൏ ܽ ൏ ʹ . 32. Найти при каких значениях ܽ система уравнений ൜ ˖ െ ȁ ˘ ȁ ܽ ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ ͳ имеет ровно два различных решения. Ответ: ܽ ൛ െ ʹ ൟ Ǣ ሾ െ ͳ Ǣ ͳ ሻ 33. Найти при каких значениях ܽ система уравнений ൜ ˘ ଶ ൅ ͳʹ ˘ ൅ ȁ ˖ ȁ ൅ ʹ͹ Ͳ ˘ ଶ ൅ ሺ ˖ െ ܽ ሻ ሺ ˖ ൅ ܽ ሻ െ ͳʹ ሺ ˘ ൅ ͵ ሻ А) имеет ровно два решения ; Б) имеет ровно четыре решения; В) Имеет ровно шесть решений; Г) имеет ровно восемь решений; Д) не имеет решений. 30 Ответ: а) ܽ േ ͻ Б) ܽ ሺ െ ͻ Ǣ െ ͵ ሻ Ǣ ቄ െ ଷହ ଶ Ǣ ଷହ ଶ ቅ Ǣ ሺ ͵ Ǣ ͻ ሻ В) ܽ േ ͵ Г) ܽ ቀ െ ͵ Ǣ െ ଷହ ଶ ቁ ቀ ଷହ ଶ Ǣ ͵ ቁ Д) ܽ ሺ െ Ǣ െ ͻ ሻ Ǣ ቀ െ ଷହ ଶ Ǣ ଷହ ଶ ቁ Ǣ ሺ ͻ Ǣ ሻ 34. Найти при каких значениях ܽ система уравнений ൜ ܽ ˖ ˘ ൅ ʹ ȁ ˖ ȁ ȁ ˘ െ ͳ ȁ имеет единственное решение. Ответ: േ ͳ 35. Найти при каких значениях ܽ система уравнений ൜ ˘ ൅ ʹ ˖ ܽ ʹ ˘ ൅ ˖ ͵ имеет решения, удовлетворяющие условиям ˘ ൐ Ͳ ǡ ˖ ൐ Ͳ Ǥ Ответ: ܽ ሺ ͳ ǡ ͷ Ǣ ͸ ሻ 36. Найти при каких значениях параметра а система уравнений ˘ ૛ ൅ ˖ ૛ ૢ ሺ ˘ ൅ ૝ ሻ ૛ ൅ ሺ ˖ ൅ ૜ ሻ ૛ имеет единственное решение. Ответ: 4; 64 37. Найти при каких значениях ܽ система уравнений ൜ ʹ ȁ ˘ ȁ ൅ ȁ ˖ ȁ ൅ ȁ ͵ ˘ െ Ͷ ˖ ȁ ͳͲ ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ ܽ имеет ровно два решения. ʝ˕˅ˈ˕ ǣ ʹ Ǣ ଶହ଴଴ ଵଶଵ 38. Найти при каких значениях ܽ система уравнений ൜ ȁ ˘ െ ͳ ȁ ൅ ȁ ˘ ൅ ͳ ȁ െ ʹ ˖ Ͳ ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ െ ʹ ܽ ˖ ൅ ʹ ܽ ͳ имеет ровно три решения . Ответ: 2 ʹ . 39. Найти при каких значениях ܽ система уравнений ൜ ͷ ȁ ˘ ൅ ʹ ȁ ͸Ͳ െ ͳʹ ȁ ˖ ȁ Ͷ ሺ ˘ ൅ ͳ ሻ ൅ ˖ ଶ ܽ ଶ െ ˘ ଶ имеет ровно восемь решений. Ответ: ܽ ቀ െ ͷ Ǣ െ ଺଴ ଵଷ ቁ Ǣ ቀ ଺଴ ଵଷ Ǣ ͷ ቁ 40. Найти при каких значениях ܽ система уравнений ൜ ˘ ൅ ͵ ȁ ˖ ȁ ൅ ͷ Ͳ ሺ ˘ െ ܽ ሻ ଶ ൅ ˖ ଶ Ͷ имеет три различных решения. Ответ: - 7 41. Найти при каких значениях ܽ система уравнений ൜ ˖ ൅ ܽ ܽ ˘ ଶ ȁ ˘ ȁ ൅ ȁ ˖ ȁ ʹ имеет ровно пять решений. Ответ: േ ʹ 31 42. Найти при каких значениях ܽ ൐ Ͳ система уравнений ͺ ˘ െ ͳͷ ˖ ͵͸ ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ ܽ ଶ െ Ͷ ൑ ˖ ൑ Ͷ имеет единственное решение. Ответ: ܽ ቄ ଷ଺ ଵ଻ ቅ Ǣ ሺ ͷ Ǣ Ͷ ͳͲ ൧ 43. Найти при каких значениях ܽ ൐ Ͳ система уравнений ൝ Ͷ ˘ ൅ ͵ ˖ ͳ͵ ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ ܽ ଶ ͳ ൑ ˘ ൑ Ͷ имеет единственное решение. Ответ: ܽ ቄ ଵଷ ହ ቅ Ǣ ͳͲ Ǣ ͳ͹ ൧ Тема 5 . Неравенства вида f (х) v g ( a ;х) и системы неравенств. Начало решения неравенств точно такое же как у уравнений. На последнем этапе решения находим промежутки, где одна функция лежит выше другой. Пример 16. Найти при каких значениях множеством решений неравенства ˊ െ ˘ ൅ ȁ ˘ െ ȁ ൑ ૛ является отрезок . Решение: ȁ ˘ െ ܽ ȁ ൑ െ ͵ െ ˘ ൅ ʹ f (х): у െ ͵ െ ˘ ൅ ʹ Д( f ) : х ൑ ͵ . Начальная точка (3;2). Нижняя ветвь. g ( a ;х) : у ȁ ˘ െ ܽ ȁ - функция модуль х., график ©уголокª с вершиной на оси х, лучи вверх. 32 Рассмотрим случаи касания: I. А( - 1;0), ܽ െ ͳ II. В(3;2), ܽ ͳ III. С - точка касания функций у െ ͵ െ ˘ ൅ ʹ и ух - ܽ . Найдем ܽ ǡ решив уравнение െ ͵ െ ˘ ൅ ʹ  х – ܽ ʹ െ ˘ ൅ ܽ ͵ െ ˘ Ͷ ൅ ˘ ଶ ൅ ܽ ଶ െ Ͷ ˘ ൅ Ͷ ܽ െ ʹ ܽ ˘ ͵ െ ˘ ˘ ଶ ൅ ሺ െ ͵ െ ʹ ܽ ሻ ˘ ൅ ሺ ܽ ଶ ൅ Ͷ ܽ ൅ ͳ ሻ Ͳ Условие касания - Д0. Д912 ܽ ൅ Ͷ ܽ ଶ െ Ͷ ܽ ଶ െ ͳ͸ ܽ െ Ͷ Ͳ ܽ ͳ ǡ ʹͷ IV. ܽ ͷ Смотрим по графику, когда функция у െ ͵ െ ˘ ൅ ʹ лежит выше функции ух - ܽ , это и есть решения неравенства. При ܽ ൏ െ ͳ решений нет При െ ͳ ൑ ܽ ൑ ͳ решение есть отрезок. При ͳ ǡ ʹͷ ൑ ܽ ൑ ͷ решение так же является отрезок Ответ: ܽ ሾ െ ͳ Ǣ ͳ ሿ Ǣ ሾ ͳ ǡ ʹͷ Ǣ ͷ ሿ Пример 17 . Решить неравенство ૛ ˘ െ ܽ ൐ ˘ . f (х)= х – прямая g (х) = ʹ х െ ܽ , g (х) ʹ ቀ х െ ଶ ቁ . График этой функции может быть получен из графика функции g (х) ʹ х сдвигом вдоль оси ох на ଶ . 33 Графики могут пересекаться в двух точках, в одной точке и не пересекаться. Найдем графическое решение неравенства в каждом из этих случаев и выясним при каком значении параметра получается соответствующее множество. I. ܽ Ͳ Ǥ Пересекаются в двух точках, найдем их ʹ ˘ ˘ , 2хх 2 , х0. Х2, решение х ሺ Ͳ Ǣ ʹ ሻ II. В - точка касания функций. Найдем ܽ ˋˊ уравнения, при условии Д0. ʹ ˘ െ ܽ ˘ ʹ ˘ െ ܽ ˘ ଶ ˘ ଶ െ ʹ ˘ ൅ ܽ Ͳ Д1 - ܽ Ͳ . ܽ ͳ . Решений нет при ܽ ൒ ͳ III. При 0 ൏ ܽ ൏ ͳ решением неравенства является множество ሺ ˘ ଵ Ǣ ˘ ଶ ሻ , где х 1 и х 2 корни уравнения ʹ ˘ െ ܽ ˘ . ˘ ଵ ͳ െ ͳ െ ܽ , ˘ ଶ ͳ ൅ ͳ െ ܽ IV. ˒˓ˋ ܽ ൏ Ͳ х 0 - решение уравнения g (х)=0͕ х 0 = ଶ решение ( ଶ Ǣ ͳ ൅ ͳ െ ܽ ሻ Ответ: (0;2) при ܽ Ͳ Нет решений при ܽ ൒ ͳ ( ͳ െ ͳ െ ܽ ; ͳ ൅ ͳ െ ܽ ) при 0 ൏ ܽ ൏ 1 ቀ ଶ Ǣ ͳ ൅ ͳ െ ܽ ቁ при ܽ ൏ Ͳ . Пример 18 . При каких значениях па раметра а неравенство х ૛ ൅ ૜ ȁ െ ȁ ൅ ൅ െ ૜ ൑ ૙ имеет хотя бы одно неположительное решение? 34 Решение . Приведем неравенство к виду х 2  2х  1 < (х - а) - 3 | х - а | 4. График функции у  х 2 2х  1  (х1) 2 - парабола, полученная из у  х 2 , параллельным переносом влево вдоль оси Ох на 1 (см. рис.). График функции У а (х)(х - а) - 3 | х - а | 4, стоящей в правой части неравенства, при каждом значении параметра а получает ся из графика функции െ ͵ ȁ ȁ ൅ Ͷ ቄ െ ʹ ൅ Ͷ ǡ если х ൒ Ͳ ǡ Ͷ х ൅ Ͷ Ǥ если х ൑ Ͳ параллельным переносом на а единиц вдоль оси Ох (см. рис.). Решением исходного неравенства яв ляется множество всех таких х, для ко торых точки на графике функции у а (х) расположены не ниже точек графика функции у  (х  1) 2 . Имеется два критических положения графика функции у а (х), удовлетворяю щих условию задачи. (:) График функции у а (х) проходит через точку А( 0; 1) как указано на рис. Из уравнения 4(х - а)  4  1 при х  0 получаем а = 0,75 . (::) График функции у а (х) проходит через точку В как указано на рис. . В этом случае прямая у  - 2( x - а)  4 яв ляется касательной к графику функции у = (х  1) 2 . В этом случае совпадают значения производных от функций в точ - ке касания и значени я ординат точек ка сания графиков. Из условия (х 2 +2 x + l ) 1 = ( - 2(х - а)  4) 1 получаем уравнение 2х  2  - 2, т.е. х - 2 - абсцисса точки касания графи ков. Тогда из условия совпадения орди нат получаем ( - 2 +1) 2 = - 2( - 2 - а)  4 или а - 3,5. Следовательно , при - 3,5 ≤ а ≤ 0,75 исходное неравенство имеет хотя бы од но неположительное решение. Ответ. - 3,5 ≤ а ≤ 0,75 . Пример 19 . При каких значениях параметра система ൜ ȁ ˘ ൅ ૛ ˖ ൅ ૚ ȁ ൑ ૚૚ ሺ ˘ െ ܽ ሻ ૛ ൅ ሺ ˖ െ ૛ ܽ ሻ ૛ ૛ ൅ ܽ имеет единственное решение . f (х): ȁ ˘ ൅ ʹ ˖ ൅ ͳ ȁ ൑ ͳͳ - 11 ൏ ˘ ൅ ʹ ˖ ൅ ͳ ൏ ͳͳ െ ଵ ଶ ˘ െ ͸ ൑ ˖ ൑ െ ଵ ଶ ˘ ൅ ͷ - область между данными прямыми. g (х) : ሺ ˘ െ ܽ ሻ ૛ ൅ ሺ ˖ െ ૛ ܽ ሻ ૛ ૛ ൅ ܽ - окружность с центром О( ܽ Ǣ ʹ ܽ ) и R = ܽ ൅ ʹ . ܽ ൐ െ ʹ Ǥ Центр окружности лежит на прямой у2х. 35 Окружность не может располагаться между прямыми, т.к. в этом случае будет много решений. Рассмотрим случаи касания, когда окружность лежит вне заштрихованной области. I. В - точка пересечения прямых у - 0,5х5 и у2х. Найдем точку. - 0,5х52х Х2, у4. В(2;4) подставим точку В в уравнение окружности. ሺ ʹ െ ܽ ሻ ଶ ൅ ሺ Ͷ െ ʹ ܽ ሻ ଶ ʹ ൅ ܽ ͷ ܽ ଶ െ ʹͳ ܽ ൅ ͳͺ Ͳ Д81 ܽ ͵ ˋ ܽ ͳ ǡ ʹ - не удовл. Усл, т.к. ܽ ൐ ʹ , иначе центр попадет внутрь области II. С - точка пересечения прямых у - 0,5х - 6 и у2х. Найдем точку. - 0,5х - 62х Х - 2,4, у - 4,8. Т.к. х ൏ െ ʹ , тоска С не подходит III. Рассмотрим ܽ െ ʹ . График g (х) - точка с координатами ( - 2; - 4), подставим в f (х): ȁ െ ʹ െ ͺ ൅ ͳ ȁ ൑ ͳͳ (верно) = ൐ ( - 2; - 4) - решение. Ответ: - 2; 3 Пример 20 . При каких значениях параметра система ൜ ȁ ˘ ൅ ˖ െ ૛ ȁ ൏ ˘ െ ˖ ሺ ˘ െ ܽ ሻ ૛ ൅ ሺ ˖ െ ܽ ሻ ૛ ૝ имеет решение. Решение: 36 f (х): ൦ ൜ ˘ ൅ ˖ െ ʹ ൒ Ͳ ˘ ൅ ˖ െ ʹ ൏ ˘ െ ˖ ൜ ˘ ൅ ˖ െ ʹ ൏ Ͳ െ ˘ െ ˖ ൅ ʹ ൏ ˘ െ ˖ ൦ ൜ ˖ ൒ െ ˘ ൅ ʹ ˖ ൏ ͳ ˑ˄ˎ ) ቄ ˖ ൏ െ ˘ ൅ ʹ ˘ ൐ ͳ ˑ˄ˎ В итоге по графику получается область, ограниченная прямой у1 сверху и прямой х1 слева. g (х ) : ሺ ˘ െ ܽ ሻ ૛ ൅ ሺ ˖ െ ܽ ሻ ૛ 4 – окружность с центром О( ܽ Ǣ ܽ ሻ , лежащем на прямой ух и радиусом R =2 . Рассмотрим случаи касания окружность этой области. I. Окружность с центром О 1 ( - 1; - 1)= ൐ ܽ െ ͳ II. Окружность с центром О 2 ( 3 ; 3 )= ൐ ܽ ͵ При ܽ ൑ െ ͳ ˋ ܽ ൒ ͵ система решений не имеет, при остальных значениях ܽ решения есть. Ответ: ܽ ሺ െ ͳ Ǣ ͵ ሻ Пример 21 . При каких значениях параметра система неравенств ൜ ૛ ˖ െ ˘ ൒ ૝ ሺ ˘ െ ܽ ሻ ૛ ൅ ሺ ˖ െ ܽ ሻ ૛ ൑ ܽ ૛ имеет хотя бы одно решение. Решение: f (х): ૛ ˖ െ ˘ ൒ ૝ ˖ ൒ ଵ ଶ ˘ ൅ ʹ - область выше этой прямой. 37 g ( х) : ሺ ˘ െ ܽ ሻ ૛ ൅ ሺ ˖ െ ܽ ሻ ૛ ൑ ܽ ૛ - круг с центром ( ܽ Ǣ ܽ ሻ , лежащем на прямой ух и радиусом R = ȁ ܽ ȁ . При ܽ Ͳ ǡ R 0, решений нет. при ܽ ൐ Ͳ круг движется вверх, при ܽ ൏ Ͳ вниз. Если окружность и прямая ˖ ଵ ଶ ˘ ൅ ʹ касаются, то точка касания лежит на прямой и окружности. Подставим ˖ ଵ ଶ ˘ ൅ ʹ в уравнение окружности: ሺ ˘ െ ܽ ሻ ଶ + ቀ ଵ ଶ ˘ ൅ ʹ െ ܽ ቁ ଶ ܽ ଶ Условие касания Д0 ͷ Ͷ ˘ ଶ ൅ ሺ ʹ െ ͵ ܽ ሻ ˘ ൅ ሺ ܽ ଶ െ Ͷ ܽ ൅ Ͷ ሻ Ͳ Д Ͷ െ ͳʹ ܽ ൅ ͻ ܽ ଶ െ ͷ ܽ ଶ ൅ ʹͲ ܽ െ ʹͲ Ͳ Д ܽ ଶ ൅ ʹ ܽ െ Ͷ Ͳ ସ Ͳ ܽ ଵ െ ͳ െ ͷ ܽ ଶ െ ͳ ൅ ͷ - условия касания. Система имеет решения при ܽ ଵ ൑ െ ͳ െ ͷ ܽ ଶ ൒ െ ͳ ൅ ͷ . Ответ: ܽ ሺ െ Ǣ െ ͳ െ ͷ ൧ Ǣ ൣ െ ͳ ൅ ͷ Ǣ ሻ . 38 Примеры для самостоятельного решения. 44. Найти при каких значениях ܽ неравенство ͳ െ ˘ ଶ ൐ ܽ െ ˘ имеет решения. Ответ: ܽ ൏ ʹ 45. Найти при каких значениях ܽ неравенство ȁ ʹ ˘ െ ܽ ȁ ൅ ͳ ൑ ȁ ˘ ൅ ͵ ȁ имеет решения, образующие отрезок длины 1. Ответ: െ ͻ ǡ ͷ Ǣ െ ʹ ǡ ͷ 46. Найти при каких значениях параметра ܽ система ൜ ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ ൅ Ͷͻ ൑ ͳͲ ሺ ȁ ˘ ȁ ൅ ȁ ˖ ȁ ሻ ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ െ Ͷ ˘ ܽ ଶ െ Ͷ имеет хотя бы одно решение Ответ: ܽ ൣ െ ͵Ͷ െ ͳ Ǣ െ ͵Ͷ ൅ ͳ ൧ Ǣ ൣ െ ͹Ͷ െ ͳ Ǣ െ ͹Ͷ ൅ ͳ ൧ Ǣ ൣ ͵Ͷ െ ͳ Ǣ ͵Ͷ ൅ ͳ ൧ Ǣ ൣ ͹Ͷ െ ͳ Ǣ ͹Ͷ ൅ ͳ ൧ 47. Найти при каком значении параметра ܽ система неравенств ൜ െ ˘ ଶ ൅ ͳʹ ˘ െ ܽ ൒ Ͳ ˘ ൑ ʹ выполняется хотя бы при одном значении х Ответ: ܽ ൑ ʹͲ Ǥ 48. Найти при каком значении ܽ система ൜ ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ ൅ ͵ͳ ൑ ͺ ሺ ȁ ˘ ȁ ൅ ȁ ˖ ȁ ሻ ˘ ଶ ൅ ˖ ଶ െ ʹ ˖ ܽ ଶ െ ͳ имеет хотя бы одно решение. Ответ: Ͷ ൑ ȁ ܽ ȁ ൑ Ͷͳ ൅ ͳ Тема 6 . Системы двух линейных уравнений, где оба уравнения с параметром. Способ решения: 1) Необходимо представить уравнения в виде ൜ ˖ ଵ ଵ ൅ ܾ ଵ ˖ ଶ ଶ ൅ ܾ ଶ 2) Система не имеет решений при условии ൜ ଵ ଶ ܾ ଵ ܾ ଶ Система имеет бесконечно много решений при условии ൜ ଵ ଶ ܾ ଵ ܾ ଶ Система имеет единственное решение при условии ଵ ଶ . Пример 22 . Определить число решений системы уравнений ൜ ሺ ܽ ൅ ͵ ሻ ˘ ൅ ૝ ˖ ૞ െ ૜ ܽ ʹ ˘ ൅ ሺ ͷ ൅ ܽ ሻ ˖ ͺ . Решение : ˖ െ ା ଷ ସ ˘ ൅ ହ ି ଷ ସ ˖ െ ଶ ହ ା ˘ ൅ ଼ ହ ା . ܽ െ ͷ 39 Не имеет решений: ൜ ଵ ଶ ܾ ଵ ܾ ଶ െ ା ଷ ସ െ ଶ ହ ା ହ ି ଷ ସ ଼ ହ ା ൜ ܽ ଶ ൅ ͺ ܽ ൅ ͳͷ ͺ െ ͵ ܽ ଶ ൅ ͷ ܽ െ ͳͷ ܽ ൅ ʹͷ ͵ʹ ቂ ܽ െ ͳ ܽ െ ͹ ܽ െ ͳ ܽ െ ͹ = ൐ бесконечно много решений при ൜ ଵ ଶ ܾ ଵ ܾ ଶ ܽ െ ͳ Одно решение при ܽ െ ͳ ǡ ܽ െ ͹ Ответ: нет решений при ܽ െ ͹ ǡ бесконечно много решений ܽ െ ͳ , одно решение при ܽ െ ͳ ǡ ܽ െ ͹ . Примеры для самостоятельного решения. 49. Определить при каких значениях параметра ܽ система уравнений ൜ ሺ ʹ ܽ െ ͵ ሻ ˘ െ ܽ ˖ ૜ ܽ െ ʹ ͷ ˘ െ ሺ ͵ ൅ ʹ ܽ ሻ ˖ ͷ имеет единственное решение. Ответ: ሼ െ ͳ Ǣ ʹ ǡ ʹͷ ሽ . 50. Определить при каких значениях параметра ܽ система уравнений ൜ ʹ ˘ ൅ ሺ ͻ ܽ ଶ െ ʹ ሻ ˖ ͵ ܽ ˘ ൅ ˖ ͳ не имеет решений. Ответ: െ ଶ ଷ 51. Определить при каких значениях параметра ܽ система уравнений ൜ ሺ ܽ െ ʹ ሻ ˘ ൅ ʹ͹ ˖ ૝ ǡ ૞ ʹ ˘ ൅ ሺ ͳ ൅ ܽ ሻ ˖ െ ͳ имеет бесконечно много решений. Ответ: െ ͹ Тема 7 . Решение уравнений и неравенств в координатных плоскостях Оха и О ах. Данный метод представляет собой не которое обобщение графического метода решения уравнений и неравенств, осно ванного на использовании координатной плоскости Оха или О ах . В последнем случае ось Ох называют координатной, ось О а - параметрической , а плоскости Оха и О ах - координатно - параметрическими (или КП - плоско стями). 40 При использовании это метода исход ное уравнение (или неравенство) преоб разуют к виду а f (х) или x f (а). В первом случае на плоскости Оха строят график функции f (х) , а затем, пересекая полученный график прямыми, парал лельными оси Ох , получают необходи мую информацию. Во втором - произво дят построения графика функции f (а ) на плоскости Оах . Другой вариант этого приема связан с нахождением графиче ского решения уравнения (неравенства) вида ሺ ܽ Ǣ ሻ Ͳ , а затем его аналитиче ской интерпретацией. Построение графи ка уравнения f ( x , a ) = 0 с двумя пере - менными х и а на плоскости Оах явля ется основой для ответа на поставленный вопрос о решениях уравнения с парамет ром. Графическим решением неравенства ሺ ܽ Ǣ ሻ Ͳ , где символ v заменяет один из знаков �,, ≥ , ≤ , являются множе ства точек (области) плоскости, коорди наты которых удовлетворяют данному неравенству. При решении уравнения или неравен ства f ( x , a ) v g ( x . a ) иногда удается вы разить одну из переменных в явном виде, что позволяет перейти от задачи с пара метром к задаче без параметра, а именно к исследованию функциональной зави симости одной переменной от другой. Для решения неравенств полезным бу дет напомнить одно простое утвержде ние: пусть имеется график функции у  f ( x ) , тогда множество точек плоско с ти , расположенных выше графика, будет геометрическим изображением решения неравенства у > f(x ), а для точек, лежа щих ниже графика – неравенства у f(x). Уравнения с параметром, решаемые в системе х о . Пример 23 . При каких значениях а урав нение х 2 - (4а - 2) | х | 3а 2 - 2а 0 имеет два различных решения? Решение. Пусть | х |  t , тогда полу чим квадратное уравнение t 2 - (4а - 2) t  а 2 - 2а  0 , имеющее корни t = а или t =3 а - 2. От сюда получаем | х | = а и | х | = 3 а - 2. По строим графики двух функций а (х)  | х | и ܽ ሺ ሻ ȁ ȁ ା ଶ ଷ , которые имеют две об щие точки ( - 1; 1) и (1; 1) (см. рис.). Первый г рафик (уголок) имеет ©верши - нуª (0; 0), а второй – ቀ Ͳ Ǣ ଶ ଷ ቁ . 41 Рассматривая семейство горизонталь ных прямых, получаем всевозможные от веты для более общей задачи: для каждо го значения а определите число различ ных решений уравнения х 2 - (4 а - 2) | х | 3а 2 - 2а  0 . При а ሺ െ Ǣ Ͳ ሻ нет корней; при а 0 1 корень; при а ሺ Ͳ Ǣ ʹ Ȁ ͵ ሻ 2 корня; при а =2/3 – 3 корня; при а ሺ ʹ Ȁ ͵ Ǣ ͳ ሻ - четыре корня; при а =1 – 2 корня; при а ሺ ͳ Ǣ ሻ - 4 корня. апишем ответ для исходной задачи. Ответ: 0 < а ଶ ଷ ; а = 1. амечание. десь полезным оказался тот факт, что корни квадратного уравне ния легко выразить через параметр (т.е. дискриминант является квадратом неко торого выражения). В этом случае способ решения, использующий явные выраже ния для корней, является одним из наи более рациональных. Построение графи ка уравнения сводится к построению не - скольких простейших графиков функций. Пример 24 . Решить уравнение െ ૛ ൅ ૚ . Решим это уравнение графически в системе (ХОа). Преобразуем данное уравнение: x - a =4 x 2 - 4 x +1 - 4 x 2 +5 x - 1= a 1) ОД : 2 х - 1 ൒ Ͳ x ൒ ଵ ଶ ʹ ሻ ൜ ܽ ሺ ሻ ܽ ܽ ሺ ሻ െ Ͷ ଶ ൅ ͷ െ ͳ െ парабола 1) D(a)= ቂ ଵ ଶ Ǣ ൅ ሻ 42 2) x 0 = ି ହ ି ଶ ସ ହ ଼ 3) a( ହ ଼ ሻ ଽ ଵ଺ x ଵ ଶ ସ ଼ ହ ଼ ଺ ଼ ଷ ସ 1 y ଵ ଶ ଽ ଵ଺ ଵ ଶ 0 a ( ଵ ଶ ሻ ଵ ଶ - 4 x 2 +5 x - 1 - a =0, 4 x 2 - 5 x +( a +1)=0. D =25 - 16 a - 16=9 - 16 a x 1 , x 2 = ହ േ ଶ ି ଵ଺ ଼ 1 случай: а ൐ ଽ ଵ଺ - нет решений 2 случай: а ଽ ଵ଺ - 1 корень х ହ ଼ 43 3 случай: ଵ ଶ ൑ ܽ ൏ ଽ ଵ଺ - 2 корня x 1 , x 2 = ହ േ ଽ ି ଵ଺ ଼ 4 случай: а ൏ ଵ ଶ - 1 корень x = ହ ା ଽ ି ଵ଺ ଼ Ответ: единственный корень ହ ା ଽ ି ଵ଺ ଼ уравнение имеет при ܽ ൏ ଵ ଶ ǡ ܽ ଽ ଵ଺ , два корня - ହ േ ଽ ି ଵ଺ ଼ при ଵ ଶ ൑ ܽ ൏ ଽ ଵ଺ , нет корней при а> ଽ ଵ଺ . Пример 25 . При каких значениях параметра а имеет ровно два различных корня уравнение х ൅ ૛ а ૛ (х 2 + (2 - а)х - 2а ) = 0? Решение . Корни данного уравнения должны удовлетворять условию х ≥ - 2а 2 (условие существования квадратного корня из выражения х  2а 2 ). аметим, что х 2 +(2 - а)х - 2а  (х - а )(х  2). То гда х ൅ ʹ а ଶ (х 2 + (2 - а)х - 2а ) = 0 ⇔ ൞ х ൒ െ ʹ ܽ ଶ ǡ ൥ െ ʹ ܽ ଶ ܽ െ ʹ Следовательно, корнями уравнения могут быть числа х 1 = - 2а 2 , х 2 = а и x 3 = - 2 . По условию задачи требуется найти значения параметра а , при кото рых уравнение имеет ровно два различ ных корня. Для отбора искомых значений параметра на плоскости Оах построим графики функций х  - 2а 2 , х = а и х  - 2 (см. рис.). Каждая прямая а - const , параллельная оси Ох , пересе кает каждый из построенных графиков, и 44 ордината точки пересечения дает зна че ние к орня исходного уравнения при ус ловии, что х ≥ - 2а 2 . Точки (а, х), коор динаты которых удовлетворяют послед нему неравенству, расположены на плос кости Оах в выделенной фоном области. Имеется пять критических положений этих прямых: 1) а  - 2, ::) а  - 1, III ) а  - 0,5, :G) а  0, G) а  1. В этих случаях они проходят через точки пересечения графиков. Точки - 2, - 1, - 0,5,0 и 1 разбивают числовую прямую Оа на шесть промежутков. Рас смотрим каждый из них: ( I ) а ( - ; - 2) и (2) а { - 2; - 1). На этих промежутках уравнение имеет три корня. (3) а ( - 1; - 0,5). Уравнение имеет два корня (график функции х = - 2 рас - положен ниже графика функции х  - 2 а 2 ). (4) a ( - 0,5; 0 ). Уравнение имеет один корень, так как графики функций х  а и х = — 2 - ниже графика функции x = - 2а 2 . (5) а (0; 1). Уравнение имеет два корня (график функции х = - 2 - ниже графика функции х  - 2а 2 ). (6) a (1;оо). Уравнение имеет три корня. Соответственно при каждом из значе ний а  - 2, а = - 1 или а = 1 уравнение имеет два корня . Ответ. { - 2} ⋃ [ - 1; - 0,5) ⋃ (0; 1]. Пример 26 . Определить количество корней уравнения 3|х  а \  2|х - а \  2 в зависимости от значений параметра а . Данное уравнение равносильно совокупности четырех систем: ͳ ሻ ൝ ൅ ܽ ൒ Ͳ ǡ െ ܽ ൒ Ͳ ǡ ͷ ൅ ܽ ʹ Ǣ ൝ ܽ ൒ െ ˘ ǡ ܽ ൑ ˘ ǡ ܽ െ ͷ ˘ ൅ ʹ Ǣ ʹ ሻ ൝ ൅ ܽ ൒ Ͳ ǡ െ ܽ ൑ Ͳ ǡ ൅ ͷ ܽ ʹ Ǣ ൞ ܽ ൒ െ ˘ ǡ ܽ ൒ ˘ ǡ ܽ െ ͳ ͷ ˘ ൅ ʹ ͷ Ǥ 3) ൅ ܽ ൑ Ͳ ǡ െ ܽ ൒ Ͳ ǡ െ െ ͷ ܽ ʹ Ǣ ܽ ൑ െ ˘ ǡ ܽ ൑ ˘ ǡ ܽ െ ଵ ହ ˘ െ ଶ ହ Ͷ ሻ ൝ ൅ ܽ ൑ Ͳ ǡ െ ܽ ൑ Ͳ ǡ െ ͷ െ ܽ ʹ Ǣ ൝ ܽ ൑ െ ˘ ǡ ܽ ൒ ˘ ǡ ܽ െ ͷ ˘ െ ʹ Решения первой системы образуют отрезок ВС, решения второй системы составляют отрезок АВ, решения третьей системы дают отрезок ДС и решения четвертой системы отрезок АД. Таким образом, координаты всех точек плоскости, принадлежащих сторонам па раллелограмма ABCD , составляют мно жество решений данного уравнения. Оп ределим координаты точек А , В , С, D . Для этого решим системы, составленные из уравнений прямых линий 45 а  - 5х  2 (ВС), а  - ଵ ହ х  ଶ ହ (АВ) а  െ ଵ ହ х – ଶ ହ ( DC ), а  - 5х — 2 ( AD ) пересекающихся в вершинах параллело грамма. Получим: െ ͳ ʹ Ǣ ͳ ʹ ǡ ͳ ͵ Ǣ ͳ ͵ ǡ ʠ ͳ ʹ Ǣ െ ͳ ʹ ǡ െ ͳ ͵ Ǣ െ ͳ ͵ Пример 27 . (ЕГЭ 2010, С5) . Найти все значения а, при каждом из которых уравнение х 2 + (а + 4) 2  | х  а  4 | | х – а – 4 | имеет единственный корень. Решение . Введем обозначение а + 4 = b , тогда уравнение примет вид ଶ ൅ ܾ ଶ ȁ ൅ ܾ ȁ ൅ ȁ െ ܾ ȁ Раскроем знаки модулей и построим графики полученных уравнений в плоскости bOx . Рассматривая прямые а  const в пе ресечении с параллелограммом, получаем ответ. Ответ . При а - 0,5 или а > 0,5 нет корней; при а  - 0,5 или а = 0,5 один корень; при - 0,5 < а < 0,5 два корня. 46 ͳ ሻ ൝ ൒ െ ܾ ൒ ܾ ଶ ൅ ܾ ଶ ʹ ⇔ ൝ ൒ െ ܾ ൒ ܾ ሺ െ ͳ ሻ ଶ ൅ ܾ ଶ ͳ ʹ ሻ ൝ ൑ െ ܾ ൒ ܾ ଶ ൅ ܾ ଶ െ ʹ ܾ ⇔ ൝ ൑ െ ܾ ൒ ܾ ଶ ൅ ሺ ܾ ൅ ͳ ሻ ଶ ͳ ͵ ሻ ൝ ൒ െ ܾ ൑ ܾ ଶ ൅ ܾ ଶ ʹ ܾ ⇔ ൝ ൒ െ ܾ ൑ ܾ ଶ ൅ ሺ ܾ െ ͳ ሻ ଶ ͳ Ͷ ሻ ൝ ൑ െ ܾ ൑ ܾ ଶ ൅ ܾ ଶ െ ʹ ⇔ ൝ ൑ െ ܾ ൑ ܾ ሺ ൅ ͳ ሻ ଶ ൅ ܾ ଶ ͳ График уравнения состоит из четырех полуокружностей. Проводя прямые, параллельные оси х, получим одну общую точку с построенным графиком при b = - 2 или b =2 . Функция а( b )= b - 4 с переменной b является возрастающей, поэтому каждому значению b соответствует единс твенное значение а . Таким образом исходное уравнение имеет единственное решение при а - 6 или а = - 2. Ответ: - 6; - 2. 47 Примеры для самостоятельного решения . 52. Найти при каком значении параметра ܽ уравнение ˘ ି ሺ ଷ ି ଵ ሻ ˘ ା ሺ ଶ ି ଶ ሻ ˘ ି ଷ ˘ ି ସ Ͳ имеет единственное решение. Ответ: ሼ െ ʹ Ǣ Ͳ ǡ ͷ ሽ 53. Найти при каком значении параметра ܽ уравнение ሺ ܽ ൅ Ͷ ˘ െ ˘ ଶ െ ͳ ሻ ሺ ܽ ൅ ͳ െ ȁ ˘ െ ʹ ȁ ሻ Ͳ имеет три корня. ʝ˕˅ˈ˕ ǣ െ ͳ 54. Найти при каком значении параметра ܾ уравнение ʹ ȁ ȁ ൅ ሺ ʹ െ ሻ െ ሺ ܾ ሻ Ͳ имеет единственное решение. ʝ˕˅ˈ˕ ǣ ܾ ൐ ͳͲͲ 55. Найти при каком значении параметра ܽ уравнение ˘ ଶ െ ሺ ͵ ܽ െ ͳ ሻ ȁ ˘ ȁ ൅ ʹ ܽ ଶ െ ܽ Ͳ имеет четыре различных решения. ʝ˕˅ˈ˕ ǣ ܽ ሺ Ͳ ǡ ͷ Ǣ ͳ ሻ ሻ Ǣ ሺ ͳ Ǣ ሻ 56. Найти при каком значении параметра ܽ уравнени е ʹ ȁ ˘ െ ܽ ȁ ൅ ܽ െ Ͷ ൅ ˘ Ͳ имеет решения и все решения принадлежат отрезку ሾ Ͳ Ǣ Ͷ ሿ . ʝ˕˅ˈ˕ ǣ ൤ Ͷ ͵ Ǣ ʹ ൨ 57. Найти при каком значении параметра ܽ уравнени е Ͷ ȁ ˘ െ ܽ ȁ ൅ ܽ െ ʹ ൅ ʹ ˘ Ͳ имеет решения и все решения принадлежат отрезку ሾ െ ʹ Ǣ ͳ ሿ . Ответ: ܽ ቂ െ ଶ ହ Ǣ ଶ ଷ ቃ 58. Найти при каком значении параметра ܽ уравнение ሺ ȁ ˘ െ ʹ ȁ െ ܽ െ Ͷ ሻ ሺ ܽ ൅ ͸ ൅ ˘ ଶ െ Ͷ ˘ ሻ Ͳ имеет ровно три различных решения. ʝ˕˅ˈ˕ ǣ െ Ͷ Ǣ െ ʹ Тема 8 . Решение системы неравенств с параметром в системе хоа. Пример 28 . Решить систему неравенств ൜ ˘ ૛ ൅ ˘ ൑ ૛ െ ૛ ൒ െ ૚ в зависимости от значений параметра а . Решение. Преобразуем исходную систему уравнений к виду ൜ ˘ ଶ ൅ ˘ ൑ ܽ ʹ െ ଶ ൅ ͳ ൒ ܽ . Выполним построения графиков функций а = х 2 х и а = - х 2 + 2х  1 на плоскости Оха (см. рис.). Оба графика задают параболы. ах 2 х - парабола с вершиной ( െ ଵ ଶ Ǣ െ ଵ ସ ሻ , ветви направлены вверх а - х 2 + 2х  1 - парабола с вершиной (1; 2), ветви вниз. 48 Координаты точек пересечения построенных графиков найдем из уравнения х 2  х = 2х – х 2 +1. Его корнями являются числа х 1 = — 0,5 и х 2 = 1. Корень х 1 совпадает с абсциссой вершины первой параболы, х 2 - второй параболы. Область решения на рисунке заштрихована. Система имеет решения при - 0,25 ≤ а ≤ 2 . При а - 0,25, а2 одно решение х - 0,5; х1 соответственно. При - 0,25 ൏ ˃ ൏ ʹ решение отрезок - [х 3 ; х 4 ], где х 3 - меньший из корней уравнения х 2 - 2х  а - 1 = 0, х 3 = ͳ െ ʹ െ ˃ х 4 - больший из корней уравнения х 2  х - а = 0 . Х 4 = െ ͳ ൅ ͳ ൅ Ͷ ˃ Ȁ ʹ Ответ: ˘ ൣ ͳ െ ʹ െ ˃ Ǣ െ ͳ ൅ ͳ ൅ Ͷ ˃ Ȁ ʹ ൧ ˒˓ˋ െ Ͳ ǡ ʹͷ ൑ ˃ ൑ ʹ Ǥ Пример 2 9 . Найти при каких значениях параметра а система неравенств ൜ ૛ ൅ ሺ ૛ െ ૜ ሻ ൅ ሺ ૛ ૛ െ ૛ ሻ ൏ ૙ ǡ ૚ имеет решение. Решение: Разложим на множители первое неравенство: Д ሺ ʹ െ ͵ ܽ ሻ ଶ െ Ͷ ሺ ʹ ܽ ଶ െ ʹ ܽ ሻ ሺ ܽ െ ʹ ሻ ଶ ଵ ି ଶ ା ଷ ି ା ଶ ଶ ܽ ଶ ʹ ܽ െ ʹ ሺ െ ܽ ሻ െ ሺ ʹ ܽ െ ʹ ሻ ൏ Ͳ ǡ ͳ ܽ 49 ሺ െ ܽ ሻ െ ሺ ʹ ܽ െ ʹ ሻ ൏ Ͳ - область между прямыми х а и х2 а - 2, причем прямые рисуются пунктиром. ʜ˃ˌˇˈˏ ˕ˑ˚ˍˋ А и В как точки пересечения прямой х2 а - 2 и гиперболы ଵ : 2 а - 2= ଵ ʹ ܽ ଶ െ ʹ ܽ െ ͳ Ͳ Ͷ ͵ ܽ ଵ ି ଷ ଶ – точка А ܽ ଵ ା ଷ ଶ - точка В. ˒˓ ˏ˃ ˘ ܽ ˋ ˆˋ˒ˈ˓˄ˑˎ˃ ˒ˈ˓ˈ˔ˈˍ˃ ˕˔ ˒˓ˋ ܽ െ 1 и a =1 ʞ˓ˑ˅ˑˇˋˏ ˒˓ˑˈˍ˙ˋ ː˃ ˑ˔ ˃ и видим .что система имеет решения при ܽ ቀ െ ͳ Ǣ ଵ ି ଷ ଶ ቁ Ǣ ቀ ͳ Ǣ ଵ ା ଷ ଶ ቁ Ответ: ܽ ቀ െ ͳ Ǣ ଵ ି ଷ ଶ ቁ Ǣ ቀ ͳ Ǣ ଵ ା ଷ ଶ ቁ 50 Примеры для самостоятельного решения: 59. Найти при каких значениях параметра а система неравенств ቄ ܽ െ ͳ ൑ Ͳ ǡ െ Ͷ ܽ ൒ Ͳ имеет хотя бы одно решение. Ответ: а ൑ ଵ ଶ 60. Найти при каких значениях параметра а система неравенств ൜ െ ܽ ൒ െ ͳ ǡ ଶ െ ͵ ൑ ܽ െ ͳ имеет единственное решение. Ответ: а - 1,25, а5 61. Найти при каких значениях параметра а система неравенств ൜ ଶ ൅ ʹ ൅ ܽ ൑ Ͳ ǡ ଶ െ Ͷ െ ͸ ܽ ൑ Ͳ имеет решение. Ответ: ሾ Ͳ Ǣ ͳ ሿ 62. Найти при каких значениях параметра а система неравенств ൜ ଶ െ ሺ ͵ ܽ ൅ ͳ ሻ ൅ ʹ ܽ ଶ ൅ ܽ ൏ Ͳ ǡ ൅ ܽ ଶ Ͳ имеет решения. Ответ:( - 1; 0) 63. Найти при каких значениях параметра а система неравенств ൜ ଶ ൅ ሺ ͷ ܽ ൅ ʹ ሻ ൅ Ͷ ܽ ଶ ൅ ʹ ܽ ൏ Ͳ ǡ ൅ ܽ ଶ Ͷ имеет решения. Ответ: ܽ ቀ ଵ ି ଵ଻ ଶ Ǣ ʹ െ ͳͲ ቁ Ǣ ቀ ଵ ା ଵ଻ ଶ Ǣ ʹ ൅ ͳͲ ቁ 51 Литература. 1. Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах. – Львов. Журнал ©Кванторª, 1991. 2. Иванов А.П. Тематические тесты. 3. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений . Математика ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) 4. Кочарова К.С. Обуравнениях с параметром и модулем//Математика в школе.М.:Просвещение, 1995 - №2 стр2. 5. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. – М.: Школа - Пресс, 1995. 6. Родионов Е.М. Решение задач с параметрами: Пособие для поступающих в вузы. – М.: МП ©Русь - 90ª, 1995. 7. Прокофьев А.А. адачи с параметрами. Пособие по математике для учащихся стар ших классов. Москва, МИЭТ,2004 8. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1991. 9. Шестаков С.А., Юрченко Е.В. Уравнения с параметром. – М.: Слог, 1993. 10. 12. Цыпкин А. Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – 2 - е изд. перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. 11. Ястребинецкий Г.А. адачи с параметрами: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1986 . 12. www.alexlarin.narod.ru