Методическая разработка открытого занятия по теме: Локальные экстремумы функции двух переменных

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
АМВРОСІЇВСЬКИЙ ІНДУСТРІАЛЬНИЙ ТЕХНІКУМ
МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА
відкритого заняття
ЛОКАЛЬНІ ЕКСТРЕМУМИ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ
з дисципліни
ВИЩА МАТЕМАТИКА
Спеціальність 5.03050901 "Бухгалтерський облік"
2012
Методична розробка відкритого заняття з дисципліни Вища математика
Підготувала Кожем’як Т.О. — викладач Амвросіївського індустріального технікуму — 2012.
Викладено методику проведення лекційного заняття з використанням інтерактивних форм навчання з теми Локальні екстремуми функції двох змінних
Для викладачів вищої математики вищих навчальних закладів 1-2 рівнів акредитації.
Рецензенти: Войшель В.М. — голова регіонального об’єднання викладачів математики, викладач Шахтарського технікуму ДонНУЕТЛихачова Т.О — методист технікуму, викладач вищої категорії Амвросіївського індустріального технікуму
Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії природничо-наукових дисциплін (протокол № 6 від 08.01.2012)
ЗМІСТ
Передмова……………………………………………………………. 4
План проведення відкритого заняття……………………………… 6
План – конспект заняття……………………………………………. 8
Розгорнутий хід заняття…………………………………………….. 10
Додатки: Додаток А Текст лекції "Локальні екстремуми функції двох змінних"………………………………………………… 18
Додаток Б Приклади задач економічного характеру……………... 23
Додаток В Економічний словник…………………………………... 26
Додаток Д Мультимедійний супровід лекційного заняття………. 27
Додаток Е Творчі роботи студентів………………………………...
ПЕРЕДМОВА
Загальновідомо, що наочність є одним із основних методів дидактики. Наразі традиційним способом викладання теоретичної інформації є лекція з використанням дошки та крейди. Не є секретом той факт, що такому методу властиві певні недоліки, наприклад, не завжди виправдані витрати часу на написання складних формул, виконання рисунків, їх недосконалість тощо. Потрібно також враховувати, що певна частина студентської аудиторії просто автоматично фіксує поданий викладачем матеріал, нехтуючи його логічним зв’язком з поясненнями. Як наслідок, це може призвести до послаблення і так не завжди міцного зв’язку між викладеною та сприйнятою інформацією.
Разом з тим, основною формою навчання у вищому навчальному закладі все ж залишається лекція, незважаючи на її гостру критику як пасивної форми навчання.
Сьогодні інтенсивно впроваджується інтерактивне, або взаємодіюче, навчання, яке забезпечує найкраще запам’ятовування з точки зору фізіології нервової системи. Незаперечним є той факт, що по своїй суті використання інтерактивних методів навчання стосується групових (семінарських, практичних, лабораторних) занять.
Логічно постають запитання:
– чи може лекція бути інтерактивною?
– чи повинна лекція бути інтерактивною?
Лекційні заняття спрямовані на ознайомлення студентів з великим обсягом матеріалу з метою подальшого розгляду і засвоєння. Сам процес закріплення знань, формування вмінь та навичок практичного використання навчального матеріалу відбувається не на лекції, а за умови подальшої роботи над навчальним матеріалом викладеним під час неї.
Сучасна лекція не може передбачати докладне надання інформації під запис. Вона може реалізувати поставлені задачі лише через виокремлення основних положень теми та орієнтації на самостійне опрацювання. А це означає, що головними завданнями лекції є:
– доведення до студентської аудиторії необхідності розгляду презентованого матеріалу і зацікавлення у навчальному матеріалі теми;
– розкриття головних положень теми;
– спрямування на опрацювання основних положень теми;
– попереднє закріплення в пам’яті наданої інформації;
– подачу завдань до підготовки до групових занять
Якою ж може бути нетрадиційна лекція?
Мета написання даної методичної розробки:
– показати, що використання інтерактивних методів навчання у навчально-виховному процесі вищої школи може стати базисом розвитку пізнавальної активності студентів під час проведення лекційних занять;
– ознайомити викладачів з методикою проведення лекції із застосуванням техніки зворотного зв’язку (інтерактивної лекції) як за допомогою звичайних вербальних (словесних) засобів, так і за допомогою технічних засобів навчання у спеціально обладнаних аудиторіях.

ПЛАН
проведення відкритого заняття
з дисципліни Вища математика
Дата проведення: 08.02.2012 р.Група: БО – 27
Тема: Локальні екстремуми функції двох змінних
Мета заняття:
Методична:
показати методику проведення лекції із застосуванням техніки зворотного зв’язку як за допомогою звичайних вербальних засобів, так і за допомогою технічних засобів навчання.
Дидактична:
систематизувати, розширити і поглибити знання про функцію двох змінних;
засвоїти необхідну і достатні умови існування екстремуму функції двох змінних;
формувати вміння використовувати алгоритм дослідження функції двох змінних на екстремум;
провести аналогію між дослідженням на екстремум функції однієї змінної та функції двох змінних.
Виховна:
спонукати до пізнавальної, творчої діяльності;
виховувати уважність, допитливість, самовпевненість, внутрішню дисциплінованість; вміння організувати себе, приймати рішення;
сприяти розвитку уміння порівнювати, узагальнювати, класифікувати, аналізувати, робити висновки
сприяти розвитку пізнавальних інтересів, орієнтованих на обрану спеціальність;
Вид заняття: лекція
Тип заняття: інструктивна лекція-діалог
Методи та форми проведення заняття:
словесні: пояснення, розповідь з використанням мультимедійної презентації, евристична бесіда, робота з термінологічним словником, повідомлення студентів
наочні: демонстрація мультимедійних презентацій
практичні: розв’язування задач.
Міждисциплінарні зв’язки:
забезпечуючі:
математика, інформатика, економіка
забезпечувані:
економіка, економічний аналіз, мікроекономіка
Технічні засоби навчання:
комп’ютер;
мультимедійний проектор;
інтерактивна дошка
Методичне забезпечення:
методична розробка заняття;
мультимедійна презентація;
роздруковані слайди презентації;
опорний конспект лекційного матеріалу
Використані джерела інформації:
М.В. Грисенко Математика для економістів. Навчальний посібник –К.: Либідь, 2007.
В.Г. Кривуца, В.В. Барковський, Н.В. Барковська. Вища математика. Практикум: Навч. посібник. — Київ: Центр навчальної літератури, 2005.
В.П. Дубовик, І.І. Юрик. Вища математика. Навч. посібник. К.: Вища школа, 1993.
План-конспект заняття
Елементи заняття, їх тривалість Елементи заняття, навчальні питання Форми і методи навчання, зауваження
Попередня організація (3') Привітання, перевірка присутності студентів
Перевірка підготовки аудиторії і студентів до заняття.
Перевірка виконання домашнього завдання Діалог зі студентами
Мотивація навчальної діяльності (7') Студентам пропонується розглянути задачу багаторесурсної фірми "Відстрочена задача"
Повідомлення теми, цілей заняття та очікуваних навчальних результатів (3') Тема: Локальні екстремуми функції двох змінних
План:
1 Точки локального екстремуму
2 Необхідні умови локального екстремуму
3 Достатні умови локального екстремуму
4 Алгоритм дослідження функції двох змінних на екстремум
5 Дослідження функції двох змінних на екстремум
Цілі заняття:
формувати навички дослідження функції двох змінних на екстремум;
розвивати вміння узагальнювати, аналізувати, чітко використовувати теоретичний матеріал при виконанні практичних завдань.
Очікувані навчальні результати:
знати необхідну і достатню умови існування екстремуму;
відтворювати алгоритм дослідження функції двох змінних на екстремум;
використовувати алгоритм в процесі розв’язування задач. Запис у зошиті теми заняття
Користуючись планом студенти формулюють очікувані результати навчальної діяльності
Актуалізація та корекція опорних знань (7') Відповіді на контрольні питання:
1 Якими способами можна розв’язувати системи двох рівнянь з двома невідомими?
2 Які існують похідні другого порядку для функції двох змінних? Як їх знайти?
3 Яка необхідна умова існування екстремуму функції однієї змінної?
4 Дайте визначення критичних точок функції однієї змінної
5 Сформулюйте необхідну умову максимуму, мінімуму функції однієї змінної
6 Сформулюйте алгоритм дослідження на екстремум функції однієї змінної
Усні вправи на відшукання частинних похідних:
; ;
; Методичний прийом "Обговорення проблеми в загальному колі"
Вивчення нового матеріалу (30') 1 Точки локального екстремуму
Визначення точок максимуму та точок мінімуму функції двох змінних.
Приклади поверхонь, які б мали екстремуми. Повідомлення студентів
Демонстрація слайдів
2 Необхідні умови локального екстремуму
Дати визначення критичних точок функції двох змінних та сформулювати необхідну умову існування екстремуму.
Провести аналогію з функцією однієї змінної.
Практичне завдання: Знайти стаціонарні точки функції . Колективна робота викладача і студентів
Демонстрація слайдів
3 Достатні умови локального екстремуму
Сформулювати достатні умови існування екстремуму функції двох змінних Пояснення викладача
Демонстрація слайдів
4 Алгоритм дослідження функції двох змінних на екстремум
"Відкрити" алгоритм дослідження функції двох змінних на екстремум Висновки студентів
Закріплення матеріалу (23') Практичне завдання: Дослідити на локальний екстремум функцію .
Усна рефлексія Вправу по діям розв’язують студенти
Робота з економічними термінами: доход, витрати, прибуток фірми "Мікрофон"
Пояснення розв’язку задач:
– про прибуток багаторесурсної фірми;
– про використання частинних похідних до аналізу бізнесу Доповіді студентів з мультимедійним супроводом
Підведення підсумків заняття (5') Підбити підсумок засвоєння знань,
Оцінити результати роботи студентів Усна рефлексія Оголошення оцінок
Видача завдання для самостійної роботи (2') Індивідуальні варіанти завдань для обов’язкового домашнього завдання на тему "Частинні похідні першого і другого порядку функції двох змінних. Дослідження функції двох змінних на екстремум"
Теорія: М.В. Грисенко, стор. 426-429 Картки з індивідуальними завданнями

РОЗГОРНУТИЙ ХІД ЗАНЯТТЯ
Попередня організація
Мета: забезпечити сприятливі зовнішні умови для роботи та психологічно підготувати студентів до сприйняття навчального матеріалу
Вітаюсь із студентами. Добрий день. Сьогодні на нашому уроці є гості (представляю присутніх). Я гадаю, що ми будемо чемними господарями і наші гості залишаться задоволеними результатами нашої співпраці. Посміхніться мені, посміхніться один одному, заняття почнемо в гарному настрої. Я бажаю всім плідної роботи. Пам’ятайте, американський математик Айвен Нівен (до речі, йому зараз 96 років) говорив: "Математику не можна вивчати, спостерігаючи, як це робить сусід!"
Перевіряю наявність усіх студентів на занятті, з’ясовую причини відсутності;
Уточнюю, чи готові студенти до роботи на занятті, чи все необхідне є на робочих столах;
Перевіряю, чи всі студенти виконали домашнє завдання з допомогою сигнальних карток.
Зелена картка — завдання виконав, готовий відповідати;
Червона картка — до уроку не готовий.
Уточнюю, які питання виникли у студентів при підготовці до уроку, в разі необхідності відповідаю на них.
Роблю висновок щодо готовності студентів до заняття
Мотивація навчальної діяльності
Мета: сфокусувати увагу студентів на проблемі та викликати інтерес до обговорюваної теми.
Повідомляю студентам тему заняття: Локальні екстремуми функції двох змінних. Пропоную записати тему заняття в зошитах.
Мотивацію реалізую через прийом, який можна назвати "відстроченою задачею", який дозволяє сформульовану на початку уроку виробничу задачу розв’язати на уроці під час роботи над новим матеріалом.
Нагадую студентам, що одним з домашніх завдань на вибір було: Знайти підтвердження того, що на уроках вищої математики слід розглянути питання про відшукання екстремальних значень функції кількох змінних. Зголосились пояснити необхідність вивчення теми сьогоднішнього заняття кілька студентів.
З опорою на мультимедійний слайд один із студентів пропонує розглянути задачу багаторесурсної фірми.
Підсумовую. Слова відомих людей часто стають афоризмами. Я хочу повторити вислів радянського математика, творця першої великої вітчизняної математичної школи, академіка АН України Дмитра Олександровича Граве, учнем якого був Отто Шмідт:
"Подібно до того, як Архімед, відкривши закон важеля, сказав: "Дайте мені точку опори, і я зрушу Землю", так і Ньютонові сучасники говорили: "Складіть нам диференціальні рівняння усіх рухів у природі і навчіть нас їх інтегрувати, тоді ми будемо подібні до Бога, бо за допомогою обчислень точно знатимемо майбутні події".
Це він сказав про те, що методи математики нестримно проникають в інші науки, збагачуючи їх пізнавальні можливості. Отже, цілком природно, що нині головним інструментом дослідження й прогнозування економічних явищ стала математична модель. Завдяки сучасним комп’ютерним технологіям аналітичні та евристичні можливості математичного моделювання практично безмежні. Проте скористатися ними повною мірою вдається лише тим фахівцям, які на змістовному рівні вільно володіють математичною теорією.
Ви — діти розумні, і я гадаю, що не одному із вас в майбутній професійній діяльності знадобиться знання математичної теорії. І задачу багаторесурсної фірми, яку ви щойно почули, ми спробуємо сьогодні розв’язати після вивчення нового матеріалу.
Повідомлення завдань, що стоять перед студентами в ході опанування навчального матеріалу.
Мета: допомогти студентам сконцентрувати увагу на темі лекції, спланувати свою діяльність відповідно до її структури.
Звертаю увагу студентів на план заняття, який роздрукований і знаходиться на кожному столі. Пропоную студентам, користуючись планом, самостійно сформулювати очікувані навчальні результати у вигляді фрази, яка починається зі слів: "Після цього заняття я зможу..."
Формулюю цілі заняття:
– формувати навички дослідження функції двох змінних на екстремум;
– розвивати вміння узагальнювати, аналізувати, чітко використовувати теоретичний матеріал при виконанні практичних завдань.
Попереджаю студентів, що досягнуті результати будуть оцінені, пояснюю порядок оцінювання.
Актуалізація та корекція опорних знань
Мета: пробудити у студентів знання, необхідні для засвоєння нового, програмного матеріалу.
Для проведення актуалізації використовую інтерактивну технологію, що передбачає фронтальну роботу всієї групи — обговорення проблеми в загальному колі. Вся група обговорює ідеї, що стосуються теми "Порядок дослідження на екстремум функції однієї змінної". Студенти висловлюються за бажанням. Обговорення триває доти, доки є бажаючі висловитись. Заохочую всіх учасників до висловлення своїх ідей.
Пропоную студентам дати відповіді на питання:
1 Як використовується похідна при дослідженні функцій? (З допомогою похідної можна дослідити функцію на монотонність, знайти екстремуми, найбільше та найменше значення функції.)
2 Які точки називають критичними? (Точки, які належить області визначення функції і в яких перша похідна не існує або дорівнює нулю.)
3 Як з допомогою похідної дослідити функцію на екстремум? (Треба знайти критичні точки, поділити ними область визначення функції на інтервали та визначити знак похідної на кожному із інтервалів)
4 Яка необхідна умова існування екстремуму функції? (Точкою екстремуму може бути тільки критична точка, тобто точка, яка належить області визначення і в якій перша похідна не існує або дорівнює нулю.)
5 Сформулюйте достатні умови існування максимуму. (Критична точка є точкою максимуму, якщо при переході через цю точку знак похідної змінився з "+" на "–".)
6 Сформулюйте достатні умови існування мінімуму. (Критична точка є точкою мінімуму, якщо при переході через цю точку знак похідної змінився з "–" на "+".)
7 Які похідні першого порядку функції двох змінних визнаєте? (Функція двох змінних має дві похідні першого порядку, називаються вони частинними похідними по кожному з аргументів)
8 Дайте визначення частинної похідної функції двох змінних по одному з аргументів. (Похідна від функції по аргументу х, обчислена за умови, що аргумент у є величиною сталою, називається частинною похідною функції z по аргументу х.)
9 Які особливості відшукання частинних похідних функції двох змінних? (При відшуканні частинної похідної по одному з аргументів, інший аргумент вважають величиною сталою, всі правила і формули диференціювання функції двох змінних залишаються такими ж, як і для функції однієї змінної)
10 Усно знайдіть частинні похідні функції двох змінних по кожному з аргументів:




Підсумовую результати колективної роботи всієї групи. При необхідності втручаюсь в хід обговорення.
Пропоную переглянути творче домашнє завдання про графічне зображення функції двох змінних, підготовлене одним із студентів.
Вивчення нового матеріалу
Мета: дати студентам достатньо інформації для того, щоб на її основі вони могли виконати практичні завдання.
1 Точки локального екстремуму.
Питання до студентів:
– Дайте визначення точки максимуму (точки мінімуму) функції однієї змінної. (Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо існує такий окіл точки , для усіх точок якого виконується нерівність .)
Демонструю слайди і даю визначення екстремальних точок для функції двох змінних. Пропоную студентам порівняти визначення точок мінімуму і максимуму для функції однієї змінної і функції двох змінних. Записати визначення точок екстремуму в зошитах пропоную студентам дома самостійно.
Питання до студентів:
– поняття екстремуму функції має локальний характер. Як ви це розумієте? (Наявність екстремуму функції в точці залежить тільки від поведінки функції поблизу цієї точки, тобто мінімум функції в деяких точках може бути більшим за максимум цієї ж функції в інших точках)
2 Необхідні умови локального екстремуму.
Питання до студентів:
– згадайте ще раз необхідну умову існування екстремуму функції однієї змінної. (Точкою екстремуму може бути тільки критична точка, тобто точка, яка належить області визначення та в якій похідна дорівнює нулю або не існує).
– як ви гадаєте, яка умова повинна обов’язково виконуватись в разі, якщо точка є точкою екстремуму функції двох змінних ? (кожна частинна похідна в цій точці дорівнює нулю)
Формулюю необхідну умову існування екстремуму та пропоную записати її в зошитах. Наголошую, що точки, в яких обидві частинні похідні функції двох змінних дорівнюють нулю, називають стаціонарними точками.
Питання до студентів:
– сформулюйте алгоритм відшукання стаціонарних точок функції двох змінних. (Знайти обидві частинні похідні, прирівняти кожну з них до нуля, скласти і розв’язати систему рівнянь. Розв’язок системи — це координати стаціонарної точки);
– які ви знаєте способи розв’язування систем рівнянь? (найчастіше використовуються спосіб додавання і спосіб підстановки).
Пропоную розв’язати коло дошки і в зошитах приклад 1: Знайти стаціонарні точки функції
Звертаю увагу студентів на той факт, що критичні точки — це точки тільки підозрілі на екстремум, але екстремуму в них може і не бути.
3 Достатні умови локального екстремуму
Формулюю достатні умови існування екстремуму функції двох змінних, студенти записують їх в конспектах.
4 Алгоритм дослідження функції двох змінних на екстремум
Пропоную студентам самостійно визначити алгоритм дослідження функції двох змінних на екстремум, користуючись необхідною и достатніми умовами. (Запис послідовності дій зробити дома самостійно)
Закріплення матеріалу
Мета: допомогти студентам краще запам’ятати новий матеріал, сприяти міцності засвоєння знань.
Розв’язати коло дошки і в зошитах приклад 2: Дослідити на локальний екстремум функцію .
До розв’язування залучаються два студенти: перший — шукає стаціонарні точки, другий — перевіряє виконання достатніх умов.
Пропоную зробити аналіз розв’язаної задачі. Використовую прийом усної рефлексії "Підіб’ємо підсумки". Пропоную студентам продовжити фрази:
при розв’язуванні задачі використовували знання….
при розв’язуванні задачі знадобились вміння….
Пропоную згадати задачу з домашнього завдання про багаторесурсну фірму і пояснити принцип її розв’язання з точки зору математики. Щоб спростити сприйняття задачі економічного характеру, проводжу роботу з економічним словником.
Робота з економічним словником. Питання до студентів:
– Дайте визначення доходу фірми (Доходом R фірми за певний період часу (наприклад, у певному році) називають добуток загального обсягу продукції , що випускається, на (ринкову) ціну цієї продукції.)
– Дайте визначення витрат фірми (Витратами С фірми називають її загальні витрати за певний інтервал часу, тобто .)
– Поясніть позначення: , , …, та , , … . (, , …, — обсяги ресурсів, які використовує фірма; , , … — ринкові ціни на ці ресурси)
– Дайте визначення прибутку фірми (Прибутком Р фірми за певний інтервал часу називають різницю між одержаним нею доходом та витратами виробництва.)
Розбір задач економічного характер:.
– про прибуток багаторесурсної фірми;
– про використання частинних похідних до аналізу бізнесу.
Мультимедійні презентації розв’язання задач підготували студенти як творче домашнє завдання (використовується прийом випереджального навчання)
Рефлексія результатів
Мета: усвідомлення отриманих результатів.
Використовую прийом усної рефлексії "Підіб'ємо підсумки".
Це промовляння за такою схемою:
На уроці я...
– дізналась...
– зрозуміла...
– навчилась...
– найбільший мій успіх – це...
– найбільші труднощі я відчула...
– я не вміла, а тепер умію...
– на наступному уроці я хочу...
Підсумки заняття
Мета: підбити підсумок засвоєння знань і встановити зв’язок між тим, що відомо і тим, що повинно вдосконалюватись в майбутньому.
Підвожу підсумки усної рефлексії. Звертаю увагу на те, що всі питання плану лекційного заняття вже розглянуті.
Аналізую роботу групи, рівень активності студентів.
Оцінюю результати роботи студентів.
Завдання для самостійної роботи.
Користуючись підручником М.В. Грисенко, стор. 426-429 або конспектом лекції, записати в робочих зошитах визначення точок екстремуму функції двох змінних та алгоритм дослідження функції двох змінних на екстремум.
Згідно з індивідуальними завданнями виконати обов’язкове домашнє завдання №3 "Частинні похідні першого і другого порядку функції двох змінних. Дослідження функції двох змінних на екстремум" Термін виконання ОДЗ — 1 тиждень.
Дякую за співпрацю.