Урок в 10 классе Функция y=arccos x по алгебре и началам анализа, профильный уровень, автор А.Г. Мордкович
Урок в 10 классе «Функция y=arccos x».
Алгебра и начала анализа, профильный уровень, автор А. Г. Мордкович
Разработала учитель математики МБОУ Суземской СОШ №2 Романенкова В. М.
Цель урока:
1) ввести определение функции y=arccos x.
2) рассмотреть свойства функции y= arccos x.
3) ввести определение арккосинуса числа и его свойства.
Ход урока.
Мотивация урока.
Сегодня на уроке мы познакомимся с ещё одним видом обратных тригонометрических функций.
Какую обратную функцию изучим? y=arccos x.
Актуализация значений по функции y=cos x и её свойствам и теореме об обратной функции.
На экране график функции y=cos x
1) График какой функции на экране? y=cos x
2) Вспомните свойство монотонности функции y=cos x.
Функция y=cos x монотонно возрастает на [-
·; 0], монотонно убывает на [0;
·], монотонно возрастает на [
·; 2
·] и т.д. и принимает все значения от -1 до 1.
3) Что мы имеем по теореме об обратной функции?
Если функция y=f(x) монотонна на множестве x, то она обратима.
Введение определения функции y=arccos x (абстрактно-дедуктивный метод).
На каждом из промежутков функция y=cos x имеет обратную функцию. Среди них предпочтение отдают одной функции, обратной к функции y=cos x, x
·[0;
·]. Её обозначают x=arccos y. Поменяв местами x и y, пишут: y=arccos x.
Итак: y=arccos x – это функция, обратная к функции y=cos x, x
·[0;
·].
4) Вспомните, как получить график функции y=f^-1(x), обратной по отношению к функции y=f(x)?
Надо график функции y=f(x) преобразовать симметрично относительно прямой y=x.
5) Постройте в тетрадях график функции y=cos x на [0;
·], симметрично отобразите его относительно прямой y=x и вы получите график функции y=arccos x, x
·[0;
·].
На экране появляется образец построения.
Свойства функции.
Продолжите самостоятельно заполнение таблицы, которую начали на прошлом уроке.
Внесите в таблицу самостоятельно свойства функции y=arccos x.
D(f)
E(f)
нечётная, чётная
возрастает, убывает
непрерывность
y=arcsin x x
·[-
·/2;
·/2]
[-1;1]
[-
·/2;
·/2]
нечётная
возрастает
непрерывна
y=arccos x x
·[0;
·]
[-1;1]
[0;
·]
ни чётная, ни нечётная
убывает
непрерывна
y=arctg x x
·(-
·/2;
·/2)
y=arcctg x x
·(0;
·)
На экране образец заполнения таблицы.
Формирование понятия арккосинуса числа.
Осуществим переход от функции y=arccos x, x
·[0;
·] к понятию арккосинуса числа.
На экране запись: y=arccos x, x=cos y, 0
·y
·
·
cos(arccos x)=x, 0
·arccos x
·
·
Что называется arccos a?
Если |a|
·1, то arccos a – это такое число из отрезка [0;
·], косинус которого равен a.
Введите понятие arccos a. На экране:
На экране геометрическая иллюстрация.
если |a|
·1, то
arccos a=t<=>{cos t=a, 0
·t
·
·
cos (arccos a) =a.
Свойство arccos a.
Для любого a
·[-1;1] верно arccos a + arccos (-a) =
·.
Доказательство
Пусть a>0.
На чертеже: arccos a – длина дуги AM; arccos (-a) – длина дуги AP. Дуги AM и PC симметричны относительно вертикального диаметра окружности, значит, длины этих дуг равны.
arccos a + arccos (-a) = AM + AP = PC + AP = AC =
·;
arccos (-a) =
· – arccos a, где 0
·a
·1
Усвоение определений.
Задания на «да» и «нет» на доске.
условие
arccos a=t
|a|
·1
cos t=a
0
·t
·
·
Вывод
arccos 1/2=
·/3
+
+
+
да
arccos (-
·2/2)=3
·/4
+
+
+
да
arccos 0=
·
+
–
+
нет
arccos 1=0
+
+
+
да
Подведение итогов.
С какими новыми понятиями вы сегодня познакомились?
Дайте определение функции y=arccos x, x
·[0;
·]
Что вы узнали о функции y=arccos x?
С какими ещё новыми понятиями вы познакомились?
Дайте определение arccos a. (повторяются существенные признаки).
Закрепление понятий функции y=arccos x и арккосинуса числа.
Два ученика вызываются к доске. Один решает №21.21 (а; б), второй №21.15 (а; б). Устно №21.22.
Подведение итогов урока.
Что нового узнали?
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Задание на дом. 21 п. 2 №21.21 (в; г), №21.15 (в; г), №
Урок в 10 классе.
Тема: “ Уравнение касательной к графику функции”.
Алгебра и начала анализа (профильный уровень) ; автор А. Г. Мордкович.
Разработала учитель математики МБОУ Суземской СОШ №2 Романенкова В. М.
Цель:
Научиться составлять уравнение касательной к графику функции.
Научиться применять уравнение касательной в нестандартной ситуации.
А.
Тип урока: совершенствование умений.
Ход урока.
Введение алгоритма.
Сегодня на уроке мы продолжим изучать тему «уравнение касательной к графику функции».
Напишите на доске уравнение касательной y=f(a)+f (a)(x-a).
Задание и образец решения на доске.
Составьте уравнение касательной к графику функции y=tg x в точке х=а.
Решение:
X=a ;
F(a)=tg a ;
F (x)=13 EMBED Equation.3 1415 ;
F (a)=13 EMBED Equation.3 1415;
y=tg a(13 EMBED Equation.3 1415).
Чтобы быстро и верно составить уравнение касательной мы выполняем шаги.
Что мы делаем в начале?
Находим абсциссу точки касания;
Что делаем потом?
Находим f(a);
Что делаем дальше?
Находим f (x);
Затем?
Находим f (a);
И как составляли уравнение?
Подставили найденные выражения а; f(x) и f (a) в формулу y=f(a)+f (a)(x-a).
Составьте самостоятельно алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y=f(x).
Алгоритм составления касательной к графику функции:
Найти абсциссу f(x) точки касания: a.
Вычислить f(a);
Найти f (x);
Вычислить f’(a);
Подставить найденные числа a; f(a) и f (a) в формулу y=f(a)=f (a)(x-a)
Усвоение алгоритма.
На доске таблица:
Примеры
Шаг 1 a
Шаг 2 f(a)
Шаг 3 f (x)
Шаг 4 f (a)
Ответ
F(x)=x13 EMBED Equation.3 1415; a=3
3
9
2x
6
Y=9+6(x-3)
F(x)=x13 EMBED Equation.3 1415; a=1
1
1
3x13 EMBED Equation.3 1415
3
Y=1+3(x-1)
F(x)=2-x-x13 EMBED Equation.3 1415; a=0
0
2
-1-3x13 EMBED Equation.3 1415
-1
Y=2-(x-0)
F(x)=x13 EMBED Equation.3 1415-3x+5;
a=1
-1
7
2x-3
-5
Y=7-5(x+1)
F(x)=sin2x; a=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1
2cos2x
0
Y=1+0(x-13 EMBED Equation.3 1415)
F(x)=13 EMBED Equation.3 1415; a=2
2
4
13 EMBED Equation.3 1415
7
Y=4+7(x-2)
F(x)=cos13 EMBED Equation.3 1415; a=0
0
1
-13 EMBED Equation.3 1415sin3x
0
Y=1+0(x-0)
Учащиеся самостоятельно заполняют 1-й столбик. Этот шаг проговаривается вслух. После данного шага проверка на экране.
Затем заполняют 2-й столбик. Второй шаг проговаривается вслух и т.д.
Закрепление умения.
Разработать пример 2.
К графику функции y=13 EMBED Equation.3 1415 провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у=4х-5.
Решение:
Найдем абсциссу точки касания;
K13 EMBED Equation.3 1415=4 , так как искомая касательная параллельна прямой y=4x-5;
K13 EMBED Equation.3 1415=f (a) , значит f (a)=4;
F (x)=x13 EMBED Equation.3 1415;
x13 EMBED Equation.3 1415=4 , т.е. а13 EMBED Equation.3 1415=4; a13 EMBED Equation.3 1415=2; a13 EMBED Equation.3 1415=-2;
f (a13 EMBED Equation.3 1415)=13 EMBED Equation.3 1415; f(a13 EMBED Equation.3 1415)=13 EMBED Equation.3 1415;
f (a13 EMBED Equation.3 1415)= f (a13 EMBED Equation.3 1415)=4;
y=13 EMBED Equation.3 1415; y=4x-13 EMBED Equation.3 1415;
y=-13 EMBED Equation.3 1415+4(x+2); y=4x+13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ : y=4x-13 EMBED Equation.3 1415; y=4x+13 EMBED Equation.3 1415.
Помогают учащиеся № 43.4 (а; б); 43.6 (а; б);
№ 43.7 (а; б); 43.29 (а; б);
№ 43.30 (а; б); 43.31 (а; б).
Самостоятельная работа (обучающая).
1В. 2В.
№43.3 (а); №43.3 (б); Решения на
№43.5 (а); №43.5 (б); обратной стороне
№43.8 (а); №43.8 (б); доски.
№43.15 (а); №43.15 (б);
Домашнее задание: §43; №43.3 (в; г); 43.4(в; г); 43.5 (в; г); 43.14 (в; г); 43. 29(в; г); 43.30 (в; г); 43.31 (в; г).
Подведение итогов. Что узнали на уроке? Чему научились? Где можно применить?
свойства
0
·t
·
·
|a|
·1
свойство arccos (-a) =
=
· – arccos a
число t,
cos t=a
обратная функции y=cos x
название
y=arccos x
arccos a
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native