МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Часть 1

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Г.МОСКВЫ
«МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Часть 1
2012
Практикум составлен в соответствии с Федеральными Государственными Образовательными Стандартами третьего поколения по курсу «Элементы высшей математики» для студентов специальностей 230113 «Компьютерные системы и комплексы» и 230115 «Программирование в компьютерных системах» и отражает опыт преподавания данного курса в Московском техническом колледже.
Практикум имеет целью помочь студенту при подготовке и проведении практических работ по темам, изучаемым в 1 семестре.
Предложенное количество практических работ способствует лучшему усвоению теоретического материала.
Составитель:
Маштакова Римма Атгемовна
Рецензент:
Утверждено на заседании цикловой комиссии общеобразовательных дисциплин протокол №_____от . .12 г____

Пояснительная записка
Предлагаемый Практикум по дисциплине «Элементы высшей математики» предназначен для студентов, обучающихся на втором курсе по специальностям 230113 «Компьютерные системы и комплексы» и 230115 «Программирование в компьютерных системах» и разработан в соответствии с требованиями ФГОС третьего поколения.
Практикум состоит из двух частей. Часть 1 включает 11 практических работ и призван оказать помощь студентам при подготовке и проведении практических работ по следующим разделам: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», «Введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Комплексные числа».
Каждая работа содержит подробный разбор решения одного варианта, далее предложены 32 варианта заданий для решения по 1-9 примеров в каждом в зависимости от темы. При необходимости некоторые практические работы можно разбить не две или три работы с меньшим количеством заданий. Все варианты имеют примерно одинаковую степень сложности. Некоторые работы содержат краткий теоретический материал. В приложении даны справочные материалы в виде таблиц. Время проведения практической работы два академических часа. Использование в процессе преподавания дисциплины «Математика» данного практикума позволит научить обучающихся:
- выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;
- решать задачи, используя уравнения прямых на плоскости;
- применять методы дифференциального исчисления функции одной переменной;
- пользоваться понятиями теории комплексных чисел. Это позволит приобрести студентам следующие компетенции: ОК 1 – 10, ПК 1.1, ПК 1.2, ПК 2.4,ПК 3.4
Автор считает, что сборник далек от совершенства и будет благодарен за все замечания, направленные на его улучшение.

Практическое занятие №1
Тема: «Действия над комплексными числами в алгебраической тригонометрической и показательной формах»
Цель работы: научить выполнять действий над комплексными числами, заданных в различных формах.
Разбор одного варианта.
Задание:
Решить уравнение, а корни изобразить на комплексной плоскости: x2-20x+101=02) Даны числа Z1=5-8j; Z2=-1+7j. Найти: а) Сумму Z1+Z2 указать вещественную и мнимую часть, б) Разность Z1-Z2 и указать сопряженные и противоположные комплексные числа, в) Произведение Z1∙Z2, г) частное Z1Z2.
3) Даны комплексные числа
а) Z1=33cos-370+ jsin-370 Z2=2cos-2π3+ jsin-2π3 б) Z1= 6 e-160j; Z2= 5 e1270j Выполнить действия: Z1+Z2; Z1Z2; Z13. 4*) Выполнить указанные действия над комплексными числами в алгебраической форме
2+j1-j+4j7-j-5j34Решение:
1) Решить уравнение x2-20x+101=0, а корни изобразить на комплексной плоскости.
Это квадратное уравнение, поэтому найдем дискриминант:
D=b2-4ac=400-4∙1∙101=400-404=-4 = представим как произведение =4∙-1= заменим -1 на j2 по определению мнимой единицы, тогда = 4j2.D=4j2=2jНайдем корни:
X1,2= -b±D2a=20±2j2=202±2j2=10±jX1=10+j; X2=10-jздесь 10 – действительная часть комплексного числа откладываем по оси x, а 1 – мнимая часть, откладываем по оси у. Для изображения комплексных чисел получим точки M110;1, M210;-1
Дано:
Z1=5-8j; Z1=-1+7jНайти:
а)Z1+Z2; б) Z1-Z2; в) Z1∙Z2; г) Z1Z2Решение:
а) что бы сложить комплексные числа в алгебраической форме складывают их действительные части и их мнимые части:
Z1+Z2=5-1+-8+7j=4-j, здесь 4- это действительная часть комплексного числа, а -j - мнимая часть.
б) Z1-Z2=5--1+-8-7j=6-15jсопряженным к нему будет число 6+15j, а противоположным - -6+15j .
в) Z1-Z2=5-8j+-1-7j= Раскроем скобки по правилу умножения многочленов =
= -5+35j+8j-56j2= по определению j2 заменим на -1, тогда = -5+35j+8j+56 = складываем действительные части, а затем мнимые = 51+43j.
г) Z1Z2=5-8j-1+7j=
умножим числитель и знаменатель на множитель сопряженный к знаменателю, это -1-7j=5-8j-1+7j∙ 5-8j-1+7j= перемножим по правилу многочленов.
= 5-35j+8j+56j2-12+72=5-27j-561+49=-51-27j50=-5150-2750j.3) а) Дано:
Z1=33cos-370+ jsin-370; Z2=2cos-2π3+ jsin-2π3
Найти: Z1∙Z2; Z1Z2; Z13.
Решение: т.к. π=1800, тогда φ=-2π3=-2∙18003=-600, что бы умножить комплексные числа в тригонометрической форме, надо умножить их модули, а аргументы сложить, тогда
Z1∙Z2=33cos-370+ jsin-370 ∙2cos-2π3+ jsin-2π3=33∙2 (cos-370-600+ jsin-370-600)=36cos-970+ jsin-970Чтобы разделить комплексные числа в тригонометрической форме надо разделить их модули а аргументы вычесть, тогда
Z1Z2=33cos-370+ jsin-3702cos-600+ jsin-600=332(cos-370-600+ jsin-370-600)=33∙22∙2(cos-370+600+ jsin-370+600)=362cos230+ jsin230.Что бы возвести комплексное число в тригонометрической форме в степень n надо модуль возвести в степень n, а аргумент умножить на n:
Z13=[ 33 cos-370+ jsin-370]3= 333cos3∙-370+jsin(3∙-370]3=333∙3∙3cos-1110+ jsin-1110= 27∙ 3∙3cos-1110+ jsin-1110= 813cos-1110+ jsin-1110.б) Дано:
Z1=6 e-160j; Z2=5 e1270jНайти:
Z1∙Z2; Z1Z2; Z13.Решение:
Z1∙Z2=6 е-160j∙ 5e1270j=6∙5e-160+1270j=30 e1210jZ1Z2=6e-160j5e1270j=6∙55∙5 e-160-1270j=305e-1430jZ13=6e-160j3=63e3∙-160j=66 e-480j.4*) 2+j1-j+ 4j 7-j-5j34=2+j1-j∙1+j1+j+28j-4j2-5j4∙8+j=2+2j+j+j21+1+28j+4-5j3=3+3j-12+28j+4-5j3=2+3j-12+28j+4-5∙j2∙j= 1+3j2+28j+4+5j=12+32j+28j+4+5j=412+32+28+5j=412+3412j.ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Задание:
1. Решить уравнение, а корни уравнения изобразить на комплексной плоскости.
2. Даны комплексные числа . Найти:
а) сумму и указать вещественную и мнимую часть;
б) разность и указать комплексные числа сопряженные и противоположные к z;
в) произведение ;
г) частное .
3. Даны комплексные числа: а) и ;
б) и . Выполнить действия ; ; .) Выполнить указанные действия в алгебраической форме.Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3


,
;
б) и
) .



б) и ;
)

111
б) и
)
Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6

и ;

;
б) и ;
)
и ;


и ;
)
и


б) и .
)
Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9

и ;

.
б) и
)
и


и
)
и

.
б) и .
)
Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12

и


б) и .
)
и


и .
)
и .


б) и
)
Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15

и


б) и
)
и


б) и .
) .
и

.
б) и .
)
Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18

и .


б) и .
)
и


и .
)
и


б) и .
)
Вариант 19 Вариант 20 Вариант 21

и .


б) и .
)
и .


б) и
)
и .


б) и .
)
Вариант 22 Вариант 23 Вариант 24

и


б) и
)
и


и
)
,


и
)
Вариант 25 Вариант 26 Вариант 27

и
3)а)
и
)
и


и
)
и


и
)
Вариант 28 Вариант 29 Вариант30

и


и

и


и
)
и


и
)
Вариант 31 Вариант 32
и

и
)
и


и
) Практическая работа № 2
Тема: «Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и показательной, и обратно»
Цель работы: выработать навыки по переходу от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и показательной формам, и обратно.
Разбор одного варианта:
Задание.
1) Найти модуль и главный аргумент комплексного числа. Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах: z= -53 - 5j;2) Записать комплексное число в тригонометрической, а затем в алгебраической формах:
z=23e-5π3j ;
3) Выполнить действия в показательной форме, а результат записать в алгебраической и тригонометрической формах.
z= (-53 - 5j)47eπ8j;
4) Перевести комплексное число в тригонометрическую форму, а затем выполнить указанные действия.
7j3-j;
Решение:
z= -53 - 5j, Действительная часть здесь a= -53; мнимая часть b= -5;
Найдём модуль комплексного числа:
r= a2+b2 = (-53)2+(-5)2 = 25∙3+25 = 100 = 10.
Найдём аргумент комплексного числа. Действуем по алгоритму: α=arctg ba=arctg-5-53=сократим=arctg13=arctg1∙33∙3=arctg33=30°. Определим четверть расположения комплексного числа: z= -53 - 5j , ему соответствует точка с координатами (-53;-5), которая расположена в 3-ей четверти.

Тогда аргумент φ=180°+α,φ=180°+30°, φ=210°.Получим тригонометрическую форму z=r(cosφ+jsinφ), подставим найденные r=10,φ=210° ,тогда -53-5j=10(cos210°+jsin210°).
Получим показательную форму: z=rejφ, тогда -53-5j=10e210°j. Поскольку φ=210° не является главным значением аргумента, то φ=210°-360°=-150°.
Ответ: -53-5j=10e-150°jz=23e-5π3j, здесь r=23,φ=-5π3.
Подставим в тригонометрическую форму z=23(cos(-5π3) + jsin(-5π3)), пользуясь свойством чётности функции косинус и нечётности синуса имеем 23(cos5π3 - jsin5π3), т.к. cos5π3=cos300°=32. sin5π3=sin5×180°3=sin300°=12.Имеем 2332-j-12=раскроем скобки= 23∙32+232j=3+3j.Ответ: 3+3j.3) z= (-53 - 5j)47eπ8j,
в № 1) нашли, что -53-5j=10e-150°j,
тогда z4=(10e-150°j)4=104∙e4∙-150°j=10000e-600°j,
тогда z=10000e-600°j7e180°8j=1000007e-600°-22,5°j=1000007e-622,5°j= поскольку-622,5°+360°∙2=-622,5°+720°=97,5°=1000007e97,5°j.
Ответ: 1000007e97,5°j.
4) 7j3-j;
Переведём число 7j в тригонометрическую форму, для этого изобразим это комплексное число, которому соответствует точка (0;7). Тогда φ - это угол между вектором, изображающим комплексное число и положительным направлением оси OX, он равен 90°.
Тогда 7j=7(cos90°+jsin90°).

Переведём число 3-j в тригонометрическую форму.
Найдём r=a2+b2=32+(-1)2=9+1=10.
Вспомогательный угол α=arctg ba=arctg -13=arctg13 .
С помощью калькулятора находим α≈18°.Определим четверть расположения комплексного числа a=3,b=-1. Это четвертая четверть, поэтому φ=-α, т. е. -18°
Тогда 3-j=10(cos(-18°)+jsin(-18°)).
Выполним действия:
7j3-j=7(cos90°+jsin90°)10(cos(-18°)+jsin(-18°))=7∙1010∙10cos(90°+18°+jsin(90°+18°))=71010(cos108°+jsin108°).
Ответ: 71010(cos108°+jsin108°).
ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Задание:
Найти модуль и главный аргумент комплексного числа. Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах.
Записать комплексные числа в тригонометрической и алгебраической формах.
Выполнить действия в показательной форме, а результат записать в алгебраической и тригонометрической формах.
*Перевести комплексное число в тригонометрическую форму, а затем выполнить указанные действия.
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3










Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6










Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9










Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12










Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15










Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18










Вариант 19 Вариант 20 Вариант 21










Вариант 22 Вариант 23 Вариант 24










Вариант 25 Вариант 26 Вариант 27









Вариант 28 Вариант 29 Вариант 30










Вариант 31 Вариант 32 Вариант 33










Задание 4 является дополнительным, а не обязательным.
Практическая работа №3
Тема «Векторы, операции над ним»
Цель работы: научить выполнять действия над векторами в пространстве, заданными своими координатами, вычислять длину вектора, находить скалярное произведение векторов и угол между векторами.
Разбор одного варианта:
Вариант.
1)Дано:
Найти: а) Линейную комбинацию векторов
б) Скалярное произведение векторов
2) Найти направляющие косинусы вектора:
3) Найти вектор и его длину, если Q (4;-1;2), P (0;-3;1).
4) Найти угол С в треугольнике АВС, если А (-1;-2;-3), В (2;1;3), С (-1;5;2).
5*) Вычислить площадь этого треугольника АВС.
Решение:1) а) Найдем линейную комбинацию векторов:= =
Используя умножение вектора на число и правило сложения и вычитания векторов имеем:

б ) Найдем скалярное произведение векторов:

2) Направляющими косинусами вектора называются косинус угла, образованным вектором с осями координат ОХ, ОУ, ОZ:
вектор имеет координаты: , тогда



Ответ: ; ; .3) Дано: Решение:
Q (4;-1;2) Координаты вектора, заданного начальной и конечной точкой, вычисляется
P (0;-3;1) по формуле: , тогда
.

Ответ: , .
4) Дано: Решение: в треугольнике АВС образован векторами и , найдем их:
Треугольник
АВС, , их длины





, тогда
С помощью калькулятора найдем <C = arcos(0,492)~60,5 градусов.
Ответ:
5) Дано:Решение:




Ответ:
ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Вариант 1 Вариант 2
Дано: ,
Найти:
а) линейную комбинацию векторов .
б) скалярное произведение векторов .
Найти направляющие косинусы вектора:
Найти вектор и его длину, если А (1; -2; 3); В (4; 0; -8); С (3; 4; 5)
Найти угол А в треугольнике АВС, если А (1; 2; 3); В (-2; 3; -4); С (3; 4; 5).
) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение. Дано: ,
Найти:
а) линейную комбинацию векторов .
б) скалярное произведение векторов .
Найти направляющие косинусы вектора:
Найти вектор и его длину, если
С (-3; 2; 0); D (4;-3; 1).
Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(4; 5; 0); В (3; -2; 1), С (2; -3; 2). Найти угол В.
) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.Вариант 3 Вариант 4
Дано: ,
Найти:
а)линейную комбинацию векторов .
б) Скалярное произведение векторов
Найти направляющие косинусы вектора:
Найти вектор и его длину, если Р (-2; 1; 0); К (4; -2; 3).
Найти угол С в треугольнике, если А (3; 2; 1); В (-4; 3; -2); С (5; 4; 3).
) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: , используя векторное произведение .Дано: ,
Найти:
а) линейную комбинацию векторов .
б) Скалярное произведение векторов .
Найти направляющие косинусы вектора:
Найти вектор и его длину, если М (0;-1; 4); N (-4; 7; 3).
Найти угол A в треугольнике АВС, если А (0; 5; 4); В (1; -2; 3); С (2;-3; -2).
) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: ,используя векторное произведение
Вариант 5 Вариант 6
Дано: ,
Найти:
а) линейную комбинацию векторов .
б) скалярное произведение векторов .
Найти направляющие косинусы вектора:
Найти вектор и его длину, если А (1; -3; 2); С (-4; 2; 0),.
Найти угол В в треугольнике, если А (3; -2; 1); В (4; -3; 2);С (-5; - 4; 3).
5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.
Дано: ,
Найти:
а) линейную комбинацию векторов .
б) скалярное произведение векторов
Найти направляющие косинусы вектора:
Найти вектор и его длину, если
B (-6; 0; 1); D (-3; 2; -1).
Найти угол С в треугольнике, если А (0; -5; 4); В (1; 2; -3); С (-2; 3; 2).
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
,
используя векторное произведение.
Вариант 7 Вариант 8
Дано: ,
Найти:
а) линейную комбинацию векторов .
б) скалярное произведение векторов .
Найти направляющие косинусы вектора:
Найти вектор и найти его длину, если L (1; -4; 6); Р (-2; 0; 3).
4) Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(-5; -2; -3);
В (-4; 0; 1); С (0; -3; 1). Найти угол А.
5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.
Дано: ,
Найти:
а)линейную комбинацию векторов .
б) скалярное произведение векторов .
Найти направляющие косинусы вектора:
Найти вектор и его длину, если
Q (9; 1; 1); P (2; -3; -4).
4) Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(-7; 1; 2);
В (1; -4; 6); С (3; 4; -7).Найти угол
5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.
Вариант 9 Вариант 10
1. Дано: ;Найти:
а) линейную комбинацию векторов .
б) скалярное произведение векторов .
2. Найти направляющие косинусы вектора:
3. Найти вектор и его длину, если А (-1; -2; 6); В (4; -1; -8).
4. Найти угол А в треугольнике АВС, если А (1; 2; 2); В (-2; 3; -3); С (3; 4; 4).
) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение. 1. Дано: ;Найти:
а) линейную комбинацию векторов .
б) скалярное произведение векторов .
2. Найти направляющие косинусы вектора:
3. Найти вектор и его длину, если С (3; -1; 0); D (5;-2; -1).
4. Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(4; 5; 1); В (1; -2; 2), С (3; -3; 3) . Найти угол В.
) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.Вариант 11 Вариант 12
1. Дано: ,
Найти:
а) линейную комбинацию векторов .
б)Скалярное произведение векторов
2.Найти направляющие косинусы вектора:
3.Найти вектор и его длину, если Р (-2; 7 0); К (4; -2; 4).
4. Найти угол С в треугольнике, если А (3; 3; 2); В (-4; 4; -2); С (6; 4; 3).
) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: , используя векторное произведение.1. Дано: ,
Найти:
а) линейную комбинацию векторов .
б) Скалярное произведение векторов .
2. Найти направляющие косинусы вектора:
3. Найти вектор и его длину, если М (1;-1; 5); N (-4; 6; -2).
4. Найти угол A в треугольнике АВС, если А (0; 5; 4); В (1; -2; 3); С (2;-3; -2).
) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: , используя векторное произведение.Вариант 13 Вариант 14
1.Дано: ,
Найти:
а)линейную комбинацию векторов .
б) скалярное произведение векторов .
2. Найти направляющие косинусы вектора:
3. Найти вектор и его длину, если А (1; -5; 4); С (-4; 3; 0),.
4. Найти угол В в треугольнике, если А (5; -2; 1); В (4; -2; 2);С (-5; - 4; 1). Найти угол В.
5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.
1. Дано: ,
Найти:
а)линейную комбинацию векторов .
б)Скалярное произведение векторов
2. Найти направляющие косинусы вектора:
3.Найти вектор и его длину, если
B (-6; 0; 1); D (-4;-2; 5).
4. Найти угол С в треугольнике, если А (0; -5; 1); В (1; 2; -6); С (-2; 4; 2).
5*. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах ,
используя векторное произведение.
Вариант 15 Вариант 16
1.Дано: ,
Найти:
а) линейную комбинацию векторов 0,5.
б) скалярное произведение векторов .
2.Найти направляющие косинусы вектора:
3. Найти вектор и найти его длину, если L (1; -4; 2); Р (-2; 1; 5).
4. Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(-5; -2; -3);
В (-4; 0; 1); С (0; -3; 1). Найти угол А.
5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение. 1.Дано: ,
Найти:
а) линейную комбинацию векторов .
б) скалярное произведение векторов .
2. Найти направляющие косинусы вектора:
3. Найти вектор и его длину, если
Q (9; 1; 1); P (0; -1; -2).
4. Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(-7; -1; 0); В (1; -4; 6);
С (-3;- 4; 7).Найти угол А.
5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.
Пример отмеченный * является дополнительным.
Практическая работа №4.
Тема: «Составление уравнений прямых и их построение»
Цель работы: научить составлять уравнения прямой, проходящей через две точки, через точку, параллельно данной прямой, через точку, перпендикулярно данной прямой, вычислению угла между прямыми.
Необходимые формулы:
Общее уравнение прямой: Ax+By+C=0, где A и B одновременно ≠0.
Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и пересекающей ось Oy в точке с ординатой b (начальная ордината):
y=kx+bУравнение прямой проходящей через точку Mx0,y0 и имеющей угловой коэффициент k: y-y0=kx-x0.Условие параллельности прямых: состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k1=k2.
Условие перпендикулярности двух прямых, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2 (k1≠0, k2≠0), состоит в выполнении соотношений:
k1∙k2+1=0 или k1= -1k2 , то есть угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Тангенс угла φ между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, вычисляется по формуле
tg φ=±k2-k11+k1k2 причем знак «+» соответствует острому углу φ, а знак «-» -тупому.
Разбор данного варианта:
Задание.
Треугольник MKN задан вершинами M-2;5, N3;-8, K0;1.
Найти: 1) Уравнение прямой ML, параллельной стороне NK.
2) Уравнение меридианы KP.
3) уравнение высоты NH.
4) Угол K.
5) Центр тяжести треугольника.
Решение:
Составим уравнение стороны NK, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1Имеем N3;-8, K0;1 тогда x1=3;y1=-8;x2=0;y2=1: x-30-3=y+81+8Преобразуем к виду y=kx+b.
-3y+8=9x-3 раскроем скобки
-3y-24=9x-27 и выразим «y»
-3y=9x-27+24 -3y=9x-3 разделим на -3 y=-3x+1 Это и есть уравнение стороны NK.
Сравнивая с y=kx+b, получаем, что угловой коэффициент стороны NK: kNK=-3.
По условию искомая прямая ML параллельна стороне треугольника NK:ML∥NK=> их угловые коэффициенты равны: kML=kNK=-3.
Составим уравнение прямой ML, которая проходит через точку M-2;5, с угловым коэффициентом kML:y-y0=kx-x0: имеем x0=-2; y0=5: тогда
y-5=-3(x+2) выразим «y»
y=-3x-6+5
y=-3x-1 это уравнение прямой ML.
Надо составить уравнение медианы KP. По определению медианы точка P – середина отрезка MN. Найдем её координаты: xP=xM+xN2; yP=yM+yN2. Тогда xP=-2+32= 12; yP=5-82=-32. Итак точка P имеет координаты 12;-32 . Составим уравнение медианы KP как прямой проходящей через две точки K0;1, P12;-32x-x1x2-x1=y-y1y2-y1Здесь x1=0; y1=1; x2=12; y2=-32x-012-0=y-1-32-1x12=y-1-32 , так как произведение крайних равно произведению средних
12y-1=-32x, умножим на 2
y-1=-3x, выразим «y»
y=-3x+1. Это уравнение меридианы KP.
Надо составить уравнение высоты NH. По определению высоты: NH перпендикулярна MK.
Составим уравнение прямой MK, как прямой проходящей через две точки M-2;5, K0;1:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1; x1=-2; y1=5; x2=0; y2=1.x-20-2=y-51-5; x-22=y-54; 2y-5=-4x+2; 2y-10=-4x-8; 2y=-4x-8+10; 2y=-4x+2, разделим на 2:y=-2x+1 это уравнение MK, тогда угловой коэффициент прямой МК равен: kMK=-2
По условию NH перпендикулярна MK=> kNH∙kMK=-1, kNH=-1kMK, тогда kNH=12.
Составим уравнение NH:
y-y0=kx-x0, проходящей через точку N(3;-8), x0=3; y0=-8.y+8=12x-3 выразим "у" y=12x-32-8 y=12x-192 y=0,5x-9,5-это уравнение высоты NH.4) Найдем угол K.
Угол K образован прямыми MK и NK, тогда tg MKN=±kMK-kNK1+kMKkNK, из пункта 1 имеем kNK=-3, из пункта 3 имеем kMK= -2тогда tg MKN = -2+31+-3∙(-2) tg MKN=17, с помощью калькулятора находим угол K=arctg 17 ≈90,30.
5) Найдем центр тяжести треугольника MNK. По определению центр тяжести треугольника это точка пересечения медиан, причем каждая медиана делится точкой центра тяжести в отношении 2 к 1 от вершины. Имеем медиану KP: K(0;1),P12;-32. Используя формулу деления отрезка в данном отношении получим точку О- центр тяжести треугольника MNK.
x0=xK+λxP1+λ; y0=yx+λyP1+λ
Из теории имеем λ=2, тогда x0=0+2∙121+2=13, y0= 1+2∙(-32)1+2= -23Итак, O13; -23.ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Вариант 1 Вариант 2
Треугольник задан вершинами
А (-6; -2), В (4; 8) и С (2; -8). Найти:
Уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;
Уравнение медианы CD;
Уравнение высоты АЕ;
Угол В;
Центр тяжести этого треугольника.
Треугольник задан вершинами
А (-8; -2), В (2; 10) и С (4; 4). Найти:
Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;
Уравнение медианы CM;
Уравнение высоты BH;
Угол A;
Центр тяжести этого треугольника.
Вариант 3 Вариант 4
Треугольник задан вершинами
А (-2; -2), В (7; -6) и С (1; 2). Найти:
Уравнение прямой CN, параллельной стороне AB;
Уравнение медианы BM;
Уравнение высоты AH;
Угол C;
Центр тяжести этого треугольника.
Треугольник задан вершинами
А (2; -1), В (-7; 3) и С (-1; -5). Найти:
Уравнение прямой BN , параллельной стороне AC;
Уравнение медианы AM;
Уравнение высоты CH;
Угол B;
Центр тяжести этого треугольника.
Вариант 5 Вариант 6
Треугольник задан вершинами
А (-5; 3), В (3; 4) и С (7; -3). Найти:
Уравнение прямой AN , параллельной стороне BC;
Уравнение медианы CM;
Уравнение высоты BH ;
Угол A;
Центр тяжести этого треугольника.
Треугольник задан вершинами
А (2; 6), В (4; -2) и С (-2; -6). Найти:
Уравнение прямой CN , параллельной стороне AB;
Уравнение медианы BM;
Уравнение высоты AH;
Угол C;
Центр тяжести этого треугольника
Вариант 7 Вариант 8
Треугольник задан вершинами
А (2; 6 ), В ( 4 ; -2 ) и С ( 6; 2). Найти:
Уравнение прямой BN, параллельной стороне AC;
Уравнение медианы AM;
Уравнение высоты CH;
Угол B;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Треугольник задан вершинами
А (5; 3), В ( -3,5; 0) и С ( 1; 6 ).Найти:
Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;
Уравнение медианы CM;
Уравнение высоты BH;
Угол A;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Вариант 9 Вариант 10
Треугольник задан вершинами
А (6; 5), В (3; 1) и С (9; 1). Найти:
1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;
2) Уравнение медианы CD;
3) Уравнение высоты АЕ;
4) Угол В;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Треугольник задан вершинами
А (-3; 4), В (-4; 1) и С (-1; 2). Найти:
1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;
2) Уравнение медианы CM;
3) Уравнение высоты BH;
4) Угол A;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Вариант 11 Вариант 12
Треугольник задан вершинами
А (3; 4), В (4; 1) и С (1; 2). Найти:
1) Уравнение прямой CN, параллельной стороне AB;
2) Уравнение медианы BM;
3) Уравнение высоты AH;
4) Угол C;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Треугольник задан вершинами
А (3; 3), В (0; -1) и С (3; 1). Найти:
1) Уравнение прямой BN , параллельной стороне AC;
2) Уравнение медианы AM;
3) Уравнение высоты CH;
4) Угол B;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Вариант 13 Вариант 14
Треугольник задан вершинами
А (1; 2), В (5; 5) и С (-1; -3). Найти:
1) Уравнение прямой AN , параллельной стороне BC;
2) Уравнение медианы CM;
3) Уравнение высоты BH ;
4) Угол A;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Треугольник задан вершинами
А (3; -5), В (-1; 1) и С (4; 0). Найти:
1) Уравнение прямой CN , параллельной стороне AB;
2) Уравнение медианы BM;
3) Уравнение высоты AH;
4) Угол C;
5) Центр тяжести этого треугольника
Вариант 15 Вариант 16
Треугольник задан вершинами
А ( 8; 6 ), В ( 6 ; 4 ) и С (-2; 14). Найти:
1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне AC;
2) Уравнение медианы AM;
3) Уравнение высоты CH;
4) Угол B;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Треугольник задан вершинами
А ( -8; 4), В ( -2; 1) и С ( 1; -3 ). Найти:
1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;
2) Уравнение медианы CM;
3) Уравнение высоты BH;
4) Угол A;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Вариант 17 Вариант 18
Треугольник задан вершинами
А (1; 3), В (-2; -1) и С (4; -2). Найти:
1)Уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;
2) Уравнение медианы CD;
3) Уравнение высоты АЕ;
4) Угол В;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Треугольник задан вершинами
А (-6; -2), В (-3; 1) и С (1; -4). Найти:
1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;
2) Уравнение медианы CM;
3) Уравнение высоты BH;
4) Угол A;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Вариант 19 Вариант 20
Треугольник задан вершинами
А (-4; -2), В (0; 1) и С (2; -1). Найти:
1) Уравнение прямой CN, параллельной стороне AB;
2) Уравнение медианы BM;
3) Уравнение высоты AH;
4) Угол C;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Треугольник задан вершинами
А (2; -5), В (1; -3) и С (4; 1). Найти:
1) Уравнение прямой BN , параллельной стороне AC;
2) Уравнение медианы AM;
3) Уравнение высоты CH;
4) Угол B;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Вариант 21 Вариант 22
Треугольник задан вершинами
А (-1; -1), В (1; 3) и С (4; -1). Найти:
1) Уравнение прямой AN , параллельной стороне BC;
2) Уравнение медианы CM;
3) Уравнение высоты BH ;
4) Угол A;
5) Центр тяжести этого треугольника. Треугольник задан вершинами
А (-6; 1), В (-3; 7) и С (0; -1). Найти:
1) Уравнение прямой CN , параллельной стороне AB;
2) Уравнение медианы BM;
3) Уравнение высоты AH;
4) Угол C;
5) Центр тяжести этого треугольника
Вариант 23 Вариант 24
Треугольник задан вершинами
А ( 0; 6 ), В ( 3 ; 1 ) и С ( 4; 2). Найти:
1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне AC;
2) Уравнение медианы AM;
3) Уравнение высоты CH;
4) Угол B;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Треугольник задан вершинами
А (3; 4), В ( 2; -1) и С ( -1; 1 ). Найти:
1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;
2) Уравнение медианы CM;
3)Уравнение высоты BH;
4) Угол A;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Вариант 25 Вариант 26
Треугольник задан вершинами
А (4; 7), В (6; -1) и С (2; -2). Найти:
1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;
2) Уравнение медианы CD;
3) Уравнение высоты АЕ;
4) Угол В;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Треугольник задан вершинами
А (-6; 0), В (-7; 7) и С (1; 1). Найти:
1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;
2) Уравнение медианы CM;
3) Уравнение высоты BH;
4) Угол A;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Вариант 27 Вариант 28
Треугольник задан вершинами
А (4; 7), В (-1; 3) и С (8; 2). Найти:
1) Уравнение прямой CN, параллельной стороне AB;
2) Уравнение медианы BM;
3) Уравнение высоты AH;
4) Угол C;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Треугольник задан вершинами
А (7; -3), В (12; 9) и С (6; 1). Найти:
1) Уравнение прямой BN , параллельной стороне AC;
2) Уравнение медианы AM;
3) Уравнение высоты CH;
4) Угол B;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Вариант 29 Вариант 30
Треугольник задан вершинами
А (-5; 3), В (3; 4) и С (7; -3). Найти:
1) Уравнение прямой CN , параллельной стороне AB;
2) Уравнение медианы BM;
3) Уравнение высоты AH ;
4) Угол C;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Треугольник задан вершинами
А (2; 6), В (4; -2) и С (-2; -6). Найти:
1) Уравнение прямой AN , параллельной стороне BC;
2) Уравнение медианы CM;
3) Уравнение высоты BH;
4) Угол A;
5) Центр тяжести этого треугольника
Вариант 31 Вариант 32
Треугольник задан вершинами
А ( 2; 6 ), В ( 4 ; -2 ) и С ( 6; 2). Найти:
1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;
2) Уравнение медианы CM;
3) Уравнение высоты BH;
4) Угол A;
5) Центр тяжести этого треугольника. Треугольник задан вершинами
А ( 5; 3), В ( -3 5; 0) и С ( 1; 6 ). Найти:
1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне AC;
2) Уравнение медианы AM;
3) Уравнение высоты CH;
4) Угол B;
5) Центр тяжести этого треугольника.
Пример под номером 5 является дополнительным.
Практическая работа № 5
Тема: «Операции над матрицами. Вычисление определителей»
Цель работы: Отработать навык по вычислению определителей 4-го порядка путём элементарных преобразований, выполнению операций над матрицами, записи системы уравнений в матричном виде.
Разбор одного варианта:
Задание.
1) Вычислить определитель 4-го порядка, используя элементарные преобразования:
∆=5210310123-123-12-32) Выполнить умножение матриц, предварительно определив размер новой матрицы:
-135201∙-10231-53) Транспонировать матрицу:
Α=-123401-1230144) Записать систему уравнений в матричном виде:
x1-2x2=23x1+4x2=1Решение:
1) Вычислим определитель 4-го порядка используя элементарные преобразования. Для этого из элементов второй строки отнимем соответствующие элементы третьей строки:
∆=5210310123-123-12-3II=II-III(-1) =521012-3-123-123-12-3=поменяем местами первую и вторую строки, при этом согласно свойствам определителя, знак определителя изменится = -12-3-1521023-123-12-3
= будем обнулять элементы первого столбца, т.е. a21, a31, a41, для этого элементы второй строки сложим с соответствующими элементами первой строки, предварительно умноженными на (-5).
Элементы третьей строки сложим с соответствующими элементами первой строки, предварительно умноженными на (-2).
Элементы четвёртой строки сложим с соответствующими элементами первой строки, предварительно умноженными на (-3),
тогда = -12-3-1521023-123-12-3II=II+I(-5)III=III+I(-2)IV=IV+I(-3) = - 12-3-10-816500-5-49940
= разложим по элементам первого столбца =
-1∙-8165-594-480II=II+I(-1)= - 1∙-8165-114-480 = поменяем
местами первую и вторую строки, при этом определитель меняет знак. = -8165-114-480II=II+I(-8)III=III+I(-4) = -11408-2704-16 =
разложим по элементам первого столбца = -1∙8-274-16 = -(8∙-16-4∙-27) = -(-128+108) = 20.
2) -135201∙-10231-5 – определим размер новой матрицы 3х2∙2х3=3х3, следовательно
-135201∙-10231-5= C11C12C13C21C22C23C31C32C33Каждый элемент матрицы С : Cij получается умножением i-й строки матрицы на j-й столбец второй матрицы по правилу скалярного произведения векторов.
Матрица – произведение имеет 9 элементов.
C11 получится умножением первой строки первой матрицы и первого столбца второй матрицы.
C11=-1 2-13=-1∙-1+2∙3=1+6=7,C12=-1 201=-1∙0+2∙1=2,C13=-1 22-5=-2-10=-12,C21=3 0-13=-3+0=-3,C22=3 001=0+0=0,C23=3 02-5=6+0=6,C31=5 1-13=-5+3=-2,C32=5 101=0+1=1,C33=5 12-5=10-5=5.Тогда получим: -135201∙-10231-5=72-12-306-2153) Транспонировать матрицу:
Α=-123401-123014 - Матрица имеет 3 строки и 4 столбца, т.е. размер 3х4. При транспонировании: замене строк столбцами с соответствующими номерами – размер матрицы Aт:4х3. Запишем первую строку в первый столбец, вторую строку во второй столбец и т.д., получаем:
Aт=-10321034-1214.
4) Записать систему уравнений в матричном виде:
x1-2x2=23x1+4x2=1Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных: А=1-234, столбец неизвестных X=x1x2, столбец свободных членов B=21, тогда в матричном виде уравнение имеет вид: AX=B1-234x1x2= 21.ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Задание.
Вычислить определитель четвертого порядка, используя элементарные преобразования.
Выполнить умножение матриц, предварительно определив размер новой матрицы.
Транспонировать матрицу А.
Записать систему уравнений в матричном виде.
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4)
Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6
1)
2)
3)
4)
1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4)
Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9
1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4)
Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12
1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4)
Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15
1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4)
Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18
1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4)
Вариант 19 Вариант 20 Вариант 21
1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4)
Вариант 22 Вариант 23 Вариант 24
1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4)
Вариант 25 Вариант 26 Вариант 27
1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4)
Вариант 28 Вариант 29 Вариант 30
1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4)
Вариант 31 Вариант 32
1)
2)
3)
4) 1)
2)
3)
4)
Практическая работа №6
Тема: «Нахождение обратной матрицы.
Решение системы линейных уравнений матричным способом»
Цель работы: научиться вычислять обратную матрицу и с ее помощью находить решение определенной системы линейных уравнений.
Разбор одного варианта.
Задание.
Записать уравнение в матричном виде A∙X=BВычислить определитель матрицы A:detAВычислить миноры Mij и алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A.
Составить матрицу из алгебраических дополнений A и транспонировать ее AT.
Получить обратную матрицу A-1=1detA∙ATРешить систему матричным способом: x=A-1∙B-2x-3y+z=5-x+2y+4z=63x-2y-z=0Решение:
Запишем систему в матричном виде: A∙X = B
-2-3 1-1 2 43-2-1xyz = 560Запишем формулу для вычисления определителя матрицы A путем разложения по элементам первого столбца: detA=a11∙A11+a21∙A21+a31∙A31Вычислим миноры и алгебраические дополнения:
, где - минор элемента . Имеем
M11=-2-31-1243-2-1=24-2-1=2∙-1-4∙-2=-2+8=6A11=-11+1∙M11; A11=6M12=-2-31-1243-2-1=-143-1=-1∙-1-4∙3=1-12=-11A12=-11+2∙M12; A12=11.M13=-2-31-1243-2-1=-123-2=-1∙-2-3∙2=2-6=-4A13=-11+3∙M13; A13=-4M21=-2-31-1243-2-1=-31-2-1=-3∙-1-1∙-2=3+2=5A21=-12+1∙M21; A21=-5.M22=-2-31-1243-2-1=-213-1=-2∙-1-3∙1=2-3=-1A22=-12+2∙M22; A22=-1.M23=-2-31-1243-2-1=-2-33-2=-2∙-2-3∙-3=4+9=13A23=-12+3∙M23; A23=-13M31=-2-31-1243-2-1=-3124=-3∙4-2∙1=-12-2=-14A31=-13+1∙M31; A31=-14M32=-2-31-1243-2-1=-21-14=-2∙4-1∙-1=-8+1=-7A32=-13+2∙M32; A32=7M33=-2-31-1243-2-1=-2-3-12=-2∙2—3∙-1=-4-3=-7A33=-13+2∙M33; A33=-7.Составим матрицу алгебраических дополнений согласно индексам:
A=611-4-5-1-13-147-7 и транспонируем ее:
AT = 6-5-1411-17-4-13-7Вычислим определитель, используя формулу из пункта 2.
detA=-2∙6 -1∙-5 +3∙-14=-12+5-42=-49.Проверим по другой формуле – разложением по элементам второй строки:
detA=a21∙A21+a22∙A22+a23∙A23detA=-1∙-5+2∙-1+4∙-13=5-2-52=-49. Ответы совпали.
Получим обратную матрицу
A-1=1detA∙ATA-1=1-49∙6-5-14+11-17-4-13-7Тогда решение системы:
x=A-1∙Bx=1-49∙6-5-14+11-17-4-13-7∙560 = пользуясь правилом умножения матриц имеем:
=-149∙6∙5-5∙6-14∙0+11∙5-1∙6+7∙0-4∙5-13∙6-7∙0=-149∙049-98=0-12=xyzdet A 1detA∙AT∙B
-49

Ответ: (0; -1; 2)
ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Задание:
Записать уравнение в матричном виде: .
Вычислить определитель матрицы А: det A =
Вычислить алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы: , где - минор элемента .
Составить матрицу из алгебраических дополнений и транспонировать ее:
Получить матрицу обратную данной: A-1=1detA∙ATРешить систему матричным способом:
Ответ оформить в виде таблицы, например:
det A 1detA∙AT∙B
7

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3


Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9

Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12

Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15

Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18

Вариант 19 Вариант 20 Вариант 21

Вариант 22 Вариант 23 Вариант 24

Вариант 25 Вариант 26 Вариант 27

Вариант 28 Вариант 29 Вариант 30


Вариант 31 Вариант 32 Вариант 33

Практическая работа №7
Тема: «Решение системы линейных уравнений
по формулам Крамера и методом Гаусса»
Цель работы: отработать навык по решению систем линейных уравнений различными методами с помощью теории матриц.
Разбор одного варианта.
Задание. Пример 1. Решить систему методом Крамера и методом Гаусса:
-2x-3y+z=5-x+2y+4z=63x-2y-z=0Решение:
Решим методом Крамера: из коэффициентов при неизвестных составим главный определитель системы ∆ и вычислим его разложением по элементам первой строки:
∆=-2-31-1243-2-1=-2∙24-2-1+3∙-143-1+1∙-123-2==-2-2--8+31-12+12-6=-2∙6+3∙-11+1∙(-4)=-12-33-4=-49Получим вспомогательный определитель при x путем замены первого столбца
(неизвестный при x) главного определителя на столбец свободных членов:
∆x=5-316240-2-1=5∙24-2-1+3∙640-1+1∙620-2-6+1∙(-12)=5-2+8+3-6-0+1-12-0=5∙6+3∙-6+1∙-12=30-18-12=0Заменой столбца неизвестных при y в главном определителе найдем:
∆y=-251-16430-1=-2∙640-1-5∙-143-1+1∙-1630=-2-6-0-51+12+10-18=-2∙-6-5∙-11+1∙-18=12+55-18==67-18=49Заменой столбца неизвестных при z в ∆ найдем ∆z :
∆z=-2-35-1263-20=-226-20+3-1630+5-123-2=-20+12+30-18+52-6==-2∙12+3∙-18+5∙-4=-24-54-20=-98.Тогда по формулам Крамера:
x=∆x∆; y=∆y∆; z=∆zz решение системы
x=0-49; x=0; y=49-49; y=-1; z=-98-48; z=2Ответ: (0; -1; 2)
2) Решим систему методом Гаусса:
Прямой ход:
Составим расширенную матрицу системы из коэффициентов при неизвестных и свободных членов:
A|B = -2-31-1243-2-1560 с помощью элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду, для этого поменяем местами элементы второй и первой строки.
A|B = -124-2-313-2-1650 ~-1240-7-704116-718~ элементы второй строки разделим на (-7)
~-12401104116118. Элементы второй строки умножим на -4 и сложим с соответствующими элементами третьей строки , получим ~-1240110076114
Обратный ход: по полученной расширенной матрице составим систему, помня о том, что коэффициенты стоящие в первом столбце это коэффициенты при неизвестном х, во втором столбце – при у, в третьем столбце – при z:
-x1+2x2+4x3=6 x2+x3=1 7x3=14 из последнего уравнения получим x3=2 , подставим во второе:
x2+2=1, тогда x2=-1, подставим в первое уравнение: -x1+2∙-1+4∙2=6-x1-2+8=6-x1=6-6-x1=0x1=0Ответ: (0; -1;2)
Пример 2.
Решить систему методом Крамера:
Решение:
Вычислим определитель системы и определители при неизвестных.
Найдем значения х, у, z по формулам Крамера:
, ;
,
,
Итак, ответ (1; -1; 2).
Пример 3. решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение:
Переставим третье уравнение на место первого:

Запишем расширенную матрицу системы:
.
Чтобы получить треугольную матрицу нужно чтобы . Для этого к элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, предварительно умноженные на -3. А к элементам третьей строки прибавим элементы первой, предварительно умноженные на -2.

  
 
Разделим элементы третьей строки на

Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует расширенная матрица:

Выполняя обратный ход, с помощью последовательных подстановок находим неизвестные:
,
, ;
, .
Ответ: ( 1; 2; 3)

Задание:
Используя формулы Крамера, решить систему.
Используя метод исключения Гаусса, решить систему.
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9

Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12

Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15

Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18

Вариант 19 Вариант 20 Вариант 21

Вариант 22 Вариант 23 Вариант 24

Вариант 25 Вариант 26 Вариант 27

Вариант 28 Вариант 29 Вариант 30

Вариант 31 Вариант 32 Вариант 33

Дополнительные примеры для решения систем
методом Гаусса и формулам Крамера
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
Практическая работа № 8
Тема: «Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»
Цель работы: углубить знания по вычислению пределов и раскрытию неопределенностей, используя принцип замены эквивалентными, I и II замечательные пределы.
Полезно знать, что предел отношения двух многочленов при x→∞, существенно зависит от их степени:
limx→∞a0+a1x+a2x2+…+amxmb0+b1x+b2x2+…+bkxk=0, если m<kambk, если m=k∞, если m>kПринцип замены эквивалентными, заключается в следующем:
Если αx→0 при x→a, то имеет место следующие эквивалентности:
sin αx ~ αxtg αx ~ αxarsin αx ~ αxarctg αx ~ αxeαx-1 ~ αxln 1+αx ~ αx1+αxp-1p ~ αx1-cos αx ~ α2x2 Разбор одного варианта.
Задание.
Решение:
1) limx→-2 x+9-7x+2 подстановка предельного значения x=-2 в числительдает: limx→-2 x+9-7=0, предел знаменателя дает: limx→-2 x+2=0, то имеет место неопределенность вида 00, которая вызвана присутствием корня. Раскроем неопределенность умножением числителя и знаменателя на сопряженный множитель к числителю
=limx→-2x+9-7x+2∙x+9-7x+9-7,применив в числителе формулу разности квадратов
a-ba+b=a2-b2, имеем:
limx→-2x+92-72x+2x+9+7=при возведении квадратного корня в квадрат корень исчезает
=limx→-2x+9-7x+2x+9+7=limx→-2x+2x+2x+9+7=сократив на x+2 - множитель, приводящий к неопределенности и подставив предельное значение x=-2, имеем
=limx→-21x+9+7=1-2+9+7=17+7=1272) limx→10x2-13x+30100-x2=00=разложим числитель и знаменатель на множители:
В числителе разложим квадратный трехчлен на множители по формуле
ax2+bx+c=ax-x1x-x2, где x1,x2-корни квадратного уравненияx2-13x+30=1x- x- Найдем корни квадратного уравнения x2-13x+30=0D=b2-4ac
D=169-4∙1∙30=169-120=49, D=7x1,2=-b±D2ax1,2=13±72: x1=13+72=202=10, x2=13-72=62=3Заполним разложение:
x2-13x+30=x-10x-3в знаменателе 100 это 102 ⟹ формула a2-b2, получим
=limx→10x-10x-310-x10+x=в первом множителе вынесем минус, тогда x-10=-10-x=limx→10-10-xx-310-x10+x=сократим на (10-х)=limx→10-x-310+x=подстановка x=10:=-10-310+10=-720.3) limx→42x2+2x-408x-2x2=00=limx→42x- x- 2x4-x=сократим на 2:=limx→4x- x- x4-x=решим квадратное уравнение 2x2+2x-40=0D=4-4∙2-40=4+320=324, D=18
x1=-2+182∙2=164=4, x2=-2-182∙2=-204=-5 тогда
=limx→4x-4x+5x4-x=limx→4x-4x+5-xx-4=limx→4x+5-x=4+5-4=-944) limx→∞ 1-7x3-5x=предел числителя и предел знаменателя есть величины бесконечно большие ⟹ имеет место неопределенность вида ∞∞, раскроем её делением числителя и знаменателя на наибольшую степень переменной т.е. на x и сократим, тогда
=limx→∞ 1x-7xx3x-5xx=limx→∞ 1x-73x-x=помня, что при x→∞, 1x→0, 3x→0, имеем
=0-70-5=-7-5=75.5) limx→0arctgx23x=подстановка предельного значения x=0 дает неопределенность 00,воспользуемся принципом замены эквивалентными при α→0 arctg α эквивалентно α т.е. arctg x2 эквивалентна x2=limx→0x23x=сокротим на x=12∙13=16.6) limx→01-cos5x2sin27x=имеем отношение двух бесконечно малых функции при x→0.Заменим бесконечно малые эквивалентными бесконечно малыми т.к. sin α~α1-cos α=2sin2α2~2α22~α22 то 1-cos 5x2~5x222~25x28
sin27x~7x2~49x2=limx→025x28:49x2=limx→025x28∙49x2= сокротим на x2, тогда=258∙49=25392.7) limx→∞x+5x+2x-1=неопределенность типа 1∞, =>можно раскрыть по формуле второго замечательного предела limz→∞1+1zz=e,для этого необходимо из основания x+5x+2 выделить еденицу, представимx+5x+2=x+2+3x+2=x+2x+2+3x+2=1+3x+2=limx→∞1+3x+2x-1=введем замену – обозначим 3x+2 за t и выразим "x"; 3x+2=t; 3=tx+2; x+2=3t; x=3t-2;при x→∞ t→0, тогда limt→01+t3t-2-1=limt→01+t3t-3= по свойству степени
am+n=am∙an, тогда limt→01+t3t∙1+t-3=при t→0 1+t-3→1=limt→01+t1t∙3=limt→01+t1t3= выражение в скобках равно e, тогда =e3.
8) limx→+∞x-x2-7=подставка дает разность двух положительных бесконечнобольших величин (неопределенность вида ∞-∞). Умножим и разделим на сопряженный множитель x+x2-7, тогда limx→+∞x-x2-7∙x+x2-7x+x2-7 в числителе применим формулу разность квадратов
=limx→+∞x2-x2-72x+x2-7=limx→+∞x2-x2-7x+x2-7= раскроем скобкир=limx→+∞x2-x2+7x+x2-7=limx→+∞7x+x2-7=т.е. отношение константы к бесконечно большой велечине естьбесконечно малая=0.9) limx→0lnx+2-ln 2x=подставка дает неопределенность вида 00, воспользуемся свойством разность логарифмов есть логарифм частного, перепишем в виде
=limx→01xlnx+2-ln 2=limx→01xlnx+22=коэффециент перед логарифмом по свойству переведем в степень=limx→0 lnx+221x=ln limx→0x2+2x1x=ln limx→0x2+21x=чтобы применить второй замечательный предел limz→01+z1z=e, необходимо, чтобы степень была обратно слагаемому в скобках, тогда 1x∙22=2x∙12 и подставим =ln lim1+2x2x∙12 , выделим формулу =ln lim1+2x2x12= выражение в квадратных скобках есть e, тогда
=ln e12=12 по определению логарифмов.ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Вариант 1 Вариант 2
















Вариант 3 Вариант 4

















Вариант 5 Вариант 6

















Вариант 7 Вариант 8

















Вариант 9 Вариант 10

















Вариант 11 Вариант 12

















Вариант 13 Вариант 14

















Вариант 15 Вариант 16

















Вариант 17 Вариант 18

















Вариант 19 Вариант 20

















Вариант 21 Вариант 22

















Вариант 23 Вариант 24

















Вариант 25 Вариант 26

















Вариант 27 Вариант 28

















Вариант 29 Вариант 30

















Вариант 31 Вариант 32

















Задания 8 и 9 являются дополнительными.
Практическая работа № 9
Тема: «Вычисление производных сложных функций»
Цель работы: отработать навык по нахождению производных сложных функций.
Разбор одного варианта.
Задание.
Найти производные следующих функций:
y=lnx3-3x2+4xy=cos2x6y=1ln cos xy=326x+1-3
Решение: Производная сложной функций равна произведению производных функций её составляющих.
Пример 1. y=lnx3-3x2+4xy'=lnx3-5x2+4x'= это сложная функция, используем соответствующую формулу для нахождения производной сложной логарифмической функции ln u'=1u∙u' = 1x3-5x2+4xx3-5x2+4x' = осталось вычислить производную от суммы, т.е. от каждого слагаемого в скобках = 3x2-10x+4x3-5x2+4x .
Пример 2. y=cos2x6y'=cos2x6'= сначала это степенная функция , применим фоормулу u2'=2∙u∙u' ==2cosx6cosx6'=теперь воспользуемся формулой cos u'=-sinu∙u'=
= 2cosx6∙-sinx6∙x6'=-2cosx6∙sinx6∙16=-16sin 2∙x6=-16sinx3, здесь воспользовались формулой 2cosα∙sinα=sin2α.
Пример 3. y=1ln cos xy'=1ln cos x'=это сложная функция, используем формулу 1u'=-1u2∙u, тогда
=-1ln cos x2∙ln cos x'= используем формулу ln u'=1u∙u' =
=-1ln cos x2∙1cos x∙cos x'=--sinxln cos x2∙cos x=заменим отношение sinxcosxна tg x=tg xln cos x2Пример 4. y=326x+1-3, это степенная функция, поэтому
y'=26x+1-313'=используем формулу um'=m∙um-1∙u'==1326x+1-313-1∙26x+1-3'=применим формулу (au)'=au∙lna∙u' =1326x+1-323∙26x+1∙ln 2∙6x+1'=13 326x+1-32∙26x+1∙ln 2∙6== 2 326x+1-32∙26x+1∙ln 2= (видим 2∙26x+1=26x+2, тогда) = = 26x+2 326x+1-32∙ln 2.
Пример 5.
Данная функция представляет собой степенно- показательную функцию, т.к. неизвестное содержится как в основании, так и в показателе степени. Поэтому для нахождения производной этой функции воспользуемся логарифмическим дифференцированием.
Прологарифмируем обе части по основанию е.
По свойству логарифма показатель степени 1-х выносим перед логарифмом: Теперь продифференцируем обе части, используем формулу ln u'=1u∙u' , в левой части производная от произведения

теперь воспользуемся формулой sinu'=cosu∙u' Отношение косинуса к синусу заменим на котангенс.
Теперь перенесем у в правую часть:
И заменим у на исходную функциюТогда,

ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Задание:
1)-4) Найдите производные сложных функций.
5*) Найти производную, используя логарифмическое дифференцирование.
Вариант 1 Вариант 2









Вариант 3 Вариант 4









Вариант 5 Вариант 6









Вариант 7 Вариант 8









Вариант 9 Вариант 10









Вариант 11 Вариант 12









Вариант 13 Вариант14









Вариант 15 Вариант 16









Вариант17 Вариант 18









Вариант 19 Вариант 20









Вариант 21 Вариант 22









Вариант 23 Вариант 24









Вариант 25 Вариант 26









Вариант 27 Вариант 28









Вариант 29 Вариант 30









Вариант 31 Вариант 32









Задание 5 является дополнительным.
Практическая работа № 10
Тема: «Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя»
Цель работы: научиться вычислять пределы, раскрывая неопределенности вида 00 или ∞∞ по правилу Лопиталя.
Разбор одного варианта.
Задание.1. limx→-1 3x2+2x-1-x2+x+22. limx→∞ 5x2+3x+12-3x23. limx→0 ln1+3xe5x-14. limx→0 arcsin5xx2-2x5. limx→ π6 cos x-cos π6x-π6Решение:
1) limx→-1 3x2+2x-1-x2+x+2=подстановкой предельного значения получаем неопределенность вида 00 , для ее раскрытия применяем правило Лопиталя:
=limx→-1 (3x2+2x-1)'(-x2+x+2)'=limx→-1 6x+22x+1=подставимx=-1=6∙-1+2-2-1+1=-6+22+1==-43=-113.2) limx→∞ 5x2+3x+12-3x2=подстановка x=∞ дает неопределенность вида ∞∞, применяем правило Лопиталя:
=limx→∞ 5x2+3x+1'2-3x2'=limx→∞10x+3-6x== неопределенность вида ∞∞ сохранилась, поэтому применим правило Лопиталя еще раз:
=limx→∞=10x+3'-6x'=10-6=-53.3) limx→0 ln1+3xe5x-1=постановка x=0 дает ln1→0, е0-1→ 0, неопределенность 00, которую раскроем по правилу Лопиталя:
=limx→0 ln1+3x'e5x-1'=limx→011+3x1+3x'e5x∙5x'=limx→031+3x∙e5x∙5=при x=0 имеем=35.4) limx→0 arcsin5xx2-2x=подстановкой x=0 получам неопределенность 00, применим правило Лопиталя:
=limx→0 arcsin5x'x2-2x'=limx→011-5x2∙5x'2x-2=limx→052x-21-25x2==подставим x=0, так как при этом 2x-2→0, то получим отношение постоянной величины к бесконечно малой, т.е.имеем бесконечно большую величину =∞.5) limx→ π6 cos x-cos π6x-π6=подстановка x=π6 дает 00 , по правилу Лопиталя имеем:
=limx→ π6 cos x-cos π6'x-π6'=limx→ π6-sin x1=постановка x=π6=-sinπ6=-12.ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Задание:
Вычислить пределы, используя правила Лопиталя.
Вариант 1 Вариант 2










Вариант 3 Вариант 4










Вариант 5 Вариант 6










Вариант 7 Вариант 8










Вариант 9 Вариант 10










Вариант 11 Вариант 12










Вариант 13 Вариант 14










Вариант 15 Вариант 16










Вариант 17 Вариант 18










Вариант 19 Вариант 20










Вариант 21 Вариант 22










Вариант 23 Вариант 24










Вариант 25 Вариант 26










Вариант 27 Вариант 28










Вариант 29 Вариант 30










Вариант 31 Вариант 32










Практическая работа № 11
«Построить график функции»
Цель работы: научиться исследованию функции по схеме и построению график функции на его основе.
Схема исследования функции:
Найти область определения функции D(f).
Если область определения симметрична относительно ОУ, то исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность.
3.Найти промежутки знакопостоянства (если это не вызывает затруднений), решив уравнение
у = 0 и исследовать функцию на концах каждого промежутка.
4.Найти асимптоты графика.
5.Исследовать функцию на монотонность (возрастание, убывание) и точки экстремума.
Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.
На основе исследования построить график.
Разбор трех вариантов.
Пример 1: Исследовать функцию и построить график.
Решение: Исследуем по схеме:
Найдем область определения функции , решив уравнение
.
Так как симметрична относительно оси ОУ, то исследуем функцию на четность, нечетность: функция нечетная, график симметричен относительно точки (0; 0).
Непериодична.
Найдем промежутки знакопостоянства, решив уравнение у = 0.
.


у — + — +
График расположен ниже оси ОХ выше оси ОХ ниже оси ОХ выше оси ОХ
Найдем асимптоты графика:
а) вертикальные будем искать там, где функция неопределенна,
т.е. в точках x=1; x=. Для этого найдем односторонние пределы в этих точках.
вертикальные асимптоты
б) наклонная асимптота:
;


следовательно - наклонная асимптота.
Исследовать функцию на монотонность (возрастание, убывание) и точки экстремума.


-1 0 1
0 не
сущ. 0 не
сущ 0
т.
max экст.
нет экст.
нет экст.
нет т.
min

.
7)
=
=;
-1 0 1
не сущ. 0 не сущ.
перег. нет перег. перег. нет
Построим график по нашему исследованию.

Пример 2. Построить график функции .
1) Найдем область определения функции:, кроме ;
т. е. .
2) Так как область определения функции симметрична относительно начала координат, то исследуем на четность/ нечетность: - функция четна, график симметричен относительно ОУ.
3) Найдем промежутки знакопостоянства. Решим уравнение у = 0.

-3 (-3; -2) -2 2 3
0 Не существует Не существует 0
График располо-
жен Выше оси ОХ Нуль функ-ции Ниже оси Ох Выше оси ОХ Ниже оси Ох Нуль функции Выше оси ОХ
4) Найдем асимптоты:
а) вертикальные:
;
- вертикальная асимптота.

- вертикальная асимптота.
б) наклонную
(старшая степень в знаменателе). Следовательно наклонной асимтоты нет.
В) горизонтальную
( коэффициенты при старших степенях одинаковы)
горизонтальная асимтота.
Графики асимптот нанесем на чертеж, а также поведение графика левее и правее асимптот.

5) Исследуем функцию на монотонность (возрастание, убывание) и точки экстремума. Вычислим производную, используя правило дифференцирования частного: Найдем критические точки первой производной:
-2 0 2
Не существует 0 Не существует
разрыв max
2,25 разрыв
Найдем значение функции в точке максимума:
6) Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точку перегиба.
вынесем общий множитель числителя за скобки и сократим на него = . Найдем критические точки второй производной: , так как числитель не обращается в 0, то .
-2 2
Не существует Не существует
Перегиба нет Перегиба нет
7) Используя данные исследования, строим схематический график поведения функции.

Пример 3. Построить график функции .
Решение:
1) , .
2) ни четна, ни нечетна.
3) Непериодическая.
Нули функции: не пересекает ОУ.
(0; 2)

Это промежутки знакопостоянства.
4) Найти асимптоты:
а) Найдем вертикальную асимптоту вертикальная асимптота.
б) Найдем наклонную асимптоту наклонной асимптоты нет.
в) горизонтальная асимптота.
5)


.
0 4
не сущ. 0
экстр. нет m.max
6)

0 6
не сущ. 0
перег. нет т. перег.

ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Задание.
Исследовать по схеме и построить график функции.
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4


Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8

Вариант 9 Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12

Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15 Вариант 16

Вариант 17 Вариант 18 Вариант 19 Вариант 20


Вариант 21 Вариант 22 Вариант 23 Вариант 24

Вариант 25 Вариант 26 Вариант 27 Вариант 28

Вариант 29 Вариант 30 Вариант 31 Вариант 32

ПРИЛОЖЕНИЯ.
Правила дифференцирования

, в частности
, в частности
Таблица производных





























ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ.























0-342900
Список литературы:
Основная:
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике; Учебное пособие для средних спец. учеб. Заведений, -10-е., перераб. –М.: Высшая школа, 2008 -495 с.
Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике: Учебное пособие, 3-е издание стереотипное – М., Высшая школа, 2005.
Богомолов Н.В. Математика; Учебник – М.: Дрофа, 2010
Дополнительные источники:
Дадаян А.А. –Математика. -2е изд. –М.:ФОРУМ: ИНФРА –М. 2007 -544с.
Дадаян А.А. –Сборник задач по математике. -2е изд. –М.:ФОРУМ: ИНФРА –М. 2007 -352с.
ОГЛАВЛЕНИЕ:
Стр.
Пояснительная записка 3
Практическая работа № 1 «Действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах» 4
Практическая работа № 2 «Переход от алгебраической, тригонометрической и показательной формы комплексного числа и обратно» 8
Практическая работа № 3 «Векторы, операции над ними» 13
Практическая работа № 4 «Составление уравнений прямых, их построение» 18
Практическая работа №5 «Операция над матрицами. Вычисление определителей» 23
Практическая работа № 6 «Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы» 29
Практическая работа № 7 «Решение системы линейных уравнений по формуле Крамера и методом Гаусса» 33
Практическая работа № 8 «Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей» 37
Практическая работа № 9 «Вычисление производных сложных функций» 47
Практическая работа № 10 «Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя» 53
Практическая работа № 11 «Построение графиков функций» 58
Приложения. 66
Справочные материалы Список литературы. 69
Оглавление 70