Развитие логического мышления у учащихся в процессе обучения математике.
Развитие логического мышления у учащихся
в процессе обучения математике.
Оглавление
стр.
Введение . 3
Глава 1. Теоретические основы развития логического мышления у учащихся в процессе обучения математике
1.1. Проблема развития логического мышления в процессе обучения математике... 6
1.2. Пути и средства развития логического мышления у учащихся..... 10
Глава 2. Развитие логического мышления учащихся 5-6 классов с помощью системы развивающих заданий
2.1. Практическое применение развивающих заданий на уроках математики в 5-6 классе. 25
2.2. Примеры заданий на развитие логического мышления у учащихся............................. 32
Заключение 52
Литература 53
Введение
Изучение математики в школе направлено на достижение, в первую очередь, целей интеллектуального развития учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.
В сферу интересов личности входит умение адаптироваться к новым условиям жизни: анализировать ситуацию, адекватно изменять организацией свою деятельность, уметь владеть средствами коммуникации, добывать информацию и пользоваться ею. Если с этой точки зрения обратиться к целям школьного математического образования, то одной из первоочередных и важнейших задач является развитие мышления учащихся. «Учить надобно не мыслям, а мыслить», - эти слова немецкого философа и ученого XVIII в. И.Канта имеют большое значение, являются приоритетным принципом в обучении математике. Основной целью образовательного процесса становится усвоение определенных способов мышления, обеспечивающих понимание и производство новых знаний.
В последние годы много и часто говорят о недостаточной эффективности процесса обучения. Учителя озабочены тем, что школьники с трудом усваивают учебный материал, не могут применять знания в измененной ситуации, выбрать тот или иной метод решения уравнений. Больше всего ссылаются на то, что учащиеся не учат правила, не умеют применять их, не могут выучить теорему. В то же время в школе все еще преобладает традиционная модель, ориентированная на усвоение знаний, умений и навыков учащихся, и информационные методы обучения.
А с другой стороны, изучение математики связано со специфическими математическими видами познавательной деятельности, это общие и специфические. Среди общих видов познавательной деятельности главное место занимают логические приемы мышления. С точки зрения деятельностного подхода к обучению, учащихся следует вооружать системой общих и специфических приемов деятельности - как умственной, так и практической. Очевидно, что логические умения являются важнейшим компонентом мыслительной деятельности, так как одной из существенных характеристик мышления является то, что это логически организованный поисковый процесс, сосредоточенный на разрешаемой проблеме.
Стало быть учителя чаще всего не владеют в полной мере умениями развивать логическое мышление, организовывать учебную деятельность учащихся по усвоению понятия, правила, методов решения математических задач, отбирать для этого учебный материал. В результате не создаются условия для эффективного развития общеучебных умений.
В этих случаях обучение является информационным: учитель рассказал новый материал, показал образцы решения задачи или уравнения, проверил знание правил, теорем, дал задания для самостоятельного решения и оценил выполнение их. В этом случае не приходится говорить о развитии их. В этом случае не приходится говорить о развитии учащихся. Такое обучение не оказывает существенного влияния как на общее психическое развития детей, так и на развитие их специальных способностей. Нельзя не согласиться с мнением известного американского математика и методиста Д.Пойа, что, если преподаватель математики «заполнит отведенное ему учебное время натаскиванию учащихся в шаблонных упражнениях, он убьет их интерес, затормозит их умственное развитие и упустит свои возможности». Развитие учащихся во многом зависит от той деятельности, которую они выполняют в процессе обучения - репродуктивной или продуктивной (творческой).
Творческая деятельность ученика, направленная на творческое понимание усваиваемого материала и порождение новых способов действия, ее развитие зависят от наличия трех составляющих мышления: 1) высокий уровень сформированности элементарных мыслительных операций; 2) высокий уровень активности мышления, проявляющейся в выдвижении множества гипотез, вариантов решений, нестандартных идей; 3) высокий уровень организованности и целенаправленности мышления, проявляющейся в выделении существенного в явлениях, осознании собственных способов мышления.
Сформированность названных качеств мышления позволит преодолеть трудности в овладении учебным материалом и приведет к развитию творческой личности учащегося. Это объясняется тем, что ученик, получая теоретически обоснованные способы действий, знания, может самостоятельно вырабатываться подобные способы в незнакомых ситуациях или новые способы при решении поставленных проблем.
Таким образом, задача учителя сводится к формированию указанных компонентов мышления. При этом инструментом для развития мышления, являются занимательные задачи (задачи на «соображение», логические задачи, головоломки, нестандартные задачи). Их можно успешно использовать на уроках в качестве дополнительного, вспомогательного пути для тренинга мышления и формирования элементов творческой деятельности.
Следует отметить, что в подавляющем большинстве учебников и дидактических пособий для средней школы практически отсутствуют задачи, которые бы способствовали подготовке учеников к деятельности творческого характера и формированию у них соответствующих интеллектуальных умений. В традиционных учебниках, в основном, содержатся задания, требующие «вычислить», «найти», «решить», «проверить», «перечислить» и т.д. Такой материал не ориентирует учителя на организацию деятельностного подхода к обучению учащихся. Если же мы хотим научить школьника логически мыслить, то надо учить именно этому, нужно давать возможно больше упражнений, развивающих способность к логическому мышлению, как вообще нужно много упражняться, чтобы научиться какому-нибудь виду деятельности.
Необходимо использование на уроках задач нестандартных, задач, требующих известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности.
Глава 1. Теоретические основы развития логического мышления у учащихся в процессе обучения математике
1.1. Проблема развития логического мышления в процессе обучения математике.
Проблема развития логического мышления в разные времена рассматривалась различными психологами. Современная психологическая наука понимает мышление как высший познавательный процесс. Оно представляет собой форму творческого отражения человеком действительности, порождающую такой результат, которого в самой действительности или у субъекта на данный момент времени не существует. Мышление человека также можно понимать как творческое преобразование имеющихся в памяти представлений и образов.
Отличие мышления от остальных психологических процессов познания состоит в том, что оно всегда связано с активным изменением условий, в которых человек находится. Мышление всегда направлено на решение какой-либо задачи. В процессе мышления производится целенаправленное и целесообразное преобразование действительности.
Мышление - это особого рода умственная и практическая деятельность, предполагающая систему включенных в нее действий и операций преобразовательного и познавательного характера.
Мыслительная деятельность людей совершается при помощи мыслительных операций: сравнения, анализа, синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации.
Сравнение - это сопоставление предметов и явлений с целью найти сходство и различие между ними. В учебной деятельности школьника сравнение играет очень важную роль. Сравнивая, например, операции умножения и деления, треугольник и прямоугольник, школьник глубже познает особенности данных предметов и явлений.
Анализ - это мысленное расчленение предмета или явления на образующие его части, выделение в нем отдельных частей, признаков и свойств. Синтез - это мысленное соединение отдельных элементов или частей в единое целое. В реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегда выполняются совместно. Анализ и синтез - важнейшие мыслительные операции, в единстве они дают полное и всестороннее знание действительности. Анализ дает знание отдельных элементов, а синтез, опираясь на результаты анализа, объединяя эти элементы, обеспечивает знание объекта в целом. Для запоминания определенного текста ученик выделяет в нем отдельные части, смысловые куски и пытается понять, как они логически связаны в единое целое.
Абстракция - это мысленное выделение каких-либо существенных признаков, свойств объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. В результате абстракции выделенное свойство или признак сам становится предметом мышления. Все математические понятия как раз и представляют собой абстрактные объекты. Так, например, понятие геометрической фигуры образуется путем выделения в наблюдаемых предметах их формы, протяженности и взаимного положения в пространстве и отвлечения от всех других свойств (материала, цвета, массы)
Абстракция лежит в основе обобщения - мысленного объединения предметов и явлений в группы по тем общим и существенным признакам, которые выделяются в процессе абстрагирования.
В учебной работе школьников обобщения обычно проявляется в выводах, определениях, правилах. Школьникам иногда трудно произвести обобщение, так как далеко не всегда им удается самостоятельно выделить не просто общие, но и существенные общие признаки. Некоторые психологи (Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов) различают два вида обобщения: формально-эмпирическое и содержательное (теоретическое). Формально-эмпирическое обобщение осуществляется путем сравнения ряда объектов и выявления внешне одинаковых и общих признаков. Теоретическое обобщение основано на глубоком анализе объектов и выявлении скрытых общих и существенных признаков, отношений и зависимостей.
Конкретизация - это мысленный переход от общего к единичному, которое соответствует этому общему. В учебной деятельности конкретизировать - значит привести пример, иллюстрацию, конкретный факт, подтверждающий общее теоретическое положение, правило, закон. В учебном процессе конкретизация имеет большое значение: она связывает наши теоретические знания с жизнью, с практикой и помогает правильно понять действительность. Отсутствие конкретизации приводит к формализму знаний, которые остаются голыми и бесполезными абстракциями, оторванными от жизни.
Основные формы мышления
Различают три основные формы мышления: понятие, суждение, умозаключение.
Понятие - это форма мышления, в которой отражаются общие и притом существенные свойства предметов и явлений.
Каждый предмет, каждое явление имеют много различных свойств, признаков. Эти свойства, признаки можно разделить на две категории - существенные и несущественные. Например, каждый отдельный треугольник имеет три угла, определенные размеры - длину сторон и площадь, определенную величину углов, форму. Но только первый признак делает фигуру треугольником, позволяет отличить ее от других фигур: прямоугольника, круга, трапеции. Остальные признаки отличают один треугольник от другого; при изменении их треугольник не перестанет быть треугольником.
В понятии содержатся лишь свойства, общие и существенные для целого ряда однородных предметов.
Понятие существует в виде значения слова, обозначается словом. Каждое слово обобщает (кроме, разумеется, слов, обозначающих имена собственные). В понятиях наши знания о предметах и явлениях действительности кристаллизуются в обобщенном и отвлеченном виде. В этом отношении понятие существенно отличается от восприятия и представления памяти: восприятие и представление конкретны, образны, наглядны; понятие обладает обобщенным, абстрактным, не наглядным характером.
Понятие - более развитая и всесторонняя форма познания, оно значительно шире и полнее отражает действительность, чем представление.
В процессе общественно-исторического развития познания расширяется, углубляется и изменяется содержание понятий.
Суждение. В суждениях отражаются связи и отношения между предметами и явлениями окружающего мира и их свойствами и признаками. Суждение - это форма мышления, содержащая утверждение и отрицание какого-либо положения относительно предметов, явлений или их свойств.
Суждения бывают общими, частными и единичными. В общих суждениях утверждается или отрицается что-то относительно всех предметов и явлений, объединяемых понятием. В частном суждении речь идет только о части предметов и явлений, объединяемых понятием. Единичное суждение - это суждение, в котором речь идет о каком-нибудь индивидуальном понятии.
Суждение раскрывает содержание понятий. Знать какой-нибудь предмет или явление - значит уметь высказать о нем правильное и содержательное суждение, т. е. уметь судить о нем.
Истинность суждений проверяется общественной практикой человека.
Умозаключение. Умозаключение - такая форма мышления, в процессе которой человек, сопоставляя и анализируя различные суждения, выводит из них новое суждение. Типичный пример умозаключения - доказательство геометрических теорем.
Человек пользуется в основном двумя видами умозаключений - индуктивными и дедуктивными.
Индукция - это способ рассуждения от частных суждений к общему суждению, установление общих законов и правил на основании изучения отдельных фактов и явлений.
Дедукция - это способ рассуждения от общего суждения к частному суждению, познание отдельных фактов и явлений на основании знания общих законов и правил.
Индукция начинается с накопления знания о возможно большем числе в чем-либо однородных предметов и явлений, что дает возможность найти сходное и различное в предметах и явлениях и опустить несущественное и второстепенное. Обобщая сходные признаки этих предметов и явлений, делают общий вывод или заключение, устанавливают общее правило или закон.
Дедуктивное умозаключение дает человеку знания о конкретных свойствах и качествах отдельного предмета на основе знания общих законов и правил.
Основные виды мышления.
Различают три вида мышления: 1) наглядно-действенное, 2) наглядно-образное и 3) словесно-логическое (теоретическое).
Самой ранней ступенью в развитии мышления ребенка является наглядно-действенное мышление. Оно характеризуется тем, что задача, подлежащая решению, дается наглядно и решается руками, т.е. с практическим действием. Эта форма «мышления руками» не исчезает с развитием более высоких форм логического мышления. С развитием речи и накоплением опыта ребенок приходит к наглядно-образному мышлению. Ребенок мыслит образами, а слово, которым он владеет, помогает ему делать обобщения. Ребенок, придя в школу, в основном мыслит, опираясь на конкретные образы. Но полное и глубокое изучение программного материала способствует развитию словесно-логического мышления.
Логическое мышление является высшей ступенью умственного развития ребенка, проходит длительный путь развития. Оно характерно тем, что совершается в форме абстрактных понятий и рассуждений. В сложных мыслительных действиях взрослого имеются элементы всех трех видов мышления, но какой-то один из них обычно преобладает. Так при доказательстве теорем, решении задач доминирует, конечно теоретический тип мышления, хотя там используются и элементы наглядного действенного и наглядно-образного мышления (построение чертежей, схем, мысленные и практические их преобразования и т.п.).
Одновременное с развитием мышления у ребенка развивается и речь. В речи мысль обретает материальную форму, в которой она только и может быть воспринята другими людьми и самим человеком.
Высокоразвитое мышление вообще невозможно вне речи, оно всегда связано с языком, и речь выступает как материальная оболочка мышления.
Логическое мышление, в отличие от практического, осуществляется только словесным путем. Обучение ребенка доказательству требует от него сформированности умений правильно рассуждать. Что непосредственно обнаруживается через правильность математической речи ребенка. Математическая речь и умение правильно рассуждать тесно связаны друг с другом.
О человеке, у которого хорошо развито логическое мышление, говорят, что он основательно мыслит, дисциплинированно рассуждает. Такой человек, как правило, не допускает ошибок в своих рассуждениях и выводах. Хорошо развитое логическое мышление предостерегает человека от промахов и ошибок в практической деятельности. И это качество развивается главным образом в процессе изучения математики, ибо математика - это практическая логика, в ней каждое новое положение получено с помощью строго обоснованных рассуждений на основе ранее известных положений, т.е. строго доказывается. Математика приучает к логическому мышлению. В математике ученик с наибольшей полнотой, наиболее выпукло и зримо может увидеть демонстрацию почти всех основных законов элементарной логики.
Решение всякой задачи по математике - это, прежде всего, цепь рассуждений. Вычисления, преобразования, построения, которыми так часто приходится пользоваться для решения задач, невозможны без логических рассуждений: они направляются рассуждениями. Значит, в математике невозможно обойтись без логики. Для успешного изучения математики надо настойчиво учиться правильно рассуждать.
Мышление человека, и в частности школьника, наиболее ярко проявляется при решении задач.
Любая мыслительная деятельность начинается с вопроса, который ставит перед собой человек, не имея готового ответа на него. Иногда этот вопрос ставят другие люди (например, учитель), но всегда акт мышления начинается с формулировки вопроса, на который надо ответить, задачи, которую необходимо решить, с осознания чего-то неизвестного, что надо понять, уяснить.
Решение мыслительной задачи начинается с тщательного анализа данных, уяснения того, что дано, чем располагает человек. Эти данные сопоставляют друг с другом и с вопросом, соотносят с прежними знаниями и опытом человека. Человек пытается привлечь принципы, успешно примененные ранее при решении задачи, сходной с новой. На этой основе возникает гипотеза, намечается способ действий, путь решений. Практическая проверка гипотезы, проверка пути решения может показать ошибочность намеченных действий. Тогда ищут новую гипотезу, другой способ действия, причем здесь важно тщательно уяснить причины предшествующей неудачи, сделать из нее соответствующие выводы.
Связь речи и мышления не только позволяет глубже проникать в явления действительности, в отношения между вещами, действиями, качествами, но и располагает системой синтаксических конструкций, которые дают возможность сформулировать мысль, выразить суждение. Речь располагает более сложными образованиями, которые дают основу для теоретического мышления и которые позволяют человеку выйти за пределы непосредственного опыта и делать выводы отвлеченным вербально-логическим путем. К числу аппаратов логического мышления относятся и те логические структуры, моделью которых является силлогизм. Переход к сложным формам общественной деятельности дает возможность овладеть теми средствами языка, которые лежат в основе наиболее высокого уровня познания - теоретического мышления.
1.2. Пути и средства развития логического мышления у учащихся
Развитие мышления при изучении математики состоит в формировании у учащихся характерных для этого предмета приемов мыслительной деятельности. При этом важно, чтобы в структуру умственной деятельности школьников помимо алгоритмических умений и навыков, фиксированных в стандартных правилах, формулах и способах действий, вошли эвристические приемы, которые необходимы для решения творческих задач, применение знаний в новых ситуациях, доказательства высказываемых утверждений.
Процесс обучения предполагает целенаправленное управление мыслительной деятельностью учащихся, что приводит к продвижению учеников в их умственном развитии. Чтобы развить мышление учащихся, нужно показать им как функционирует мышление на практике. Развитие происходит в деятельности, поэтому необходимо создавать ученикам условия соответствующей деятельности, нужно демонстрировать сложную картину поиска решения, всю трудность этой работы. В этом случае ученики становятся активными участниками процесса поиска решения, начинают понимать источники возникновения решения. Как результат - ими легче осваиваются причины ошибок, затруднений, оценивается найденный способ решения и ход логических мыслей, а без этого знания не могут перейти в убеждения.
Системное развитие логического мышления должно быть неотрывно от урока, каждый ученик должен принимать участие в процессе решения не только стандартных заданий, но и задач развивающего характера (активно или пассивно).
На уроках учитель должен моделировать ту умственную деятельность, которая нужна на данном этапе развития (учить анализировать задачи, делать чертежи, выявлять отношения объектов и т.д.). Это имеет обучающее и воспитывающее значение: учащиеся приобщаются к методу поиска, ориентируются не только на результат, но и на процесс его достижения, т.е. учатся мыслить логически.
Можно выделить два подхода к формированию и становлению логико-математического мышления:
1. традиционное обучение, приводящее в зависимости от воздействия и других объективных причин к формированию либо эмпирического, либо теоретического мышления;
2. специально организованное обучение, ориентированное на формирование учебной деятельности, приводящее к становлению теоретического мышления.
Для формирования логического мышления приоритетным является второй подход.
Основным средством развития математических способностей учащихся являются задачи. Не случайно известный современный математик Д.Пойа пишет: «Что значит владение математической? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности».
Одна из главных причин затруднений учащихся, испытываемых ими при решении задач, заключается в том, что математические задачи, содержащиеся в основных разделах школьных учебников, как правило, ограничены одной темой. Их решение требует от учащихся знаний, умений и навыков по какому-нибудь одному вопросу программного материала и не предусматривает широких связей между различными разделами школьного курса математики. Роль и значение таких задач исчерпываются в течении того непродолжительного периода, который отводиться на изучение (повторение) того или иного вопроса программы. Функция таких задач чаще всего сводиться к иллюстрации изучаемого теоретического материала, к разъяснению его смысла. Поэтому учащимся нетрудно найти метод решения данной задачи. Этот метод иногда подсказывается названием раздела учебника или задачника, темой, изучаемой на уроке, указаниями учителя и т. д. Самостоятельный поиск метода решения учеником здесь минимален. При решении задач на повторение, требующих знания нескольких тем, у учащихся, как правило, возникают определенные трудности.
К сожалению, в практике обучения математике решение задач чаще всего рассматривается лишь как средство сознательного усвоения школьниками программного материала. И даже задачи повышенной трудности специальных сборников, предназначенных для внеклассной работы, в основном имеют целью закрепление умений и навыков учащихся в решении стандартных задач, задач определенного типа. А между тем функции задач очень разнообразны: обучающие, развивающие, воспитывающие, контролирующие.
Каждая предлагаемая для решения учащимся задача может служить многим конкретным целям обучения. И все же главная цель задач - развить творческое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию» математических фактов. Достичь этой цели с помощью одних стандартных задач невозможно, хотя стандартные задачи, безусловно, полезны и необходимы, если они даны вовремя и в нужном количестве. Следует избегать большого числа стандартных задач как на уроке, так и во внеклассной работе, так как в этом случае сильные ученики могут потерять интерес к математике и даже испытать отвращение к ней. Ознакомление учащихся лишь со специальными способами решения отдельных типов задач создают, на наш взгляд, реальную опасность того, что учащиеся ограничатся усвоением одних шаблонных приемов и не приобретут умения самостоятельно решать незнакомые задачи ("Мы такие" задачи не решали",- часто заявляют учащиеся, встретившись с задачей незнакомого типа).
В системе задач школьного курса математики, безусловно, необходимы задачи, направленные на отработку того или иного математического навыка, задачи иллюстративного характера, тренировочные упражнения, выполняемые по образцу. Но не менее необходимы задачи, направленные на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического характера. Необходимы специальные упражнения для обучения школьников способам самостоятельной деятельности, общим приемам решения задач, для овладения ими методами научного познания реальной действительности и приемам продуктивной умственной деятельности, которыми пользуются ученые-математики, решая ту или иную задачу. Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач, с помощью специально подобранных упражнений, можно учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями, и делать соответствующие выводы.
Необходимо на уроках систематически использовать задачи, способствующие целенаправленному развитию логического мышления учащихся, их математическому развитию, формированию у них познавательного интереса и самостоятельности. Такие задачи требуют от школьников наблюдательности, творчества и оригинальности.
Эффективное развитие математических способностей у учащихся невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов, софизмов.
В качестве средств развития логического мышления могут выступать занимательные задачи (задачи «на соображение», головоломки, нестандартные задачи, логические задачи).
Занимательный материал многообразен, но его объединяет следующее:
способ решения занимательных задач не известен. Для их решения характерно, броуновское движение мысли, т.е. к решению приводит метод проб и ошибок. Поисковые пробы решения могут в отдельных случаях закончиться догадкой, которая представляет собой нахождение пути искомого решения.
занимательные задачи способствуют поддержанию интереса к предмету и играют роль мотива к деятельности учащихся. Необычность сюжета, способа презентации задачи находят эмоциональный отклик у детей и ставят их в условия необходимости ее решения;
занимательные задачи составлены на основе знаний законов мышления.
Систематическое применение задач такого вида способствует развитию указанных мыслительных операций и формированию математических представлений детей. Для решения таких задач характерен процесс приисковых проб. Появление догадки свидетельствует о развитии у детей таких качеств умственной деятельности, как смекалка и сообразительность. Смекалка - это особый вид проявления творчества. Она выражается в результате анализа, сравнений, обобщений, установления связей, аналогии, выводов, умозаключений. О проявлениях сообразительности свидетельствует умение обдумывать конкретную ситуацию, устанавливать взаимосвязи, на основе которых решающий задачу приходит к выводам, обобщениям. Сообразительность является показателем умения оперировать знаниями. Из этого следует, что смекалка, сообразительность, влекущие за собой догадку как результат поиска решения занимательной задачи, не есть что-то данное свыше. Эти качества умственной деятельности можно и нужно развивать в процессе обучения.
В любом случае догадке как способу решения задачи предшествует тщательный анализ: выделение в задаче существенных признаков, пространственного расположения и обобщения ряда фигур, их свойств, сходных признаков и т.п. Однако для решения занимательных задач метод проб и ошибок ненадежен и нерационален. Гораздо более эффективный способ - вооружить детей теми приемами умственной деятельности, которые необходимы при этом: анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация. Предлагая учащимся занимательные задачи, мы формируем у них способность выполнять эти операции и одновременно развиваем их.
Конечно, нельзя приучать учащихся решать только те задачи, которые вызывают у них интерес. Но нельзя и забывать, что такие задачи учащийся решает легче и свой интерес к решению одной или нескольких задач он может в дальнейшем перенести и на «скучные» разделы, неизбежные при изучении любого предмета, в том числе и математики. Таким образом, учитель, желающий научить школьников решать задачи, должен вызвать у них интерес к задаче, убедить, что от решения математической задачи можно получить такое же удовольствие, как от разгадывания кроссворда или ребуса.
Задачи не должны быть слишком легкими, но и не должны быть слишком трудными, так как учащиеся, не решив задачу или не разобравшись в решении, предложенном учителем, могут потерять веру в свои силы. Не следует предлагать учащимся задачу, если нет уверенности, что они смогут ее решить. Ну а как же помочь учащемуся научиться решать задачи, если интерес к решению задач у него есть и трудности решения его не пугают? В чем должна заключаться помощь учителя ученику, не сумевшего решить интересную для него задачу? Как эффективным образом направить усилия ученика, затрудняющегося самостоятельно начать или продолжить решение задачи?
Не следует идти по самому легкому в этом случае пути - знакомить ученика с готовым решением. Не следует и подсказывать, к какому разделу школьного курса математики относится предложенная задача, какие известные учащимся свойства и теоремы нужно применить при решении. Решение нестандартной задачи - очень сложный процесс, для успешного осуществления которого учащийся должен уметь думать, догадываться.
Необходимо также хорошее знание фактического материала, владение общими подходами к решению задач, опыт в решении нестандартных задач. В процессе решения каждой задачи и ученику, решающему задачу, и учителю, обучающему решению задач, целесообразно четко разделять четыре ступени: 1) изучение условия задачи; 2) поиск плана решения и его составление; 3) осуществление плана, то есть оформление найденного решения; 4) изучение полученного решения - критический анализ результата решения и отбор полезной информации. Даже при решении несложной задачи учащиеся много времени тратят на рассуждения о том, за что взяться, с чего начать. Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задач, учитель должен уметь поставить себя на место решающего задачу, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений, направить его усилия в наиболее естественное русло. Умелая помощь ученику, оставляющая ему разумную долю самостоятельной работы, позволит учащемуся развить математические способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь к решению новых задач. «Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею... Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания... Часто оказывается уместным начать работу с вопроса: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?» (Пойа Д.). Таким образом, хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются вспомогательные задачи. Умело поставленные вспомогательные вопросы, вспомогательная задача или система вспомогательных задач помогут понять идею решения. Необходимо стремиться к тому, чтобы учащийся испытал радость от решения трудной для него задачи, полученного с помощью вспомогательных задач или наводящих вопросов, предложенных учителем.
Глава 2. Развитие логического мышления учащихся 5-6 классов с помощью системы развивающих заданий
2.1. Практическое применение развивающих заданий на уроках математики в 5-6 классов
Для осуществления формирования логического мышления учащихся 5-6 классов можно составить систему развивающих заданий по темам:
аналогия;
исключение лишнего;
классификация;
логические задачи;
перебор;
задачи с геометрическим содержанием;
задачи «на переливание»;
задачи-шутки;
ребусы;
занимательные задания
Эти задачи можно разделить на группы, учитывая их воздействие на мыслительную деятельность учащихся.
Формирование гибкости ума, освобождение мышления от шаблонов происходит при решении задач-шуток, занимательных заданий, задач на перебор вариантов, так как в большинстве случаев эти задачи не привязаны к темам и не требует особой теоретической подготовки.
Логические задачи, ребусы, задачи «на переливание», задачи на классификацию учат школьников умению рассуждать, формируют математический стиль мышления, развивают логико-лингвистические способности детей, которые приводят к умению четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.
Задачи на аналогию и исключение лишнего используется для формирования умений поиска решения задач, интуиции, требуют знания теории и нешаблонного подхода к решению.
Задачи с геометрическим содержанием нацелены на знание геометрических фигур и их свойств как основы для формирования пространственных и изобразительных умений школьников, на расширение кругозора.
Учитель, преподающий в 5-6 классах, может развивать логическое мышление учащихся с помощью созданной системы заданий. Для этого необходимо учитывать следующее:
выбранные задания должны быть посильными для детей;
задания, отобранные для одного урока, должны быть разнообразными для воздействия на различные компоненты мышления;
если ученики не справляются с заданием, то целесообразно оставить его на обдумывание до следующего урока;
ученикам можно дать необязательное домашнее задание по составлению аналогичных задач;
если на уроке время ограничено, то эти задания можно применять на занятиях математического кружка.
Учащиеся хорошо воспринимают эти задания. Ребята видят в них отдых от утомительной, иногда однообразной часто арифметической тренировки. Это ненавязчивое средство обучения логическим приемам, которые применяются в каждом математическом рассуждении.
Система развивающих заданий
Аналогия
Аналогия - это сходство между объектами в некотором отношении. Использование аналогии в математике является одной из основ поиска решения задач. Задачи этой серии направлены на отработку таких познавательных приемов, как проведение словесных аналогий и нахождение аналогии между фигурами.
Например:
Уменьшаемое - разность, множитель - .?
Продолжите ряд:
а) 1, 5, 13, 29,.б) 1, 4, 9, 16,.
в) 7, 19, 37, 61,г) 1, 8, 27.
Исключение лишнего
В каждой задаче этой серии указаны четыре объекта, из которых три в значительной мере сходны друг с другом, и только один отличается от всех остальных.
Например,
Сумма, разность, множитель, частное
См, дм, м2, км
1, 9, 27, 64
Можно предложить детям сначала решить анаграммы, затем исключить лишнее слово.
Например, МАПРЯЯ, ЧУЛ, РЕЗОТОК, РИПЕТРЕМ (лишнее слово - периметр)
Классификация
Классификация - это общепознавательный прием мышления, суть которого заключается в разбиении данного множества объектов на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Число таких подмножеств, а также их состав зависит от основания классификации (т.е. признака, существенного для данных объектов), которое может применять различные значения.
Например,
Что объединяет слова длина, площадь, масса? Какое слово к ним подходит: секунда, центнер, величина, метр?
Разбейте данные слова на два столбика и озаглавьте каждый столбик.
Слагаемое, вычитаемое, сумма, частное, множитель, уменьшаемое, делитель, произведение, разность.
- В каждом задании даны пять слов. Под этим списком должны стоять еще четыре слова, разбитые на две пары. Из них даны только три. Выберите из списка одно слово, которое нужно поставить вместо знака вопроса, чтобы найденное четвертое слово находилось с третьим в таком же отношении, что и первое со вторым.
а) Величина, количество, цифра, счет, номер
Слово - буква
Натуральное число - ?
б) Координата, начало, единичный отрезок, направление, шкала.
Мороженое - порция
Координатный луч - ?
в) Разность, умножение, произведение, деление, частное.
Слагаемое - сумма
Множитель - ?
Перебор
Сущность этого приема заключается в проведении организованного разбора и анализа всех случаев, которые потенциально возможны в ситуации, описанной в задаче.
Например:
Сколько имеется двузначных чисел, у которых среди цифр есть хотя бы одна пятерка?
В числе 48352 зачеркните такие две цифры, чтобы число, образованное оставшимися цифрами в том же порядке было наибольшим (наименьшим).
Задачи на переливание
В первый сосуд входит 10 литров воды. Как, используя еще два пустых сосуда по 5 и 7 литров, разделить воду на две части.
Восьмилитровый бидон наполнен водой. Как с помощью трехлитровой и пятилитровой банок отлить 1 л воды?
Задачи-шутки
Гусь стоит 20 рублей и еще половину того, сколько он на самом деле стоит. Сколько стоит гусь?
Сколько концов у двух палок; у трех палок, у пяти с половиной палок?
Крышка стола имеет 4 угла. Один угол отпилили. Сколько углов осталось?
Какой математический знак нужно поставить между 5 и 6, чтобы полученное число было больше 5, но меньше 6.
Один поезд отправляется из Москвы в Пермь, одновременно с ним выходит поезд из Перми в Москву, скорость которого в 2 раза больше. Какой из поездов в момент встречи будет находиться дальше от Москвы?
Занимательные задачи.
Чему равно произведение -15 Ч (-14) Ч (-13) Ч Ч 13 Ч 14 Ч 15
Какой цифрой оканчивается произведение всех чисел от 7 до 12.
Вдоль всей траектории забега поставили 15 столбов. После начала забега спортсмен был у третьего столба через три минуты. За сколько минут он пробежит весь путь?
Логические задачи
Логические задачи - это задачи, требующие умения проводить доказательные рассуждения, анализировать. Логические упражнения прямо и непосредственно ориентированы на развитие логического мышления учеников. Логические упражнения представляют собой задания творческого характера. Они позволяют организовать на уроках интересные деятельностные ситуации, которые способствуют лучшему усвоению программного материала и развитию логического мышления педагогическая практика показывает, что у основной массы учащихся здравый смысл опережает математическую подготовку. Это обуславливает высокий интерес школьников к решению таких задач. От обычных они отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача - это особая информация, которую не только нужно отработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать.
Логические задачи достаточно интересны и очень полезны для развития математических способностей. Они вырабатывают умение устанавливать связи между объектами, наблюдательность, настойчивость. Однако при решении таких задач ученики много тратят времени на рассуждения о том, с чего начать.
В следующей серии задач многочисленные факты, содержащиеся в условии, ученики легко воспринимают с помощью схем или «графов». Язык графов прост, понятен и нагляден. Графовые задачи допускают изложение в занимательной, игровой форме. Для их решения часто не требуется глубоких знаний, а следует применить смекалку. Поэтому графовые задачи можно использовать для развития соображения и улучшения логического мышления детей, начиная с детского сада и заканчивая старшими классами средней школы.
Принцип их построения доступен каждому: объекты изображаем точками, а отношения между ними - отрезками; точки соединяем сплошной линией, если точки одного множества соответствуют точкам другого множества, или штриховой, если они не соответствуют. С помощью такого наглядного приема можно научить пятиклассников решать достаточно сложные задачи. Графовый язык переводит решение задачи из абстрактно-словесного плана в конкретно-наглядный. Обращение к графу дает толчок к поиску и подсказывает направление этого поиска.
Рассмотрим несколько задач этой серии.
1. Встретились Белов, Чернов и Рыжов. Один из них был блондин, другой - брюнет, третий - рыжий. Брюнет сказал Белову: «Ни у одного из нас цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из них, если брюнеты всегда говорят правду?
Решение:
Беловблондин
Чернов..брюнет
Рыжоврыжий
2. Эдик, Вася, Андрей и Миша заняли первые четыре места в соревнованиях, причем ни на одно призовое место не было двух претендентов. На вопрос, какие они заняли места, мальчики честно ответили:
- Андрей - «Я не был последним»;
- Вася - «Я занял второе место»;
- Эдик - «Я занял ни первое, ни третье место».
Какие места заняли мальчики?
Решение
Эдик мог занять только 4-е место, Андрей - 1-е или 3-е, тогда Миша - 3-е или 1-е.
Э..1
В..2
А..3
М.4
3. Три клоуна Бим, Бом и Бам вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же трех цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, но в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?
Решение
Бимкрасные туфли
Бомзеленые туфли
Бамсиние туфли
красная рубашка зеленая рубашка синяя рубашка
Бом может быть только в синих туфлях, тогда Бим в красных туфлях и в красной рубашке. Теперь Бам может быть только в синей рубашке, тогда Бом в зеленой.
Рассмотрим еще одну серию задач, достаточно сложных для пятиклассников, которые часто встречаются на олимпиадах. Чтобы научить решать школьников эти задачи, нужно начать с такой вспомогательной задачи.
1. Ребята заметили, что участок вести в 15 см гусеница проползла за 7 минут. Найдите длину гусеницы, если скорость ее движения 3 см/мин.
Задачу нужно решать обязательно с рисунком.
2. Поезд длиной 450 м проходит мост за 35 с., а мимо дежурного по станции проходит за 15 с. Найти длину моста и скорость поезда.
3. Поезд, длиной 18 м, проезжает мимо столба за 9 с. Найти время, за которое поезд проедет мост длиной 36 м.
Задачи с геометрическим содержанием
Большие возможности для развития логического мышления школьников имеются в содержании геометрического материала 5 класса.
Рассмотрим на примерах, как можно использовать занимательные задачи с геометрическим содержанием в 5 классе. При этом основной целью является формирование и развитие мыслительных операций: анализа и синтеза, сравнения, аналогий, обобщения, классификации; развитие и тренинг мышления вообще и творческого в частности.
1. Деревянный окрашенный кубик распилили пополам. Сколько стало окрашенных и неокрашенных граней у каждой половины?
2. Сколько (квадратов) треугольников вы видите на рисунке?
3. Разрезать квадрат на две равные фигуры (10 способов)
4. Какая из фигур «лишняя» на рисунке?
5. Нарисуйте два треугольника так, чтобы их общей частью были: а) шестиугольник; б) пятиугольник; в) четырехугольник; г) отрезок; д) точка.
Система развивающих заданий позволяет привить интерес к предмету, дает более глубокое и полное понимание изучаемых тем, развивает мышление учащихся. В результате повышается успеваемость учащихся.
Устойчивые положительные результаты можно получить при подборе заданий, имеющих отношение к заданной теме. Не следует предлагать занимательные задачи как средство заполнения досуга или развлечения. Проблема включения задач подобного вида в учебный процесс должна решаться естественным образом. Анализ показывает, что среди занимательных задач много задач чисто учебного назначения, но поданных в нестандартной или проблемной форме.
Воспитание культуры мышления должно проводиться повседневно. И.Л.Никольская, специально изучавшая данную проблему, установила экспериментально, что кратковременное обучение логическим понятиям не дает эффекта, его можно достичь только тогда, когда эти понятия органически вплетены в курс математики.
2.2. Примеры заданий на развитие логического мышления у учащихся
I.
Сравнение
1.
?
2. “Что изменилось?
3. “Найди лишний ряд”
2
5
8
11
14
1
4
7
10
13
3
4
5
6
7
3
6
9
12
15
4. “Какая фигура лишняя?”
II.
Анализ и синтез
1.Малыш и Карлсон играли в игру: поочерёдно записывали цифры в ряды. Карлсон записывал любые цифры, а Малыш – по одному и тому же принципу.
- Подумай, по какому принципу записывал Малыш цифры, и допиши те, которые он не дописал.
Карлсон
Малыш
30 45
2. Из различных цифр я сделал бусы. 15 35 20 25 40
Но бусы были порваны
Кто сможет их помочь собрать, 10 45
Тому поставлю пять!
( 10, 15,20, 25, 30, 35,40, 45.)
3. “Магический квадрат”.
Расположи цифры так, чтобы сумма чисел по каждой вертикали, горизонтали и диагонали была одинакова.
58
30
65
16
9 37
23 44
51
4. “Какая фигура лишняя?”
III.
Закономерность.
“Вставь число”.
36 450 80
12 ? ? 190 23
2.“Продолжи ряд”.
4867, 4870, 4873,
25770, 25789, 25790,
0, 15, 30, 45,
3. “Помоги заполнить таблицу”.
4.“Установи правило и впиши знаки + или - ”
7000 1 400 7 = 1 200 6000 1 800 6 = 1300
8000 1 500 5 = 1900 8000 1600 4 = 2400
IV.
Обобщение
“Назови, одним словом”.
2, 4, 6, 8 _____________________
1, 3, 5, 7, 9 _____________________
18, 25, 33 ____________________
131, 139, 216 ___________________
“Зачеркни лишнее выражение”.
1 + 6 3 + 4 2+3 8-3
7 - 2 7 - 6 5+2 7-3
“Чем похожи числа?”
6 и 61; 41 и 48; 84 и 14.
“Чем различаются?”
5 и 15, 88 и 18; 12 и 31;
“Общие признаки?”
1 и 11; 20 и 10; 126 и 345
V.
Нестандартные задачи
В класс пришли Катя, Лена и Маша. В каком порядке они могли прийти в класс?
У мальчика в коробке было 7 мух. На две мухи он поймал двух рыбок. Сколько рыбок он поймает на остальных мух?
Что легче: килограмм ваты или килограмм железа?
Арбуз весит 3 кг и пол арбуза. Сколько весит арбуз?
У каждой из 3сестёр по одному брату. Сколько детей в семье?
Год назад Ире было 5 лет. Сколько ей будет через 3 года?
В квадратном зале для танцев поставь вдоль стен 10 кресел так, чтобы у каждой стены стояло кресел поровну.
Девочки бегали наперегонки. Таня прибежала раньше Светы, но позже Иры, Лена прибежала раньше Иры, а Оксана – позже Светы. Кто из них прибежал раньше всех? Кто позже всех? В каком порядке они прибегали?
Пять человек обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?
В цирке было 12 собачек. Половина всех собачек были белыми. Сколько белых собачек выступало в цирке?
Из трёх одинаковых по виду колец одно несколько легче каждого из двух других. Как найти его одним взвешиванием на чашечных весах без гирь?
У Павлика и Даши было поровну конфет. Павлик отдал Даше 2 конфеты. На сколько конфет у Даши стало больше?
Куда войдёт больше воды: в трёхлитровый чайник или трёхлитровый самовар?
Сестре и брату вместе 20 лет, причём брат на 2 года старше сестры. Сколько лет брату и сколько сестре?
В корзине лежит 5 яблок. Как разделить эти яблоки между 5 детьми, чтобы каждый получил по 1 яблоку и чтобы 1 яблоко осталось в корзине?
Высота сосны 20 м.По ней ползёт улитка, каждый день поднимаясь на 2 м вверх и каждую ночь опускаясь на 1 м вниз. За сколько дней улитка поднимется на вершину сосны?
Когда цапля стоит на одной ноге она весит 15 кг. Сколько она будет весить, если встанет на две ноги?
Две чашки и два кувшина весят столько же, сколько 14 блюдец. Один кувшин весит столько, сколько одна чашка и одно блюдце. Сколько блюдец уравновесит один кувшин?
Груша тяжелее яблока, но легче апельсина. Яблоко тяжелее персика, а апельсин легче ананаса. Найди самый лёгкий и самый тяжёлый фрукт.
Объясни, как это может быть : 2 матери,3 дочки, 2 сестры, а всего – 4 женщины.
Старинные задачи- шутки.
Шла баба в Москву и повстречала 3 мужиков. Каждый из них нёс по мешку, в каждом мешке по коту. Сколько всего существ направлялось в Москву?
Длина бревна 5 аршин. В одну минуту от этого бревна отпиливают по одному аршину. Через сколько минут будет распилено всё бревно?
Соня положила в коробку 4 зелёных круга, 6 треугольников и 3 синих многоугольника, а всего 11 фигурок. Сколько синих треугольников положила Соня?
В венгерской пещере Аггрелек можно увидеть крупнейший в мире сталагмит, высота которого 25м. Из геологии известно, что сталагмит вырастает за 10 лет на 1 мм. Какой возраст этого сталагмита?
В класс завезли новые парты. В крайнем ряду у окна 6 двухместных парт,в среднем 5 таких парт. А в ряду у дверей могут сесть 12 учеников. Сколько всего ученических мест в классе?
К берегу реки подошли 3 людоеда. У каждого из них по одному слуге. В присутствии хозяина его слугу никто не трогает, а в отсутствии хозяина его слугу съедают другие людоеды. Всем им надо перебраться на другой берег в двухместной лодке. Как это сделать, чтобы никто никого не съел?
На одной планете живут 40 колиордов. 12 из них вечером пьют чай, 28 – смотрят телевизор, а 5 не делают ни того ни другого, так как рано ложатся спать. Сколько колиордов пьют по вечерам чай, смотря телевизор?
В семье 4 детей, им 5,8,13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и Лена. Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и Светы делится на 3?
Книга дороже карандаша в 3 раза, а альбом дороже карандаша в 5 раз. Книга дороже карандаша на 28 рублей. Сколько стоит альбом?
Старинная задача.
В классе учится 13 детей. У мальчиков столько зубов, сколько у девочек пальцев на руках и ногах. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?
Мышке до норки 20 шагов. Кошке до мышки 5 прыжков. За один прыжок кошки мышка делает 3 шага. Один прыжок кошки равен 10 шагам мышки. Догонит ли кошка мышку?
Семь гномов добили в рудниках 7818 алмазов. Первый гном добыл 1245 драгоценных камней, что в 5 раз превышает количество алмазов, добытых вторым гномом. Третий гном добыл на 906 алмазов больше, чем первый и второй гномы вместе, а четвёртый гном- лишь 38% алмазов, добытых третьим гномом. У остальных трёх гномов алмазов оказалось поровну. На сколько меньше алмазов собрал шестой гном, чем третий?
VI.
Тема: « Порядок выполнения действий» (5 класс)
Цели урока:
1. Отработать навыки выполнения вычислений по действиям, используя знаки математических действий I ступени и II ступени; закрепить умения составлять программы вычисления выражений по действиям.
2. Развивать навыки самостоятельной работы при выполнении вычислений по действиям и навыки самооценки.
3. Воспитывать ответственное отношение к учебному труду.
Ход урока.
I. Организационный момент.
Эпиграф (слайд №1)
Тихо сели, ноги вмести.
Книги, ручки – все на месте?
Руки замерли у всех.
Будем думать, будем слушать
И учиться лучше всех!
Приветствие учащихся. Проверка готовности к уроку. Отчет о выполнении домашнего задания дежурных. Запись темы урока (слайд №2) . Сообщение цели урока.
II. Актуализация знаний.
Сообщение темы урока, его целей, эпиграфа.
Устный счет.
В наше сегодняшнее путешествие мы отправимся на поезде. Как и в любое путешествие, нам нужно приобрести посадочный билет. Билетом в поезд будет правильно найденное число, которое надо вставить в последний вагончик вместо x.
Посадочный билет получен, можно в путь.
Рассаживаемся поудобнее, отправление поезда отметим записью сегодняшнего числа и классной работы в тетрадь.
Поезд увозит нас в страну «Новые знания» мимо рек и гор. Впереди тоннель. Завал камней преградил дорогу в тоннель. На одном из них заметны такие слова: «За этим тоннелем находится необычный город, в который нельзя попасть, не узнав его названия. Название города зашифровано примерами. Применяя прием последовательного деления, найдите частные».
245 : 7
224 : 16
450 : 18
315 : 15
160 : 8
350 : 25
420 : 28
Ответы: 35, 14, 25, 21, 20, 14, 15.
Код ответов: заменив частные буквами, вы прочтете название города.
О
К
Д
Я
Р
П
14
15
20
21
25
35
Вот мы и попали в город «Порядок».
Однажды в этом город забрели юные путешественники +, (, :, –, ( ). Они любят играть в прятки. Спрячутся где-нибудь среди чисел – поди-ка, разыщи их. Искать их научится тот, кто разгадает их тайну.
1). Вставь пропущенное число.
Ответ: 12 (от суммы чисел «окон» отнять число «двери», т.е. 5+11-4=12).
2). Какого числа недостает?
Ответ: 10 (сумму чисел «ног» делим на 2, т.е. (14+6):2=10).
Итог: осуществляется проверка заданий (слайд № 4 ) в «карман» оценочного листа записывается полученная оценка
VII.
Логические задачи
1. Сидели на скамеечке 4 девушки: Ольга, Наталья, Людмила и Оксана. Оксана сидела рядом с Ольгой, А Наталья была в синем платье. Людмила была в зеленом. Оксана была не последней. Красное платье Ольги хорошо сочеталось с синим платьем одной из подруг. Платья у девушек были красного, желтого, синего и зеленого цветов. Нарисуйте, в каком порядке сидели девушки, и какого цвета у них были платья. Если можно, дайте несколько вариантов правильных ответов.
2. На столе лежало 5 синих и 7 красных карандашей. Девочка взяла 6 карандашей. Взяла ли она хоть 1 красный карандаш? Докажите (Нарисуйте и
объясните)
.
3. Посмотрите на схему:
Догадайтесь, каких животных мы можем поместить в заштрихованную область нашей схемы. Докажите. Перечислите животных и напишите объяснение.
4. Есть 5 квадратов, выложенных с помощью спичек. Переложите три спички так, чтобы получилось три прямоугольника, и не осталось лишних спичек.
5. У Кати был день рожденья. Вечером должны были прийти гости. Катя с мамой испекли торт и решили заранее порезать его на части, чтобы всем хватило по кусочку, включая Катю и маму. Мама разрезала торт пополам. Катя каждую половину разрезала еще раз пополам. Дальше резать было сложно - торт сыпался, крошился, и она отдала нож маме. Мама каждый кусочек торта разрезала еще на 3 одинаковые части.
Сколько гостей должно было прийти к Кате? Объясните.
6. Найди закономерность в расстановке чисел в квадрате (6 х 6) и заполни пустые клетки.
1
7
13
16
19
22
28
31
34
40
43
49
55
67
70
Ответ: число + 3 = следующее число
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
49
52
55
58
61
64
67
70
VIII.
Сюжетные задачи
1. Гном Путалка идёт к клетке с тигром. Каждый раз, когда он делает два шага вперёд, тигр рычит, и гном отступает на шаг назад. За какое время он дойдёт до клетки, если до неё 5 шагов, а 1 шаг Путалка делает за 1 секунду?
2. Гном Забывалка учился писать цифры заострённой палочкой на песке. Только он успел нарисовать 5 цифр:
12345
как увидел большую собаку, испугался и убежал. Вскоре в это место пришёл другой гном Путалка. Он тоже взял палочку и начертил вот что:
12345 = 60
Вставь между цифрами плюсы таким образом, что получившийся пример был решён правильно.
3. Какую отметку впервые в жизни получил по математике Фома, если известно, что она является числом не простым, а составным?
4. Сколько лет сиднем просидел на печи Илья Муромец? Известно, что если бы он просидел ещё 2 раза по столько, то его возраст составил бы наибольшее двузначное число.
5. Барон Мюнхгаузен пересчитал число волшебных волос в бороде старика Хоттабыча. Оно оказалось равным сумме наименьшего трёхзначного числа и наибольшего двузначного. Что это за число?
6. Раздели самое маленькое четырёхзначное число на наименьшее простое и узнаешь, сколько лет не умывалась и не чистила зубы злая волшебница Гингема из повести-сказки А. Волкова "Волшебник Изумрудного города".
IX.
Зачеркивание, превращение, отгадывание чисел
1. Угадай число от 1 до 28, если в его написание не входят цифры 1, 5 и 7; кроме того, оно нечётное и не делится на 3.
2. Отгадай число от 1 до 58, если в его написание не входят цифры 1, 2 и 3; кроме того, оно нечётное и не делится на 3, 5 и 7.
3. Преврати в числе 123 одну цифру в пятёрку так, чтобы получившееся число делилось на 9. Каково оно?
4. Вычти из произвольного двузначного числа сумму его цифр. Всегда ли разность разделится на 3? А на 9?
X.
Математические фокусы
1. Напиши такое трёхзначное число, чтобы первая цифра была по крайней мере на 2 больше, чем третья. Например: 311. Запиши его цифрами в обратном порядке: 113. Из первого вычти второе: получится 198. Это число снова напиши наоборот: 891. И два последние числа сложи.
891 + 198 = 1089
Удивительное дело: какие бы числа мы ни брали, в ответе всегда будет 1089!
Теперь предложи провести все эти действия с числами кому-то из друзей. Представляешь, как он удивится, когда ты, не спрашивая у него, сколько получилось в результате (как это бывает в других математических фокусах), сам назовёшь ответ! Для эффекта можешь сообщить его не сразу, а через несколько секунд, как бы что-то подсчитывая в уме.
Почему так происходит?
2. Попроси товарища задумать какое-нибудь двузначное число, вычесть из него сумму его цифр, зачеркнуть в полученном результате одну цифру и сообщить, какое число осталось. После этого ты тотчас скажешь, какая цифра зачёркнута! Для этого ты всего-навсего из 9 вычтешь оставшееся однозначное число.
Пример: 97 – 16 = 81, 8 зачёркивается и друг говорит, что осталось 1. Ты выполняешь в уме вычитание и получаешь в результате зачёркнутую цифру:
9 – 1 = 8.
Почему так происходит?
Заключение
Работая по любому учебнику, учитель может проявлять творческий подход к обучению учащихся, совершенствовать образовательный процесс, учить мыслить. Необходимо систематически использовать на уроках задачи, способствующие формированию у учащихся познавательного интереса и наблюдательности. Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач, с помощью специально подобранных упражнений, учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями и делать соответствующие выводы.
Логическое мышление развивается интенсивнее, если создавать на уроках атмосферу уважения, поощрять инициативу и стимулировать творчество учащихся. Системное развитие логического мышления должно быть неотрывно от урока, каждый ученик должен принимать участие в процессе решения не только стандартных заданий, но и заданий развивающего характера (активно или пассивно).
Существенно важно, чтобы учитель математики, школьный учебник демонстрировали подлинные образцы культуры мышления. Ведь учащиеся в своей мыслительной деятельности естественно подражают учителю, учебнику. И если учитель допускает погрешности в логике изложения, в обосновании, то конечно, трудно ожидать от учащихся высокой культуры мышления.
Литература
Асеев Г.Г., Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретная математика: Учебное пособие. - Ростов н/Д: Феникс, Харьков: Торсинг, 2008. - 144 с.
Березина Л.Ю. Графы и их применение.-М., Просвещение, 1979.-143 с.
Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990 - 128 с.
Канин Е.С. К изучению соответствия и функции в VI классе // Математика в школе. - 2009. - №5.
Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. и другие. Методика преподавания математики. - М.: Просвещение, 1977.
Мельников О.И. Графы в обучении математике // Математика в школе. - 2003. - №8.
Мешкова И.А. Графовая модель поиска рационального решения // Математика в школе - 2007. - №1.
Оре О. Теория графов. М., Наука, 1968. - 352 с.
Пойа Д. Математическое открытие. - М.: Наука, 1970.
Столяр А.А. Методы обучения математике. - Минск: Высшая школа, 1966.
Фридман Л.М., Турецкий Е.Н., Стеценко В.Я. Как научиться решать задачи. - М.: Просвещение, 1979.
Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. - М.: Просвещение, 1983.
13 PAGE \* MERGEFORMAT 144115
15
10
5
50
30
x
9 4 7 11 19 3 8 6 2, 1, 4, 3, 6, 5 ...Arial BlackРисунок 20Рисунок 22Рисунок 1 Заголовок 215