Презентация по геометрии на тему Теоремы Чевы и Менелая

Теоремы Чевыи МенелаяУчитель математикиМБОУ лицея №2г. Южно – СахалинскаБокова Т.Н. На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС=m:n, ВМ:МС=p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О. ТогдаНапоминание.АВСМКОТеорема о пропорциональных отрезках в треугольнике. Рассмотрим треугольник АВС и отметим на его сторонах АВ, АС и СА точки С1, А1, В1. При каком расположении этих точек отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке? Теорема Чевы Итальянский инженер и математик (1648 – 1734)Теорема. Если на сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когдаАВСА1В1С1ОПусть отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О.По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем





Докажем обратное утверждение. Пусть точки С1, А1, В1 взяты на сторонах АВ, ВС, СА так, что выполнено равенствоДокажем, что отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке.АВСА1В1С1ООбозначим буквой О точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 и проведем прямую СО. Она пересечет сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С2.Так как отрезки АА1, ВВ1, СС2 пересекаются в одной точке, то по доказанному ранееСопоставляя равенства (1) и (2), приходим к равенству которое показывает, что точки С1 и С2 делят сторону АВ в одном и том же отношении. Следовательно, точки С1 и С2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Теорема доказан.а Замечание. Мы брали точки А1, В1и С1 на сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС. Если же только одна из этих точек берется на соответствующей стороне, а две другие – на продолжении сторон, то справедливо следующее утверждение. Если прямые АА1, ВВ1 и СС пересекаются в одной точкеАВСВ1С1ОА1либо параллельны,А1АВ1СВС1то выполняется равенствои, обратно, если выполняется равенство (1), то прямые АА1, ВВ1 и СС1 либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.




Теорема Менелая.Менелай Александрийский – древнегреческий математик и астроном, живший в 1 в. н. эЕсли на сторонах АВ и ВС и продолжении стороны АС (либо на продолжениях сторон АВ , ВС и АС) взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когдаВАСА1В1С1

Решите задачи.1. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1,считая от вершины. АВСС1А1В1МДано: АВС, АА1, ВВ1, СС1 – медианы.Док-ть: АА1 ВВ1 СС1 = М, АМ:МА1=СМ:МС1=ВМ:МВ1Так как медиана делит сторону треугольника пополам, то АВ1=В1С, СА1=А1В, ВС1=С1А, тогдаследовательно, по теореме Чевы медианы пересекаются в одной точке.По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем





2. Доказать, что в треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке. АВСС1В1А1Дано: АВС, АА1, ВВ1 СС1 – биссектрисы.Док-ть: биссектрисы пересекаются а одной точке.Так как биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то:Перемножим равенства:следовательно, по теоремы Чевы биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.




3. Доказать, что в треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.АВСА1С1В1Дано: АВС, АА1, ВВ1, СС1 – высоты.Доказать: высоты треугольника пересекаются в одной точке АВС -остроугольныйПрямоугольные треугольники АА1С и ВВ1С подобны по двум углам, поэтомуИз подобия треугольников АА1В и СС1В имеем:Из подобия треугольников ВВ1А и СС1А имеем:Перемножим равенства:следовательно, по теореме Чевы высоты треугольника пересекаются водной точке.Для тупоугольного треугольника доказательство аналогично.






4. В треугольнике АВС биссектрисы АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О, АВ=с, ВС=а, СА=b. Доказать, что BAСС1A1B1OcabПо теореме о биссектрисе угла треугольника имеем:По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике:Аналогично доказываются остальные равенства