Методические указания к практическому занятию: «Решение тригонометрических уравнений»

Министерство образования и науки Самарской области
государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Самарский машиностроительный колледж»
_______________________________________________________________________
Цикловая комиссия Математических и естественнонаучных дисциплин
Методические указания
к практическим работам
по дисциплине Математика
наименование дисциплины

Дата введения
«___» ___________ 20 __ г.

Самара 2014
Практическая работа 11
Решение тригонометрических уравнений
Цель работы
Обобщить изученный материал по теме.
Выработать умение решать тригонометрические уравнения.
Разделы и темы рабочей программы, которые необходимо знать при выполнении и сдаче практической работы
Разделы 5. Тригонометрические функции числового аргумента.
Краткие теоретические сведения
рис.1
Определение 1 Синусом угла α называется ордината точки Aα угла на тригонометрическом круге, соответствующей числу угла α. Обозначают sinα;
Косинусом угла α называется абсцисса точки на тригонометрическом круге, соответствующей числу α. Обозначают cosα.
Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки Aα к ее абсциссе. Обозначают tgα.
Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки Aα к ее ординате. Обозначают сtgα.
Определение 2 Арксинусом числа m называется такое угол х, для которого sin x = m, -π2≤x≤π2 , m≤1. Обозначают arcsin m.
Арккосинусом числа m называется такое угол х, для которого cos x = m, 0≤x≤π , m≤1. Обозначают arcсоs m.
Арктангенсом числа m называется такой угол x, для которого tg x=m, -π2<x<π2. Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого ctg x=m, 0<x<π.
Тригонометрические функции связаны между собой основными тождествами:
cos2x+sin2x=1.
tg x=sinxcosx. ctg α=cosxsinx.tg x∙ctg x=1.
1+tg2x=1cos2x.
1+ctg2x=1sin2x.
Определение 3 Уравнение называется тригонометрическим, если неизвестная величина входит в него как аргумент тригонометрической функции. Решить тригонометрическое уравнение - это значит найти все его корни.
Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения sin x = m, cos x = m, tg x=m, сtg x=m, где m – данное число.
Формулы корней простейших тригонометрических уравнений:
Уравнение Общее решение (корни) Формула №
cos x = m x=±arccosm+2πn, если m≤1;не имеет решений, если m>1(1)
sin x = m x=(-1)narcsinm+ πn, если m≤1;не имеет решений, если m>1(2)
tg x = m x=arctg m+ πn(3)
ctg x = m x=arcctg m+ πn(4)
В формулах (1) – (4) n – любое действительное число.
Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называется уравнение вида:
asinx+b cosx=0Для его решения обе части уравнения делим на cosx≠0. При по членном делении получим уравнение вида:atg x+b=0 (*)
Преобразовывая уравнение (*) получаем простейшее уравнение:
tg x=-ba, где -ba=m.
Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называется уравнение вида:
asin2x+bsinx∙cosx+ccos2x=0Для его решения обе части уравнения делим на cos2x≠0. При по членном делении получим уравнение:atg2x+btgx+c=0 (**)
Уравнение (**) сводится к квадратному с помощью подстановки t=tgx.
При решении тригонометрических уравнений используют основные формулы тригонометрии.
Задания
Изучить методические указания к выполнению практической работы.
Выполнить индивидуальное задание.
Оформить отчет по практической работе.
Структура отчета
Номер и наименование практической работы.
Цель работы.
Задание.
Выполнение работы.
Пример выполнения задания
Задача 1. Решите простейшие тригонометрическое уравнение: cosx=22.
Решение: Согласно формуле (1) находим: x=±arccos22+2πn, nϵZ.Задача 2. Решите простейшие тригонометрическое уравнение:
sinπ10-x2=22Решение: Функция синус нечетна. Поэтому sinx2-π10=-22. По формуле (2) x2-π10=-1karcsin-22+πn, n∈Z.Так как arcsin-22=-π4, имеем: x2-π10=-1k-π4++πn,x=π5+(-1)k+1π2++πn, n∈Z.Задача 3. Решите уравнение: 2 sin x+ 3 cos x = 0.
Решение:
2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0
2 tg x + 3 =0
tg x = -1,5
х= arctg (-1,5) + πk, k Z или х = - arctg 1,5 + πk, k Z
Ответ: - arctg 1,5 + πk, k Z.
Задача 4. Решите уравнение: 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0
Решение: 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0
2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0 | : cos2х ≠ 0
2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0
замена tg x = t
2 t2 – 3 t – 5 =0
t1 = -1; t2 = 2,5
Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k Z.
Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n Z.
Ответ: -π/2 + πk , arctg 2,5+ πn, n, k Z.
Задача 5. Решить уравнение sin x + cos x = 1
Решение: sin x + cos x = 1

Ответ:
Задача 6. Решите уравнение: cosx+cos3x+cos5x=0.Решение: Группируя первый и последний члены и применяя формулу суммы косинусов, получим
cosx+cos5x+cos3x=0;2cos3xcosx+cos3x=0.Следовательно, cos3x2cosx+1=0, откуда cos3x=0 или 2cosx+1=0. Решая уравнение cos3x=0, находим 3x=±arccos0+=±π2+2πn, т.е. x1=±π6+2πn3, n∈Z.Задача 7. Решите уравнение: sin2 х + 5 sin х - 6 =0.
Решение: Введем замену sin х = z,, решая квадратное уравнение
z2 + 5 z - 6 = 0, находим z1 = 1; z2 = -6 (не удовлетворяет условию)
Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π k, k Z.
Ответ: π/2 +2 π k, k Z.
Приложение 1
Варианты индивидуальных заданий
I вариант II вариант
1. Решите простейшие тригонометрическое уравнение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ; 8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) .
2. Решить уравнение, сделав подстановку:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ; 5) ;
6) ;
7) ;
8) .
3. Решить уравнение методом разложения на множители:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
4. Решите уравнение, упростив левую часть:
1) ;
2) ; 4) ;
5) ;
5. Решите уравнение, используя однородность:
1) ;
2) ;
3) ; 4) ;
5) ;
6) .
7 Рекомендуемая литература
7.1 Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. - б-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003. - 495с.
7.2 Дадаян А.А. Математика: Учебник. - 2-е издание. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М.200б.- 552с. - (Профессиональное образование).
7.3 Пехлецкий И.Д. Математика: Учеб. для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / Игорь Дмитриевич Пехлецкий . - 2-е ИЗД., стереотип. - М.: Издательский центр «Академия», 2003. - 304с.
7.4 Соловейчик И. Л. Лисичкин В. Т. Сборник задач по математике для техникумов: М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2003.-464 с.: ил.
7.5 Конспект лекций.
7.6 Настоящие методические указания.