Реферат. Формирование вычислительного навыка на уроках математики.

Глава 1. Теоретические основы формирования вычислительных умений и навыков младших школьников на уроках математики
1.1Теоретические основы понятие «вычислительный навык»
Формирование вычислительного навыка - одна из главных задач, которая должна быть решена в ходе обучения детей в начальной школе. Эти навыки должны формироваться осознанно и прочно, так как на их базе строится весь начальный курс обучения математике, который предусматривает формирование вычислительных навыков на основе сознательного использования приемов вычислений. Последнее становится возможным благодаря тому, что в программу включено знакомство с некоторыми важнейшими свойствами арифметических действий и вытекающими из них следствиями.[1]
Бантова Мария Александровна определила вычислительный навык как высокую степень овладения вычислительными приемами. «Приобрести вычислительные навыки - значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро». [2]
Вычислительные навыки рассматриваются как один из видов учебных навыков, функционирующих и формирующихся в процессе обучения. Они входят в структуру учебно-познавательной деятельности и существуют в учебных действиях, которые выполняются посредством определенной системы операций. [3]
Полноценный вычислительный навык обучающихся характеризуется следующими показателями: правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью. [4]
Правильность - ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т.е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.
Осознанность - ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности выбора системы операции. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать. Это, конечно, не значит, что ученик всегда должен объяснять решение каждого примера. В процессе овладения навыком объяснение должно постепенно свертываться.
Рациональность - ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный прием, т. е. выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик, используя различные знания, может сконструировать несколько приемов и выбрать более рациональный. Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.
Обобщенность - ученик может применить прием вычисления к большему числу случаев, т. е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи. Обобщенность так же, как и рациональность, теснейшим образом связана с осознанностью вычислительного навыка, поскольку общим для различных случаев вычисления будет прием, основа которого - одни и те же теоретические положения.
Автоматизм (свернутость) - ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операции.
Осознанность и автоматизм вычислительных навыков не являются противоречивыми качествами. Они всегда выступают в единстве: при свернутом выполнении операции осознанность сохраняется, но обоснование выбора системы операции происходит свернуто в плане внутренней речи. Благодаря этому ученик может в любой момент дать развернутое обоснование выбора системы операции. Высокая степень автоматизации должна быть достигнута по отношению к табличным случаям (5+3, 8-5,9+6, 15-9, 7-6, 42:6). Здесь должен быть, достигнут уровень, характеризующийся тем, что ученик сразу же соотносит с двумя данными числами третье число, которое является результатом арифметического действия, не выполняя отдельных операций. По отношению к другим случаям арифметических действий происходит частичная автоматизация вычислительных навыков: ученик предельно быстро выделяет и выполняет систему операций, не объясняя, почему выбрал эти операции и как выполнял каждую из них.
Прочность - ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.
Формирование вычислительных навыков, обладающих названными качествами, обеспечивается построением курса математики и использованием соответствующих методических приемов.
Вместе с тем, ученик при выполнении вычислительного приёма должен отдавать отчёт в правильности и целесообразности каждого выполненного действия, то есть постоянно контролировать себя, соотнося выполняемые операции с образцом - системой операций. О сформированности любого умственного действия можно говорить лишь тогда, когда ученик сам, без вмешательства со стороны, выполняет все операции приводящие к решению. Умение осознано контролировать выполняемые операции позволяет формировать вычислительные навыки более высокого уровня, чем без наличия этого умения. [5]
В целях формирования осознанных, обобщенных и рациональных навыков начальный курс математики строится так, что изучение вычислительного приема происходит после того, как учащиеся усвоят материал, являющийся теоретической основой этого вычислительного приема. [6]
Например, сначала ученики усваивают свойство умножения суммы на число, а затем это свойство становится теоретической основой приема внетабличного умножения. Так, при умножении 15 на 6 выполняется следующая система операций, составляющая вычислительный прием:
1) число 15 заменяем суммой разрядных слагаемых 10 и 5;
2) умножаем на 6 слагаемое 10, получится 60;
3) умножаем на 6 слагаемое 5, получится 30;
4) складываем полученные произведения 60 и 30, получится 90.
Как видим, здесь применение свойства умножения суммы на число (термин «распределительный закон» в начальном курсе не вводится) определило выбор всех операций, поэтому и говорят, что прием внетабличного умножения основан на свойстве умножения суммы на число или что свойство умножения суммы на число - теоретическая основа приема внетабличного умножения.
Легко заметить, что кроме свойства умножения суммы на число здесь использованы и другие знания, а также ранее сформированные вычислительные навыки: знание десятичного состава чисел (замена числа суммой разрядных слагаемых), навыки табличного умножения и умножения числа 10 на однозначные числа, навыки сложения двузначных чисел. Однако выбор именно этих знаний и навыков диктуется применением свойства умножения суммы на число.
1.2Классификация вычислительных приемом по общности их теоретической основы
Общеизвестно, что теоретической основой вычислительных приемов служат определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них. Имея это в виду и принимая во внимание методический аспект, можно выделить группы приемов в соответствии с их общей теоретической основой, предусмотренной действующей программой по математике для начальных классов, что даст возможность использовать общие подходы в методике формирования соответствующих умений и навыков. [7]
Назовем эти группы приемов:
1. Приемы, теоретическая основа которых - конкретный смысл арифметических действий. К ним относятся: приемы сложения и вычитания чисел в пределах 10 для случаев вида а + 2, а + 3, а + 4, а + 0; приемы табличного сложения и вычитания с переходом через десяток в пределах 20; прием нахождения табличных результатов умножения, прием нахождения табличных результатов деления (только на начальной стадии) и деления с остатком, прием умножения единицы и нуля. Это первые приемы вычислений, которые вводятся сразу после ознакомления учащихся с конкретным смыслом арифметических действий. Они, собственно, и дают возможность усвоить конкретный смысл арифметических действий, поскольку требуют применения конкретного смысла. Вместе с тем эти первые приемы готовят учащихся к усвоению свойств арифметических действий.
Таким образом, хотя в основе некоторых из названных приемов и лежат свойства арифметических действий (так, прибавление двух по единице выполняется на основе использования свойства прибавления суммы к числу), эти свойства учащимся явно не раскрываются. Названные приемы вводятся на основе выполнения операций над множествами.
2. Приемы, теоретической основой которых служат свойства арифметических действий. К этой группе относится большинство вычислительных приемов. Это приемы сложения и вычитания для случаев вида 53 ± 20, 47 ± 3, 30 - 6, 9 + 3, 12 - 3, 35 ± 7, 40 ± 23, 57 ± 32, 64 ± 18; аналогичные приемы для случаев сложения и вычитания чисел больших, чем 100, а также приемы письменного сложения и вычитания; приемы умножения и деления для случаев вида 14 * 5, 5 * 14, 81 : 3, 18 * 40, 180 : 20, аналогичные приемы умножения и деления для чисел больших 100 и приемы письменного умножения и деления.
Общая схема введения этих приемов одинакова: сначала изучаются соответствующие свойства, а затем на их основе вводятся приемы вычислений.
3. Приемы, теоретическая основа которых - связи между компонентами и результатами арифметических действий. К ним относятся приемы для случаев вида 9 * 7, 21 : 3, 60 : 20, 54 : 18, 9 : 1, 0 : 6. При введении этих приемов сначала рассматриваются связи между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия, затем на этой основе вводится вычислительный прием.
4. Приемы, теоретическая основа которых - изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Это приемы округления при выполнении сложения и вычитания чисел (46 + 19, 512 - 298) и приемы умножения и деления на 5, 25, 50.
Введение этих приемов также требует предварительного изучения соответствующих зависимостей.
5. Приемы, теоретическая основа которых - вопросы нумерации чисел. Это приемы для случаев вида а ± 1, 10 + 6, 16 - 10, 16 - 6, 57 * 10, 1200 : 100; аналогичные приемы для больших чисел. Введение этих приемов предусматривается после изучения соответствующих вопросов нумерации (натуральной последовательности, десятичного состава чисел, позиционного принципа записи чисел).
6. Приемы, теоретическая основа которых - правила. К ним относятся приемы для двух случаев: а * 1, а * 0. Поскольку правила умножения чисел на единицу и нуль есть следствия из определения действия умножения целых неотрицательных чисел, то они просто сообщаются учащимся и в соответствии с ними выполняются вычисления.
Целый ряд случаев может быть отнесен не только к указанной группе приемов, но и к другой. Например, случаи вида 46 + 19 можно отнести не только к четвертой группе, но и ко второй. Это зависит от выбора теоретической основы вычислительного приема. Как видим, все вычислительные приемы строятся на той или иной теоретической основе, причем в каждом случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приемов. Это - реальная предпосылка овладения учащимися осознанными вычислительными навыками.
Общность подходов к раскрытию вычислительных приемов каждой группы - есть залог овладения учащимися обобщенными вычислительными навыками. Возможность использования различных теоретических положений при конструировании различных приемов для одного случая вычисления (например, для случая сложения 46 + 19) является предпосылкой формирования рациональных гибких вычислительных навыков.[8]
1.3Этапы формирования вычислительных навыков на уроках математики
В ходе формирования вычислительных умений и навыков Бантова Мария Александровна выделяет следующие этапы: [9]
1. Подготовка к введению нового приёма.
На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приёма, а именно, учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается приём вычислений, а также овладеть каждой операцией, составляющей приём.
Например, можно считать, что ученики подготовлены к восприятию вычислительного приёма ±2, если они ознакомлены с конкретным смыслом действий сложения и вычитания, знают состав числа 2 и овладели вычислительными навыками сложения и вычитания вида ±1; готовностью к введению приёма внетабличного умножения (13 * 6) будет знание учащимся правила умножения суммы на число, знание десятичного состава чисел в пределах 100 и овладение навыками табличного умножения, навыками умноженния числа 10 на однозначные числа, навыками сложения двузначных чисел.
Центральное звено при подготовке к введению нового приёма - овладение учеником основными операциями.
2. Ознакомление с вычислительным приёмом.
На этом этапе ученики усваивают суть приема : какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.
При введении большинства вычислительных приёмов важно использовать наглядность. В некоторых случаях это оперирование множествами. Например, прибавляя к 6 число 3, придвигаем к 6 квадратам 3 квадрата по одному.
В других случаях в качестве наглядности используется развернутая запись. Например, при введении приёма внетабличного умножения выполняется запись:
13 * 6=(10+3) * 6=10 * 6+3 * 6=60+18=78
Выполнение каждой операции важно сопровождать пояснениями вслух. Сначала эти пояснения выполняется под руководством учителя, а потом самостоятельно учащимися.
3. Закрепление знаний приёма и выработка вычислительного умения и навыка.
На этом этапе ученики должны твердо усвоить систему операций, составляющие приём, и быстро выполнить эти операции; то есть овладеть вычислительным навыком.
В процессе работы здесь важно предусмотреть этапы становления у учащихся вычислительных умений и навыков:
1. На первом этапе закрепляется знание приема: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие прием, комментируя выполнение каждой из них вслух и одновременно производя развернутую запись
34 * 5 = (30 + 4) * 5 = 30 * 5 + 4 * 5 = 3 * 10 * 5 + 20 = 3 * 5 * 10 + 20 = 15 * 10 + 20 = 150 + 20 = (100 + 50) + 20 = 100 + (50 + 20) = 100 + 70 = 170
2. На втором этапе происходит частичное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют операции и обосновывают выбор, порядок их выполнения, вслух же они проговаривают выполнение основных операций, т.е. промежуточных вычислений. Надо учить детей выделять основные операции в каждом вычислительном приёме. Развёрнутая запись не выполняется. Сначала проговаривание ведётся под руководством учителя, а затем самостоятельно. Проговаривание вслух помогает выделить основные операции, а выполнение про себя вспомогательных операций способствует их свёртыванию.
5 = (30 + 4) * 5 = 30 * 5 + 4 * 5 = 150 + 20 = 170
3.На третьем этапе происходит полное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют и выполняют все операции, т.е. здесь происходит свёртывание и основных операций. Учитель предлагает детям выполнять про себя и промежуточные вычисления, а называть или записывать только окончательный результат.
34 * 5 = 170
4. На четвёртом этапе наступает предельное свёртывание выполнения операций. Учащиеся выполняют все операции в свёрнутом плане, предельно быстро, т.е. они овладевают вычислительными навыками. Это достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений.
На всех этапах формирования вычислительного умения и навыка решающую роль играют задания на применение вычислительных приёмов, причём содержание заданий должно подчиняться целям, которые ставятся на соответствующем этапе. Важно, чтобы было достаточное число заданий, чтобы они были разнообразными как по форме, так и по числовым данным. Надо иметь в виду, что свёртывание выполнение операций не у всех учащихся происходит одновременно, поэтому важно время от времени возвращаться к полному объяснению и развёрнутой записи приёма. Продолжительность каждого этапа определяется сложностью приёма, подготовленностью учащихся и целями, которые ставятся на каждом этапе. Правильное выделение этапов позволит учителю управлять процессом усвоения учащимися вычислительного приёма, постепенного свёртывания выполнения операций, образования вычислительных навыков.
В системе Занкова Леонида Владимировича формирование навыков проходит три принципиально различных этапа, при этом учитель может использовать два пути: прямой и косвенный.[10]
Прямой путь в чистом виде предполагает сообщение учащимся образца, алгоритма выполнения операции, на основании которого школьники многократно ее выполняют. В результате такой репродуктивной деятельности достигается запоминание предложенного алгоритма и вырабатывается запланированный навык.
Косвенный путь предполагает, прежде всего, включение учеников в продуктивную творческую деятельность, в самостоятельной поиск алгоритма выполнения операции.
В системе общего развития Л.В. Занкова главным является именно косвенный путь формирования вычислительных навыков, прямой же использует учитель тогда и в той мере, как это необходимо, так как в чистом виде ни один из путей использовать нельзя.
Первый этап - осознание основных положений, лежащих в фундаменте выполнения операции, создание алгоритма ее выполнения. На этом этапе обязательно прослеживается, оценивается и создается каждый шаг в рассуждениях детей, устные рассуждения переводятся в запись математическими знаками. Отсюда вытекает характерный признак этого этапа - подробная запись выполнения операции, с которой в данный момент работают ученики. На этом этапе практически не используется прямой путь. Он возникает только при выполнении промежуточных, знакомых детям операций. Результатом этого этапа является выработка алгоритма выполнения операции и его осознание.
284 * 25 = 284 * (20 + 5) = 284 * 20 + 284 * 5 = 284 * (2 * 10) + 1420 = (284 * 2) * 10 + 1420 = 568 * 10 + 1420 = 5680 + 1420 = 7100.
На этом этапе почти не используем прямой путь, если только при выполнении знакомых детям операций, т.е. промежуточных (умножение на однозначное число, на единицу с нулями и выполнение сложения).
В результате деятельности на этом этапе появляется алгоритм выполнения операции.
Главным направлением второго этапа является формирование правильного выполнения операции. Для достижения этой цели необходимо не только использование выработанного на первом этапе алгоритма выполнения операции, но, может быть, в еще большей степени, свободная ориентация в ее нюансах, умение предвидеть. К чему приведет то или иное изменение компонентов операции. В силу этого на втором этапе используются оба пути формирования навыков, однако косвенный путь продолжает быть ведущим, прямой же используется в качестве подчиненного. Ученикам даются такие задания, которые ставят детей в позицию активного творческого поиска, где они используют свои знания в нестандартном преобразованном виде.
Например, даем задание: изменить в произведении 284 * 25 одну цифру так, чтобы значение произведения стало пятизначным числом.
В результате найденных преобразований каждый ученик получает от 6 - до 12 произведений, изменяя цифру во втором или в первом множителе:
284 * 35, 284 * 45, 284 * 55, 284 * 65, 284 * 75 (85, 95, 55)
384 * 25, 484 * 25 (584, 684, 784, 884,984) * 25.
От учащихся не требуется нахождения и составления всех возможных решений. Мы объединяем все случаи, которые нашли разные ученики, анализируем, находим с ними определенную закономерность, отыскиваем пропущенные варианты.
Важная особенность таких заданий - возможность индивидуализации их выполнения каждым учеником, так как нет жестких установок на количество требуемых решений, а только рекомендации: «Постарайся найти не одно решение».
Третий этап формирования навыка нацелен на достижение высокого темпа выполнения операции. Именно на этом этапе на первый план выходит прямой путь формирования навыка. Главная задача учителя - построить работу так, чтобы дети хотели выполнять необходимые вычисления и получали от этого удовольствие.
Формирование вычислительных умений и навыков - это сложный длительный процесс, его эффективность зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и организации вычислительной деятельности.
На современном этапе развития образования необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности школьников, которые способствуют не только формированию прочных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка.[11]
При выборе способов организации вычислительной деятельности необходимо ориентироваться на развивающий характер работы, отдавать предпочтение обучающим заданиям. Используемые вычислительные задания должны характеризоваться вариативностью формулировок, неоднозначностью решений, выявлением разнообразных закономерностей и зависимостей, использованием различных моделей (предметных, графических, символических), что позволяет учитывать индивидуальные особенности ребенка, его жизненный опыт, предметно-действенное и наглядно-образное мышление и постепенно водить ребенка в мир математических понятий, терминов и символов. [12]
Глава 2. Методика формирования навыка устных вычислений у младших школьников
2.1 Вычислительные группы приемов по формированию навыка устных вычислений у младших школьников
Общность подходов к раскрытию вычислительных приемов каждой группы — залог овладения учащимися обобщенными вычислительными навыками.
Возможность использования различных теоретических положений при конструировании различных приемов для одного случая вычисления (например, для случая сложении 56+19) является предпосылкой формирования рациональных гибких вычислительных навыков. [13]
Приемы рациональных вычислений.
I. Приемы сложения.
Рациональные приемы сложения основываются на коммутативном (переместительном) и ассоциативном (сочетательном) законах сложения, а также на свойствах изменения суммы.
Коммутативный закон сложения. Сумма не изменяется от перемены мест слагаемых.[14]
Ассоциативный закон сложения. Сумма не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих слагаемых их суммой.[14]
Свойство 1.1. Если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на некоторое число, то сумма соответственно увеличится или уменьшится на это число
Свойство 1.2. Если одно из слагаемых увеличить на некоторое число, а другое уменьшить на это же число, то сумма не изменится.
Свойство 1.3. Если все слагаемые данной суммы увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то сумма соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.
1) Сложение, основанное на ассоциативном законе:
а) 7+4+8+6+2=7+(8+2)+(4+6)=7+10+10=27
б) 13+18+7+22= (13+7)+(18+22)=20+40=60
в) 73+106+27+204=(73+27)+(106+204)=100+310=410

2) Округление одного или нескольких слагаемых. Одно или несколько слагаемых заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят сумму «круглых» чисел, а затем соответствующее дополнение (дополнения) до «круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычитают из нее.
а)37+49=37+50-1=86
б)198+299=200-2+300-1=500-3=497
3) Поразрядное сложение.
При сложении нескольких многозначных чисел сначала находят суммы соответствующих разрядных единиц всех чисел, а затем складывают полученные суммы. В частности, при сложении нескольких двузначных чисел сначала находят сумму всех десятков, потом — всех единиц, а затем складывают полученные суммы.
а) 13+47+29=(10+40+20)+(3+7+9)=70+19=89
4) Группировка вокруг одного и того же «корневого» числа.
Пусть требуется найти сумму 37 + 34 + 29 + 35.
Легко заметить, что все эти числа близки к числу 30, поэтому его считают «корневым», а искомую сумму вычисляют в следующей последовательности:
1) находят сумму «корневых» чисел: 30 х 4 =120, так как в сумме 4 слагаемых;
2) находят сумму отклонений каждого числа от «корневого»; при этом, если число больше «корневого», отклонение берется со знаком «плюс», если число меньше «корневого» — со знаком «минус»: 7+4-1+5=15
II. Приемы вычитания. Все приемы рациональных вычислений, связанные с вычитанием, основываются на законах сложения, правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа, свойствах изменения разности.
Свойство 2.1. Если уменьшаемое увеличилось или уменьшилось на некоторое число, то разность соответственно увеличится или уменьшится на это число.
Свойство 2.2. Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность изменится в противоположном смысле на столько же единиц.
Свойство 2.3. Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на одно и то же число, то разность не изменится.
Свойство 2.4. Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то разность соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.
1) Увеличение или уменьшение уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число единиц.
142 - 26 = (142 - 2) - (26 - 2) = 140-24 = 116.
Этот прием особенно хорош тогда, когда вычитаемое близко к «круглому» числу.
585 - 296 = (585 + 4) - (296 + 4) = 589 - 300 = 289
2) Округление вычитаемого. Вычитаемое заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят разность, а затем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляют к полученной разности или вычитают из нее.
а) 506-198=506-200+2=306+2=308
б) 506-208=506-200-8=306-8=298
3) Округление уменьшаемого.
102-36=100+2-36=(100-36)+2=64+2=66
402-156=400+2-156=(400-156)+2=244+2=246
4) Разложение вычитаемого на части.
371-175=371-170-5=201-5=196
III. Приемы умножения. Все приемы рациональных вычислений для умножения основаны на законах умножения и на свойствах изменения произведения.
Коммутативный (переместительный) закон умножения. Произведение не изменится от перемены мест множителей.[15]
Ассоциативный (сочетательный) закон умножения. Произведение не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих множителей их произведением. [15]
Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения. Произведение данного числа на сумму двух чисел не изменится, если заменить его суммой произведений данного числа на каждое из этих слагаемых.[15]
а) 15х4+15х6=15х(4+6)=15х10=150
Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно вычитания. Произведение данного числа на разность двух чисел не изменится, если заменить его разностью произведений данного числа на каждый компонент разности. [15]
б)199х4=(200-1)х4=200х4-1х4=800-4=796 (при округлении одного из множителей)
Свойство 3.1. Если один из множителей увеличить или уменьшить в несколько раз, то произведение соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.
Свойство 3.2. Если один из множителей произведения умножить на какое-нибудь число, а другой разделить на это же число, то произведение не изменится.
Свойство 3.3. Если два или несколько множителей данного произведения умножить или разделить на какие-либо числа, то данное произведение соответственно умножится или разделится на произведение этих чисел.
Из рассмотренных свойств изменения произведения вытекают следующие приемы, позволяющие рационализировать вычислительный процесс.
Прием 1. Разложение одного из множителей на множители. Один из множителей представляют в виде произведения нескольких множителей, а затем последовательно умножают второй множитель на эти множители.
Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.
Правило 1.1. Умножение на 4 (8, 16). Умножение на 4 (8, 16) сводится к двукратному (трехкратному, четырехкратному) умножению на 2.
а) 29х4=(29х2)х2=58х2=116
б) 29х8=(29х2)х4=58х4=232
с) 29х16=(29х2)х8=58х8=464
Прием 2. Увеличение одного из множителей произведения в несколько раз и одновременное уменьшение второго множителя во столько же раз. Один из множителей произведения увеличивают в несколько раз, второй — уменьшают во столько же раз, а затем находят произведение полученных чисел.
Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.
Правило 2.1. Умножение четного числа на 15 (25, 35, 45). Чтобы умножить четное число на 15 (25, 35, 45), достаточно его разделить на два и частное умножить на 30 (50, 70, 90).
а) 26 х 15 = (26 : 2) х (15 х 2) = 13 х 30 =390
б) 26 х 25 = (26 : 2) х (25 х 2) = 13 х 50 =650
в) 26 х 35 = (26 : 2) х (35 х 2) = 13 х 70 =910
г) 26 х 45 = (26 : 2) х (45 х 2) = 13 х 90 =1170
Прием 3. Представление одного из множителей произведения в виде частного двух чисел. Один из множителей произведения представляют в виде частного двух чисел, второй множитель умножают на делимое, а затем делят на делитель.
Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.
Правило 3.1. Умножение на 5 (50, 500). Чтобы умножить число на 5 (50, 500), достаточно умножить его на 10 (100, 1 000) и результат разделить на 2.
а) 27х5=27х10:2=270:2=135
б) 27х50=27х100:2=2700:2=1350
в) 27х500=27х1000:2=13500
Правило 3.2.Умножение на 25 (250, 2500). Чтобы умножить число на 25,250, 2500), достаточно умножить его на 100, 1 000, 10 000) и результат разделить на 4.а) 28х25=28х100:4=700
б) 28х250=28х1000:4=7000
в) 28х2500=28х10 000:4=70 000
Правило 3.3. Умножение на 125 (1 250). Чтобы умножить число на 125
(1250), достаточно умножить его на 1 000 (10 000) и результат разделить на 8.
а) 64х125=(64х1000):8=8000
б) 64х1250=(64х10000):8=80000
Небольшие изменения приема 3 позволяют сформулировать следующее правило умножения на 75.
Правило 3.4. Умножение на 75. Чтобы умножить число на 75, достаточно разделить его на 4, умножить частное на 3 и результат умножить на 100, т.к.
75=100:4 х3
104 х 75 = (104 : 4) х 3 х 100 = 26х3 х100 = 78х100 = 7800
Прием 4. Представление одного из множителей произведения в виде разности двух чисел. Один из множителей произведения представляют в виде разности двух чисел, второй множитель умножают на уменьшаемое и вычитаемое, а затем находят разность получившихся произведений.
Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.
Правило 4.1. Умножение на 9 (99, 999). Чтобы умножить число на 9 (99, 999), достаточно увеличить его в 10 (100, 1 000) раз и из полученного результата вычесть само число.
а) 57 х 9 = 57 х 10 - 57 = 570 - 57 = 513;
б) 57 х 99 = 57 х 100 - 57 = 5700 - 57 = 5643
в) 57 х 999 = 57 х 1000 - 57 = 57000 - 57 = 56943
Прием 5. Представление одного из множителей произведения в виде суммы двух чисел. Один из множителей произведения представляют в виде суммы двух чисел, второй множитель умножают на каждое слагаемое, а затем складывают получившиеся произведения.
Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.
Правило 5.1. Умножение на 11 (101, 1001). Чтобы умножить число на 11 (101, 1001), достаточно увеличить его в 10 раз и к полученному результату прибавить это число.
а) 67 х11 = 67 х 10 + 67 = 670 + 67 = 737
б) 67х 101 =67 х 100 + 67 = 6700 + 67 =6 767
в) 67 х1001 = 67 х 1000 + 67 = 67000 + 67 = 67067
Существуют еще интересные правила умножения двузначных чисел на 11, 101, 99.
Правило 5.2. Умножение двузначного числа на 11. Чтобы умножить двузначное число на 11, достаточно раздвинуть его цифры и вставить между ними их сумму. Причем, если эта сумма сама является двузначной, то ее единицы вставляются между цифрами данного числа, а десятки прибавляются к первой цифре.
Пример. Для нахождения значения произведения 63х11 проделаем следующее
1) находим сумму 6 + 3 = 9;
2) раздвигаем цифры числа 63, вставив между ними цифру 9, получим ответ:
63 х 11 = 693.
Пример. Для нахождения значения произведения 58 х 11 проделаем следующее:
1) находим сумму 5 + 8 = 13;
2) раздвигаем цифры числа 58, вставив между ними цифру 3, десятки увеличиваем на 1 (5 + 1 = 6), получим ответ: 58 х 11 = 638.
Правило5.3. Умножение двузначного числа на 101. Чтобы умножить двузначное число на 101, достаточно справа к нему приписать само число.
Пример. 73х101 = 7373.
Правило 5.4. Умножение двузначного числа на 99. Чтобы умножить двузначное число на 99, достаточно к предшествующему числу приписать его дополнение до 100.
Пример. 13х99 = 1287.
Прием 6. Умножение чисел меньших двадцати. Чтобы умножить два числа, которые меньше двадцати, достаточно прибавить к первому единицы второго, к результату приписать нуль и прибавить произведение единиц.
Пример. Для нахождения значения произведения 16х13 проделаем следующее:
1) к первому числу прибавляем единицы второго 16 + 3=19;
2) приписываем к результату нуль и прибавляем произведение единиц, получаем ответ: 190 + 6х3 =208.
IV. Приемы деления. Приемы рациональных вычислений для деления основаны на законах умножения и следующих свойствах изменения частного:
Свойство 4.1. Если делимое увеличить или уменьшить в несколько раз, то частное соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.
Свойство 4.2. Если делитель увеличить (уменьшить) в несколько раз, то частное уменьшится (увеличится) во столько же раз.
Рассмотрим приемы, основанные на данных свойствах, позволяющие упростить вычислительный процесс.
Прием 1. Представление делителя в виде частного двух чисел. Делитель представляют в виде частного двух чисел, делимое умножают на второе число, а затем этот результат делят на первое число.
Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.
Правило 4. 1. Деление на 5 (50, 500).Чтобы разделить число на 5(50,500) достаточно умножить его на 2 и результат разделить на 10(100, 1000),.
а) 165:5=(165х2):10=330:10=33
б) 1650:50=(1650х2):100=3300:100=33
в) 16500:500=(16500х2):1000=33000:1000=33
Правило 4. 2. Деление на 25 (250). Чтобы разделить число на 25 (250), достаточно умножить его на 4 и разделить на 100 (1 000).
а) 1 100 : 25 = (1 100 х 4) : 100 =4400 : 100 = 44
б) 11000 : 250 = (11 000 х 4) : 1 000 =44 000: 1 000 = 44
Практически все рассмотренные выше приемы рациональных вычислений могут освоить учащиеся начальных классов, если учитель постоянно будет проводить соответствующую работу, начиная с I класса.
2.2. Задания, направленные на формирование вычислительных навыков вычислений у младших школьников
На уроке математики формирование вычислительных навыков занимает большое место. Одной из форм работы по формированию вычислительных навыков являются задания. Овладение вычислительными навыками имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение:
- образовательное значение: устные вычисления помогают усвоить многие вопросы теории арифметических действий, а также лучше понять письменные приемы;
- воспитательное значение: устные вычисления способствуют развитию мышления, памяти, внимания, речи, математической зоркости, наблюдательности и сообразительности;
- практическое значение: быстрота и правильность вычислений необходимы в жизни, особенно когда письменно выполнить действия не представляется возможным. [17]
В своей работе учителя придерживаются определенных принципов. Один из них (наиболее важный) можно сформулировать следующим образом: работа в классе на каждом уроке должна выполняться всем классом, а не учителем и группой успевающих учеников. То есть необходимо создать такую ситуацию - ситуацию «успеха», при которой каждый ученик смог бы почувствовать себя полноценным участником учебного процесса. Ведь одна из задач учителя заключается не в доказательстве незнания или слабого знания ученика, а во вселении веры в ребенка, что он может учиться лучше, что у него получается. Нужно помочь ребенку поверить в собственные силы, мотивировать его на учебу. [18]
Рассмотрим основные типы заданий:[19]
1. Задания с использованием сравнений:
Для активизации познавательной деятельности учащихся при формировании вычислительных можно использовать метод наблюдений. В процессе наблюдения учащиеся сравнивают, анализируют, делают выводы. Полученные таким образом знания являются более осознанными и тем самым лучше усваиваются.[20, 21]
В качестве примера рассмотрим изучение такого вопроса, как изменение суммы в зависимости от изменения одного из слагаемых. В основе познания учениками данной зависимости лежит прием сравнения.
Задание 1. Решите примеры и сравните их:
2 + 1, 2 + 2.
Необходимо обращать внимание учеников на то, что в одном и в другом примере стоит знак «+», а первые слагаемые одинаковы. Эти примеры схожи. Затем выявляются различия: в первом примере второе слагаемое равно 1, во втором 2, сумма в первом примере равна 3, а во втором – 4.
Ребята отмечают, что во втором примере прибавляем большее (2 > 1), поэтому и получаем большую сумму.
Переходя к сравнению выражений, подбираем такие выражения, в которых ученики смогут усмотреть различные признаки различия и сходства.
Задание 2. На доске записаны примеры:
5 + 3, 4 + 3, 8 – 3, 6 + 3, 7 – 3, 9 – 3
Угадайте сходство или различие записанных выражений. Ученики обычно указывают такие признаки сходства, как знак действия, затем обращают внимание на то, что в первой группе прибавляется число 3, а во второй – вычитается число 3. Затем целесообразно поставить вопрос: «Что произойдет с ответами примеров в первой группе и во второй? Почему ответы в первой группе больше, чем ответы во второй?»
Задание 3. Что вы замечаете в данных примерах?
1 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 6 + 1, 7 + 1
Ученики должны обратить внимание не только на тот факт, что во всех примерах знак «+» и второе слагаемое везде равно 1, но и на то, что последовательность 1, 2, 3, 4 … нарушена, т.к. пропущен пример 5 + 1.
Подобные задания способствуют развитию математической наблюдательности учеников, их умению видеть сходства и различия, выявлять определенные закономерности. В процессе выполнения таких заданий уясняется смысл понятия «сравнить».
Задание 4: Так же могут предлагаться задания с ошибками, которые требуют исправления. Могут предлагаться задания, у которых уже дан знак отношения и одно из выражений, а другое выражение надо составить или дополнить: 8 · (10 + 2)=8 · 10 + …
Выражения таких заданий могут включать различный числовой материал: однозначные, двузначные, трехзначные числа и величины. Выражения могут быть с разными действиями. Главная роль таких заданий – способствовать усвоению теоретических знаний об арифметических действиях, их свойствах, о равенствах, о неравенствах и др. Также они помогают выработке вычислительных навыков.
2. Задания на классификацию и систематизацию знаний.
Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие - основа заданий на классификацию. [22]
Из курса математики известно, что при разбиении множества на классы необходимо выполнять следующие условия:
1) ни одно из подмножеств не пусто;
2) подмножества попарно не пересекаются;
3) объединение всех подмножеств составляет данное множество.
Предлагая детям задания на классификацию, эти условия необходимо учитывать.
Задание 1. Найди значения разностей
742 – 531 898 - 769
374 - 223 586 - 218
457 -132 465 -427
По какому признаку распределены разности по этим столбикам?
3. Задания на выявление общего и различного.
Выделение существенных признаков математических объектов, их свойств и отношений - основная характеристика таких заданий. Благодаря им учащиеся могут самостоятельно «открывать» математические свойства и способы действий (правила), которые в математике строго доказываются.
Задание 1. Рассмотрите рисунок и попробуйте быстро подсчитать, сколько окон в доме.

Дети могут предложить следующие способы: 3+3+3+3, 4+4+4 или 3*4=12; 4*3=12.
Учитель предлагает сравнить полученные равенства, т. е. выявить их сходство и различие. Отмечается, что оба произведения одинаковые, а множители переставлены.
Вывод: «Если множители переставить, то произведение не изменится» или «От перестановки множителей значение произведения не изменится».
4. Задания с многовариантными решениями.
Многовариантные задания - это система упражнений, выполнение которых поможет глубоко и осознано усвоить правило и выработать необходимый вычислительный навык на его основе.
Задание 1. Запиши число 30 тремя одинаковыми цифрами и знаками действий.
Постарайся найти несколько разных решений.
Задание 2. Какое число надо прибавить к 25, чтобы получить круглое?
5. Задания с элементами занимательности.
Такие задания, в основном, направлены на отработку вычислительных навыков. Элемент занимательности увлекает детей, они стремятся выполнить все действия правильно и посмотреть к чему это приведет.
6. Задания на нахождение значений математических выражений.
Предлагается в той или иной форме математическое выражение, требуется найти его значение. Эти задания имеют много вариантов. Можно предлагать числовые математические выражения и буквенные (выражение с переменной), при этом буквам придают числовые значения и находят числовое значение полученного выражения, например:
- найдите разность чисел 100 и 9.- найдите значение выражения С – К, если С = 100, К = 9.Выражения могут предлагаться в разной словесной форме:- из 100 – 9; 100 минус 9- уменьшаемое 100, вычитаемое 9, найдите разность- найти разность чисел 100 и 9- уменьшить 100 на 9 и т.д. Эти формулировки использует не только учитель, но и ученики.
Выражения могут быть даны с ошибками, которые детям предстоит найти.
Задание 1. Найди ошибки в выражениях: Выражения могут включать одно и более действий. Выражения с несколькими действиями могут включать действия одной ступени или разных ступеней, например: 47 + 24 – 56 72 : 12 · 9 400 – 7 · 4 и др. Могут быть со скобками или без скобок: (90 – 42) : 3, 90 – 42 : 3.
Как и выражения в одно действие, выражения в несколько действий имеют разную словесную формулировку, например: из 90 вычесть частное чисел 42 и уменьшаемое 90, а вычитаемое выражено частным чисел 42 и 3.Выражения могут быть заданы в разной области чисел: с однозначными числами (7 – 4), с двузначными (70 – 40, 72 – 48), с трехзначными (700 – 400, 720 – 480) и т.д., с натуральными числами и величинами (200 – 15, 2м – 15см).
Однако, как правило, приёмы устных вычислений должны сводиться к действиям над числами в пределах 100. Так, случай вычитания четырехзначных чисел 7200 – 4800 сводится к вычитанию двузначных чисел (72 сотни – 48 сотен) и значит, его можно предлагать для устных вычислений.
Задание 2. Выражения можно давать и в форме таблицы: заполни таблицы. [23]
Уменьшаемое1214151728
Вычитаемое10 10101010
Разность

Задание 3: Так же такие задания могут быть представлены в виде раз личных «цепочек»: реши цепочки. [24]

Основное значение заданий на нахождение значений выражений – выработать у учащихся твердые вычислительные навыки, а также они способствуют усвоению вопросов теории арифметических действий.
Могут предлагаться задания, у которых уже дан знак отношения и одно из выражений, а другое выражение надо составить или дополнить:
8 · (10 + 2)=8 · 10 + …
Выражения таких заданий могут включать различный числовой материал: однозначные, двузначные, трехзначные числа и величины. Выражения могут быть с разными действиями.
Главная роль таких заданий – способствовать усвоению теоретических знаний об арифметических действиях, их свойствах, о равенствах, о неравенствах и др. Также они помогают выработке вычислительных навыков.
7. Комбинаторные задачи.
Комбинаторика - один из разделов современной математики.
Комбинаторные задачи служат средством развития мышления детей, воспитания у них умения применять полученные знания в различных ситуациях посредством выработки навыков и повторения пройденного. Умение выполнять разбиение множеств, составлять комбинации по определенным признакам и классифицировать лежит в основе разнообразных сфер человеческой деятельности.[25]
Задание 1. При умножении двух однозначных чисел получилось число 16 Чему были равны множители? Найди всевозможные решения.
Задание 2. На складе находилось 7 полных бочонков меда, 7 наполовину заполненных медом и 7 пустых бочонков. Как распределить все бочонки между тремя покупателями так, чтобы каждый получил одинаковое количество меда и бочонков. (Мед не нужно перекладывать из одного бочонка в другой.)
Использование на уроках математики заданий различного типа возбуждает у детей интерес, стимулирует их к активной деятельности и позволяет более прочно сформировать вычислительные навыки.[26]