Презентация по математике Метод вспомогательных объемов (11 класс)

Метод «вспомогательных объёмов».Презентацию подготовила учитель математики МБОУ «Гимназия №2» г. КурчатоваКурской области Татаринова Л.Н. Универсального метода для решения всех задач нет, но существуют приемы, применимые ко многим задачам. Понятие объема мы можем использовать даже при решении тех задач, в формулировках которых отсутствует упоминание объема. Поэтому можно говорить о методе объемов в геометрии.Этот метод редко упоминают в методической и научно-популярной литературе, хотя на олимпиадах и конкурсах, на ЕГЭ часто встречаются задачи, решаемые методом объемов. Отметим, что метод объемов используется при решении задач, в условии которых идет речь о площадях или объемах, и особенную важность имеет в тех, где такого упоминания нет. В последних объем вводится в задачу в качестве вспомогательного элемента.«Идея метода вспомогательного элемента заключается во включении в решение задачи некоторого дополнительного объекта, прямо не фигурирующего в условии, получении с его помощью новых умозаключений и результатов с последующим исключением объекта» Объем треугольной пирамиды можно вычислить разными способами. Методом объемов называют приравнивание двух подходящих выражений для объема, в результате которого удается вычислить искомую величину (расстояние или угол).Для нахождения расстояния от точки до плоскости или при нахождении углов между прямой и плоскостью метод «вспомогательного объёма» во многих случаях оказывается наиболее эффективным. Причём в этом методе нет необходимости строить проекцию прямой на плоскость или проекцию точки, что во многих случаях оказывается очень затруднительным.Этот метод достаточно прост: найти подходящую треугольную пирамиду и провести вычисления. При вычислении объема треугольной пирамиды можно в качестве основания выбрать любую ее грань. Это используется при нахождении расстояния от точки до плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Предположим, что нужно найти расстояние от точки С до плоскости (АDВ).V = 1/3 𝐒𝟏𝐡𝟏 V = 1/3 Sh𝑆1 h1= S h.Из этого соотношения можно найти искомую величину. 𝐒𝟏 h𝐡𝟏 АВСDS Задача №1. В прямоугольном параллелепипеде АВСD𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известны длины ребер АВ=1, AD = 3, A𝐴1= 6. Найти расстояние от точки В до плоскости (АВ1С). Подходящая треугольная пирамида АВС𝐵1.𝑆𝐴𝐵𝐶∙ В𝐵1= 𝑆𝐴𝐵1𝐶∙ x , (1)𝑆𝐴𝐵𝐶 = 32, AC = 2, A𝐵1 = 7, 𝐵1C = 3,По формуле Герона 𝑆𝐴𝐵1𝐶 = 33,2 .Подставляя данные в (1), получаем х = 63 . Ответ: 63 . АВСD𝐷1 А1 С1 В1 3 16  Задача № 2. В правильной четырехугольной пирамиде РАВСD сторона основания равна 2 и высота равна 1. Найдите расстояние от точки D до плоскости (ВСР).Рассмотрим треугольную пирамиду ВСDР. Искомое расстояние d есть высота этой пирамиды, проведенная из вершины D.13𝑆𝐵𝐶𝐷 ∙PO = 13𝑆𝐵𝐶𝑃∙ d. (1)∆ 𝑃𝑂𝑀: РМ = 2, Подставляем в (1): 2 ∙  1=2 d.d = 2.Ответ: 2. РСВАDО12M Задача № 3. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вое ребро SA = 5, а сто­ро­на ос­но­ва­ния AB = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через ребро AB пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC . Угол между прямой и плоскостью. Предположим, что необходимо найти угол между прямой ВС и плоскостью (АВ D). Идея вычисления угла между прямой и плоскостью основана на предварительном вычислении расстояния от точки до плоскости.sin𝜑 = С𝑁𝐵𝐶 ,      С𝑁 – перпендикуляр к плоскости (АВ D). 𝝋 DABCN Задача №4. В прямоугольном параллелепипеде АВСD𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известны длины ребер АВ=1, AD = 3, A𝐴1= 6. Найти угол между прямой В В1 и плоскостью (АВ1С). Расстояние от точки В до плоскости (АВ1С) мы нашли в задаче № 1: ВN = 63 . sin𝜑 = В𝑁𝐵В1 = 63 : 6 = 13 ;𝜑 = arcsin 13 . Ответ:arcsin 13 . АВСD𝐷1 А1 С1 В1 𝝋 N Задача № 5. В правильной четырехугольной призме сторона основания 1, а высота 2. Найдите расстояние от вершины А до плоскости (ВDМ), где М – середина ребра СС1. Пирамида АВDМ: V = 13 ∙ 12 ∙1 ∙1 ∙22 = 212 .V = 13 ∙ 𝑆𝐷𝑀𝐵 ∙𝑥,𝑆𝐷𝑀𝐵 = 22 , x = 0,5.Ответ: 0,5. АВDC𝐴1 𝐵1 C1 𝐷1 M2 11
Источник шаблона: сайт http://pedsovet.su