Курсовая работа: Метод координат и его изучение в школьном курсе геометрии
Курсовая работа на тему:
Метод координат и его изучение в школьном курсе геометрии Содержание
Введение 3
Глава 1. Теоретические основы использования метода координат в школьном курсе геометрии. 5
1.1 Основные положения изучения метода координат в школе 5
1.2 Анализ школьных учебников 7
Глава 2. Методические основы изучения метода координат 11
2.1 Этапы решения задач методом координат 11
2.2 Задачи, обучающие координатному методу 12
2.3 Виды задач, решаемых координатным методом 22
2.4 Разработки уроков 25
a) Урок №1: Шкалы и координаты. 5 класс 26
b) Урок №2: Координатная плоскость. 6 класс 29
c) Урок №3: Координатная плоскость в жизни человека. 6 класс 37
d) Урок №4: Решение задач методом координат с практическим содержанием. 7 класс 43
e) Урок №5: Декартовы координаты на плоскости. 8 класс 51
f) Урок №6: Простейшие задачи в координатах. 9 класс 54
g) Урок №7: Простейшие задачи в координатах. 9 класс 58
h) Урок №8: Декартовы координаты в пространстве. 10 класс 61
i) Урок №9: Метод координат в пространстве. 11класс 65
j) Урок №10: Решение нестандартных задач с помощью метода
координат. 11 класс 69
Заключение 73
Библиографический список 74
ВВЕДЕНИЕ
В геометрии применяются различные методы решения задач – это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, векторный, метод координат и другие. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает метод координат потому, что он тесно связан с алгеброй. Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Координатный метод этого не требует: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи.
Можно с уверенностью говорить о том, что изучение данного метода является неотъемлемой частью школьного курса геометрии. Но нельзя забывать, что при решении задач координатным методом необходим навык алгебраических вычислений и не нужна высокая степень сообразительности, а это в свою очередь негативно сказывается на творческих способностях учащихся. Поэтому необходима методика изучения метода координат, позволяющая учащимся научиться решать разнообразные задачи координатным методом, однако не показывающая этот метод как основной для решения геометрических задач. Этим и определяется актуальность выбранной темы: «Изучение метода координат в школьном курсе геометрии основной школы».
Объект исследования данной работы – это процесс изучения учащимися геометрии.
Предметом исследования является изучение метода координат в курсе геометрии основной школы.
Цель работы – разработать методику изучения и использования метода координат в школьном курсе геометрии.
Гипотеза: изучение метода координат в школе будет более эффективно, если:
1. в 5-6 классе проведена пропедевтическая работа по формированию основных умений и навыков;
2. в системном курсе планиметрии учащиеся знакомятся со структурой этого метода;
3. используется продуманная система задач для формирования отдельных компонентов метода.
Предмет, цель и гипотеза исследования определяют следующие задачи:
1. Анализ вариантов изучения метода координат в некоторых из действующих учебников, а также содержание программы по математике по данной теме.
2. Описание метода координат и способов его применения на примере конкретных математических задач.
3. Выделение умений, необходимых для успешного овладения методом координат и подбор задач, формирующих данные умения.
4. Опытная проверка.
Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения поставленных выше задач были использованы следующие методы:
а) анализ программы по математики, учебных пособий, методических материалов, касающихся метода координат;
б) наблюдение за ходом образовательного процесса, за деятельностью учащихся.
Основной опытной базой являлась средняя общеобразовательная школа п.Обор.
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА КООРДИНАТ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ
1.1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ИЗУЧЕНИЯ МЕТОДА КООРДИНАТ В ШКОЛЕ
Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат.
Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.
Можно выделить следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии:
1. дать учащимся эффективный метод решения задач и доказательства ряда теорем;
2. показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии;
3. способствовать развитию вычислительной и графической культуры учащихся.
В школе изучение координатного метода и обучение его применению для решения различных математических задач происходит в несколько этапов. На первом этапе вводится основной понятийный аппарат, который хорошо отрабатывается в 5-6 классах и систематизируется в курсе геометрии. В 5 классе учащиеся знакомятся с координатным лучом, который в последствии, при изучении отрицательных чисел, дополняется до координатной прямой. И уже после введения рациональных чисел в 6 классе учащиеся изучают координатную плоскость. На втором этапе ученики знакомятся с уравнениями прямой и окружности. Данные понятия изучаются ими как в алгебре, так и в геометрии с разной содержательной целью, поэтому учащиеся часто не видят связи между ними, а, значит, и плохо усваивают суть метода. Так, в курсе алгебры VII класса графики основных функций вводятся путем построения ряда точек, координаты которых вычисляются по аналитическому заданию функции. В курсе геометрии уравнение прямой и окружности вводится на основе геометрических характеристических свойств, как множество точек, обладающих определенным свойством (равноудаленности от 2 точек – для прямой, от одной точки – для окружности). Обучение применению самого метода координат для решения задач происходит в курсе геометрии 9 класса. Для этого сначала раскрываются основные этапы применения метода, а затем на примере ряда задач показывается непосредственное применение метода координат.
Но не следует принимать координатный метод за основной метод решения задач и доказательства теорем. Шарыгин И. Ф. в своей статье [23] говорит о вреде метода координат, как для сильных, так и для слабых учеников. Что касается слабых учеников, то «большей частью в этой группе находятся дети, которые плохо считают, с трудом понимают и запоминают формулы. Для этих детей геометрия могла бы стать предметом, за счет которого они могли бы компенсировать недостатки общематематического развития. А вместо этого она ложится на них дополнительным грузом Координатный метод оставляет в стороне геометрическую суть изучаемой геометрической ситуации. Воспитывается исполнитель, решающий заданную конкретную задачу. Не меньше, но и не больше. Не развивается геометрическая, и даже математическая интуиция, столь необходимая математику-исследователю», что в свою очередь составляет опасность для сильных учеников.
1.2 АНАЛИЗ ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКОВ
Хорошо известно, что, как бы ни строился школьный курс геометрии, в нем обязательно присутствуют различные методы доказательства теорем и решения задач. Среди таких методов важное место занимают такие методы, как метод геометрических преобразований, метод координат, векторный метод. Сами эти методы тесно связаны между собой. В зависимости от концепции, раскрываемой авторами учебников геометрии для средней школы, тот или иной метод может занимать доминирующее значение. Так в учебнике [2] активную роль играет метод координат, который весьма плодотворен.
В школьной программе по математике методу координат уделяется сравнительно мало внимания. В разделе «Цели изучения курса геометрии» говорится: «При доказательстве теорем и решении задач применяются геометрические преобразования, векторы и координаты». Следовательно, программа не ставит целью изучение метода координат как метода решения задач. В программе говорится, что «в результате изучения курса геометрии учащиеся должны уметь использовать координаты для решения несложных стандартных задач». Ни слова не говориться об овладении учащимися методом координат для доказательства теорем и решении задач. Упор делается на «несложные стандартные задачи», тогда как метод координат лучше проявляет свои достоинства при решении нестандартных и довольно сложных (если не решать их другими способами) задач.
В соответствии с программой по математике для средней общеобразовательной школы координаты впервые появляются в 5 классе. При этом ребята знакомятся с изображением чисел на прямой и координатами точек. Причем введение этих понятий в учебниках различно. Так в учебнике [4] в пятом параграфе первой главы рассматривается координатный луч, с его помощью в дальнейшем происходит сравнение натуральных и дробных чисел, а так же иллюстрация действий сложения и вычитания над натуральными числами. С понятием координатной прямой авторы учебника [4] знакомят учащихся в 6 классе. В учебнике же [8] нет определения «координатный луч». Авторы в начале 5 класса вводят понятие координатной прямой, хотя, до изучения отрицательных чисел, которое происходит в 6 классе, работа идет только с правой частью координатной прямой, представляющей собой координатный луч. Это не совсем удобно, так как могут возникнуть не нужные пока вопросы о другой части этой координатной прямой. В целом, учебники [4], [5] содержат больше заданий, связанных с определением координатного луча, (координатной прямой, а затем и координатной плоскости) и чаще обращаются к нему для введения других понятий или рассмотрения действий над числами, чем учебники [7], [8].
Согласно программе в геометрии координаты изучаются в следующем объеме: «Координатная плоскость. Формула расстояния между двумя точками плоскости с заданными координатами. Уравнение прямой и окружности».[19]
Так, в учебнике [2] координатам посвящена отдельная глава в 9 классе. Причем этот материал изучается после изучения темы «Векторы», но до изучения скалярного произведения векторов. На рассмотрение темы отводиться 18 часов. В данном учебнике метод координат выделен в отдельную главу, в которой изучаются координаты вектора, уравнение окружности и прямой, решаются простейшие задачи в координатах. В этой главе дается понятие метода координат как метода изучения геометрических фигур с помощью средств алгебры. Школьники учатся решать задачи путем введения системы координат. Автор ставит целью научить школьников владеть методом координат не только в применении к задачам на построение фигур по их уравнению, но и при решении задач на доказательство, а также для вывода геометрических формул.
В отличие от других школьных учебников по геометрии в учебнике [2] координаты заняли одно из центральных мест. Они вводятся, начиная с 8 класса после изучения тем «Четырехугольники» и «Теоремы Пифагора». На изучение темы отводится 19 часов. Сразу, после рассмотрения основных понятий, связанных с введением координат на плоскости, уравнений окружности и прямой, с учащимися изучаются такие вопросы, как пересечение двух окружностей, пересечение прямой и окружности, определение синуса, косинуса и тангенса любого угла от 0° до 180°. Это и есть первые приложения метода координат, с которыми знакомятся учащиеся.
В курсе алгебры, исходя из уравнения y=f(x), где f(x) заданная функция, строили кривую, определяемую этим уравнением, т. е. строили график функции y=f(x) . Таким образом, шли как бы «от алгебры к геометрии». При изучении метода координат в геометрии мы выбираем обратный путь: исходя из геометрических свойств некоторых кривых, выводим их уравнение, т. е. идем как бы «от геометрии к алгебре». В 9 классе по учебнику [2] рассматривается уравнение прямой и окружности. При этом обращается внимание на общее понятие «уравнение фигуры»: «Уравнением фигуры на плоскости в декартовых координатах называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие данному уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры».
Учебник [2] реализует авторскую концепцию построения школьного курса геометрии, в нем больше внимания по сравнению с традиционными учебниками уделяется методам решения геометрических задач. Метод координат по данному учебнику является предпоследней темой 9 класса. При его изучении учащиеся знакомятся с декартовыми координатами на плоскости, рассматривают два уравнения «плоских линий: прямой и окружности», которые в дальнейшем будут необходимы при решении задач. В процессе этого отрабатываются некоторые умения, необходимые для решения задач координатным методом. Следует отметить, что в учебнике сравнительно небольшой теоретический материал по данной теме. Так, например, единственной доказанной формулой (причем только для одного случая когда х1
·х2 и у1
·у2), если не считать уравнений линий, является формула расстояния между точками. В учебнике [2] формула середины отрезка в теоретическом материале не рассматривается, хотя в практических заданиях присутствует задача «Рассмотрим на координатной прямой точки А(-2,5) и В(4,3). Найти координаты точки М, если М – середина АВ», таким образом учащимся предлагается самим вывести формулу координат середины отрезка, рассматривая данный конкретный случай и используя понятия координат и формулу расстояния между точками.
Автор не предлагает учащимся как такового понятия фигуры, но подробно рассматривает уравнения «плоских линий», которые понадобятся учащимся при решении задач. Это уравнения окружности и прямой.
А после изучения векторов рассматривается параграф «Координатный метод», в котором на примере двух разобранных задач, в одной из которых рассматривается окружность Аполлония, а в другой обращается внимание на выбор системы координат, учащимся предлагается ряд задач, решаемых данным методом. Это довольно сложные задачи, в основном связанные с нахождением геометрического места точек.
Автор данного учебника признает, что «координатный метод является одним их самых универсальных методов», но отмечает, что «метода на все случаи жизни нет».
ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ КООРДИНАТНОМУ МЕТОДУ
2.1.ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КООРДИНАТ
Чтобы решать задачи как алгебраические, так и геометрические методом координат необходимо выполнение 3 этапов:
1) перевод задачи на координатный (аналитический) язык;
2)преобразование аналитического выражения;
3)обратный перевод, т. е. перевод с координатного языка на язык, в терминах которого сформулирована задача.
Для примера рассмотрим алгебраическую и геометрическую задачи и проиллюстрируем выполнение данных 3 этапов при их решении координатным методом.
№1. Сколько решений имеет система уравнений.
Решение:
1 этап: на геометрическом языке в данной задаче требуется найти, сколько точек пересечения имеют фигуры, заданные данными уравнениями. Первое из них является уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1, а второе уравнением параболы.
2 этап: построение окружности и параболы; нахождение точек их пересечения.
3 этап: количество точек пересечения окружности и параболы является ответом на поставленный вопрос.
№2. Найдите множество точек, для каждой из которых расстояния от двух данных точек равны.
Решение:
Обозначим данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А Предположим далее, что АВ=а, тогда в выбранной системе координат А(0,0) и В(а,0). Точка М(х,у) принадлежит искомому множеству тогда и только тогда, когда АМ=МВ, или, что то же самое, АМ2=МВ2. Используя формулу расстояния от одной точки координатной плоскости до другой, получаем АМ2=x2+y2, MB2=(x-a)2+y2. Тогда х2+у2=(х-а)2 + у2
Равенство х2+у2=(х-а)2+у2 и является алгебраической моделью ситуации, данной в задаче. На этом заканчивается первый этап ее решения (перевод задачи на координатный язык).
На втором этапе осуществляется преобразование полученного выражения, в результате которого получаем соотношение .
На третьем этапе осуществляется перевод языка уравнения на геометрический язык. Полученное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А на расстояние , т.е. серединного перпендикуляра к отрезку АВ.
2.2 ЗАДАЧИ, ОБУЧАЮЩИЕ КООРДИНАТНОМУ МЕТОДУ
Для разработки методики формирования умения применять координатный метод важно выявить требования, которые предъявляет логическая структура решения задач мышлению решающего. Координатный метод предусматривает наличие у обучающихся умений и навыков, способствующих применению данного метода на практике. Проанализируем решение нескольких задач. В процессе этого анализа выделим умения, являющиеся компонентами умения использовать координатный метод при решении задач. Знание компонентов этого умения позволит осуществить его поэлементное формирование.
Задача №1 . В треугольнике ABC: AC=b, AB=c, ВС=а, BD - медиана. Докажите, что .
Выберем систему координат так, чтобы точка А служила началом координат, а осью Ох - прямая АС (рис. 2).
(умение оптимально выбирать систему координат, т. е. так, чтобы наиболее просто находить координаты данных точек).
В выбранной системе координат точки А, С и D имеют следующие координаты: А(0,0), D(,0) и С(b,0)
(умение вычислять координаты заданных точек). Обозначим координаты точки В через х и у. Тогда используя формулу для нахождения расстояний между двумя точками, заданными своими координатами, получаем:
х2+у2=с2 , (x-b)2+y2=a2 (1)
(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)
По той же формуле . (2)
Используя формулы (1) находим х и у.
Они равны:
; .
Далее, подставляя х и у в формулу (2), находим .
.
(умение выполнять преобразования алгебраических выражений)
Задача №2. Найти множество точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная.
Обозначим данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А.
(умение оптимально выбирать систему координат).
Предположим АВ=а, тогда в выбранной системе координат А(0,0), В(а,0).
(умение находить координаты заданных точек)
Точка М(х,у) принадлежит искомому множеству тогда только тогда, когда AM2-MB2=b2 где b - постоянная величина
(умение переводить геометрический язык на аналитический, составлять уравнения фигур).
Используя формулу расстояний между двумя точками, получаем:
, ,
(умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами), или . Данное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А на расстояние .
(умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ)
Нетрудно видеть, что и для решения этой задачи необходимо овладение перечисленными выше умениями. Кроме того, для решения приведенной задачи, а также и других задач важно умение «видеть за уравнением» конкретный геометрический образ, которое является обратным к умению составлять уравнения конкретных фигур.
Выделенные умения являются основой при решении и более сложных задач.
Задача №3. В трапеции меньшая диагональ перпендикулярна основаниям. Найти большую диагональ, если сумма противоположных углов равна , а основания равны а и b.
Направим оси координат по меньшей диагонали и одному из оснований (рис. 3).
(умение оптимально выбирать систему координат).
Тогда точка А имеет координаты (0,0), точка В - (а,0), точка С - (0,c), точка D - (b,c).
(умение находить координаты заданных точек)
Пусть и острые углы в трапеции АВСD, тогда их сумма равна . Для вычисления длины большей диагонали BD надо найти значение с. Его можно вычислить 2 способами. Первый - из прямоугольного треугольника АВС по формуле находим . Второй способ из прямоугольного треугольника ACD: . Отсюда получили, что
(1)
Из равенства (1) находим отношение : оно равно -, так как . Выразим . Он равен , исходя из этого, пользуясь зависимостью (1), получаем .
(умение выразить недостающие координаты через уже известные величины)
Далее воспользовавшись координатной формулой расстояния между двумя точками, найдем длину BD.
(умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами)
Она равна .
Итак, компонентами умения применять координатный метод в конкретных ситуациях являются следующие умения:
1. переводить геометрический язык на аналитический для одного типа задач и с аналитического на геометрический для другого;
2. стоить точку по заданным координатам;
3. находить координаты заданных точек;
4. вычислять расстояние между точками, заданными координатами;
5. оптимально выбирать систему координат;
6. составлять уравнения заданных фигур;
7. видеть за уравнением конкретный геометрический образ;
8. выполнять преобразование алгебраических соотношений.
Данные умения можно отработать на примере следующих задач, формирующих координатный метод:
1) задачи на построение точки по ее координатам;
2) задачи на нахождение координат заданных точек;
3) задачи на вычисление расстояния между точками, заданными координатами;
4) задачи на оптимальный выбор системы координат;
5) задачи на составление уравнения фигуры по ее характеристическому свойству;
6) задачи на определение фигуры по ее уравнению;
7) задачи на преобразование алгебраических равенств;
Приведем примеры таких задач.
I. Построение точек на плоскости.
С координатной прямой, а затем и с координатной плоскостью учащиеся знакомятся в 5-6 классах при изучении математического материала. При этом удобно использовать мультимедийные презентации, которые позволяют в динамике излагать необходимый материал, использовать всевозможные иллюстрации и звуковые эффекты, тем самым, заинтересовывая учащихся и являясь хорошим наглядным средством. Приведем несколько примеров задач, которые можно использовать при изучении координатной плоскости. Эти задачи могут быть использованы:
а) для оттачивания навыков построения точек по их координатам со всем классом;
б) для дополнительных заданий отстающим ученикам;
в) для развития интереса к изучаемой теме.
1) На координатной плоскости постройте точки А(7,2), B(-2,1), C(0,2).
2) Отметьте на плоскости несколько точек. Начертите произвольную систему координат и найдите в ней координаты заданных точек.
3) Ответ
Рис. 4
Постройте фигуры по координатам их узловых точек. Указание: узловыми будем называть точки, служащие концами отрезков, образующих фигуры. Точки, координаты которых записаны подряд через запятую, соединяйте последовательно друг с другом. Если же координаты разделяются знаком «;», то соответствующие точки не следует соединять. Они нужны для изображения вспомогательных элементов.
А) Камбала (Рис. 4)
(3,7), (1,5), (2,4), (4,3),
(5,2), (6,2), (8,4), (8,-1),
(6,0), (0,-3),(2,-6),(-2,-3),
(-4,-2),(-5,-1),(-6,1),(-4,1);
(-6,1), (-6,2), (-3,5), (3,7);
(-4,-2),(-2,0),(-2,2),(-3,5);(-3,3).
Б)Найдите координаты выделенных на рисунке точек, двигаясь по часовой стрелке от самой жирной точки. (Рис. 5 и 6)
Рис. 5 Рис. 6
II.Задачи на выбор системы координат
Выбор системы координат имеет очень важное значение при применении метода координат.
Для примера возьмем задачу, которая рассмотрена в учебнике [2] «Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин».
Первым шагом при применении метода координат является такой выбор осей и системы координат, при котором алгебраические выкладки становятся
более простыми. Для данной задачи удачный выбор системы координат показан на рисунке 7.
Таким образом, начало координат помещаем в точку А, а оси проводим через точки В и С так, чтобы эти точки лежали на положительных лучах осей. Следовательно, В(а,0) и С(0,b). Поэтому по формуле середины отрезка D(). Теперь , .
Поэтому AD=BD. А так как по определению середины отрезка BC=CD, то теорема доказана.
Можно выбрать систему координат и по-другому (рис.8, рис.9).
Если выбрать оси совсем случайно, то легкую задачу можно превратить в очень трудную. Чтобы начать доказательство исходя из рисунка 10, нужно найти способ, позволяющий выразить алгебраически, что треугольник ABC имеет при вершине А прямой угол. Сделать это можно, но будет это не очень просто.
Поэтому необходимо вырабатывать у учащихся, начиная с 6 класса, представления о возможности произвольного выбора системы координат. Эту работу целесообразно вести в процессе решения задач. В целях пропедевтической работы можно рекомендовать в 6 классе задачи из учебника на нахождение координат точек по рисунку, разнообразя их с помощью изменения направления осей и начала координат.
1. Длина отрезка АВ равна 5см. а)Выберите систему координат, в которой можно было бы наиболее просто определить координаты концов отрезка. б)Выберите систему координат так, чтобы координаты концов отрезка были бы: А (-2.5,0), В(2.5,0).
2. Постройте квадрат ABCD со стороной 2 см; отметьте точку М- центр квадрата. Поместите начало координат последовательно в точки A, B, C, D и выберите направление осей координат так, чтобы точка М в каждой системе координат имела координаты (1;1). За единичный примите отрезок длиной 1 см.
3. Треугольник ABC равносторонний (длина стороны равна 6 см.). Выберите систему координат так, чтобы можно проще было бы определить координаты его вершин.
III. Расстояние между точками
1) Точка М(а,с) находится от начала координат и точки А(4,0) соответственно на расстояниях 3 и 4 см. Определите координаты точки М.
2) Дан прямоугольник ABCD (АВ=2 см., ВС=4 см.). Как выбрать систему координат, чтобы его вершины имели координаты А(-1,-2), В(-1,2), С(1,2), D(l,-2)?
3) Длины сторон треугольника ABC равны 3, 4 и 5 см. Выберете систему координат и определите в ней координаты вершин треугольника ABC.
4) Вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты: А(-3,1), В(3,6), С(2,2) и D(-4,3). Установите вид четырехугольника.
IV. Составление уравнения фигур
Это умение является одним из основных умений, которые необходимы при применении метода координат к решению задач.
1) Изобразите систему координат. Отметьте на оси Ох точки А и В. Запишите соотношения, которым удовлетворяют координаты точек, принадлежащих: а)отрезку АВ; б)лучу АВ; в)лучу ВА;
2) Запишите уравнение прямой, содержащей начало координат и точку А(2,5).
3) Запишите уравнение прямой, содержащей точки А(2,7)и В(1,3).
4) Изобразите на координатной плоскости произвольную прямую и найдите ее уравнение.
5) Запишите соотношения, которым удовлетворяю координаты точек прямоугольника с вершинами А(2,3), В(2,5), С(4,5), D(4,3).
6) Что представляют собой множества точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенствам: а)х
·3; b)-5
·х
·0; c)x>1; d)x<-2; e)
·2; f)
·0?
7) Какую фигуру образует множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств 2
·x
·5 и 1
·y
·3?
8) Постройте точки, симметричные точкам А(2,-3) , В(5,0), С (0,7) относительно: а) оси Ох; б) оси Оу; в)биссектрисы I и III координатных углов. Запишите эти координаты.
9) Установите, относительно какой из координатных осей симметричны точки А(1,2), В (-7,2).
10) Точки А(5,), В(,2) симметричны относительно оси Ох. Запишите пропущенные координаты.
11) Постройте образы точек А(1,5), В(-2,3), С(3,0) при параллельном переносе а)О(0,0)К(3,0); 6)0(0,0)М(2,3). Запишите их координаты.
12) С помощью какого параллельного переноса можно отобразить точку М(-3,4) в точку M1(2,4)?
13) Найдите на прямых у=-Зх+1 и у=2х+3 точки, симметричные относительно оси Ох.
14) Запишите уравнение прямой, на которую отображается прямая у=4х-3 вектором с координатами (3,4).
15) На прямых у=Зх+2 и у=-5х+5 найдите такие точки, которые находятся одна от другой на расстоянии 5 см, и принадлежат прямой, параллельной оси Ох.
2.3 ВИДЫ ЗАДАЧ, РЕШАЕМЫХ МЕТОДОМ КООРДИНАТ
Применяя метод координат, можно решать задачи двух видов.
1. Пользуясь координатами можно истолковать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функции первый пример такого применения метода координат.
2. Задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах геометрические соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Например, можно выразить через координаты основную геометрическую величину - расстояние между точками.
В связи с усилением роли координатного метода в изучении геометрии особенно актуальной становиться проблема его формирования. Наиболее распространенными среди планиметрических задач, решаемых координатным методом, являются задачи следующих 2 видов: 1) на обоснование зависимостей между элементами фигур, особенно между длинами этих элементов; 2) на нахождение множества точек, удовлетворяющих определенным свойствам.
Примером задач первого вида может служить следующая:
«В треугольнике ABC, AB=c, AC=b, BC=a, BD - медиана.
Доказать, что »
Задача: «Найти множество точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная» - является примером задач второго вида.
Решения этих задач были разобраны выше.
Несмотря на недостатки метода координат такие как наличие большого количества дополнительных формул, требующих запоминания, и отсутствие предпосылок развития творческих способностей учащихся, некоторые виды задач трудно решить без применения данного метода. Поэтому изучение метода координат необходимо, однако более детальное знакомство с этим методом целесообразно проводить на факультативных занятиях. Далее приведем ряд задач для факультативов.
Пример 1. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки, взятой на диаметре окружности, до концов любой из параллельных ему хорд постоянна.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат с началом в центре окружности. Пусть хорда МР параллельна оси Ох, а точка А принадлежит диаметру (рис. 11). Обозначим расстояние ОА через а, а расстояние от точки Р до оси Ох через b. Тогда точка А имеет координаты (а, 0). Точки Р и М принадлежат окружности с центром в начале координат и радиусом равным 1, следовательно их координаты удовлетворяют уравнению данной окружности . Используя это уравнение находим координаты точек Р() и М(). Необходимо доказать, что АМ2+АР2 не зависит от переменной b. Найдем АМ2 и АР2 используя формулу нахождения расстояния между двумя точками по их координатам: . Они соответственно равны и , а их сумма после приведения подобных равна 2а2+2. Это число не зависит от переменной b, что и требовалось доказать.
Пример 2. Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей. (Теорема Эйлера)
Решение: Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке 12.
Пусть точки А, В, С и D имеют координаты (0,0), (d,0), (c,d) и (0,d) соответственно. Следовательно, координаты точек L и P есть () и (). Найдем квадраты длин отрезков, с помощью формулы нахождения расстояния между точками по их координатам.
AD2=; BC2=; DC2=; AB2=;
AC2=; BD2=; LP2=.
Запишем выражение, которое необходимо доказать, используя найденные нами значения. AD2+BC2+DC2+AB2=AC2+BD2+4LP2
+++= ++4
Раскроем скобки, приведем подобные и получим верное равенство 0=0. Значит, сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей.
Пример 3. Диаметры AB и CD окружности перпендикулярны. Хорда ЕА пересекает диаметр СD в точке К, хорда ЕС пересекает диаметр АВ в точке L. Докажите, что если СК:KD так же как 2:1, то AL:LB так же как 3:1.
Решение: Введем прямоугольную систему координат, направив оси по данным диаметрам AB и CD
(рис. 13).
Радиус окружности будем считать равным 1. Тогда точки А, В, С, D будут иметь координаты (-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1) соответственно. Так как СК:KD=2:1, то точка К имеет координаты (0,). Найдем координаты точки Е как точки пересечения прямой АК, имеющей уравнение и окружности, заданной уравнением . Получаем, что точка Е имеет координаты (). Точка L – это точка пересечения прямых СЕ и оси абсцисс, значит ординаты точки L равна 0.
Найдем абсциссу точки L. Прямая СЕ задана уравнением . Она пересекает ось Ох в точке (,0). Отсюда координаты точки L(,0). Найдем отношение AL:LB. Оно равно трем, что и требовалось доказать.
2.4 РАЗРАБОТКИ УРОКОВ
Для того чтобы разработать конспекты уроков по данной теме, была изучена математическая и методическая литература, посещены уроки и мастер-классы в средней общеобразовательной школе п.Обор. В данной школе изучение математики ведется по учебникам [2], [3], [4], [5], поэтому в качестве основного теоретического и практического источника я выбрала данные методические комплекты.
Урок №1: Тема: Шкалы и координаты.
Предмет, класс, количество часов: Математика, 5 класс, 1 час.
Тип урока: урок-исследование.
Цели урока:
Образовательные: рассмотреть практическую направленность знаний шкалы, делений шкалы; повторить понятие шкалы, повторить единицы измерения на различных приборах измерения, ввести понятие координатного луча, научиться определять координаты точек координатного луча.
Развивающая: развитие умений различать деления шкал; развитие умений применять полученные знания в решении задач; определять координаты точек на координатном луче.
Воспитательные: воспитание дисциплинированности, ответственности и трудолюбия.
Ход урока.
Передача целей и сообщение темы урока (слайд №1)
Здравствуйте, ребята. На предыдущих уроках вы изучили тему «Шкалы» и их единицы измерения. Сегодня на уроке вам пригодятся знания, полученные раннее шкалах. Давайте сформулируем цели, которые будем решать на уроке. Подготовка к изучению нового материала.(слайд № 2)
Вычислить устно:
37+27= 41-12= 36-18= 22-15= 68-29=
56-17= 44+19= 28+18= 54+26= 27+15=
Устный опрос: (слайд №3,4)
- Дайте определение отрезка
- Дайте определения луча.
- Дайте определение треугольника.
По рисунку определите:
- Какие точки принадлежат прямой а?
- Какие точки не принадлежат прямой а?
- Какая геометрическая фигура изображена на рисунке?
- Назовите вершины, стороны, углы.
(Слайд № 5) На слайде представлены разные геометрические фигуры: Учитель:
Ребята, я прошу вас посмотреть на геометрические фигуры, назовите их. С помощью каких инструментов можно чертить эти фигуры?
Изучение нового материала (слайд №6, 7)
Учитель: С помощью какого инструмента можно измерить длину отрезка?Длины отрезков измеряют линейкой. На линейке нанесены штрихи. Они разбивают линейку на равные части – деления. (слайд № 8). Расстояние между мелкими рисками равно 1 миллиметр, а между крупными 1 сантиметр. Все деления линейки образуют шкалу. Шкалы бывают не только на линейках. Какие приборы имеют шкалы? Термометр Каждое деление соответствует одному градусу Цельсия. Какую температуру показывает термометр?- Длины измеряют разными измерительными приборами. Шкалы могут быть и на других измерительных приборах, например термометр. Данный термометр имеет цену деления равную 1градус Цельсия (слайд №9)
4. Историческая справка (слайд №9)
Андерс Цельсий - (1701-1744), шведский астроном и физик. Родился 27 ноября 1701 в Упсале. Окончил Упсальский университет и с 1730 до конца жизни был профессором этого университета. При его участии была организована Упсальская обсерватория, директором которой он стал в 1740. В 1733 Цельсий обнародовал данные наблюдений северного сияния, полученных им самим и другими астрономами в период с 1716 по 1732. В 1763 он принимал участие в экспедиции, целью которой была проверка гипотезы И.Ньютона о том, что Земля сплющена у полюсов. В 1742опубликовал работу с описанием стоградусной шкалы термометра, в которой температура кипения воды при нормальном атмосферном давлении была принята за 0°, а температура таяния льда - за 100°. Позже шведский биолог К.Линней "перевернул" эту шкалу, приняв за 0° температуру таяния льда. Этой шкалой мы пользуемся до сих пор, называя ее шкалой Цельсия. В 1948 она была принята как международная.
Учитель: На рисунке внизу изображен луч ОХ. Отметим на этом луче точку F. Под началом луча, точка O, напишем число 0, а под точкой F число 1. Отрезок OF называется единичным отрезком. Нанесем на луч точку D, так чтобы расстояние OF было равно расстоянию FD и под точкой D напишем число 2. Затем на этом же луче отложим отрезок DE, равный единичному отрезку, и под точкой E напишем число 3. Повторяя эти действия, мы получим бесконечную шкалу. Ее называют координатным лучом. Числа 0, 1, 2, 3, ...,соответствующие точкам O, F, D, E ..., называют координатами этих точек. Пишут: О(0), F(1), D(2), E(3) и т. д.
Учитель: Шкалы могут быть и на других измерительных приборах (слайд № 10-17)
5. Решение упражнений
из учебника № 108-112 Стр23-24
6. Подведение итога урока (слайд № 18-19)
Учитель: - Какую температуру показывает термометр?
Прочитайте (слайд № 19). Что обозначают эти записи?
7. Домашнее задание? п.4 стр. 21-22 №137,138,144
Урок №2: Тема: Координатная плоскость
Предмет, класс, количество часов: Математика, 6 класс, 1 час.
Тип урока: Урок изучения нового учебного материала , урок - семинар
Цели урока:
Обучающие: Сформировать понятие прямоугольной системой координат на плоскости, сформировать представление о взаимно однозначном соответствии между точкой на координатной плоскости и ее координатами;
расширить кругозор учащихся в историческом аспекте;
Развивающие: Активизировать познавательную деятельность учащихся;
развивать логическое мышление, умения анализировать, сравнивать, обобщать, выделять главное, делать выводы;
развивать быстроту реакции, развивать память;
Воспитательные:
воспитывать у учащихся интерес к математике, к познанию; воспитывать аккуратность и культуру графических построений; воспитывать самостоятельность, волю и настойчивость, уверенность в своих силах, стремление к достижению результата.
Ход урока:
Передача целей и сообщение темы урока.
1
2
3
4
5
6
Сегодня мы будем говорить не просто о математике, а о любви к познанию и творчеству, о великом мыслителе, имя которого вы узнаете из кроссворда.
2. Подготовка к изучению нового материала
Математический кроссворд
По горизонтали:
Вспомните компоненты действия деления. Как называется то число, которое делим?
Значение переменной, которое обращает уравнение в верное числовое равенство.
Параллелепипед, в котором все ребра равны.
Вспомните компоненты действия сложения. Как называется число, которое складывают?
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.
1
Д
Е
Л
И
М
О
Е
2
К
О
Р
Е
Н
Ь
3
К
У
Б
4
С
Л
А
Г
А
Е
М
О
Е
5
У
Р
А
В
Н
Е
Н
И
Е
6
Ч
А
С
Т
Н
О
Е
Результат действия деления.
Ответы:
Найдите получившуюся по вертикали фамилию человека, о котором и пойдет речь на сегодняшнем уроке.
Ответ: Декарт
Экскурс в историю. Рассказ о возникновении систем координат (материалы для презентации заранее подготовили ученики)
- Как давно люди используют системы координат?
Ученик №1: Во II веке до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами, покрыв его как бы условной сеткой, и ввести географические координаты - широту и долготу.
Правда, еще до этого астрономы использовали данный прием, изучая небесный свод.
Во II веке н.э. знаменитый древнегреческий астроном и математик Клавдий Птолемей активно пользовался долготой и широтой в качестве географических координат.
Но систематизировал эти понятия в 17 веке Рене Декарт.
Ученик №2:Рене
· Дека
·рт (1596 1650) французский математик, философ, физик и физиолог.
Именно он придумал в 1637 году систему координат, которая используется во всем мире и известна каждому школьнику. Ее называют также - Декартова система координат.
Координатный метод описания геометрических объектов положил начало особой ветви математики - аналитической геометрии.
Что же за человек был Рене Декарт?
Ученик №3:Декарт происходил из дворянского рода и был младшим (третьим) сыном в семье. Он родился в 1596 году во Франции. Его мать умерла, когда ему был 1 год. Отец Декарта был судьёй и большую часть времени проводил на работе в другом городе. Рене получил прекрасное начальное образование в престижном коллеже Ла Флеш. Здесь он обучался у священников-иезуитов. В заведении был очень строгий режим, но Декарту, учитывая его слабое здоровье, разрешили вставать позже других учеников, в любое удобное для него время. Так что юный Рене вставал примерно в полдень, и этого правила он неукоснительно придерживался всю свою жизнь.
В коллеже времени даром не теряли. Здесь Рене, в частности, прослушал полный трехгодичный курс философии. Ежедневно у учеников колледжа было два урока философии по два часа плюс занятия с репетитором; каждую субботу устный диспут, а каждый месяц торжественный турнир, на котором учащиеся спорили перед своими профессорами философии и соучениками. Причем все эти упражнения велись на латыни. За десять лет, проведенных в колледже, Декарт приобрел писательские навыки, изучил музыкальное и драматическое искусства и даже овладел такими благородными занятиями, как верховая езда и фехтование.
Проведя еще два года в Университете Пуатье, он получил ученую степень в области юриспруденции, но отказался от карьеры юриста. Стремление юноши к знаниям было неиссякаемым. Он решил продолжать поиски знаний путем путешествий и наблюдений, изучая то, что он называл «книгой жизни». Итак, Рене поступил на военную службу и стал много путешествовать по Европе.
Однажды, прогуливаясь по улицам Бреды, Декарт увидел надписи на стене. Это была математическая задача, которую предлагалось решить всем желающим. Декарт не очень все понял: текст-то был на голландском. Тогда он обратился к стоящему рядом голландцу и попросил перевести ему текст. Голландец не пришел в восторг от французского невежи-офицера. И ответил, что переведет написанное лишь в том случае, если француз попытается решить задачу и принесет ему свое решение. Во второй половине того же дня молодой французский офицер явился в дом вышеупомянутого голландца и, к полному изумлению последнего, вручил ему не простое решение, а на редкость оригинальное и блестящее. Так Декарт познакомился с Исааком Бекманом, известным голландским философом и математиком. Им предстояло стать близкими друзьями и переписываться двадцать лет подряд. "Вы единственный извлекли меня из состояния праздности и заставили вспомнить вновь то, что я учил...", – писал Декарт Бекману. Именно Бекман возродил в Декарте интерес к математике и философии.
Офицер-дворянин Декарт явно не имел склонности участвовать в активных военных действиях и оставил армейскую службу.
Правда, Декарту все равно не удалось избежать опасности. После посещения одного из Фризских островов, он нанял судно, чтобы добраться до континента. Матросы приняли его за богатого купца и решили ограбить в пути. Когда Декарт стоял на палубе и смотрел на удаляющийся берег, матросы стали на голландском языке обсуждать между собой, как ударить его по голове, бросить за борт и взять золото из его дорожного сундука. Но их пассажир к этому времени уже научился понимать голландские слова, и злополучные аборигены сами оказались в опасности: Декарт кинулся на них, размахивая мечом. Матросы тут же сдались и пообещали доставить его на континент в целости и сохранности.
И тогда Декарт отправился на поиски более уединенных мест, а именно в Нидерланды, где жил около двадцати лет. Терпимые голландцы в XVII веке спокойно обходились без таких вещей, как инквизиция, ересь, дыба и сожжение на костре, которые грозили всем европейским оригинальным мыслителям. Здесь, в отличие от других стран, не требовалось расплачиваться за свои идеи.
Декарт ведёт обширную переписку с лучшими учёными Европы, изучает самые различные науки, пишет книги. Он занимался астрономией и медициной. Причем ради анатомических исследований он ходил на скотобойню и приносил домой, пряча под плащом, всяческие образцы, необходимые для препарирования. Результатом этих трудов стало то, что Декарт положил начало современной науке эмбриологии.
Ученик №4:Великий физиолог Иван Петрович Павлов поставил памятник Декарту возле своей лаборатории в поселке Колтуши (что в Ленингадской области), потому что считал его предтечей своих исследований. Рене Декарт первым предложил понятие рефлекса.
(Памятник Р. Декарту. Скульптор: И.Ф. Безпалов. Адрес: Аллея бюстов великих ученых в Колтушах.)
Еще один мемориал установлен на Петроградской стороне около Научно-исследовательского института экспериментальной медицины.
(Памятник Р. Декарту. 1989. Скульпторы: Г.К.Баграмян, В.Л. Рыбалко. Адрес: ул. Академика Павлова ул., 12, НИИ экспериментальной медицины.)
Декарт – автор метода радикального сомнения в философии. Ему принадлежит знаменитая фраза: «Cogito, ergo sum», что в переводе с латинского означает: «Мыслю, следовательно, существую».
Однако именно математику Декарт называл мощным и универсальным методом познания природы, образцом для других наук.
Ученик №5: Декарт стал знаменитым во всей Европе, его слава была настолько велика, что его труды читали даже короли. Когда молодая королева Швеции Христина случайно натолкнулась на одну из его книг, она была настолько потрясена, что пригласила его ко двору. Он обязан приехать в Стокгольм, дабы обучать ее философии. Долгое путешествие на север в Швецию его не привлекало. Но королева Христина, которой было всего двадцать три года, была женщиной упрямой и решительной. Чтобы добиться своего, она послала за Декартом своего адмирала и военный корабль. Но Декарт отказался в очень галантной форме. Узнав об этом, Христина топнула ногой, и за недвижимым философом помчался по морю еще один корабль. И Декарт, который одерживал победы над величайшими умами Европы, был вынужден признать свое поражение. В октябре 1649 года он поплыл в Стокгольм. Наступила суровая шведская зима. Королева решила, что занятия философией должны начинаться в пять утра. Даже в армии Декарт никогда не вставал раньше одиннадцати. Вы можете себе представить, что испытал Декарт, узнав, что ему придется подниматься в 4 часа, затем нестись во дворец на тряских санях по скользким, покрытым льдом улицам против яростного арктического ветра? Через две недели Декарт простудился и слёг: у него началось воспаление лёгких. На девятый день болезни, Декарта не стало. Ему было всего 53 года. Один из величайших умов Европы был принесен в жертву королевской прихоти.
Объяснение нового материала
Трёхмерное пространство геометрическая модель материального мира, в котором мы находимся. Это пространство называется трёхмерным, так оно имеет три измерения высоту, ширину и длину.
- Что же придумал Рене Декарт?
- Декартова система координат.
Чтобы задать декартову прямоугольную систему координат на плоскости выбирают взаимно перпендикулярные прямые, называемые осями. Точка пересечения осей – «O» называется началом координат. На каждой оси (ОX и ОY) задается положительное направление и выбирается единица масштаба (единичный отрезок).
Ученики строят координатную плоскость в своих тетрадях под диктовку учителя.
Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y.
Координата x равна длине отрезка OB, координата y длине отрезка OC в выбранных единицах измерения.
Координата x называется абсциссой точки A, координата y ординатой точки A.
Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел: ее абсцисса и ордината: (х; у). И обратно: каждой паре чисел соответствует единственная точка на координатной плоскости.
Координаты точки записывают в скобках через точку с запятой, сначала указывается координата «х», затем - координата «у».
Практическая работа. Рисунок на координатной плоскости Задание: на координатной плоскости построить точки по заданным координатам и последовательно соединить их отрезками.
(0;3), (3;3), (5;2), (7;0), (5;-2), (3;-2), (2;-4), (0;-4), (2;4), (-3;2), (-3;4), (-4;2), (-7;1), (-7;4), (-8;3), (-8;-1), (-5;0), (-8;-2), (-1;-2), (0;-4), (3;-2), (5;-2), (7;0), (2;-4)
Ответ: В результате должна получиться фигурка рыбы.
4. Подведение итогов урока
- Кто создал прямоугольную систему координат? Как задается прямоугольная система координат? Как задается точка на координатной плоскости?
5. Домашнее задание. Построить рисунок по координатам. (Учитель раздает карточки с координатами точек, найдя и последовательно соединив которые, учащиеся смогут дома построить рисунок на координатной плоскости.)
(рисунок - слон):
0;1), (4;1), (6;2), (8;0), (8;-4), (5;-6), (4;-4), (4;-8), (3;-9), (2;-9), (0;-9), (0;-8), (2;-8), (3;-7), (1;-5),
(0;-
·5), (-1;-4), (-2;-6), (-5;-4), (-6;-1), (-2;2), (-10;-2), (-13;-4), (-14;-7), (-16;-9), (-13;-7), (-12;-10),
(-13;-14), (-10;-14), (-9;-13), (-10;-9), (-5;-9), (-5;-15), (-2;-15), (-2;-10), (-1;-10), (-1;-11), (-2;-13), (0;-15), (2;-11). Глаза: (0;-2), (4;-2).
И творческое домашнее задание на неделю: Придумать самостоятельно и нарисовать на координатной плоскости животное, состоящее из ломаных, а затем "зашифровать" его с помощью координат точек. Лучшие работы будут вывешены в классе.
Урок №3: Тема: Координатная плоскость в жизни человека
Предмет, класс, количество часов: Математика, 6 класс, 1 час.
Тип урока: урок по систематизации и обобщению изученного материала .
Цели урока:
Образовательные: Закрепить навык нахождения координат точек и построения точек по их координатам; показать практическое значение координатной плоскости в жизни человека;
Развивающие: Формировать навыки работы в сфере самостоятельной познавательной деятельности, навыки работы в команде.
Воспитательные: Воспитывать ответственность за порученное дело; воспитывать внимательность, аккуратность при выполнении построений
Ход урока.
Передача целей и сообщение темы урока.
- Здравствуйте, дети и гости. Тема нашего урока «Координатная плоскость в жизни человека».
Задачи урока: Закрепить навык нахождения координат точек и построения точек по их координатам; показать практическое значение координатной плоскости в жизни человека; научиться обобщать и представлять полученную в результате исследования информацию.
Проверка знаний и умений учащихся
Мы часто слышим слова « Оставьте мне свои координаты». Это выражение означает, что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона.
Итак, координаты – это место расположения того или иного объекта.
На уроке мы познакомимся с работами учащихся нашего класса.
Фронтальный опрос
Закончить фразу:
Координатной плоскостью называется плоскость, на которой
Систему координат образуют
Области, на которые оси разбивают координатную плоскость, называют
Координатная прямая ОХ называется
Координатная прямая ОY называется
Первая координата точки называется
Вторая координата точки называется
Если абсцисса точки равна нулю, то точка лежит
Если ордината точки равна нулю, то точка лежит
10)Если обе координаты точки равны нулю, то точка лежит
Разминка.
Выполнив вычисления вы узнаете координаты точек фигуры.
Название точки
Координаты точки
Х
У
А
-4-2
13 EMBED Equation.3 1415
B
-8,5+6,5
-20:(-10)
C
0:10,02
-10+16
D
1:13 EMBED Equation.3 1415
31,7-29,7
E
13 EMBED Equation.3 1415
-11,2+11,2
F13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2,8:(-1,4)
G
-5-(-5)
13 EMBED Equation.3 1415
H13 EMBED Equation.3 1415
-1,02+(-0,98)
13 EMBED Equation.3 1415
Ответы: A(-6;0); B(-2;2); C(0;6); D(2;2); E(6;0); F(2;-2); G(0;-6); H(-2;2).
Актуализация знаний (Представление буклета учащихся)
Когда мы начали изучать тему «координатная плоскость», то заинтересовались вопросом «Когда и кто придумал систему координат?». Всё, что мы узнали, оформили в виде буклета.
Первоначально идея координат зародилась в древности в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Древнегреческий астроном Клавдий Птолемей(IIв.) применил географические координаты( долготу и широту) для определения местонахождения мореплавателей. Идеей координат пользовались в средние века для определения положения светил на небе, для определения места на поверхности Земли. Прямоугольной сеткой пользовались художники эпохи Возрождения.
Применять координаты в математике впервые стали Пьер Ферма ( 1601-1665 ) и Рене Декарт ( 1596-1650). В 1637 году вышла книга Рене Декарта Рассуждения о методе». В ней он предложил новый методметод координат, который позволил переходить от точки в координатной плоскости к паре чиселеё координатам.
Метод координат позволяет строить графики уравнений, изображать геометрически различные зависимости, выраженные с помощью уравнений и формул.
Термины «абсцисса» и «ордината» были введены в употребление Г. Лейбницем (1646-1716) в 70-80 годы XVII века. Термин «координаты» произошел от латинского слова «ordinates» - «упорядоченный», а приставка «co» указывает на «совместность»: координат обычно бывает две и более. «Абсцисса» (латинское слово «abscissus» -«отрезанный»).
4. Практическая работа
1) 3 человека работают на компьютере: программа «Мир информатики», 3 класс, «Координаты»;
2) Координатные загадки (дополнительно) :
Задание: Расшифруйте следующее сообщение с помощью таблицы
(9;3) (1;3) (12;1) (5;3) (5;1) (2;3) (2;2) (5;1) (12;1) (5;3) (5;1) (2;3) (2;2) (5;1) (3;1) (12;1) (10;3) (12;1) (1;2) (2;1) (1;3) (4;2) (11;1) (4;2) (12;3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
к
л
м
н
о
ь
ъ
ы
э
ю
я
«пробел»
2
п
р
с
т
у
ф
х
ч
ц
ш
щ
,
3
а
б
в
г
д
е
ё
ж
з
и
й
.
Ответ: За добро добром и платят.
3) 1 человек на доске определяет координаты точек рисунка;
«Кораблик»
у
7
3
-7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 х
о -1
-3
Ответ:
(-2, 0) Парус 1-ое окно 2-ое окно 3-е окно
(-3, 1) (1, 0) (-4, -1) (-2, 0) (2, 0)
(-7, 1) (1, 6) (-3, -1) (-2, -1) (2, -1)
(-4, -2) (-2, 3) (3, 0) (-1, -1) (1, -1)
(6, -2) (1, 1) (4, 0) (-1, 0) (1, 0)
(7, 1)(3, 1)
(2, 0)(0, 0)
4) остальные учащиеся составляют рисунки по готовым координатам на карточках. (Задания из рабочей тетради «Математика 6» (автор Е. А. Бунимович), стр53. №129, 130.)
5. Закрепление по теме «Координаты вокруг нас».
Суть координат состоит в следующем: это правило, по которому определяется положение того или иного объекта.
1) Системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека.
Это почтовые адреса и номера телефонов, в поезде номер вагона и номер места, в многоэтажном доме номер подъезда и номер этажа.
2) Система координат в зрительном зале (номер ряда и номер места). Пользуясь знанием координат можно составить «живые картинки». Например: «Живая картина» открытия XII Всемирного фестиваля молодёжи и студентов в Москве в 1985 году.
3)Географические координаты (долгота и широта) представлена на картах, туристических маршрутах.
4)Система координат используется в шахматах, где вертикали обозначаются цифрами, а горизонтали латинскими буквами.
5)Систем координат мы пользуемся, когда играем в « Морской бой».
6)Не обойтись без системы координат и в математике, физике, статистике, бухгалтерском деле.
В своей бытовой и профессиональной деятельности человек регулярно сталкивается с прямоугольной декартовой системой координат, имеющей огромное практическое применение.
Значение системы координат велико: она позволяет определить положение того или иного объекта.
6. Итог урока
Ответить на вопросы:
Кто и когда придумал систему координат?
Где в жизни применяется система координат?
7. Домашнее задание: §10.1, 10.6, стр. 239 «Задания для самопроверки»
Урок №4: Тема: Решение задач методом координат с практическим содержанием.
Предмет, класс, количество часов: Геометрия, 7 класс, 1 час.
Тип урока: урок по систематизации и обобщению изученного материала .
Цели урока:
Образовательная: научиться применять метод координат к планиметрическим задачам.
Развивающая: развитие памяти, внимательности, нестандартного подхода к решению задач, способствовать развитию вычислительной и графической культуры учащихся
Воспитательная: развитие познавательного интереса, логического мышления, умения работать с тестом.
Ход урока.
Передача целей и сообщение темы урока.
На предыдущих уроках мы решали задачи в которых, пользуясь координатами, истолковывали уравнения и неравенства геометрически и таким образом применяли геометрию к алгебре.
Задавали фигуры уравнениями и выражали в координатах геометрические соотношения, тем самым применяли алгебру к геометрии. Например: можно выразить через координаты основную геометрическую величину - расстояние между точками.
На уроке мы будем рассматривать планиметрические задачи, решаемые координатным методом, 3 видов: 1) на обоснование зависимостей между элементами фигур, особенно между длинами этих элементов; 2) на нахождение множества точек, удовлетворяющих определенным свойствам. 3) решения задач с практическим содержанием методом координат.
Проверка домашнего задания
№ 944 - подготовлен на доске чертеж
Решение:
а) т.к. вершина А лежит на положительной полуоси Ох, ОА = а, то А(а,0). Вершина В имеет координаты (b;c), ОА=ВС=а, поэтому С(b+a ;c)
Ответ: С(b+a ;c)
б)АС = 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415
СО =13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415
Во время подготовки на доске домашнего задания, проходит проверка опорных знаний учащихся
Учитель: Давайте вспомним:
Сформулируйте формулу для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца.
Сформулируйте формулу для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов.
Сформулируйте формулу для вычисления длины вектора по его координатам.
Сформулируйте формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам
Актуализация знаний. Теоретический тест
Вариант 1.
Если А(c;d), B(m;n), C(x;y) – середины отрезков АВ, то:
А) 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415; 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415 B) 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415; 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415
C) 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415; 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415
Если 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415, то:
А) 13EMBED Equation.DSMT41415 В) 13EMBED Equation.DSMT41415 С) 13EMBED Equation.DSMT41415
3. Если 13EMBED Equation.DSMT41415, то:
А) 13EMBED Equation.DSMT41415; В) 13EMBED Equation.DSMT41415; С) 13EMBED Equation.DSMT41415
4.Если 13EMBED Equation.DSMT41415, то:
А) 13EMBED Equation.DSMT41415; В) 13EMBED Equation.DSMT41415; С) 13EMBED Equation.DSMT41415;
5.Если 13EMBED Equation.DSMT41415, то
А) 13EMBED Equation.DSMT41415; В) 13EMBED Equation.DSMT41415; С) 13EMBED Equation.DSMT41415;
6.Если 13EMBED Equation.DSMT41415, то
А) 13EMBED Equation.DSMT41415; В) 13EMBED Equation.DSMT41415; С) 13EMBED Equation.DSMT41415;
7.Если 13EMBED Equation.DSMT41415, то
А) 13EMBED Equation.DSMT41415; В) 13EMBED Equation.DSMT41415; С) 13EMBED Equation.DSMT41415;
Ответы к заданиям текста
1
2
3
4
5
6
7
а
б
б
с
а
б
с
Вариант 2.
1. Если А(a;b), B(c;d) то:
А) 13EMBED Equation.DSMT41415 B) 13EMBED Equation.DSMT41415 C) 13EMBED Equation.DSMT41415
2. Если 13EMBED Equation.DSMT41415 , то:
А) 13EMBED Equation.DSMT41415 В) 13EMBED Equation.DSMT41415 С) 13EMBED Equation.DSMT41415
3. Если 13EMBED Equation.DSMT41415, то:
А) 13EMBED Equation.DSMT41415; В) 13EMBED Equation.DSMT41415;
С) 13EMBED Equation.DSMT41415
4.Если 13EMBED Equation.DSMT41415, то:
А) C – середина АВ В) А – середина ВС С) В – середина АС
5.Если 13EMBED Equation.DSMT41415, то
А) 13EMBED Equation.DSMT41415 В) 13EMBED Equation.DSMT41415; С) 13EMBED Equation.DSMT41415;
6.Если 13EMBED Equation.DSMT41415, то
А) 13EMBED Equation.DSMT41415; В) 13EMBED Equation.DSMT41415; С) 13EMBED Equation.DSMT41415;
7.Если 13EMBED Equation.DSMT41415, то
А) 13EMBED Equation.DSMT41415; В) 13EMBED Equation.DSMT41415; С) 13EMBED Equation.DSMT41415
Ответы к заданиям текста
1
2
3
4
5
6
7
б
с
а
а
с
б
а
Решение задач
Задача 1:
Медиана проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы треугольника.
Решение:
Поместим данный равнобедренный треугольник в прямоугольную систему координат таким образом, чтобы медиана лежала на положительной полуоси Оу, а его основание – на оси Ох.
у
B
M N
A O C х
Т.к. медиана равна 160см, а основание равно 80 см, то
А(- 40; 0), В(0; 160), С (40; 0).
Пусть М и N – середины сторон АВ и ВС соответственно, тогда
13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415; 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415 М(-20;80), N(20;80),
AN и СМ- медианы, найдём их длины:
13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415=100 (см)
13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415=100 (см)
Ответ: 100 см, 100 см.
Задача 2 .
На плоскости даны точки А и В; найти геометрическое место точек М, удаленных от А в двое больше, чем от В.
Решение:
Выберем систему координат на плоскости так, чтобы начало координат попало в точку А, а положительная полуось абсцисс пошла по АВ. За единицу масштаба возьмем отрезок АВ. Точка А будет иметь координаты (0,0), точка В координаты (1,0). Координаты точки М обозначим через (х,у). Условие 13EMBED Equation.DSMT41415 записывается в координатах так:
13EMBED Equation.DSMT41415.
Мы получили уравнение искомого геометрического места точек. Чтобы понять, какое множество описывается этим уравнением, мы преобразуем его так, чтобы оно приняло знакомый нам вид. Возведя обе засти в квадрат, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем равенство: Зх2-8х+4+Зу2=0.
Это равенство можно переписать так: 13EMBED Equation.DSMT41415 или так: 13EMBED Equation.DSMT41415. Это уравнение окружности с центром в точке (13EMBED Equation.DSMT41415,0) и радиусом, равным 13EMBED Equation.DSMT41415. Это значит, что наше геометрическое место точек является окружностью.
Задача 3 .
Два предприятия А и В производят продукцию с одной и той же ценой m за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 р. на 1 км, а для предприятия В 20 р. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть расположен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными.
Краткое условие:
Предприятие
А
В
Транспортные расходы
10 р.
на 1 км
20 р.
на 1 км
Расстояние между предприятиями
300 км
Вопрос
Как территориально должен быть расположен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными?
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся методом координат.
Систему координат выберем так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу через точку А. Пусть Р произвольная точка, s1 и s2 расстояния от точки до предприятий А и В Тогда А(0, 0), В(300, 0), Р(х, у).
При доставке груза из пункта А расходы равны m+10s1. При доставке груза из пункта В расходы равны m+20s2. Если для пункта Р выгоднее доставлять груз с предприятия А, то m+10s1< m+20s2, откуда s1<2s2, в обратном случае получим s1>2s2.
Таким образом, границей области для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и В равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению s1=2s2 (1)
Выразим s1 и 2s2 через координаты: 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415.
Имея в виду (1), получим 13EMBED Equation.DSMT41415.
Это и есть уравнение окружности. Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, - из пункта А.
Итоги урока
На уроке мы увидели, что достаточно простой в применении, является метод координат, а так же необходимым составляющим в решении задач различного уровня. Использование данного метода, позволило нам значительно упростить и сократить процесс решения задач.
Домашнее задание: дифференцированная работа по карточкам
Урок №5: Тема: Декартовы координаты на плоскости
Предмет, класс, количество часов: Геометрия, 8 класс, 1 час
Тип урока: изучение нового материала
Цели урока:
Образовательная: научить строить декартову систему координат, научить находить координаты середины отрезка, применять формулу координат середины отрезка для решения практических задач.
Развивающая: развить коммуникативные качества учащихся: умение обобщать, делать выводы; познавательной активности.
Воспитательная: формирование чувства солидарности и коллективизма; ответственности за себя и свою команду.
Ход урока
Передача целей и сообщение темы урока.(Слайд 1)
Сегодня мы с вами будем говорить о системе координат. С системой координат вы уже имели дело и в курсе математики 6 класса, и в курсе алгебры 7 и 8 классов. У каждого из вас лежат листы с заданиями , с помощью которых вы сегодня научитесь строить декартову систему координат и находить координаты середины отрезка.
Подготовка к изучению нового материала.
Возьмите лист №1, на которых начерчены две взаимоперпендикулярные прямые. Ваша задача задать систему координат, а для этого нужно вспомнить, что значит «задать систему координат», отметить точку A с координатами (x; y) и заполнить пропуски. На это вам дается 2 минуты. Далее вы обсудите свои результаты в группе, обменяетесь мнениями, подготовите общий ответ и сформулируете определение «прямоугольной системы координат». (Слайд 2)
3. Введение новых знаний.
Возьмите на столах лист №2 .Задание следующее: На координатной плоскости отмечены и пронумерованы точки. Внизу даны буквы с соответствующими координатами. Ваша задача подписать на координатной плоскости название каждой точки и вписать в таблицу по порядку следования буквы, прочитать получившуюся фразу. Сначала работаете самостоятельно. Далее в группе обсуждаете, кому принадлежат эти слова. (Слайд 3)
«Я мыслю – следовательно, я существую!»
- Кто знает, кому принадлежат эти слова?
Эти слова принадлежат знаменитому французскому ученому Рене Декарту. Как вы догадались, тема нашего урока имеет прямое отношение к этому ученому. Да, именно Декарт создал систему координат, осуществив, тем самым, взаимопроникновение алгебры и геометрии. (Слайд 4)
Возьмите лист №3. Отметьте точки A (1; 5) и B (7; 9). Отметьте середину M отрезка AB. Запишите её координаты . Запишите формулы для расчета координат середины отрезка. Работать вы будете следующим образом. Сначала в парах отмечаете точки, находите координаты. Далее в группах обмениваетесь мнениями по поводу формул координат середины отрезка. Если у вас появляются затруднения, вы можете воспользоваться карточкой – справкой 1.
Найдите сумму соответствующих координат концов отрезка AB:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Подумайте, как связаны между собой координаты точки М и суммы соответствующих координат концов отрезка АВ, найденных ранее.
Запишите формулы нахождения координат середины отрезка.
Затем от каждой группы должен выйти один участник и показать ваши результаты, записать полученные формулы на доске. Для работы вам понадобятся листы №3. (Слайд 5)
Лист №4. Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма ABCD, если А(2; 6), В(4; 7), С(8; 10). (Слайд 6-7)
Работать вы будете следующим образом. Сначала решение обсуждается и записывается в парах. Затем обмен мнениями в группах. Далее по одному участнику от группы выйдет рассказать решение у доски.
Если возникнут трудности в ходе обсуждения внутри групп, можно воспользоваться карточкой – справкой 2.
Найдите координаты середины диагонали АС точки О: 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
Выпишите координаты этой же точки О, но теперь как середины диагонали BD: 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
Приравняйте соответствующие значения координат точки О. Решите полученные уравнения.
Запишите координаты точки D.
Закрепление изученного материала.
(Слайд 8) Задания на готовых чертежах. Определить координаты вершин прямоугольника. Найти координаты точки C.
Домашнее задание. (Слайд 10) Предложите способ нахождения координат точки M отрезка AB, если AM : MB=2 : 3. Свой ответ напишите дома. Попытайтесь вывести формулу нахождения координат точки, которая делит отрезок в отношении m : n. Стр. 100 § 71, § 72. Стр. 111 № 6, № 11. Стр. 112 № 16.
Урок №6: Тема: Простейшие задачи в координатах
Предмет, класс, количество часов: Геометрия, 9 класс, 2 часа
Тип урока: урок по систематизации и обобщению изученного материала
Цели урока:
Образовательная: рассмотреть задачи о вычислении длины вектора по его координатам и по координатам его начала и конца; показать, как они используются при решении других задач.
Развивающая: развить коммуникативные качества учащихся: умение обобщать, делать выводы; познавательной активности.
Воспитательная: формирование чувства солидарности и коллективизма; ответственности за себя и свою команду.
Ход урока
Передача целей и сообщение темы урока
Этот урок не первый в теме и далеко не последний, но пройдено материала достаточно много, и назрела необходимость проверить накопленные знания и умения, подвести некоторые итоги. Метод координат универсальный метод, он значительно облегчает решение многих математических и нематематических задач. Вы, наверно, заметили, что прямоугольная система координат используется не только на уроках математики, но и физики, химии, географии и других предметов. Применяя метод координат в математике можно решать задачи, прежде всего, двух следующих типов:
геометрическая интерпретация на координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств или их систем (построение графиков).
Примером здесь может быть построение графика любой из изучаемых в курсе алгебры функций. Алгоритм решения таких задач хорошо известен.
задание фигур уравнениями, неравенствами или их системами через введение системы координат и выражение в координатах геометрических соотношений, которым удовлетворяют точки данной фигуры.
Сегодня на уроке мы будем решать задачи с помощью координат точек.
2. Актуализация знаний
Устный счет:
1. Координаты точек А(-2, 3) и В(2, -4). Найдите координаты векторов и .
2. Координаты точек М(5,-8) и Р(-3, 4). Найдите координаты точки О (О – середина отрезка МР).
3. СР – диагональ окружности; С(-2, -1), Р(5, 7). Найдите координаты центра окружности – точки Е.
4. ABCD – прямоугольник, АD=7, АВ=5. Найдите АС.
3. Введение новых знаний.
1) Вычисление длины вектора по его координатам.
Вывод формулы опирается на теорему Пифагора и на то, что расстояние между двумя точками оси координат находится по формулам (для точек ; оси х) и (для точек ; оси у). Покажем, что длина вектора равна . Данная формула доказывается только для случая, когда х
·0 и у
·0, в достоверности других случаев учащимся предоставляется убедиться самостоятельно. Для доказательства задаем координатную плоскость и рассматриваем вектор с началом в начале координат (по теореме: от любой точки можно отложить вектор, равный данному и притом единственный). Используя формулу для нахождения координат вектора по координатам его начала и конца, можем найти координаты точки А. Далее с помощью теоремы Пифагора находим длину отрезка ОА=. следовательно, их длины раны, т.о. .
Далее показывается применение данной формулы.
2) Расстояние между двумя точками.
Нахождение данной формулы опирается на использование предыдущей. Пусть имеются точки М1(х1,у1)и М2(х2,у2), необходимо найти расстояние между этими точками. Рассмотрим вектор М1М2. Его координаты равны . Находим длину вектора по его координатам: , а расстояние между М1 и М2 это длина вектора . После выведения данной формулы можно записать формулу и показать, что они эквивалентны.
4.Закрепление изученного материала.
Для закрепления используем ряд задач на применение формул, изученных на уроке.
1. Найдите длины векторов: а) ; b)
2. Найдите медиану АМ треугольника АВС, вершины которого имеют координаты: А(0,1), В(1, -4), С(5,2).
3. Вершина А параллелограмма ОАСВ лежит на положительной полуоси Ох, вершина В имеет координаты (b, c), а ОА=а. Найдите а)координаты вершины С; b)сторону АС и диагональ СО.
5. Домашнее задание: Выполнить задание по карточкам, у каждого свой вариант
Карточка - “задание”
1). Найти центр тяжести треугольника ABC (в координатах).
2). Найти площадь треугольника МТР, для которого точки А, В, С являются серединами сторон МТ, ТР, РМ соответственно.
3). Составить уравнение окружности с диаметром АВ.
4). Составить уравнение окружности, проходящей через точки А, В, С.
5). Найти множество точек плоскости таких, что сумма квадратов расстояний от каждой из которых до точек А и В равна квадрату расстояния до точки С.
Карточки - “данные”
1. A(l;2), B(0;3), С(-4;5);
2. A(-l;2), B(3;0), C(4;-5);
З. A(l;-2), B(0;-3), C(4;5);
4. A(-l;2), B(-5;0), C(4;5);
5. A(-l;-2), B(0;3), C(4;5);
6. А(1;2), B(3;0), C(-4;-5);
7. A(-4;5), B(l;2), C(0;3);
8. A(4;5), B(1;-2), C(0;-3);
9. A(0;3); B(-4;5), C(l;2);
10. A(0;-3), B(4;5), C(l;-2).
Урок №7: Тема: Простейшие задачи в координатах
Предмет, класс, количество часов: Геометрия, 9 класс, 2 часа
Тип урока: урок по систематизации и обобщению изученного материала
Цели урока:
Образовательная: показать, как «простейшие задачи» используются при решении более сложных и проверить усвоение знаний.
Развивающая: развивать умения работать в группе.
Воспитательная: формировать познавательный интерес к изучению математики.
Ход урока
Передача целей и сообщение темы урока.
На прошлом уроке мы разобрали новые формулы для решения простейших задач в координатах, сегодня же на уроке мы поговорим о том, как «простейшие задачи» используются при решении более сложных и проверим усвоение знаний, полученных на прошлом уроке. .
Актуализация знаний
Устный счет: записать координаты
·Середины отрезка
·Координаты вектора
· Длины вектора
· Расстояние между точками М и N.
Решение задач.
Давайте вспомним все формулы изученные на прошлом уроке и попробуем решить ряд задач, предложенных в самостоятельной работе.
Самостоятельная работа
I. Вариант
1. Найдите координаты и длину вектора , если , , .
2. Даны координаты вершин треугольника АВС А(-6,1), В(2,4), С(2,-2). Докажите, что треугольник АВС равнобедренный и найдите высоту проведенную из вершины А.
3.Даны координаты вершин треугольника АВС А(-4,3), В(2,7), С(8,-2). Доказать, что треугольник прямоугольный.
4. Даны точки А(-2;-3), В(-3;4), С(4;5).
1) Докажите, что в треугольнике АВС углы А и С равны.
2) Найдите площадь треугольника АВС.
5. На диаметре АВ окружности с центром в точке О (2;-5) отмечена точка С(-1;-3) так, что она является серединой радиуса ОА. Найдите координаты концов диаметра АВ и его длину.
II. Вариант
1. Найдите координаты и длину вектора , если , , .
2. Дано А(-6,1), В(0,5), С(-6,4), Р(0,-8). Докажите, что АВСР прямоугольник и найдите координату точки пересечения его диагоналей.
3. Даны точки А(2;-3), В(-4;1), С(-3;-2). Найдите:
1) координаты векторов АВ, СВ.
2) координаты середин отрезков АС, ВС.
3) расстояние между точками А и В, В и С.
4. В окружности с центром М проведен диаметр КР. Определите координаты центра окружности, ее радиус, если А(-6;-1), В(2;5).
5. Дан треугольник АВС. Вычислите периметр треугольника, образованного его средними линиями, если А(7;-4), В(-4;3), С(-5;0).
Итоги урока
Итак, только что вы выполнили решение простейших задач методом координат самостоятельно, повторили все формулы и правила для их решения. Теперь сдайте свои работы для проверки и запишите домашнее задание.
Домашнее задание: №945, 948(а)
Урок №8: Тема урока: Декартовы координаты в пространстве
Предмет, класс, количество часов: геометрия, 10 класс, 1 час
Тип урока : урок - лекция
Цели урока:
Образовательные: Повторить введение и применение координат на прямой и на плоскости; формулы координат середины отрезка и расстояния между точками. Ввести декартовы координаты в пространстве.
Развивающие: Развивать интерес к истории математики.
Воспитательная: формирование чувства солидарности и коллективизма; ответственности за себя и свою команду.
Ход урока
1. Введение
В 1637 г. во Франции вышла книга, которая принесла её автору невероятную известность. По обычаям того времени она имела довольно длинное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода». Автор книги Рене Декарт (1596 – 1650 г.). В ней он ввел прямоугольную систему координат, поставил каждой точке в соответствие пару чисел – её координаты. Этот прогрессивный метод позволил решить ряд геометрических задач алгебраическим методом, что оказалось очень удобным.
Главные правила метода гласят:
Не принимать за истинное что бы то ни было, прежде чем не признал это несомненно истинным, т. е. старательно избегать поспешности и предубеждения и включить в свои рассуждения только то, что представляется уму так ясно и отчетливо, что никоим образом не может дать повод к сомнению.
Делить каждую из рассматриваемых трудностей на столько частей, на сколько требуется, чтобы лучше их разрешить.
Руководить ходом своих мыслей, начиная с предметов простейших и легко познаваемых, и восходить мало – помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существования порядка даже среди тех, которые в естественном порядке вещей не предшествуют друг другу.
Делать всюду настолько полные перечни и такие общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.
Руководствуясь этими правилами, начнем с ранее изученного материала.
2. Повторение. Актуализация знаний
1. Сначала координаты точки ввели на луче, потом на прямой.
Координатная прямая – это прямая с выбранными на ней направлением, началом отсчета и единичным отрезком.
О А(х)
13 EMBED Equation.3 1415 = ОА
0 1 х
Координатой точки А называют число, абсолютная величина которого равна расстоянию от начала отсчета до точки А.
Если точка расположена справа от точки О, то её координата положительная, если слева – то отрицательная.
2. Для определения положения точки на плоскости одной координаты недостаточно. Поэтому по примеру географических координат Декартом были введены координаты на плоскости, добавив к оси х перпендикулярную ось и выбрав на ней направление и единичный отрезок.
Ау А(х,y) О – начало отсчета.
1 (Повторить определение абсциссы и
О 1 Ах х ординаты точки на плоскости).
ОАх = 13 EMBED Equation.3 1415, ОАy = 13 EMBED Equation.3 1415, А (х;y), Ах (х;0), Аy (0;y )
III. Введение координат в пространстве
Первое определение IX книги «Начала» Евклида гласит: «Тело есть то, что имеет длину, ширину и глубину». Тем не менее, есть основание полагать, что в древности нашего понятия о трехмерном пространстве не существовало. У Декарта имелись лишь далекие намеки на возможность распространения метода координат с двумерного пространства (плоскости) на трехмерное. Потребовалось ещё почти 100 лет, чтобы идея пространственных координат была сформирована, постоянно и и широко использовалась.
z (Объяснение с опорой на трехмерную модель и
Аz Ayz таблицу №21).
Axz А Система координат в пространстве представляет
О Ау у собой три взаимно перпендикулярные прямые
Ax Аху х, y, z, пересекающиеся в одной точке.
О – начало отсчета, x, y, z – координатные оси, xy, yz, xy – координатные плоскости. Координатные плоскости делят все пространство на 8 октантов.
Определим координаты точки А на плоскости.
Через точку А проведем плоскость, параллельную плоскости yz. Она пересекает ось x в точке Аx . Координатой х точки А называется число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОАх . Аналогично определяются и другие координаты. Таким образом, точке А в пространстве ставится в соответствие тройка чисел – её координаты.
Обозначение: А(x; y; z). (Название координаты z найти самостоятельно).
Рассмотрим координаты частного расположения точек в пространстве.
Ах (х;0;0) Ахy (х;y;0) О (0;0;0)
Аy (0;y;0) Аyz (0;y;z)
Аz (0;0;z) Ахz (х;0;z)
Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин.
z В1 С1 Ответы:
А1 D1 А (4;0;0) А1 (4;0;4)
В С В (0;0;0) В1 (0;0;4)
А D y С (0;4;0) С1 (0;4;4)
х D (4;4;0) D1 (4;4;4)
Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4. Определите координаты его вершин.
В1 z С1
А1 D1 Ответы: А (2;-3;0) А1 (2;-3;4)
В С y В (-2;-3;0) В1 (-2;-3;0)
А D С (-2;3;0) С1 (-2;3;4)
х D (2;3;0) D1 (2;3;4)
IV. Приложение метода координат
В качестве иллюстрации приложения метода координат рассмотрим алгебраические равенства, имеющие простые геометрические истолкования. Это формулы координат середины отрезка и расстояния между точками.
Задача на повторение. Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если:
1 вариант – А (3;-1), В (-2;4)
2 вариант – А (3;4), В (2; -1)
Аналогичные формулы применяются в пространстве. (По учебнику прочитать п.153, 154 и выписать формулы в тетрадь. Два ученика получают на дом задание - вывод формул)
Задача №3. Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2)
Найдите координаты середины отрезка АВ и его длину.
Решение:
1). Пусть С – середина отрезка АВ, тогда С (13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415), С (2;0;0)
2). АВ = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 213 EMBED Equation.3 1415.
V. Подведение итогов урока
VI. Домашнее задание: п. 152 – 154, вопросы № 1 – 3, № 3, 9.
Урок №9: Тема: Метод координат в пространстве
Предмет, класс, количество часов: геометрия, 11 класс, 1 час
Тип урока: урок-зачет, игра.
Цели урока:
Образовательные: Обобщение и систематизация знаний по теме: “Метод координат в пространстве”. Выявить уровень усвоения учащимися материала по данной теме, с целью последующей корректировки.
Развивающие: Развитие устной математической речи.
Воспитательные: Воспитание интереса к математике. Создание ситуации взаимопомощи, сотрудничества.
Алгоритм подготовки учащихся к работе на зачетном занятии:
Учащиеся делятся на три команды, выбирают капитана.
Подготовка игрового поля: красочного планшета, на котором изображен пейзаж с нанесенным на него маршрутом движения и привалами. Привалы пронумерованы, их 8, старт обозначен флажком. По бокам планшета находятся кармашки, которые также пронумерованы и в них находятся карточки с заданиями для каждого привала.
Подготовка кубика, на гранях которого написаны задания, при решении которых учащиеся получают ответ-число, показывающее число ходов.
Карточка для фиксации результатов работы участников игры.
Подготовка заданий для привалов, кубика и эстафеты.
Алгоритм проведения зачетного занятия
Команды занимают свои места – старт.
Капитаны по очереди бросают игровой кубик.
Команды выполняют задания, выпавшие для них на верхней грани кубика, и определяют число, указывающее, на сколько ходов нужно сместиться. Продвижение по маршруту отмечают цветными магнитами.
На каждом привале команды выполняют задания, взятые из соответствующего кармана.
На привалах 3 и 6 команду ожидает сюрприз: “Туман, снегопад, команде вернуться на базу”, “Лавина – срочно спуститься на один переход”.
На каждом привале учитель (можно с помощью помощников) проверяет правильность выполнения задания.
Привал 8 – “Эстафета”: на полоске бумаги в столбик записаны формулы, в которых есть пустые места и учащиеся должны их заполнить по очереди, как эстафетную палочку, передавая, ее друг другу.
Выигрывает команда, которая раньше других поднимется на “Пик знаний”.
В конце урока подводятся итоги. Победителям можно вручить приз. Оцениваются все индивидуально по участию в игре, учитель все фиксирует в карточке.
Грани кубика
[1]. {1; 0; 0}. || –? [2].A(–3; m; 5), В(2;–2;–5), С(x; 0; 0) – середина отрезка АВ. m –? [3]. = 3– 5+ . –? [4]. = m+ 3+ 4, = 4+ m– 7,. m – ? [5]. {1; 2; 4},{1; 1;}. – ? [6]. M (1; 4; 5), N (1;; 2). || –?
Привал 1.
Почему координатные векторы не компланарны?
Напишите правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности.
Как определяется угол между векторами, если они не сонаправлены?
При каких условиях скалярное произведение двух векторов равно нулю?
Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов.
Найдите координаты вектора = 2(+ ) – 3(– ).
Привал 2.
Напишите разложение любого вектора по координатным векторам.
Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.
Как определяется угол между векторами, если один из них или оба нулевые?
При каких условиях скалярное произведение двух векторов отрицательно?
По какой формуле вычисляется косинус угла между двумя векторами, заданными координатами?
Даны векторы {–1; 3; 3}, {2; –1; 0} и {1; –1; 2}, = 2 – + . Найдите координаты вектора .
Привал 3.
“Туман, снегопад, команде вернуться на базу”.
Привал 4.
Расскажите, как задается прямоугольная система координат в пространстве и как определяются координаты вектора?
Выведите формулу для нахождения расстояния между двумя точками с заданными координатами.
Как определяется угол между векторами, если они противоположно направлены?
Чем является скалярное произведение двух векторов: векторной или числовой величиной?
Может ли косинус угла между ненулевыми векторами быть положительным, и при каком условии?
Даны векторы = 2– 3+ , = 4– 2 . Вычислите .
Привал 5.
Расскажите о связи между координатами векторов и координатами его начала и конца.
Как определяется угол между сонаправленными векторами?
Выведите формулы, выражающие координаты середины отрезка через координаты его концов.
Выведите формулы, выражающие координаты точки пересечения медиан треугольника через координаты его вершин.
Как расположена точка относительно прямоугольной системы координат, если одна ее координата равна нулю?
Расскажите, как вычислить угол между двумя прямыми в пространстве с помощью направляющих векторов этих прямых.
Привал 6.
“Лавина, срочно спуститься на один переход”.
Привал 7.
Сформулируйте основные свойства скалярного произведения векторов. Докажите одно из них.
Докажите, что центральная симметрия является движением.
Как расположена точка относительно прямоугольной системы координат, если две ее координаты равны нулю?
Запишите формулу для вычисления косинуса угла между ненулевыми векторами, заданными координатами.
Что можно сказать о координатах равных векторов?
Объясните, почему все точки, лежащие на прямой, параллельной плоскости Oxy, имеют одну и ту же аппликату.
Итог урока: Сегодня на уроке мы провели занимательную игру и в ходе, которой, повторили все, что изучили по теме «Метод координат в пространстве»
Урок №10: Тема: Решение нестандартных задач с помощью метода координат
Предмет, класс: геометрия, 11 класс
Тип урока: урок-резерв (решение задач)
Цели урока:
Образовательные: Обобщение и систематизация знаний по теме: “Метод координат ”.
Развивающие: Развитие устной математической речи.
Воспитательные: Воспитание интереса к математике. Создание ситуации взаимопомощи, сотрудничества.
Для проведения урока предлагается ряд более сложных нестандартных задач, при решении которых используется метод координат.
Задача 1. Два предприятия А и В производят продукцию с одной и той же ценой m за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 р. на 1 км, а для предприятия В 20 р. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть расположен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными.
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Систему координат выберем так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу через точку А. Пусть Р произвольная точка, s1 и s2 расстояния от точки до предприятий А и В (рис.17). Тогда А(0, 0), В(300, 0), Р(х, у).
При доставке груза из пункта А расходы равны m+10s1. При доставке груза из пункта В расходы равны m+20s2. Если для пункта Р выгоднее доставлять груз с предприятия А, то m+10s1< m+20s2, откуда s1<2s2, в обратном случае получим s1>2s2.
Таким образом, границей области для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и В равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению
s1=2s2 (1)
Выразим s1 и 2s2 через координаты:
, .
Имея в виду (1), получим .
Это и есть уравнение окружности. Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, - из пункта А.
Задача 2. На плоскости даны точки А и В; найти геометрическое место точек М, удаленных от А в двое больше, чем от В.
Решение:
Выберем систему координат на плоскости так, чтобы начало координат попало в точку А, а положительная полуось абсцисс пошла по АВ. За единицу масштаба возьмем отрезок АВ. Точка А будет иметь координаты (0,0), точка В координаты (1,0). Координаты точки М обозначим через (х,у). Условие записывается в координатах так:
.
Мы получили уравнение искомого геометрического места точек. Чтобы понять, какое множество описывается этим уравнением, мы преобразуем его так, чтобы оно приняло знакомый нам вид. Возведя обе засти в квадрат, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем равенство: Зх2-8х+4+Зу2=0.
Это равенство можно переписать так:
или так: . Это уравнение окружности с центром в точке (,0) и радиусом, равным . Это значит, что наше геометрическое место точек является окружностью.
Задача 3.Дан треугольник ABC; найти центр окружности, описанной около этого треугольника.
Решение:
Примем точку А за начало координат, ось абсцисс направим от А к В. Тогда точка В будет иметь координаты (с,0), где с - длинна отрезка АВ. Пусть точка С имеет координаты (q,h), а центр искомой окружности - (а,b). Радиус этой окружности обозначим через R. Запишем в координатах принадлежность точек А(0,0), В(с,0) и C(q,h) искомой окружности:
a2+b2=R2,
(c-a)2+b2=R2,
(q-a)2+(h-b)2=R2.
Каждое из этих условий выражает тот факт, что расстояние точек А(0,0), В(с,0), C(q,h) от центра окружности (а,b) равно радиусу. Эти условия легко получить, если записать уравнение искомой окружности (окружности с центром (а,b) и радиусом R), т. е. (x-a)2+(y-b)2=R2, а затем в это уравнение вместо х и у подставить координаты точек А, В и С, лежащих на этой окружности. Эта система трех уравнений с тремя неизвестными легко решается, и мы получаем:
, , .
Задача решена, так как мы нашли координаты центра и радиус. Причем следует заметить, что мы при решении задачи не прибегали к построению чертежа.
Домашнее задание:
1. Лестница, стоящая на гладком полу у стены соскальзывает вниз. По какой линии движется котенок, сидящий на середине лестницы?
2. В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний любой точки окружности до сторон квадрата постоянна.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает им при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях.
В данной курсовой работе:
проанализировано несколько действующих школьных учебников относительно темы «Метод координат»;
описан сам метод координат, виды и этапы решения задач методом координат;
выделены основные умения, необходимые для овладения данным методом и приведен ряд задач, формирующих их.
Также было представлено несколько разработок уроков, которые подтверждают гипотезу о том, что изучение метода координат в школьном курсе геометрии необходимо. Оно будет более эффективно, если в 5-6 классе проведена пропедевтическая работа по формированию основных умений и навыков, в системном курсе планиметрии учащиеся знакомятся со структурой данного метода, и используется продуманная система задач для формирования отдельных компонентов метода.
Библиографический список
1. Автономова, Т. В. Основные понятия и методы школьного курса геометрии: Книга для учителя [Текст]/ Б. И. Аргунов – М. Просвещение, 1988г. – 127с.
2. Атанасян, Л. С. Геометрия для 7-9 классов средней школы [Текст] / В. Ф. Бутузов, С. Д. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина – М. Просвещение, 2003г.- 384с.
3. Атанасян, Л. С. Геометрия для 10-11 классов средней школы [Текст] / В. Ф. Бутузов, С. Д. Кадомцев, Э. Г. Позняк, Л. С. Киселева – М. Просвещение, 2008г.- 255с.
4. Виленкин, Н. Я. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк. [Текст]/ А. С. Чесноков, С. И Шварцбурд.- М. Просвещение, 205г. – 208с.
5. Виленкин, Н. Я. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И Шварцбурд. – М. Мнемозина, 2003г. – 304с.
6. Гельфанд, И. М. Метод координат [Текст]- М. Наука, 1973г. -87с.
7. Дорофеев, Г. В. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова – М. Просвещение, 2000г. – 368с.
8. Дорофеев, Г. В. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова – М. Дрофа, 1998г. – 416с.
9. Изучение координат в III – IV кл. / Л. Г. Петерсон // Математика в школе - 1983г.- №4
10. К изучению перемещений на координатной плоскости / Г.Б. Лудина // Математика в школе – 1983г.- №2
11. Лускина М. Г. Факультативные занятия по математике в школе: Методические рекомендации [Текст]/ В. И. Зубарева – Киров ВГПУ, 1995г.
12. Лященко, Е. И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов [Текст] / К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко – М. Просвещение, 1988г. – 233с.
13. Метод координат / А. Савин // Квант -1977г. - №9
14. Мишин, В. И. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. [Текст] / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев – М. Просвещение 1987г. – 416с.
15. Никольская, И. Л. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 кл. ср. шк. [Текст] – М. Просвещение, 1991г. – 383с.
16. Нужна ли школе XXI века геометрия /И. Шарыгин // Математика - Приложение к газ. «1 сентября» – 2004г. №12
17. О конкретном учебнике геометрии для 7-9 кл. / Л.С. Атанасян // Математика в школе – 1989г. - №1
18. Понтрягин, Л. С. Знакомство с высшей математикой. Метод координат [Текст] – М. Наука, 1987г. – 128с.
19. Программа по математике для средней школы - М. Просвещение, 1998г. -205с.
20. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике [Текст] – М. Просвещение, 1995г. – 240с.
21. Сикорский, К. П. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7-8 классов [Текст] – М. Просвещение, 1974г.- 315с.
22. Упражнения по теме «Координатная плоскость» / О.А. Леонова // Математика в школе – 2001г. - №10
23. Шарыгин, И. Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учебник для общеоразоват. учеб. заведений [Текст] – М. Дрофа, 2000г. -368с.
13PAGE \* MERGEFORMAT14215
//
//
//
//
/ /
А
х
В
М
у
О1
O
O
x
y
P
B
A
s2
s1
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native