Разработка урока по теме Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Урок №1

Тема: «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени»
Цели:
Формировать умение решать задачи на движение с помощью систем уравнений второй степени.
Развивать память, внимание и логическое мышление обучающихся при решении различных заданий.
Вырабатывать трудолюбие.
Ход урока
Организационный момент.
Сообщение темы и целей уроков.
Актуализация знаний и умений обучающихся.
Проверка выполнения домашнего задания (разбор нерешенных заданий).
Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.
2. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м2 обнесен изгородью, длина которой равна 184 м. Найдите длину и ширину участка.
В а р и а н т 2
1. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.
2. Прямоугольный участок земли площадью 3250 м2 обнесен изгородью, длина которой равна 230 м. Найдите длину и ширину участка.
Формирование умений и навыков.
Сначала необходимо актуализировать знания обучающихся о решении задач на движение, выделив р я д э т а п о в.
1) Анализ условия:
– Какие объекты рассматриваются в задаче?
– Какое движение описано в задаче (однонаправленное, движение навстречу, по кругу и т. д.)?
– Значения каких величин известны?
2) Выделение процессов, которые описаны в задаче.
3) Выбор неизвестных величин и заполнение таблицы.
4) Составление системы уравнений.
5) Решение системы уравнений.
6) Интерпретация и проверка полученного решения.
Как реализуются описанные этапы, можно разобрать на примере задачи № 472.
Р е ш е н и е
1) В задаче описано движение двух пешеходов навстречу друг другу. Известно расстояние между пунктами и расстояние, которое прошли пешеходы за 4 часа.
2) Выделим два процесса:
– реальное движение пешеходов;
– движение при условии выхода одного из пешеходов на 1 ч раньше.
3) Пусть х км/ч – скорость первого пешехода и у км/ч – скорость второго пешехода.
Заполним две таблицы:
Реальное движение пешеходов Движение с заданным условием
S V t S V t
1-й 4х км х км/ч 4 ч 1-й 20 км х км/ч ч
2-й 4у км у км/ч 4 ч 2-й 20 км у км/ч ч
4) Известно, что расстояние от А до В равно 40 км, поэтому получим уравнение: 4х + 4у = 36. Известно, что при движении с заданным условием первый пешеход был в пути на 1 ч дольше, то есть получим уравнение: = 1.
Составим систему уравнений:

5) Решим ее способом подстановки:

20у – 20 (9 – у) – у (9 – у) = 0;
20у – 180 + 20у – 9у + у2 = 0;
у2 + 31у – 180 = 0;
у1 = 5 х1 = 9 – 5 = 4;
у2 = – 36 (не подходит по смыслу задачи).
6) Получаем скорости пешеходов: 4 км/ч и 5 км/ч.
О т в е т: 4 и 5 км/ч.
Упражнения:
1. № 473, № 547.
2. № 461.
Р е ш е н и е

Пусть х км/ч – скорость первого отряда и у км/ч – скорость второго отряда.
Заполним таблицу:
S V t
1-й отряд 4х км х км/ч 4 ч
2-й отряд 4у км у км/ч 4 ч
Известно, что первый отряд прошел на 4,8 км больше, чем второй. Получим уравнение:
4х – 4у = 4,8.
На рисунке ОА = 4х и ОВ = 4у. По теореме Пифагора, получим уравнение:
(4х)2 + (4у)2 = 242.
Составим систему уравнений:

Решая систему способом подстановки, находим, что х = 4,8 и у = 3,6 (другое решение является отрицательным).
О т в е т: 4,8 и 3,6 км/ч.
Сильным в учебе обучающимся дополнительно выполнить № 548.
Р е ш е н и е
Пусть х км/ч – скорость первого автомобиля, а у км/ч – скорость второго.
В первую таблицу занесем данные о прохождении каждым автомобилем всего пути, а во вторую – об их движении после встречи.
S V t S V t
1-й 90 км х км/ч ч 1-й 1,25х кмх км/ч 1,25 ч
2-й 90 км у км/ч ч 2-й 0,8у кму км/ч 0,8 ч
Поскольку после встречи первый автомобиль приходит в N через 1,25 ч, а второй в М через 0,8 ч, то первый на весь путь тратит на 1,25 – 0,8 = 0,45 ч больше. Получим уравнение:
= 0,45.
После встречи первый автомобиль проходит 1,25х км, а второй – 0,8у км. Получим уравнение:
1,25х + 0,8у = 90.
Составим систему:

Решая эту систему, находим, что х = 40 и у = 50.
О т в е т: 40 км/ч и 50 км/ч.
Итоги урока.
Вопросы обучающимся:
– Опишите различные способы решения систем уравнений второй степени.
– Перечислите этапы решения задач на движение.
– Какие виды движения могут описываться в задаче?
– В чем заключается интерпретация полученного решения?
Домашнее задание: № 462, № 474, д о п о л н и т е л ь н о: № 549.