Открытый урок Производная в физике и технике
конспект урока по алгебре и началам анализа в 10 классе
Тема: Производная в физике и технике.
Цели урока: общеобразовательные:
1) закрепить и углубить знания учащихся о производной и её приложении
к исследованию функций;
2) показать широкий спектр применения производной;
3) формирование умений по применению знаний и способов действий в
изменённых и новых учебных ситуациях;
развивающие:
развитие подсознательной активности учащихся ;
формирование учебно – познавательных действий по работе с дополнительной литературой;
углубление знаний учащихся о моделировании процессов действительности с помощью аппарата производной.
воспитательные:
формирование у учащихся понятий о научной организации труда;
формирование умений по рецензированию собственных ответов и ответов товарищей.
Тип урока: урок – конференция с элементами презентации.
Вопросы, подлежащие обсуждению на уроке:
происхождение понятия производной.
решение заданий с помощью аппарата производной.
моделирование процессов действительности с помощью аппарата производной.
Эпиграф: « Из всех теоретических успехов знания вряд ли какой – нибудь считается столь высоким триумфом человеческого духа, как изобретение исчисления бесконечно малых во второй половине XVII века».
Ф. Энгельс
Ход урока.
I. Орг. момент
Сообщить тему урока , сформулировать цели урока.
II. Вступительное слово учителя.
Исторически понятие производной возникло из практики. Скорость неравномерного движения, плотность неоднородной материальной линии, а также тангенс угла наклона касательной к кривой и другие величины явились прообразом понятия производной. Возникнув из практики, понятие производной получило обобщаемый, абстрактный смысл, что ещё более усилило его прикладное значение. Создание дифференциального исчисления чрезвычайно расширило возможности применения математических методов в естествознании и технике.
III. Сообщения учащихся.
Двое учащихся делают сообщения
Из истории дифференциального исчисления. (слайд №2, 3, 4. 5)
О происхождении терминов и обозначений. (слайд № 6)
IV. Актуализация опорных знаний учащихся.
Фронтальный опрос учащихся.
а) дать понятие приращения аргумента и приращения функции;
б) сформулируйте определение функции в точке; (слайд №7)
в) в чём состоит механический смысл производной? (слайд № 8)
г) в чём состоит геометрический смысл производной? (слайд №9)
2) Решение заданий. (слайд №10) а) установить соответствие между функциями и соответствующими им производными. (слайд №6) Учащиеся записывают в тетрадь ответ в виде пары, где на первом месте стоит цифра-номер функции, а на втором – буква соответствующая этой функции производная.
f(x)
fґ(x)
1. y= 7x5 – 0.5x2 + 1
A. yґ= 21 (3x -5 )6
2. y= x2 sin x
B. yґ= sin 2x – 15x2
3. y= sin2x – 5x3
C. yґ= 15 sin 3x
4. y= - 5 cos 3x
D. yґ= 35x4 – x
5. y= ( 3x -5 )7
E. yґ= 2x sin x + x2 cos x
Ответ: 1 – D, 2 – Е, 3 – В, 4 – С, 5 – А. (слайд №11)
Учащиеся самостоятельно проверяют правильность своих решений и выставляют оценку в свой оценочный лист.
б) заполнить таблицу.(слайд № 12) Каждый ученик получает таблицу, в которую он вносит производную по заданной функции ( 1, 2, и 3 строчки ), а также находят функцию по заданной производной ( 4, 5 строка ).
Функция
Производная
1. у = х5 - 13 EMBED Equation.3 1415 + 28х + 16
1. у' =
2. у = 13 EMBED Equation.3 1415
2. у' =
3. у = 13 EMBED Equation.3 1415sin 3x
3. у' =
4. у =
4. у' = - 13 EMBED Equation.3 1415
5. у =
5. у' = 14х + 5
После заполнения таблицы, учащиеся обмениваются листками с соседями по парте и проверяют правильность выполнения задания. После того, как на слайде появляется верное решение, учащиеся выставляют оценки в оценочный лист. Динамическая пауза.
V. Сообщения учащихся.
Заслушать заранее подготовленные сообщения трёх учащихся по примерам применения производной в физике, технике
Примеры применения производной в физике и технике.
Задача нахождения плотности неоднородного стержня. (слайд № 13)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Задача о равномерном движении тела по окружности. (слайд №15)
Рассмотрим равномерное движение по
окружности радиуса 1 с угловой скоростью1
М (cos t; sin t), x(t) = cos t, y(t) = sin t.
Вектор скорости 13 EMBED Equation.3 1415направлен по
касательной к окружности, а его длина
равна 1.| 13 EMBED Equation.3 1415| = 13 EMBED Equation.3 1415R = 1·1 = 1.Этот вектор
совпадает с вектором 13 EMBED Equation.3 1415 + t координаты
которого равны сos (t + 13 EMBED Equation.3 1415) = - sin t ,
sin (t + 13 EMBED Equation.3 1415) = cos t. С другой стороны
13 EMBED Equation.3 1415(t) = ( cos't; sin't ).
Получаем формулы: cos ' t = - sin t, sin' t = cos t.
Учащиеся подготовившие сообщения оцениваются отдельно.
Учитель: рассмотрим ещё несколько примеров применения производной в физике и технике. (слайд №16)
·(х)
Перемещение
S (t)
Количество электричества
q (t)
Количество теплоты
Q (t)
Угол поворота
13 EMBED Equation.3 1415 (t)
Масса стержня
m (l)
·'(х)
Скорость
V (t)
Сила тока
I (t)
Теплоёмкость
C (t)
Угловая скорость
(t)
Линейная плотность
d (l)
Рассмотреть примеры применения производной в физике , технике и других отраслях, предложенные учащимися.
VI. Решение различных задач из некоторых разделов физики и техники.
Самостоятельная работа.. Учащиеся, разбившись на группы, совместно решают задание на карточке
Карточка №1.
Найдите силу, действующую на тело массой 7 кг, движущееся по закону s(t) = 4t2 – 5t + 3 в момент времени t = 2с.
Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t = 0, задаётся формулой q = 3t2 + t + 2. Найдите силу тока в момент времени t = 3.
Карточка №2.
Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол 13 EMBED Equation.3 1415(t) = 3t – 0.1t2 (рад). Найдите: а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 7 с; б) в какой момент времени маховик остановится.
Пуля вылетает из пистолета со скоростью v0 = 300 м/с, g = 9,8 см/с2 .На какую наибольшую высоту она поднимется ( без учёта сопротивления воздуха). Закон движения тела: s(t) = v0t - 13 EMBED Equation.3 1415.
Учитель проверяет работы.
VII. Подведение итогов урока.
Сегодня на уроке мы использовали физический материал; применяли математический аппарат для решения прикладных задач; расширили представление о роли математики в изучении окружающегося мира; увидели разницу между реальным и идеальным, между физическим явлением и его математической моделью
Выставление оценок: учащиеся самостоятельно подсчитывают средний бал согласно оценочному листу.
Оценочный лист.
Класс: -----------------------
Фамилия имя учащегося: ----------------------------- -----------------------
виды работ
1
2
3
4
5
6
7
средний бал
оценка
VIII. Домашнее задание.
Стр. 158 №956, №955(а), №958(а, в).
Приложение.
Сообщение «Из истории дифференциального исчисления».
Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия. Тем более поразительно, что задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой как спираль, но и сумел найти максимум функции
·(х) = х2 (а – х). И. Кеплер рассматривал касательную ( которая связана с понятием производной ) в ходе решения задачи о наибольшем объёме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса. В XVII в. на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной.
В 1629 г. П.Ферма предложил правила нахождения экстремумов многочленов. Существенно подчеркнуть, что фактически при выводе этих правил Ферма активно применял предельные переходы, располагая простейшим дифференциальным условием максимума и минимума. Ферма сыграл выдающуюся роль в развитии математики. Его имя заслуженно носит не только известная теорема из анализа. Великая теорема Ферма
( « Уравнение хn + yn = zn не имеет решений в натуральных числах при натуральном n . большем двух»), не доказанная, правда, и поныне, лишь один из итогов его размышлений над проблемами теории чисел. Ферма один из создателей аналитической геометрии. Он занимался и оптикой. Широко известен принцип Ферма применяемый и в современной физике. Для вывода закона преломления света требуется применение правил нахождения экстремума.
Систематическое учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном, Ньютон исходил их задач механики ( ньютонов анализ создавался одновременно с ньютоновской классической механикой). Лейбниц исходил из геометрических задач.
Новый мощный метод позволил решать широкий круг задач, способствовал бурному развитию анализа.
Сообщение: «О происхождении терминов и обозначений».
Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Приращение вида 13 EMBED Equation.3 1415
·, представляющее собой разности, играет заметную роль при работе с производными. Естественно появление латинского корня differentia ( разность ) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей ; это название появилось уже в конце XVII в.
Термин производная является буквальным переводом на русский французского слова derive, которое ввёл в 1797 г. Ж. Лагранж, ; он же ввёл современные обозначения у', f''.
И.Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой.
Рассказ о происхождении терминологии, принятой в дифференциальном исчислении, был бы неполон без понятия предела и бесконечно малой. Производная определяется именно как предел. Пишут
·'(х) = 13 EMBED Equation.3 1415. Обозначение lim – сокращение латинского слова limes ( межа, граница ); уменьшая, например, 13 EMBED Equation.3 1415х, мы устремляем значение 13 EMBED Equation.3 1415 к «границе» f'(х). Термин «предел» ввёл Ньютон.
Заметим наконец, что слово «экстремум» происходит от латинского extremum (крайний). Maximum переводится как наибольший, а minimum – наименьший.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Функция
Производная
1. у = х5 - 13 EMBED Equation.3 1415 + 28х + 16
1. у' =
2. у = 13 EMBED Equation.3 1415
2. у' =
3. у = 13 EMBED Equation.3 1415sin 3x
3. у' =
4. у =
4. у' = - 13 EMBED Equation.3 1415
5. у =
5. у' = 14х + 5
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Раздел математики, в котором изучается производная, называется дифференциальным исчислением.
calkulis differentialis – ( лат. исчисление разностей )- появилось в конце X V I I в.
Термин «производная» (франц. derivee ) ввёл в 1797 г. Ж.Лагранж
И. Ньютон называл производную флюксией, а саму функцию – флюентой.
Термин «предел» ввёл Ньютон. lim – сокращение латинского слова limes (межа, граница).
«Экстремум», происходит от латинского extremum (крайний).
maximum – наибольший, minimum – наименьший.
О происхождении терминов и обозначений.
13 EMBED Equation.3 1415
yґ=
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Производной функции у = f (x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю. Обозначение: уґ или fґ(x).
Определение производной.
v(t)=
.
13 EMBED Equation.3 1415
v(t) =Sґ(t),
Мгновенная скорость точки в данный момент времени t, равна значению производной от закона движения.
0
·t
S2(t2)
S1(t1)
t1
t2
0
000
S(t)
S
t
Пусть точка движется по закону S = S(t).
где S – перемещение точки за время t
Физический смысл производной.
·
к = tg
· = fґ(x0), где к – угловой коэффициент касательной.
Производная функции в точке х0 равна
тангенсу угла наклона касательной ,
проведённой к графику функции в точке
с координатами (х0; f(x0))
y=fґ(x) (x-x0 ) + f(x0)
f(x)
у0
х0
0
у
х
х
Геометрический смысл производной.
·
к = tg
· = fґ(x0), где к – угловой коэффициент касательной.
Производная функции в точке х0 равна
тангенсу угла наклона касательной ,
проведённой к графику функции в точке
с координатами (х0; f(x0))
y=fґ(x) (x-x0 ) + f(x0)
f(x)
у0
х0
0
у
х
х
Геометрический смысл производной.
f(x)
fґ(x)
1. y= 7x5 – 0.5x2 + 1
A. yґ= 21 (3x -5 )6
2. y= x2 sin x
B. yґ= sin 2x – 15x2
3. y= sin2x – 5x3
C. yґ= 15 sin 3x
4. y= - 5 cos 3x
D. yґ= 35x4 – x
5. y= ( 3x -5 )7
E. yґ= 2x sin x + x2 cos x
Установите соответствие между функциями и производными.
Таблица №1.
Дан неоднородный стержень с массой m(l) любого куска. Плотность его небольшой части примерно одна и та же
(
·m :
·l) на участке от l до
·l.
d(l) = mґ(l)
M
l +
·l
l
m(l)
·l
13 EMBED Equation.3 1415
Дан неоднородный стержень с массой m(l) любого куска. Плотность его небольшой части примерно одна и та же
(
·m :
·l) на участке от l до
·l.
d(l) = mґ(l)
·(х)
Перемещение
S (t)
Количество электричества
q (t)
Количество теплоты
Q (t)
Угол поворота
13 EMBED Equation.3 1415 (t)
Масса стержня
m (l)
·'(х)
Скорость
V (t)
Сила тока
I (t)
Теплоёмкость
C (t)
Угловая скорость
(t)
Линейная плотность
d (l)
Задача
13 EMBED Equation.3 1415
A
у
х
Задача. Свойство параболы.(слайд №14)
l +
·l
l
m(l)
·l
13 EMBED Equation.3 1415
Все лучи, параллельные оси параболического зеркала, после отражения сходятся в одной точке, которую называют фокусом параболического
зеркала ( точка F - фокус параболы у = хІ )
AT – касательная к параболе в точке А.
·Oy, поэтому
0
P
F
T
M
A
у
х
Свойство параболы .
Задача.
cosґ t = - sin t, sin ґt = cos t
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим равномерное движение по окружности радиуса 1 в направлении против
часовой стрелки с угловой скоростью 1.координаты т. М таковы: х(t) = cos t и y(t) =
sin t.
Вектор скорости V(t) направлен по касательной
к окружности, а его длина равна 1 ( lvl =
·R =
1·1 = 1). Следовательно этот вектор совпадет с
вектором ОРt + µ
· , координаты которого равны
cоs (t+µ
·) = - sin t и sin (t + µ
·) = cos t.
С другой стороны, координаты вектора v(t) равны хґ(t) и уґ(t).
t
P t-µ
·
М=Рt
0
у
х
Задача.
Примеры применения производной в физике и технике.
T
F
P
0
Выведем свойство параболы, имеющее применение в оптике и технике. На этом свойстве основано устройство телескопов, и параболических антенн.
Все лучи, параллельные оси параболического зеркала, после отражения сходятся в одной точке, которую называют фокусом параболического
зеркала ( точка F - фокус параболы у = х2 )
P t + 13 EMBED Equation.3 1415
М = Рt
t
0 x
у
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native