ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА по алгебре и началам анализа Тема урока: «Производная» (10 класс)

Согласован:
Директор ГБОУ СОШ пос. Сокский
________________ Л.И. Аникина
«_____»_________2016
ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА Тема урока: «Производная»
Дата проведения: 30 января 2016 года
Ф.И.О: Яковлева Нина Васильевна
Место проведения: ГБОУ СОШ пос. Сокский м.р. Исаклинский Самарской области
Уровень: школьный
Предмет, класс: алгебра и начало анализа, 10 класс
Тема урока: «Производная».
Учебник: Алгебра и начало анализа. 10-11 класс: Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений А. Н.Холмогоров и др., М.:2013
Тема урока: «Производная»
Цели:
1. Образовательные.
Планируется, что к концу урока ученики будут знать, что такое производная и уметь использовать это понятие.
2. Развивающие.
создать условия для развития внимательности, наблюдательности и умение выделять главное.
3. Воспитательные.
содействовать развитию у учащихся чувства ответственности за личную и коллективную деятельность
создать условия, обеспечивающие воспитания внимательности.
Тип урока: урок введения нового понятия.
Ход урока.
Учитель. Изучая математику, мы то и дело вводим в рассмотрение различные новые понятия. Откуда они берутся? Как возникли, например, такие понятия, как «прямая», «цилиндр», «число», «множество», «функция» и многие другие?Человек вглядывается в окружающий мир и начинает подмечать в разном (предметах, явлениях) что-то общее. Проанализировав, стремится описать «это общее», его формализовать, другими словами — построить его математическую модель.
Что свойственно траектории светового луча, направлению человеческого взгляда и натянутой нити? Прямизна! Отсюда и понятие — «прямая».
Что свойственно карандашам в коробке, страницам в книге и рыбам в косяке? Множественность! Отсюда понятие «множество».
За более простыми понятиями приходят более сложные (вспомните схему построения любой теории, в частности геометрии: первичные понятия (ПП) → аксиомы (правила игры с ПП) → новые понятия и т.д.За каждым новым понятием стоит человек, и подчас не один. Так получилось и с понятием «производная функции»: И. Ньютон и Г. Лейбниц на рубеже XVII— XVIII веков, идя разными путями, практически одновременно ввели понятие производной. По-разному ее описали и назвали, а потом яростно оспаривали друг у друга право первооткрывателя. На описание этого понятия на принятом сегодня языке, языке бесконечно малых, ушло еще два века. Среди тех, кто это сделал, есть и ученый, учитель Софьи Ковалевской — Карл Вейерштрасс. Но это уже — другая история.
Сегодня мы с вами тоже попытаемся стать первооткрывателями.
Задачи и их решение
Учитель. Разберем вначале три задачи из разных областей знания: геометрии, физики и химии.
Задача 1. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке x0.
Учитель. Вы уже сталкивались с понятием касательной в курсе планиметрии. Скажите, как вы понимаете: что такое касательная?
Ученики. Касательная — это прямая, которая имеет одну общую точку с окружностью.
Учитель. Хорошо. А если мы возьмем параболу у = х2 (рис. 1), то в ее вершине оси координат имеют с ней только одну общую точку. Какая из них будет касательной к параболе?

Рис. 1
Ученики. Конечно ось Ох. А ось Оу пересекает параболу.
Учитель. Значит, по вашему мнению, касательная не может пересекать линию. А как вы думаете: чем будет являться ось Ох для кубической параболы у = х3, касательной или секущей?
Ученики. ??? Вроде бы секущая, но что-то в ней есть и от касательной.
Учитель. Значит, пока у нас нет четкого представления о касательной. Давайте посмотрим, как математики определили понятие касательной.

Рис.2
Ученики. Предел!
В точке М0 проведем касательную к кривой так, как мы ее сейчас понимаем, и секущую М0М1 (рис. 2). Будем сдвигать точку М1 по кривой, приближаясь к точке М0, тогда секущая будет поворачиваться вокруг точки М0 и стремиться к касательной. Теперь проведем другую секущую — М0М2. Приближая точку М2 по кривой к точке М0 с другой стороны, мы увидим, что и эта секущая, поворачиваясь вокруг точки М0, будет стремиться занять положение касательной. Одна секущая слева, другая справа... Не напоминает ли это вам что-нибудь знакомое?
Учитель. Верно! Равенство левого и правого пределов говорит о том, что предел в точке существует.
И математики, вводя определение касательной, руководствовались тем же предельным переходом.
Какое бы определение вы теперь дали касательной?
(Ученики вместе с учителем формулируют определение касательной.)
Определение. Касательной к непрерывной кривой в ее точке М0 (точка касания) называется предельное положение секущей М0М, проходящей через точку М0, когда точка М неограниченно приближается по кривой к точке М0.
Учитель. Ну вот мы попутно ввели еще два новых понятия: «касательная» и «точка касания»! А вы не забыли, для чего мы это делали?
Ученики. Мы хотим решить задачу о касательной.
Учитель. Точнее, об угловом коэффициенте касательной! А что это за коэффициент?
Ученики. Так ведь касательная — это прямая, а у прямой, если она не перпендикулярна к оси Ох, есть угловой коэффициент.
Учитель. Верно. Но что же это такое?
Ученики. Угловой коэффициент — это тангенс угла наклона прямой к оси Ох.
Учитель. Правильно. Вот теперь мы готовы решать нашу задачу.
(Далее учитель записывает решение первой задачи, оставляя место для записи решений второй и третьей задач. Причем делает это так, чтобы одни и те же шаги алгоритма расположились рядом — на одних горизонталях.)Итак, нам дан график функции у = f(х) и точка М0 с абсциссой х0. Проведем через эту точку касательную ТМ0 и секущую М1М0. Углы наклона к оси Ох касательной обозначим α, а секущей — φ и выполним дополнительные построения (рис. 3).

Переходя от точки М0 к точке М1, мы меняем абсциссу точки графика функции с х0 на х1 и наоборот. Математики говорят, что мы даем значению х0 приращение Δx и получаем х1 = х0 + Δx. Соответствующие точкам х0 и х1 значения функции будут у0 = f(х0) и y1 = f(х1). Принято говорить так: когда абсциссе х0 мы даем приращение Δx = х1 — х0, то функция получает приращение Δy = y1-y0 Угловой коэффициент секущей находится из треугольника M0M1K:
kсек=tgφ=M1 KM0 K=ΔyΔxА теперь будем сдвигать по кривой точку M1 в сторону точки М0 . Видим, что:
1) М1 → М0 <=> Δx → 0;
2) М1 → М0 => φ→α=>tgφ→tgα=>kсек→kкас.
Таким образом,

Задача решена.
Задача 2. Зная закон движения точки по прямой, найти скорость движущейся точки для любого момента времени.
Пусть закон движения задан формулой s = s(t), где s — расстояние, пройденное точкой, отсчитываемое от некоторого ее начального положения — точки О, а t — время движения. Найдем скорость точки в момент времени t0, то есть мгновенную скорость в этот момент времени.
Пусть к моменту времени t0 точка находилась на расстоянии s0 от точки О — начала движения (рис. 4), а в некоторый следующий момент времени t1 оказалась на расстоянии s1. Какое время точка находилась в пути?

Ученики. t1-t0=Δt.
Учитель. Какое расстояние она прошла за это время?
Ученики. s1-s0=Δs.
Учитель. А с какой средней скоростью она двигалась на отрезке M0M1?
Ученики. Vср =ΔsΔtУчитель. Подчеркнем, что движение точки не обязательно равномерное (то есть ее скорость меняется от точки к точке). Очевидно, что средняя скорость точки на наблюдаемом промежутке отличается от ее скорости в момент времени t0. Но если мы будем уменьшать промежуток наблюдения, что будет происходить?
Ученики. Значения средней скорости будут все меньше отличаться от истинной скорости движения в момент t0!
Учитель. А тогда как можно связать среднюю скорость движения точки на промежутке с мгновенной скоростью в точке М0?
Ученики.

Учитель. Таким образом, мы решили поставленную задачу. Посмотрите на решение этих двух задач: вы ничего не заметили?
Ученики. Их решение свелось к вычислению одинаковых пределов.
Учитель. Верно! И что удивительно: быстрота протекания физических, химических, биологических и других процессов также описывается при помощи аналогичных пределов.
Задача 3. Пусть масса вещества, образующегося в результате химической реакции (или в процессе размножения), изменяется по закону m = m(t) и нужно определить быстроту (скорость) его образования (размножения) в момент времени t0.
Как бы вы решили такую задачу?
Ученики:
— Проследили бы за ходом процесса некоторое время Δt.
— Определили бы изменение массы за это время:
Δm= m(t0 + Δt) — m(t0).
— Нашли бы среднюю скорость образования вещества
Vср =ΔmΔtа потом мгновенную:

Введение нового понятия
Учитель. Надеюсь, вы поняли ход наших рассуждений. А теперь давайте абстрагируемся от конкретности наших задач и запишем то общее, что мы увидели.
1. Имеется функция у = f(x) и некоторая точка х. Функция определена в этой точке и некоторой ее окрестности.
2. Даем аргументу х приращение Δx и находим соответствующее приращение функции:
Δy=f(x+Δx)-f(x)
3. Находим отношение ΔyΔx4. Вычисляем предел

Учитель. Поскольку полученный предел — часто повторяющийся объект (!), то он представляет большой интерес для математиков. А это значит, что теперь надо:
а) назвать его — присвоить термин;
б) ввести для него краткое обозначение;
в) изучить его свойства;
г) научиться его вычислять;
д) научиться применять к решению задач (иначе зачем он нам нужен?!).
Определение. Предел отношения приращения функции в данной точке к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, называется производной функции в данной точке.
Встречаются различные обозначения производной:
y'≡f'(x)≡y'x≡f'x≡ dydxМы чаще будем использовать первые два обозначения. Теперь можно записать определение производной в математических символах:

В каждой конкретной точке производная — число. Проводя рассуждения для произвольной точки х, мы получаем выражение, зависящее от х (новую функцию!). Операцию нахождения производной называют дифференцированием. Это новая операция, которую можно производить над функциями, знак «'» — символ операции, такой же как « + » для сложения или «:» для деления.
Первичное закрепление
(Учитель записывает на доске решения приме-ров, ученики говорят ему, что нужно писать.)
Пример 1. Продифференцировать функцию

Таким образом,

Обратим внимание:
—что найти производную функции — это значит ее продифференцировать, а продифференцировать функцию — это значит найти ее производную;
— в результате операции дифференцирования функции получается новая функция;
— дифференцируемая функция на некотором промежутке — это функция, имеющая производную в каждой точке этого промежутка.
Так вычисляется производная. Какие есть вопросы?
Ученики. И что, производная всегда находится так сложно?
Учитель. Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно поближе познакомиться с производной — этим новым математическим объектом, чем мы и займемся на следующих уроках. А сейчас давайте вернемся к нашим задачам.
Производная есть единая математическая модель различных задач, которая допускает различные толкования (интерпретации)!
Так, с точки зрения физики (задача 2): s'(t) = VMГН(t) — производная от пути по времени — это мгновенная скорость прямолинейного движения в момент времени t (механический смысл производной).
С точки зрения геометрии (задача 1): f'(х) = kкас(x) — производная функции — это угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке х (геометрический смысл производной).
Обратим внимание, что производную можно истолковать и как быстроту изменения функции (значений у при изменении значений х)! То есть с функциональной точки зрения производная — мгновенная скорость изменения значений функции.
Последняя интерпретация говорит нам о том, что при помощи производной мы в дальнейшем сможем исследовать функцию на монотонность и, возможно, определять и другие ее свойства. И то, что это будет так, мы убедимся в дальнейшем.
Итог
Учитель. Вот мы и прошли путь первооткрывателей:
— заметили «схожесть» и общность различных задач;
— формализовали эту «общность», то есть построили математическую модель;
— ввели новое понятие и обозначение для него;
— дали истолкование этой модели на разных языках.
Чем мы не Лейбницы и не Ньютоны?! Только есть одно маленькое отличие нас от них: я положил перед вами эти задачи рядом и нацелил на поиск общего в них, а ученые сами эти задачи увидели, положили их рядом и нашли их единообразное
решение! Мимо этих задач проходили многие и, возможно, даже их решали, но не увидели того, что увидели Ньютон и Лейбниц. Как здесь не сказать, что смотрят все, а видят немногие! В этом и проявляется гениальность первооткрывателей.
И я приглашаю вас вглядываться в то, что вы изучаете, в то, что вас окружает. На этом пути вас ждут удивительные открытия. Пусть и не столь значимые открытия! А это всегда — торжество человеческого духа!