Практикум по решению линейных уравнений и неравенств с параметрами.
Практикум по решению линейных уравнений и неравенств с параметрами.
Метод решения хорош, если с самого начала
мы можем предвидеть - и далее подтвердить это
- что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
(Г. Лейбниц)
Задачи урока:
Обучающие (формирование познавательных УУД):
закрепление и систематизация учебного материала, формирование образовательной компетентности.
Развивающие (формирование регулятивных УУД):
развитие приемов умственной деятельности, памяти, внимания, умения сопоставлять анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, характерные для каждого метода решения уравнений и неравенств.
Воспитательные (формирование личностных УУД):
стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности; воспитание настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда.
В метапредметном направлении: развитие коммуникативных навыков, таких приемов мыслительной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, обобщение, воспитание положительной мотивации к учению.
Решению уравнений и неравенств с параметрами можно научиться, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь.
Умение мыслить последовательно, рассуждать доказательно не приходит само по себе, это умение развивает наука логика. Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Начинать знакомить учащихся с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.
Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.
Решить уравнение с параметром – значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.
Решить неравенство с параметром – значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех решений заданного неравенства.
1.Решить относительно параметра а уравнения а): (а² - 25) х = а-5.
Решение: (а-5)(а+5)х=а-5
1. Если а=5, то 0∙х=0, х- любое число
2. Если а=-5, то 0∙х=-10, решений нет
3. Если а≠5, а≠-5, то х=1а+5Ответ: при а=5, х- любое число
при а=-5, решений нет
при а≠5, а≠-5, х=1а+5.
б) а(2+х)=3х+2а.
Решение: а(2+х)=3х+2а
2а+ах=3х+2а
ах-3х=0
(а-3)х=0
1. Если а=3,то 0∙х=0, х- любое число
2. Если а≠3,то х=0
Ответ: при а=3, х- любое число
при а≠3, х=0.
2.Решить относительно параметров а и в уравнения: а) ах=вРешение:
Если а=0, то 0∙х=вЕсли в=0, то х – любое число
Если в≠0,то решений нет
2.Если а≠0, в- любое число, то х = в аОтвет: при а=0,в=0, х-любое число
при а=0,в≠0, корней нет
при а≠0, в- любое число, х = в а.б) ах=6+в
Решение:
1. Если а=0,то 0∙х= 6+в
1.1 Если в=-6,то то 0∙х=0,х-любое число
1.2 Если в≠0,то решений нет
2. Если а≠0, в - любое, то х= 6+ваОтвет: при а=0,в=-6, х -любое число
при а=0,в≠0, решений нет
при а≠0, в -любое, х= 6+ва.3.При каких значениях параметра а уравнения ах-а+2-х=0 и ах-а-2-х равносильны?
Решение:
ах-а+2-х=0 ах-а-2-х=0
(а-1)х=а-2 (а-1)х=а+2
Если а=0,то0∙х=-2,решений нет Если а=1,то 0∙х=3,решений нет
Если а≠0, то х = а-2 а-1 Если а ≠1,то х = а+2а-1
Ответ: уравнения ах-а+2-х=0 и ах-а-2-х равносильны при а=1.
4. Решить относительно параметров а и в уравнение: а(х-2)= в - хРешение: а(х-2)= в – х; ах + х =в+2а; (а+1)х=в+2а
1.Если а=-1, то 0∙х = в-2
1.1 Если в=2, то о∙х=0, х- любое число
1.2 Если в≠2, то решений нет
2. Если а≠-1, в- любое число, то х = в+2аа+1Ответ: при а=-1,в=2, х-любое число при а=-1,в≠2 решений нет
при а≠-1, в-любое число х = в+2аа+1.5. Решить относительно параметра а уравнение ах - а²=х-1.
Решение: ах - а²=х-1; ах-х = а²-1; (а-1)х = а²-1; ; (а-1)х =(а-1)(а+1)
Если а=1, то 0∙х=0, х- любое число
Если а≠1,то х=а+1
Ответ: при а=1, х- любое число
при а≠1, х=а+1.
Неравенства, содержащие параметр.
1. ах>5
Если а=0,то 0∙х>5(неверно),решений нет
Если а>0, то х > 5а Если а<0, то х < 5а Ответ: при а=0, решений нет
при а>0, х > 5а при а<0, х < 5а.
2. ах<4
Если а=0, то 0∙х < 4(верно), х- любое число
Если а>0, то х < 4а Если а<0, то х > 4а Ответ: при а=0, х- любое число
при а>0, х < 4а при а<0, х > 4а.
3.6х-а>ах-1
6х-ах>а-1
(6-а)х>а-1
Если а = 6,то 0∙х > 5(неверно), решений нет
Если а > 6,тох < а-16-аЕсли а < 6,то х > а-16-аОтвет: при а=6,решений нет
при а>6, х < а-16-апри а<6, х > а-16-а.4.При каких значениях параметра неравенство 3ах-2>1 не имеет решений?
Решение: 3ах-2>1; 3ах>3; ах>1; 0∙х>1(неверно), решений нет, а=0
Ответ: при а=0.
5.При каких значениях параметра неравенство ах+3<7 имеет бесконечно много решений?
Решение: ах+3<7; ах<4; 0∙х<4(верно), а =0
Ответ: при а=0.
6.Решите неравенство: (а-3)²х >а+3.
Решение: (а-3)²х >а+3
Если а=3,то 0 ∙х > 6, решений нет
Если а≠3,то х > а+3(а-3)²Ответ: приа=3,решений нет
при а≠3, х > а+3(а-3)².
7. При каких значениях параметра а неравенство а(х-а) ≤ 3х-9 имеет бесконечно много решений?
Решение: а(х-а) ≤ 3х-9; ах-3х ≤ а²-9; (а-3)х ≤ (а-3)(а+3);
Если а=3,то 0∙х ≤ 0, х- любое число
Если а>3,то х≤ а+3
Если а<3, то х ≥ а+3
Ответ: при а=3.
8. Решите неравенство: а(ах-4х)>а-4х+2.
Решение: а(ах-4х)>а-4х+2; а²х-4ах>а-4х+2; а²х-4ах+4х>а+2; (а²-4а+4)х >а+2;
(а-2)²х >а+2
Если а=2,то 0∙х=4(неверно), решений нет
Если а≠2, то х > а+2(а-2)²Ответ: при а=2, решений нетпри а≠2, х > а+2(а-2)².9. Решите неравенство: |х-4|>-а⁴
Решение: |х-4|>-а⁴
Если а ≠0,то |х-4|>0
Если а=0,тох- любое число, кроме х=4
Ответ: при а≠0, х- любое число
при а=0, х<4, х>4
Домашнее задание:
1.При каком значении а уравнение 2х-1=ах-3(х+2) а) имеет единственный корень; б) не имеет корней; в) любое значениях является корнем уравнения.
Ответ: а) при а ≠5, х =- 55-а - единственный корень; б) при а= 5,нет корней;
в) таких а нет.
2.Решить относительно параметра уравнение: а(2+ах)=3х+2а
Ответ: при а=3,х-любое число
при а ≠3.х=0.
3.Решить неравенство: а(ах-1)>3(2ах-3х+10.
Ответ: при а=3, решений нет
при а>3 х > а+3а-32при а<3, х < а+3(а-3)²
4.При каких значениях параметра а неравенство ах>2х-5 не имеет решений?
Ответ: при а≠2.
5.При каких значениях параметра а множество решений уравнения ах=а² и неравенства |х+1|≥а равносильны?
Ответ: при а=0.
т