Развитие функциональной идее в школьном математическом образовании
ФГБОУ ВПО «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»
Факультет физико-математический
Кафедра математики и методики обучения математике
УТВЕРЖДАЮ
И.о. зав. кафедрой
кандидат физ-мат. наук, доцент,
___________________ М. В. Ладошкин
«_____» ______________ 2014
ЗАДАНИЕ НА ДИПЛОМНУЮ РАБОТУ
Студент Сироткин В. А. группа МДМ-110
1.Тема: Развитие функциональной идеи в школьном математическом образовании.
Утверждена по МордГПИ № 2624 от 29.11.14 г.
2. Срок представления к защите: 24.04.2015 г.
3. Исходные данные для дипломной работы: учебно-методические работы (Г. И. Саранцев «Методика обучения математике», Г. И. Саранцев «Упражнения в обучении математике», Л. С. Капкаева «Лекции по теории и методике обучения математике. Частная методика », Саранцев Г. И. «Методическая система обучения предмету как объект исследования», Саранцев Г.И. «Гуманизация и гуманитаризация математического образования», статьи (из журнала «Математика в школе», газеты «Математика» и др.), школьные учебники по математике и т.д.
4. Содержание дипломной работы:
4.1. Введение
4.2. Глава 1. Теоретические аспекты развития функциональной идеи в школьном курсе математики
4.2.1. Понятие и развитие идеи функциональной зависимости в школьном курсе математике
4.2.2. Функциональная пропедевтика в начальном курсе математики
4.2.3. Виды упражнений, направленных на формирование представлений о функциональной зависимости у школьников
4.3. Глава 2. Методика развития функциональной идеи в курсе математического образования средней школы
4.3.1. Методика введения понятий: функции, аргумента, области определения.
4.3.2. Методика изучения линейной, квадратной и кубической функции в VII классе
4.3.3. Методика введения понятия обратной функции и функции вида y=х в VIII классе
4.3.4. Разработка урока для формирования представлений о функциональной зависимости в VIII классе средней школы
4.4. Заключение
4.5. Список использованных источников
Руководитель работы
д.п.н., профессор, член корр. РАО ______________________ Г. И. Саранцев
Задание принял к исполнению__________________________ В. А. Сироткин
Реферат
Дипломная работа содержит 74 страницы, 40 использованных источников.
ФУНКЦИЯ, ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ, АНАЛОГИЯ, ОБОБЩЕНИЕ, ДЕЯТЕЛЬНОСТНЫЙ ПОДХОД, ПОНЯТИЕ, МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЯ.
Объект исследования – педагогические идеи преподавания функциональной зависимости в школе.
Предмет исследования: функциональная пропедевтика на уроках математики в средних классах.
Цель дипломной работы – теоретически выявить и путем опытно-экспериментальной работы разработать комплекс упражнений, направленных на формирование представлений о функциональной зависимости у школьников.
Методы исследования анализ научной и учебно-методической литературы, школьных учебников и школьных уроков.
В ходе исследования проведен анализ современных научно-методических направлений развитие функциональной идеи в школьном математическом образовании, исследовано понятие функциональной зависимости в научно-методической литературе и школьных учебниках, выделены различные приемы и средства обучения учащихся 7-9 классов понятиям в контексте идеи развития функциональной зависимости, разработаны конкретные средства формирования у учащихся понятий различных функций изучаемых в школе и фрагмент конспекта урока.
Степень внедрения – частичная.
Область применения – использование в школьной практике обучения математике учащихся 7-9 классов.
Эффективность – повышение качества знаний учащихся по математике, развитие их личностных качеств.
Содержание
Введение………………………………………………………………....... 6
1 Теоретические аспекты развития функциональной идеи в школьном курсе математики…………………………………………………………... 9
1.1 Понятие и развитие идеи функциональной зависимости в школьном курсе математике………………………………………... 9
1.2 Функциональная пропедевтика в курсе математики…………. 23
1.3 Виды упражнений, направленных на формирование представлений о функциональной зависимости у школьников………......... 36
2 Методика развития функциональной идеи в курсе математического образования средней школы………………………………………………. 41
2.1 Методика введения понятий: функции, аргумента, области определения……………………………………………………………….. 41
2.2 Методика изучения линейной, квадратной и кубической функции в VII классе…………………………………………………... 49
2.3 Методика введения понятия обратной функции и функции вида y=х в VIII классе……………………………………………………… 58
2.4 Разработка урока для формирования представлений о функциональной зависимости в VIII классе средней школы…………….. 52
Заключение…………………………………………………………………. 69
Список использованных источников……………………………………... 72
Введение
Понятие функции является одним из важных понятий математической науки и представляет большую ценность для школьного курса математики. Русский математик и педагог А. Я. Хинчин указывал, что понятие функциональной зависимости должно стать не только одним из важных понятий школьного курса математики, но тем основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии и тригонометрии, вокруг которых группируется всё математическое представление.
В настоящее время появилось много новых школьных учебников по математике. Понятие функциональной зависимости является одним из ведущих в математической науке, поэтому сформированность представлений понятия у школьников представляет важную задачу в целенаправленной деятельности учителя по развитию математического мышления и творческой активности детей. Развитие функциональной идеи предполагает, прежде всего, развитие способности к обнаружению новых связей, овладению общими учебными приемами и умениями.
Формирование представления о функциональной зависимости способствует формированию мыслительных операций и воспитанию интеллектуальных качеств личности. Направления подобной работы выражаются в характере задач, предлагаемых учащимся. Материал математического курса содержит достаточное количество примеров, на которых можно разъяснить зависимость одной величины от другой. К ним, в частности, относятся: задачи на составление и решение уравнений, оптимизационные и комбинаторные задачи, задачи с величинами, находящимися в прямой и обратной зависимости, задачи с использованием таблиц, задачи с недостающими данными, задания на нахождения числовой зависимости и т.д.
Все это и обусловило актуальность темы исследования.
Объект исследования – педагогические идеи преподавания функциональной зависимости в школе.
Предмет исследования: функциональная пропедевтика на уроках математики в средних классах.
Цель дипломной работы – теоретически выявить и путем опытно-экспериментальной работы разработать комплекс упражнений, направленных на формирование представлений о функциональной зависимости у школьников.
Задачи дипломной работы:
рассмотреть понятие функциональной идеи, ее становление и развитие в школьном курсе математике;
рассмотреть отдельные упражнения, направленные на формирование представлений учащихся об идеи функциональной зависимости;
исследование различных методик формирования представлений о функциональной зависимости у школьников средних классов;
разработка урока, направленного на формирование представлений о развитии функциональной зависимости школьников XIIIкласса.
В качестве теоретической базы работы выступили труды отечественных ученых, публикации, статьи и учебные пособия.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: анализ педагогической, методической, научно-методической литературы и документов по проблемам формирования представления функциональной зависимости; анализ изучения функционального материала в теории и практике обучения математике в средней школе.
Научная новизна исследования состоит в том, что представления о функциональной зависимости у школьников средней школы рассматриваются как самостоятельная исследовательская проблема; экспериментально проверена эффективность комплекса упражнений, направленных на формирование представлений о функциональной зависимости у школьников.
Теоретическая значимость работы заключается в том, что в ней сделана попытка обобщить теоретический материал, касающийся проблемы преподавания идеи функциональной зависимости в школе.
Практическая значимость заключается в том, что выводы и результаты дипломной работы могут быть использованы в учебно-воспитательном процессе общеобразовательных учреждений.
1 Теоретические аспекты развития функциональной идеи в школьном курсе математики
1.1 Понятие и развитие идеи функциональной зависимости в школьном курсе математики
Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.
Те вавилонские ученые, которые 45 тысяч лет назад нашли для площади S круга радиусом r формулу S=3r2 (грубо приближенную), тем самым установили, пусть и не сознательно, что площадь круга является функцией от его радиуса. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиеся вавилонянами, представляют собой задания функции [13, с. 117].
Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. В «Геометрии» Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых функции от абсцисс (х); путь и скорость функции от времени (t) и тому подобное [13, с. 117].
Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения формулы.
Слово «функция» (от латинского functio совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от х» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли; начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа» (постоянная). Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак х, называя характеристикой функции, а также буквы х или ; Лейбниц употреблял х1, х2 вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначал через f : х, f : (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f (x), f (x + y). Наряду с Эйлер предлагает пользоваться и буквами , и прочими. Даламбер делает шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие; он пишет, например, t, (t + s) [2, с. 109].
Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных» [2, с. 44].
Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался этого определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математической науки. В некоторых своих произведениях Л. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную «свободным влечением руки». В связи с таким взглядом Л. Эйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередь его постоянным соперником, крупным французским математиком Даламбером, возникла большая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения произвольной кривой и о том, какое из двух понятий (кривая или формула) следует считать более широким. Так возник знаменитый спор, связанный с исследованием колебаний струны [19, с. 123].
В «Дифференциальном исчислении», вышедшем в свет в 1755 г., Л. Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых». «Это наименование, продолжает далее Эйлер, имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других». На основе этого определения Эйлера французский математик С. Ф. Лакруа в своем «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению», опубликованном в 1797 г., смог записать следующее: «Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому» [2, с. 112].
Как видно из этих определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики в XIX в. вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.
Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (17681830), занимавшийся в основном математической физикой. В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг., работах по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.
Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем «Курсе алгебраического анализа», опубликованном в 1821 г., французский математик О. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции [2, с. 47].
В 1834 г. в работе «Об исчезании тригонометрических строк»Н. И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 г., писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе» [20, с. 110].
Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: «у есть функция переменной х (на отрезке a х b), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами» [14, с. 332].
Таким образом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функции делается на идею соответствия.
Во второй половине XIX в. после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия, была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у = f (х), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы у множества В значениями функции; во втором случае х прообразы, у образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений х, которые, возможно, и не заполняют отрезка a x b, о котором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал y = n , заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании (отображении) мы имеем дело с функцией.
Общее определение функций по Дирихле сформировалось после длившихся целый век дискуссий в результате значительных открытий в физике и математике в XVIII и первой половине XIX в. Дальнейшее развитие математической науки в XIX в. основывалось на этом определении, ставшим классическим. Но уже с самого начала XX в. это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшие более широкого взгляда на функцию. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 г. книги «Основы квантовой механики» Поля Дирака, крупнейшего английского физика, одного из основателя квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходит далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н. М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 3040-х годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а «функции области», что лучше соответствует физической сущности явлений [16, с. 113].
В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 г. 28-летний советский математик и механик Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л. Шварца: И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов и другие.
Прослеживая исторический путь развития понятия функции, невольно приходишь к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика незавершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем.
Обоснование функциональной линии, как ведущей для школьного курса математики, считается одним из крупных достижений методики математики (Р. М. Асланов, А. Я. Блох, Г. В. Дорофеев, В. И. Мишин, А. Г. Мордкович, Г. И. Саранцев, А. Я. Хинчин, Л. М. Фридман и др.). Реализация функциональной идеи положена в основу разработки комплектов учебников математики, алгебры и алгебры и начал математического анализа, написанных группой авторов под руководством А. Г. Мордковича. Обучение остальным линиям курса ведется через призму функционально-графического подхода, учебники содержат избыточное количество упражнений и задач, условия которых представлены в аналитическом или графическом виде. Дидактический принцип наглядности обучения воздействие на органы чувств учащихся, сочетаемые с их активными действиями (сформулированный еще Я. А. Коменским и Г. Песталоции, уточненный К. Д. Ушинским) подразумевает также рассмотрение моделей объектов, процессов и явлений, и активные действия ученика с этой моделью (Д. Б. Эльконин, В. Г. Болтянский, М. Б. Волович и др.).
Для того чтобы составить представление об этом многообразии, сравним две наиболее резко различающиеся методические трактовки этого понятия; первую мы назовем генетической, а вторую — логической.
Генетическая трактовка понятия функции основана на разработке и методическом освоении основных черт, вошедших в понятие функции до середины XIX в. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости.
Генетическое развертывание понятия функции обладает рядом достоинств. В нем подчеркивается «динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Такая трактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в нем, выражаются аналитически или таблично.
Генетическая трактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. Одним из очень существенных ограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно (или даже явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в значительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента (определенными на числовых промежутках). В обучении приходится, используя и развивая функциональные представления, постоянно выходить за пределы его первоначального описания [18, с. 234].
Логическая трактовка понятия функции исходит из положения о том, что строить обучение функциональным представлениям следует на основе методического анализа понятия функции в рамках понятия алгебраической системы. Функция при таком подходе выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами, удовлетворяющего условию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции становится вывод его из понятия отношения.
Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств; язык школьной математики при этом обогащается. Помимо формул и таблиц, здесь находят свое место задание функции стрелками, перечислением пар, использование не только числового, но и геометрического материала; геометрическое преобразование при таком подходе оказывается возможным рассматривать как функцию. Обобщенность возникающего понятия и вытекающие отсюда возможности установления разнообразных связей в обучении математике основные достоинства такой трактовки.
Однако выработанное на этом пути общее понятие оказывается в дальнейшем связанным главным образом с числовыми функциями одного числового аргумента, т. е. с той областью, в которой оно гораздо проще формируется на генетической основе.
Таким образом, если генетический подход оказывается недостаточным для формирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживает определенную избыточность. Отметим, что различия в трактовках функции проявляются с наибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшем изучении функциональной линии различия постепенно стираются, поскольку изучается в курсах алгебры и начал анализа не само понятие функции, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные приложения в задачах естествознания и общественного производства.
В современном школьном курсе математики в итоге длительных методических поисков в качестве ведущего был принят генетический подход к понятию функции. Одновременно учитывается все ценное, что можно извлечь из логического подхода. Исходя из этого при формировании понятий и представлений, методов и приемов в составе функциональной линии система обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредоточивалось, во-первых, на выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией, и, во-вторых, на установлении их взаимодействия при развертывании учебного материала. Иными словами, в обучении должна быть выделена система компонентов понятия функции и установлена связь между ними. В эту систему входят такие компоненты:
представление о функциональной зависимости переменных величин в реальных процессах и в математике;
представление о функции как о соответствии;
построение и использование графиков функций, исследование функций;
вычисление значений функций, определенных различными способами.
В процессе обучения математике все указанные компоненты присутствуют при любом подходе к понятию функции, но акцент может быть сделан на одном из них. Как только что мы отметили, функциональный компонент является основой введения и изучения понятия функции. На этой основе при организации работы над определением вводятся и другие компоненты, проявляющиеся в различных способах задания функциональной зависимости и ее графического представления [1, с. 215].
Функциональная зависимость форма устойчивой взаимосвязи между объективными явлениями или отражающими их величинами, при которой изменение одних явлений вызывает определенное количественное изменение др. Объективно функциональная зависимость проявляется в виде законов и отношений, обладающих точной количественной определенностью. Они могут быть в принципе выражены в виде уравнений, объединяющих данные величины или явления как функцию и аргумент. Функциональная зависимость может характеризовать связь:
1) между свойствами и состояниями материальных объектов и явлений;
2) между самими объектами, явлениями или же материальными системами в рамках целостной системы более высокого порядка;
3) между объективными количественными законами, находящимися в отношении субординации, в зависимости от их общности и сферы действия;
4) между абстрактными математическими величинами множествами, функциями или структурами, безотносительно к тому, что они выражают.
Функциональная зависимость предполагает, что явления, подчиняющиеся ей, характеризуются через определенные параметры, константы, конкретные условия, количественные законы. Функциональная зависимость не тождественна причинной связи. Наряду с явлениями, в которых причинная связь выражается через объективные функциональные отношения, существуют и функциональная зависимость между свойствами тел или математическими величинами, не являющиеся причинными связями [2, с. 113].
Таким образом, понятие функции выступает в курсе математики как определённая математическая модель, что и является мотивировкой для его углублённого изучения. Функциональная зависимость – это зависимости одной переменной от другой. Функциональная зависимость двух количественных признаков или переменных состоит в том, что каждому значению одной переменной всегда соответствует одно определенное значение другой переменной.
Функциональная линия школьного курса математики, является одной из ведущих курса алгебры, алгебры и начал анализа. Основной особенностью учебного материала этой линии является то, что с его помощью можно устанавливать разнообразные связи в обучении математике.
Проанализируем ход развития педагогических идей в области преподавания важнейшей составляющей математики функциональной зависимости.
Первый этап этап введения понятия функции (в основном, через аналитическое выражение) в школьный курс математики. Например, в учебнике Н. Ш. Фусса «Начальные основания чистой математики» в разделе «Основания дифференциального и интегрального исчислений» приводилось следующее определение: «Функцией переменной величины называется выражение, состоящее из сей переменной, соединенной с постоянными величинами» (1812 г.) [17].
На собрании комиссии преподавания математики отдела обучения Московского Общества распространения технических знанийВ. П. Шереметевский (1891г.) и В. Я. Сердобинский (1892 г.) представили радикальное решение проблемы введения функциональной зависимости в школьную математику в виде рекомендации «построения курса школьной математики на основе идеи функциональной зависимости». Математическая комиссия, функционировавшая в 1900 г. в Министерстве Народного Образования, предусмотрела идею включения в программу функциональной зависимости в связи с изучением элементов аналитической геометрии. Эти предложения начали осуществляться с 1903 г. при обучении математике в Кадетском корпусе, а с 1907 г. в выпускных классах реальной школы.
Второй этап введения понятия функции в курс алгебры средней школы характеризуется в основном переходом к графическому изображению функциональной зависимости и расширением круга изучаемых функций.
На Международном конгрессе в Риме в 1908 г. Ф. Клейн изложил основные принципы в решении вопроса о месте и роли понятия функции в школьной математике: «Мы,..., стремимся положить в основу преподавания понятие функции, ибо это есть то понятие, которое в течение последних двухсот лет заняло центральное место всюду, где только мы встречаем математическую мысль. Это понятие мы желаем выработать при преподавании столь рано, как это только возможно, постоянно применяя графический метод изображения каждого закона в системе координат (хОу), которая теперь употребляется при всяком практическом применении математики». Истинное значение имеет предложение Ф. Клейна о введении общего понятия функции не в форме абстрактного понятия, а на конкретных примерах, которые «...сделали бы это понятие живым достоянием ученика, но непременно это понятие, как фермент, должно проникнуть во все преподавание математики в средней школе» [17, с. 292].
Активное участие в борьбе за реформу математического образования приняли передовые русские преподаватели математики. Функциональная зависимость нашла свое отражение в новых программах по математике. Большое внимание вопросам, связанным с идеей функциональной зависимости, уделили два Всероссийских съезда преподавателей математики, созванных в 1911 г. (г. Санкт-Петербург) и 1913 г. (г. Москва) [9, с. 159]. После съездов в 19111916 гг. вышло большое количество учебных пособий, которые отражали смешение вопросов о трактовке понятия функции и способов ее задания, т.е. содержали рассмотрение способов задания функции (аналитического, графического, табличного) в контексте понятия функции.
Третий этап развития русской школы начался в 20-е гг. двадцатого столетия. Анализ методической литературы советского периода показал, что введение понятия функции в школьный курс математики сопровождалось бурными дискуссиями, и позволил нам выделить четыре основных проблемы, вокруг которых существовали расхождения во мнениях методистов, а именно: 1) цель и значение изучения понятия функции учащимися; 2) подходы к определению функции; 3) вопрос функциональной пропедевтики; 4) место и объем функционального материала в курсе школьной математики.
Первые послереволюционные программы [30, с. 134], составленные в 19181921гг., отражали стремление их авторов к коренному преобразованию школьного курса математики. При их разработке были учтены основные достижения передовой педагогической мысли того времени: курс математики строился на основе понятия функции, предусматривал изучение тригонометрических функций на основе понятия векторов. Авторы программ считали, что все включенное в программу «должно быть проработано основательно, главным образом, в направлении развития функционального мышления, при этом идейной и практической стороне должно отдать предпочтение перед формальной» [10].
Анализ программ позволил выделить их положительные и отрицательные стороны. Главное достоинство, на наш взгляд, это разделение вопросов о трактовке понятия функциональной зависимости и способах задания функции. Общим недостатком была перегруженность их в той' или иной степени учебным материалом, который, к тому же, был распределен по годам обучения без учета возрастных особенностей учащихся. Как следствие, на практике не удалось в полном объеме выполнить предъявленные данными программами требования.
Не исправили положение программы на основе «комплексного» метода, суть которого состояла в том, что взамен систематического изложения школьного курса математики, опирающегося на внутреннюю логику предмета, преподавание строилось в соответствии с последовательностью, содержанием и основными идеями комплексных схем. Известный советский методист Н. Н. Никитин указывал на утилитарность комплексных программ и методических указаний к ним, приведшую к снижению уровня математической подготовки учащихся. «Учащиеся получали поверхностное, случайное знакомство со многими вопросами из математики, но по-настоящему прочно и сознательно знать ничего не могли» [12, с. 17].
Итак, данный этап, полностью обусловленный политической и экономической нестабильной ситуацией в России 20-х гг., характеризуется разногласием в действиях методистов, их стремлением к отказу от достижений в области отечественной методики преподавания математики. Разногласия методистов в решении проблем, связанных с определением цели и значения изучения функции учащимися, места и объема функционального материала в курсе школьной математики, а также отсутствие единого мнения по вопросу функциональной пропедевтики привели к ухудшению качества знаний учащихся.
Четвертый этап обусловлен переводом экономики РСФСР на плановую основу.
В 193134 годы была предпринята попытка перехода школьного образования на позиции систематического и прочного усвоения наук. В данный период срок обучения в школе был увеличен до десяти лет, основной формой работы в школе был утвержден урок, была восстановлена роль учебника как основного руководства для ученика, с систематическим изложением основ наук и полным охватом содержания программы по предмету.
В 1934 г. школа получила первый стабильный учебник А. П. Киселева «Алгебра», переработанный под редакцией А. П. Барсукова в двух частях [15]. В его вторую часть были включены разделы «Функции и их графики», «Квадратичная функция». Кроме того, в разделе «Обобщение понятия степени» рассматривались показательная функция, ее график, а в разделе «Логарифмы» логарифмическая функция и ее график.
В первом стабильном учебнике функция определялась через понятие переменной величины: «Та переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой, называется зависимой переменной, или функцией другой переменной величины» [1, с. 24]. В этом определении нет упоминания об аналитическом выражении, однако не отражена также и идея соответствия. Эта идея остается в тени и при дальнейшем изложении функционального материала в учебнике А. П. Киселева. Однако, поскольку изучение элементарных функций и их свойств большей частью начиналось с формулы, задающей соответствующую зависимость, можно предположить, что и при таком определении понятие функции связывалось в сознании учащихся с ее аналитическим выражением, и они не могли уже представить себе функцию в отрыве от формулы.
Стабилизация программ и учебников создала почву для возникновения положительных сдвигов в качестве функциональных знаний учащихся. В конце шестидесятых начале семидесятых, наряду с отрицательными отзывами [18], в печати стали появляться и такие, в которых отмечалось определенное улучшение знаний выпускников школ о функциях и графиках [6]. Однако общий уровень математического развития учащихся в целом оставался недостаточным. В школьном курсе математики по-прежнему неоправданно много времени отводилось формальной подготовке и не уделялось должного внимания развитию способности учащихся самостоятельно учиться.
1.2 Функциональная пропедевтика в начальном курсе математики
Пропеде́втика (от др.-греч. προπαιδεύω предварительно обучаю) введение в какую-либо науку или искусство, сокращенное систематическое изложение науки или искусства в элементарной форме, приготовительный (предварительный, вводный) курс, предшествующий более глубокому изучению предмета. Пропедевтикой называется совокупность сведений и знаний, которыми необходимо запастись до начала какого-нибудь научного или специального занятия. Проблема пропедевтики основных понятий математики возникает при обнаружении определенных трудностей в их формировании в систематическом курсе. Ее можно осуществлять непрерывным образом, через основное содержание учебного материала предыдущих курсов. В этой связи возникает вопрос об организации учебной работы на основе содержания математического образования на каждой ступени, одним из условий ее осуществления является наличие содержательно-логических линий в предметном курсе. Проблема логической цельности школьной математики имеет вековую историю: в начале ХХ века определилась тенденция к алгебраизации курса, и ныне в основе преподавания лежит функциональный подход.
Понятие функциональной зависимости является одним из ведущих в математической науке, поэтому сформированность этого понятия у учащихся представляет важную задачу в целенаправленной деятельности учителя по развитию математического мышления и творческой активности детей. Развитие функционального мышления предполагает прежде всего развитие способности к обнаружению новых связей, овладению общими учебными приемами и умениями.
Пропедевтика функциональной зависимости способствует формированию мыслительных операций и воспитанию интеллектуальных качеств личности. Направления подобной работы выражаются в характере задач, предлагаемых учащимся. Материал начального математического курса содержит достаточное количество примеров, на которых можно разъяснить зависимость одной величины от другой. К ним, в частности, относятся: задачи на составление и решение уравнений, оптимизационные и комбинаторные задачи, задачи с величинами, находящимися в прямой и обратной зависимости, задачи с использованием таблиц, числовой оси и координатной плоскости.
Таким образом, опосредованная пропедевтика предполагает постепенную функциональную подготовку, не требующую ни специальной терминологии, ни символики; достаточно последовательно проводить идею изменяемости окружающего мира; взаимозависимости между величинами, используя для этой цели материал школьных учебников. Объективные возможности для пропедевтики имеются, учитель должен их видеть и использовать в обучении школьников.
Под пропедевтикой вообще понимают подготовительный курс, представляющий введение в какую-либо науку или учебный предмет и отличающийся элементарной формой изложения. Наиболее характерным примером является существующий сейчас пропедевтический курс обыкновенных дробей в начальных классах, (основной курс дробей начинается в 56 классах). Вопрос о пропедевтике возникает тогда, когда обнаруживаются определенные трудности в формировании некоторых понятий или при слишком компактном изложении конкретной темы, что влечет за собой целесообразность распределения материала на больший промежуток времени. Если сделать это с выделением начального концентра, то получится пропедевтический курс, можно же осуществить подобное действие непрерывным образом, распределяя часть материала по другим темам, то есть опосредованно, через основное содержание учебного материала.
Очевидно, что одним из важнейших условий осуществления опосредованной пропедевтической работы является идейная стройность школьного курса математики, наличие логической связи между элементарной и высшей математикой.
Проблема логической цельности школьного курса математики имеет вековую историю. К концу 19 века сложилась международная традиционная система математического образования, которая характеризовалась оторванностью от высшей математики и вообще науки математики, разделением элементарной математики на 4 учебных предмета: арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию, существующих самостоятельно и независимо друг от друга. Во многих странах мира прогрессивные математики и педагоги выступали с критикой данной системы обучения и с позитивными предложениями по реформе математического образования. В 1897 году в Цюрихе на I Международном конгрессе математиков выступил с докладом известный геометр, педагог высшей немецкой школы Феликс Клейн, в котором содержалась мысль о том, что в математике средней школы «функциональная идея» должна быть центральной: «Руководящую роль в школьном курсе математики должно играть понятие функции. Оно должно быть усвоено очень рано и должно пронизывать все преподавание алгебры и геометрии» [2, с. 10]. В движение за реформу математического образования включились и российские ученые, методисты, педагоги, в частности, О. А. Вольберг, К. Ф. Лебединцев, В. Е. Сердобинский, С. И. Шохор-Троцкий.
Так, С. И. Шохор-Троцкий (1853–1923), выступал против отрыва геометрии, алгебраического материала от арифметического. Возражая против всего «ненужного, излишнего и неуместного» в арифметике, он признавал глубокую ценность понимания функциональной зависимости и рекомендовал к этой идее «возвращаться при всяком удобном случае» [3, с. 66]. В. Е. Сердобинский в своей статье «Знакомство с понятием функции» сформулировал тезис о необходимости включения идеи функциональной зависимости в элементарную математику. В статье В. П. Шереметевского «Математика как наука и ее искусственные суррогаты» читаем: «Какое бы мировоззрение ни лежало в основе наших знаний о природе, обоснование процесса мировой жизни выразится основным понятием – изменения… Если вся математика есть, в сущности, учение о функциях, то ясно, что и элементарный курс должен группироваться вокруг основного понятия о функциональной зависимости» [4, с. 106].
Современная математика исходит из определения рассматриваемого понятия, предложенного в 19 веке российским ученым Н. И. Лобачевским, выражающего зависимость между переменными величинами: функцией от х называется число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется; функция – это зависимая переменная. Через понятие функциив математике моделируются реальные диалектические процессы, изменения, взаимозависимости и взаимообусловленности. Идея функциональной зависимости находит свое отражение не только в математике, но и в ряде других наук – физике, химии, биологии, медицине, истории, кибернетике. Велика роль функции как мощного аппарата в познании процессов, происходящих в реальном мире. Знание функциональных зависимостей помогает найти ответы на разнообразные вопросы – от расшифровки памятников древности до управления сложнейшими производственными процессами. Наблюдая веками явления природы, человек замечал соответствие между ними. Систематизируя и обобщая устойчивые взаимосвязи в природе, он познал закономерности и учился применять их для объяснения разнообразных явлений природы. Математическими моделями таких закономерностей и являются функции.
В настоящее время проблемам преподавания математики в школе стали уделять больше внимания. Это связано с научно-техническим прогрессом и развитием наукоемких производств. Технические науки, среди которых, в последнее время, быстро развиваются и имеют огромное практическое значение, такие как информационные технологии, электроника и т.д., немыслимы без математического аппарата.
Основа для математической грамотности закладывается именно в школе, поэтому изучению вопросов, связанных с этим процессом, уделяется пристальное внимание. Математика является одним из опорных предметов школы. Она обеспечивает изучение других дисциплин. Требует от учащихся волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания, математика развивает личность учащегося. Кроме того, изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор школьников.
Успешность преподавания математики, как и остальных предметов школьной программы, определяют многие факторы, среди которых, как основной, выделяют выбор методики преподавания. Именно от правильного выбора методов и приемов преподавания каждой темы курса и их удачного сочетания, зависит уровень понимания, в конечном счете, учащимися материала.
В ходе изучения курса учащиеся развивают навыки вычислений с натуральными числами, овладевают навыками действий с обыкновенными и десятичными дробями, положительными и отрицательными числами, получают начальные представления об использовании букв для записи выражений и свойств, учатся составлять по условию текстовой задачи несложные линейные уравнения и решать их, продолжают знакомство с геометрическими понятиями, приобретают навыки построения геометрических фигур и измерения геометрических величин.
Современная алгебра исходит из определения рассматриваемого понятия, предложенного в 19 веке российским ученым Н. И. Лобачевским, выражающего зависимость между переменными величинами: функцией от х называется число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется; функция это зависимая переменная. Через понятие функции в математике моделируются реальные диалектические процессы, изменения, взаимозависимости и взаимообусловленности. Идея функциональной зависимости находит свое отражение не только в математике, но и в ряде других наук физике, химии, биологии, медицине, истории, кибернетике. Велика роль функции как мощного аппарата в познании процессов, происходящих в реальном мире. Знание функциональных зависимостей помогает найти ответы на разнообразные вопросы от расшифровки памятников древности до управления сложнейшими производственными процессами. Наблюдая веками явления природы, человек замечал соответствие между ними. Систематизируя и обобщая устойчивые взаимосвязи в природе, он познал закономерности и учился применять их для объяснения разнообразных явлений природы. Математическими моделями таких закономерностей и являются функции.
Предмет математики VVI классов объединяет много разноплановых понятий (числа, сравнения чисел, действия над числами и законы этих действий, переменная, неравенство, пропорция, процент, геометрические фигуры и их свойства и др.). Объединяющими средствами при построении учебного предмета являются единые методические подходы в изложении родственных понятий. Таким образом, использование единых методических подходов, позволяет добиться сознательного понимания сущности математических действий и понятий учащимися. Приведем некоторые их этих методических приемов:
Пропедевтика функции, в частности однозначное соответствие и алгебраические начала, позволяет при введении новых чисел, их сравнении, иллюстрации действий систематически использовать луч и координатную прямую.
Систематическое изучение законов арифметических действий позволяет использовать единые методические приемы в обосновании алгоритмов, решении уравнений и тождественных преобразований выражений.
Благодаря введению понятия переменной и однозначного соответствия стало возможным более широкое использование таблиц, графиков, формул, схем.
Введение выражений с переменной, уравнений и неравенств позволило изменить виды задач с познавательными функциями при изучении числовых множеств и уже в VVI классах показать практическую применимость новых числе и действий над ними в самом предмете математики.
В этой связи обозначим основные направления пропедевтической работы на начальной ступени обучения предмету по программамЛ. Г. Петерсон и Н. Я. Виленкина:
Понятие о множествах, о соответствии элементов двух множеств и функциях. Зависимость результатов арифметических действий от изменения компонентов.
Числовые выражения с 34 арифметическими операциями (со скобками и без них), вычисление их значений.
Буквенные выражения. Переменные величины. Вычисление их значений при подстановке численных значений переменных.
Представление о числовых последовательностях.
Изменение численных значений величин при использовании различных единиц измерения.
Математические исследования.
Табличный, словесный, аналитический, графический способы задания функции.
Линейная зависимость.
Система координат, первая и вторая координата, упорядоченная пара.
Решение простейших комбинаторных задач: составление и подсчет числа возможных перестановок, подмножеств элементов конечного множества.
Представление о возможности неограниченного увеличения натурального числа или уменьшение его доли.
Использование систематического перебора натуральных значений одной и двух переменных при решении сюжетных задач.
Заполнение таблиц с арифметическими вычислениями, данными из условий прикладных задач. Выбор данных из таблицы по условию.
Зависимость между пропорциональными величинами; прикладное исследование их графиков.
Проиллюстрируем сказанное конкретными примерами из учебников по математике:
Содержание начального курса математики позволяет сформировать у учащихся представление об одной из важнейших идей математики идее соответствия. При выполнении заданий на нахождение значений выражений, заполнение таблиц ученики устанавливают, что каждой паре чисел соответствует не более одного числа, полученного в результате. Однако для осознания этого содержание таблиц необходимо анализировать.
1. Составь все возможные примеры на сложение двух однозначных чисел с ответом 12.
При выполнении этого задания учащиеся устанавливают взаимосвязь между двумя множествами значений слагаемых. Установленное соответствие функция, так как каждому значению первого слагаемого соответствует единственное значение второго слагаемого при постоянной сумме.
2. В вазе 10 яблок. Сколько яблок останется, если возьмут 2 яблока? 3 яблока? 5 яблок? Запиши решение в таблице. От чего зависит результат? На сколько единиц он изменяется? Почему?
В данной задаче фактически представлена функция у = 10х, где переменная х принимает значения 2, 3, 5. В результате выполнения данного задания учащиеся должны сделать вывод: чем больше вычитаемое, тем меньше значение разности.
3. Как изменится однозначное число, если к нему приписать такое же число? Два таких числа?
Идея функционального соответствия присутствует и в упражнениях вида:
4. Соедини стрелкой математические выражения и соответствующие численные значения.
Упражнение 1.
9+ 618 + 92143819
19 17 21 35 40 15
В VVI классах частично-поисковым методом можно изучить следующие понятия: переменная, выражения с переменной, равенство, верное и неверное равенство, уравнение и неравенство, сравнение чисел, числовая прямая, действия в каждом из числовых множеств и т.п.
При использовании этого метода изучения нового материала обычно соблюдается следующая последовательность действий учителя и учащихся:
1. Решаются упражнения с целью организации наблюдений и простейшего анализа для выявления какой-либо закономерности. Поэтому важно, чтобы упражнения полно раскрывали структуру понятия.
2. В процессе решения упражнений учитель ставит дополнительные вопросы и задания к ним для выяснения всех доступных учащимся сторон изучаемого понятия, раскрытия зависимостей и противоречий.
3. На основе наблюдений и анализа решенных заданий, выяснения свойств и зависимостей изучаемого понятия учащиеся под руководством учителя делают вывод о формируемом понятии, устанавливают связь изучаемого материала с ранее изученным и т.п.
4. И, наконец, решают упражнения на применение полученных знаний о понятии, т.е. перенос знаний на новую ситуацию.
Рассмотрим использование метода, на примере введения понятия о координатах точек на прямой по учебнику Н.Я. Виленкина для 5 класса.
В учебнике разбираются следующие задания для формирования понятия:
Белка вылезла из дупла и бегает по стволу дерева вверх и вниз. Покажите, где будет находится белка, если она удалится от дупла на 3 м. Сколько ответов можно дать на этот вопрос? Покажите на рисунке, где окажется белка, если она будет находится.
Упражнение 2.
а) выше дупла нам;
б) ниже дупла на 3 м;
в) ниже дупла на 1,5 м;
г) выше дупла на 2,5 м.
Введение буквенной символики позволяет познакомить учащихся с важнейшими понятиями современной математики переменная, уравнение, неравенство, что способствует развитию функционального мышления, поскольку с ними тесно связана идея функциональной зависимости. При работе с переменной школьники осознают, что буквы, входящие в выражение, могут принимать различные числовые значения, а само буквенное выражение является обобщенной записью числовых выражений. Одни из примеров системного использования буквенной символики являются задачи, представленные в блиц-турнирах. Отсутствие конкретных чисел заставляет учеников искать путь решения задачи, опираясь на существенные связи между данными и искомыми. Эта модель задачи знаковая, она более абстрактна, чем числовое выражение. При этом ученик не может вычислить промежуточные результаты, а должен представлять всю цепочку связей между величинами и выстраивать соответствующую последовательность действий. Исследование решения задач с буквенными данными предполагает рассмотрение различных соотношений между значениями букв, а так же выявление возможности или невозможности принятия буквой конкретных числовых значений, установление влияния числовых значений переменных на количество способов решения задачи. Огромное пропедевтическое значение имеет опыт решения учащимися упражнений на установление закономерностей в числовых последовательностях и их продолжение. Приведу примеры упражнений.
Упражнение 3. Найти общую формулу.
1, 2, 3, 4… (у = х + 1)
3, 5, 7… (у = 2 · х + 1)
Упражнение 4. Продолжите ряд чисел:
7, 13, 19, …
Понятие величины, наряду с понятием числа, является основным понятием начального курса математики. Материал данного раздела является богатейшим источником для осуществления опосредованной функциональной пропедевтики. Во-первых, это зависимость (обратно-пропорциональная) между выбранной единицей величины (меркой) и ее численным значением (мерой) чем больше мерка, тем число, полученное в результате измерения величины данной меркой, меньше. Поэтому важно, чтобы при работе с каждой величиной (длиной, массой, площадью, объемом и пр.) учащиеся приобретали опыт измерения величин разными мерками с целью осознанного выбора сначала удобной, а затем и единой мерки.
Во-вторых, при изучении величин, характеризующих процессы движения, работы, купли-продажи формируются представления о зависимости между скоростью, временем и расстоянием, ценой, количеством и стоимостью в процессе решения текстовых задач следующих видов на приведение к единице (нахождение четвертого пропорционального), нахождение неизвестного по двум разностям, пропорциональное деление.
Особую сложность для учащихся представляет осознание взаимосвязи между этими величинами, поскольку понятие «пропорциональная зависимость» не является предметом специального изучения и усвоения. В программе Л. Г. Петерсон методически эта проблема решается за счет использования следующих приемов:
Решение задач с недостающими данными («открытым» условием):
Васе от дома до школы 540 м, а Паше 480 м. Кто ближе живет? Кто быстрее дойдет?
Саша купил на 30 рублей тетради и на 45 рублей карандаши. На покупку каких предметов он истратил денег больше? Каких предметов он купил больше?
Анализируя тексты этих задач, учащиеся обнаруживают, что в них не хватает данных и что ответы на вопросы зависят от цены и скорости.
Фиксация условия задач не только в таблице (как это предложено в классической методике), но и в виде схемы. Это позволяет «визуализировать» зависимости, рассматриваемые в задаче. Так, если одно и тоже расстояние в 12 км движущиеся объекты проходят за разное время (2 ч, 3 ч, 4 ч, 6 ч), то с помощью схемы наглядно интерпретируется обратная зависимость чем больше частей (время), тем меньше каждая часть (скорость).
Изменение одного из данных задачи и сравнение результатов решения задач.
В школьную столовую привезли 48 кг яблок. Сколько ящиков могли привезти, если во всех ящиках яблок было поровну?
Учащиеся дополняют условие задачи и фиксируют зависимость между величинами с помощью различных средств структурирования теоретических знаний в таблице, схеме и словесно.
Здесь же полезно обратить внимание на кратное отношение рассматриваемых величин во сколько раз больше одна из величин, во столько же раз больше (меньше) другая при постоянной третьей.
В начальной школе учащиеся в неявном виде знакомятся с табличным, аналитическим, словесным, графическим способами задания функций.
Так, например, зависимость между скоростью, временем и расстоянием можно выразить:
а) словесно: «чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время»;
б) аналитически: s= ·t;
в) таблично: =5 км/ч (таблица 1)
г) графически (с помощью координатного луча или угла).
Таблица 1
Зависимость между скоростью, временем и расстоянием
t 1 2 3 t
s 5 · 1 5 · 2 5 · 3 5 ∙t
Графический способ задания зависимости между , t, s позволяет сформировать представление о скорости как изменении местоположения движущего объекта в единицу времени (наряду с общепринятым как расстояния, пройденного в единицу времени) А сравнение графиков движения двух тел (движущихся независимо друг от друга) уточняет представление о скорости как величине, характеризующей быстроту движения.
Составные числовые выражения (со скобками и без них), вычисление их значений по правилам порядка выполнения действий позволяет учащимся осознать, что от порядка выполнения действий зависит результат.
Расставьте скобки так, чтобы получились верные равенства.
20+ 30 : 5=1020 + 30 : 5 = 2
В курсе Л. Г. Петерсон учащиеся в неявном виде знакомятся с линейной зависимостью, как частным случаем функции. Эту функцию можно задать формулой вида у = kх + b, где х независимая переменная, k и b числа. Ее областью определения являются множество всех действительных чисел.
Пройдя 350 километров, поезд стал идти в течение t часов со скоростью 60 км/ч. Сколько всего километров прошел поезд? (350 + 60 · t)
Выполняя задания с именованными числами, учащиеся осознают зависимость численного значения величин от использования различных единиц измерения.
Один и тот же отрезок измерили сначала в сантиметрах, затем в дециметрах. В первом случае получили число на 135 больше, чем во втором. Какова длина отрезка в сантиметрах? (Зависимость у = 10 · х)
В процессе изучения начального курса математики у учащихся формируется понятие натурального ряда чисел, отрезка натурального ряда, усваиваются свойства натурального ряда чисел бесконечность, упорядоченность и др., формируется представление о возможности неограниченного увеличения натурального числа или уменьшение его доли.
Обобщая, отметим, что основные цели изучения учебного содержания функциональной линии курсов Л. Г. Петерсон и Н. Я. Виленкина:
развитие функционально-аналитического мышления школьников, характеризующегося способностью рассматривать объекты, в том числе и математические, во взаимосвязи и взаимозависимости;
формирование у учащихся способности к выражению зависимости между величинами разными способами (таблично, аналитически, графически).
Кроме этого, результатом пропедевтики функциональной зависимости должна стать высокая умственная активность младших школьников, развитие интеллектуальных, общепредметных и специфических математических умений и навыков. Все это создает прочную основу не только для решения методических проблем начальной математики формирование вычислительных навыков, умения решать текстовые задачи и др., но и для реализации развивающих возможностей математического содержания и, что не менее важно, для успешного изучения функций в средней школе.
Таким образом, в начальном курсе математики значительная роль должна отводиться функциональной пропедевтике, которая предусматривает подготовку учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии, а также воспитывает у них диалектический характер мышления, понимание причинных связей между явлениями окружающей действительности.
1.3 Виды упражнений, направленных на формирование представлений о функциональной зависимости у школьников
Для организации учебной деятельности учащихся, направленной на эффективную подготовку к формированию представлений о функциональной зависимости должны выполняться следующие условия: наличие в курсе математики идей, непосредственно связанных с функциональными представлениями, таких как идея изменения, соответствия, закономерности и зависимости; наличие в содержании курса математики понятий, необходимых для осознанного усвоения понятия функции; создание проблемных ситуаций в процессе усвоения программного содержания; систематическое использование различных моделей (предметной, вербальной, символической, схематической и графической); использование учебных заданий, в основу которых положены приемы выбора, сравнения, преобразования и конструирования; организация целенаправленного наблюдения, сравнения, анализа и обобщения в процессе выполнения учебных заданий [4, с. 110].
Для организации деятельности учащихся, направленной на формирование функциональных представлений и понятий, необходимых для восприятия и усвоения понятия «функция», целесообразно использовать учебные задания следующих видов: задания на тождественные преобразования числовых выражений (равенств) на основе смысла арифметического действия; на соотнесение предметной модели с числовым выражением (равенством); на соотнесение предметной, графической и символической моделей; на выявление закономерности; на установление соответствия между символическими моделями; на конструирование графической модели по заданной графической модели; на конструирование символической модели по заданной вербальной модели; на выбор символической модели, соответствующей вербальной модели; на конструирование числовых равенств по заданным условиям; на установление соответствия между символической и графической моделью; на выбор графической модели соответствующей символической модели; на преобразование на плоскости; на конструирование графической модели, соответствующей символической модели и т.д. [5, с. 23].
Учебные задания, способствующие формированию функциональных представлений и понятий, необходимых для осознанного усвоения понятия функции, должны характеризоваться:
1) вариативностью;
2) неоднозначностью решений;
3) нацеленностью на формирование приемов умственной деятельности (таких, как анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация и обобщение);
4) отображением разнообразных закономерностей и зависимостей;
5) включенностью их в содержательную линию курса математики начальных классов [17, с. 81].
На основе функциональных представлений в ходе дипломной работы нами разработаны учебные задания, направленные на их формирование:
Задания на формирование представлений об изменении и зависимости: на изменение результата арифметического действия в зависимости от изменения его компонентов; на использование основного свойства дроби; на классификацию числовых выражений (равенств) на основе их результата арифметического действия; тождественные преобразования числовых выражений (равенств) на основе смысла арифметического действия; на преобразование числовых выражений; на преобразование дробных выражений; на конструирование символической модели по заданной вербальной модели и др.).
Например, «Чем похожи все пары выражений? Найди их значения:
а) 89 + 47 б) 57+29 в) 76+57
90 + 47 57+30 76+60
Сравни равенства в каждой паре и сделай вывод».
Задания на формирование представления о закономерности, как правила, по которому записаны ряды чисел: на выявление закономерности.
Например, «Найди правила, по которым составлены ряды чисел:
а) 0,5; 0,05; 0,005; 0,0005; …;
б) 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; …;
в) 0,12; 2,14; 4,16; 6,18; ….
Запиши в каждом ряду еще три числа по тому же правилу».
Задания на формирование представления о соответствии: на соотнесение предметной, графической и символической моделей; на установление соответствия между символическими моделями.
Эти учебные задания формулируются в основном на числовом материале, причем они усложняются и варьируются как по форме, так и по содержанию.
Решение задач на прямую и обратную пропорциональные зависимости посвящен решению текстовых задач на прямую и обратную пропорциональные зависимости арифметическим способом. Среди таких задач выделяются задачи, в которых числовые данные находятся в некотором отношении, что предполагает ещё один способ решения, представляющий интерес с точки зрения функциональной пропедевтики [6, с. 105].
Кроме того, придать функциональный характер текстовым задачам можно с помощью дополнительных вопросов, направленных на изменение данных задачи, условия, вопроса, на соотнесение условия с различными выражениями и равенствами. Эти приемы помогают учащимся представить величины, рассматриваемые в задаче в движении, изменении, что позволяет формировать у учащихся функциональный стиль мышления.
Все учебные задания, обладают следующими характеристиками: вариативностью; неоднозначностью решений; нацеленностью на формирование приемов умственной деятельности (таких, как анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация и обобщение); отображением разнообразных закономерностей и зависимостей; включенностью их в содержательную линию курса математики начальных классов [10, с. 95].
Таким образом, рассмотрев теоретические основы развития функциональной идеи у школьников, мы пришли к выводу, что функциональная зависимость является одной из тех математических идей, которые способны объединить в единое целое все разделы математики, включенные в школьный курс. Функциональная зависимость отражает практическую направленность курса математики, взаимосвязь величин в естественнонаучных дисциплинах, а также формирует функциональное мышление школьников. Исходя из опыта обучения, известно, что понятие функции является абстрактным и довольно сложным для восприятия учащимися. Поэтому в процессе реализации данной линии необходимо усилить наглядность изучаемых объектов и понятий в рамках отведенного времени, предоставить учащимся возможность увидеть зависимость не только в виде статичной модели, но и в динамике, дать возможность учащимся непосредственно задавать, изменять и изучать функции при помощи интерактивных моделей, расширить систему задач при помощи упражнений, содержащих анимацию и элементы управления и т.д. Такому«живому» изучению функциональной зависимости может способствовать применение комплекса упражнений, направленных на формирование представлений о функциональной зависимости. Например, задания, где необходимо найти зависимость между рядом представленных чисел (5, 50, 500 и т.д.), задания, направленные на изменение результата арифметического действия в зависимости от изменения его компонентов (чем похожи выражения а) 89 + 47 б) 57+29 в) 76+57 и т.д.).
2 Методика развития функциональной идеи в курсе математического образования средней школы
2.1 Методика введения понятий: функции, аргумента, область определения
Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей:
1) интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;
2) формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;
3) воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.
В процессе достижения данных целей возникает проблема формирования методологических знаний у учащихся, т. е. знаний о познавательных средствах, методах, приемах, используемых в какой-либо науке; принципах организации познавательной и практически-преобразующей деятельности; объекте и предмете науки; методах исследования (диалектике, системном анализе, деятельностном подходе); взаимосвязях теории с практикой обучения предмету; языке методологии науки; о новых методологиях в науке (компьютеризации, синергетике).
Существуют различные трактовки понятия «методология». В целом под этим термином понимается учение о структуре, логической организации, методах и средствах деятельности. Методология образует необходимый компонент познавательной и исследовательской деятельности. В свою очередь, она включает в себя такие компоненты, как объект, предмет, проблемы исследования, совокупность исследовательских средств, необходимых для решения задач данного типа.
Методологию методики обучения математике составляют:
диалектика, системный анализ и деятельностный подход;
концепции образования, воспитания, развития и обучения;
объект и предмет методики обучения математике;
процесс конструирования методической системы и ее внешней среды;
положения, связывающие внешнюю среду с исследуемой методической системой;
методы методического исследования(эксперимент, изучение и использование отечественного и зарубежного опыта обучения, анкетирование, беседы с учителями и учащимися).
Рассмотрим методологию развития функциональной зависимости у школьников средних классах.
Не смотря на чрезвычайно большой объем, широту и сложность понятия функции, его простейший вариант дается уже в средних классах школы. Это понятие в дальнейшем играет важную роль, являясь базовым понятием в изучении алгебры и начал анализа. Начиная с седьмого класса средней школы идет постепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей. Рассматриваются различные классы функций: начиная с простейших линейных функций и их графиков, затем следуют квадратичные функции, функции обратной пропорциональности и дробно-линейные функции. В более старших классах вводятся тригонометрические функции, и, наконец, показательные и логарифмические функции. Все эти функции рассматриваются только как функции одной переменной, причем сами переменные не выходят за рамки множества вещественных чисел.
Введение понятия функции длительный процесс, завершающийся формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процесс ведется по трем основным направлениям:
упорядочение имеющихся представлений о функции, развертывание системы понятий, характерных для функциональной линии (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значений, возрастания и т. д. на основе метода координат);
глубокое изучение отдельных функций и их классов;
расширение области приложений алгебры за счет включения в нее идеи функции и разветвленной системы действий с функцией.
Первое из этих направлений проявляется в курсе школьной алгебры ранее остальных.
В реализации этого направления значительное место отводится усвоению важного представления, входящего в понятие функции однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции. Для рассмотрения этого вопроса привлекаются различные способы задания функции.
Чаще других в математике и ее приложениях применяется задание функции формулой. Все другие способы играют подчиненную роль. Именно поэтому после первого знакомства с несколькими такими способами основное внимание в обучении уделяется тем функциям и классам, которые имеют стандартную алгебраическую форму их выражения. Однако при введении понятия сопоставление разных способов задания функции выполняет важную роль. Во-первых, оно связано с практической потребностью: и таблицы, и графики, как правило, служат для удобного в определенных обстоятельствах представления функции, имеющей аналитическую форму записи. Во-вторых, оно важно для усвоения всего многообразия аспектов понятия функции. Формула выражает функцию лишь будучи включенной в соответствующую систему представлений и операций, а эта система такова, что различные компоненты понятия функции могут быть отображены наиболее естественно различными средствами.
Использование перевода задания функции из одной формы представления в другую необходимый методический прием при введении понятия функции.
Реализация этого приема состоит в использовании системы заданий, в которых представлены все случаи такого перевода. Если ограничиться основными способами представления функции формулой, графиком, таблицей, то получится шесть типов упражнений, при которых форма представления меняется, и три при которых она остается такой же. Приведем примеры заданий первого типа изменения формы представления:
а)Изобразить график функции у = 4х+1 на промежутке [0; 2].
б)Проверить, насколько точна таблица квадратов чисел, взяв несколько значений для аргумента и проведя расчет: x=1,35; 2,44; 9,4; 7; 6,25.
в)На рисунке изображены точки на координатной плоскости,выражающие результаты наблюдений за атмосферным давлением.Построить график зависимости давления от времени в промежутке12 ≤ t ≤ 18, соединив эти точки плавной линией.
Мы рассмотрим методику работы с этими заданиями только на этапе первоначального ознакомления с понятием функции, на других этапах она может быть совершенно иной. На рассмотренном этапе учащиеся еще не знают общего вида графика линейной функции (задание а)). Поэтому график функции у=4х+1 они могут построить только по точкам. Учитель может обратить внимание на то, что по точкам нельзя построить целиком график функции, если она определена на бесконечном множестве, но заметно, что эти точки лежат на прямой; оказывается, что это замечание верно. Таким образом, можно установить связи с дальнейшим изучением материала. Способ построения графика функции по точкам иллюстрируется заданием в); пользуясь конкретным содержанием задания, учитель может отметить, что предлагаемые учащимися графики могут отличаться от действительного положения, но что на практике этим приемом часто приходится пользоваться (интерполяция). В задании б) можно отметить связь функциональных представлений с числовой системой с понятиями точного и приближенного числового значения. С их сопоставлением постоянно приходится сталкиваться при построении графиков, потому что наносить точки на график можно лишь с ограниченной точностью.
В настоящее время в изучении понятия функции в школе преобладающими являются два основных подхода: индуктивный и дедуктивный. Сложившись исторически, они наиболее полно отвечают целям и задачам образования, и поэтому именно им отдано предпочтение при изучении математики, в том числе функций, в средних классах школ.
Вот как, примерно, реализуется индуктивный подход к изучению понятия функции в седьмом классе:
На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты.
В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами.
Рассмотрим примеры.
Далее следуют примеры призванные наглядно продемонстрировать только что изложенный материал.
Пример 2. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна a см, а его площадь равна S см2.
Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее значение переменной S. Так,
если a = 3, то S = 32 = 9;
если a = 15, то S = 152 = 225;
если a = 0,4, то S = 0,42 = 0,16.
Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой
S = a2
(по смыслу задачи a> 0).
Затем дается первое определение зависимой и независимой переменных:
«Переменную a, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменную S, значения которой определяются выбранными значениями a, зависимой переменной».
Пример 3. На рисунке 1 изображен график температуры воздуха в течении суток.
Рисунок 1. График температуры воздуха в течении суток
С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах), где 0 t 24, можно найти соответствующую температуру p (в градусах Цельсия). Например,
если t = 6, то p = 2;
если t = 12, то p = 2;
если t = 17, то p = 3
Здесь t является независимой переменной, а p зависимой переменной.
Пример 4. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция. Эта зависимость показана в таблице 2 (буквой n обозначен номер зоны, а буквой m соответствующая стоимость проезда в рублях):
Таблица 2
Зависимость стоимость проезда в пригородном поезде от номера зоны, к которой относится станция
По этой таблице для каждого значения n, где n = 1, 2, ..., 9, можно найти соответствующее значение m. Так,
если n = 2, то m = 1.5;
если n = 6, то m = 4 ;
если n = 9, то m = 8.5;
В этом случае n является независимой переменной, а m зависимой переменной.
Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции, объясняется тем фактом, что проводя аналогии между различными примерами, учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия, строят догадку относительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ее подтверждение в последующих примерах. Второй не менее важной причиной является то, что каждый из этих примеров содержит функцию заданную одним из возможных способов. В первом примере она задана аналитически, во втором графически, в третьем это таблица. Это не случайность, разбирая примеры вместе с учителем, дети сразу привыкают к различным способам задания функций. И когда преподаватель начнет рассказывать параграф о способах задания функций, ученикам будет гораздо легче осознать новый материал, потому что для них он не будет абсолютно новым они уже сталкивались с этим ранее.
Далее дается само определение функции, вводятся термины аргумент и значение функции.
«В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Так, площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Все значения которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции».
Так на практике реализуется индуктивный подход к изучению функций в школе. Альтернативой ему служит дедуктивный подход, который, хотя и применяется реже, имеет целый ряд положительных аспектов, которые и стали причиной его применения в школе. Для этого подхода характерно первоначальное, полное и сжатое изложение учебного материала, пусть даже малопонятного при первом прочтении, и дальнейшая углубленная проработка всех примеров, терминов и определений. Такой подход к изучению функций и не только их позволяет учащимся самостоятельно попытаться проследить логические связи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивность мыслительной деятельности, способствует более активному и глубокому запоминанию. Вот как выглядит изложение той же темы «Понятие функции» в соответствии с дедуктивным подходом.
1. Зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями.
2. Зависимость переменной у от переменной х называют функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у = f (х).
3. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.
4. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.
5. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции.
6. Для функции f приняты обозначения: D( f ) область определения функции, E ( f ) множество значений функции, f (х0) значение функции в точке х0.
7. Если D ( f ) R и E ( f ) R, то функцию называют числовой.
8. Элементы множества D( f ) также называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы E ( f ) значениями функции.
9. Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.
10. Графиком функции называют множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты соответствующим значениям функции.
Затем, на следующих уроках, происходит детальный разбор этого материала при активной работе учащихся. Тщательно рассматриваются все определения, прорешиваются примеры идет усвоение нового материала.
2.2Методика изучения линейной, квадратной и кубической функции в VII классе
Большинство изучаемых в школьной математике функций образует классы, обладающие общностью аналитического способа задания функции из него, сходными особенностями графиков, областей применения. Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических для неё, с общим представлением о функции непосредственно, без выделения промежуточных звеньев. Однако длительность периода независимого рассмотрения каждой функции незначительна; в курсе алгебры вслед за введением понятия о функции сразу рассматривается первый класс – линейные функции. Для функций, входящих в класс, изучение происходит по более сложной схеме, поскольку в нём выделяются новые аспекты: изучение данной функции как члена класса и изучение свойств всего класса на примере «типичной» функции этого класса.
Типичный и одновременно важнейший для математики класс функций: линейные функции, которые мы рассмотрим с точки зрения изучения характерных для этого класса свойств и представлений, формируемых в курсе алгебры.
Первоначальное представление о линейной функции выделяется из рассмотрения задачи, обычно связанной с равномерным прямолинейным движением, а также при построении графика некоторой линейной функции. Рассмотрим второй из этих источников. Основная мысль, которую мы попытаемся обосновать, состоит в том, что рассмотрение графика отдельно взятой линейной функции не может привести к формированию представлений об основных свойствах графиков всех линейных функций.
Для этого рассмотрим два наиболее широко распространенных в начале изучения темы приема построения графиков линейной функции.
Первый способ. Использование «загущения» точек на графике. Предполагается следующая последовательность действий по этому приему:
а) нанесение нескольких точек;
б) наблюдение – все построенные точки расположены на одной прямой; проведение этой прямой;
в) проверка: берем произвольное значение аргумента и вычисляем по нему значение функции; наносим точку на координатную плоскость – она принадлежит построенной прямой. Отсюда делается вывод о графике данной линейной функции.
Этот способ безусловно может привести к пониманию того, что график и любой линейной функции – прямая, т. е. к выделению некоторого общего свойства класса линейных функций. Однако последовательное проведение приема требует большого времени и не может быть проделано более нескольких раз. Поэтому общее свойство будет при этом формироваться на основе изолированных примеров.
Второй способ. По двум точкам. Этот способ уже предполагает знание соответствующего свойства графиков линейных функций. Выявления новых свойств здесь не происходит, поскольку внимание, как и при первом способе, сосредоточивается на конкретной функции из класса. Заметим, что в обучении происходит последовательная смена этих способов: когда общее свойство графиков усвоено (при рассмотрении первого способа), начинают применять второй – он экономнее и обоснован геометрически, поскольку через две точки проходит одна и только одна прямая.
Для того чтобы изучить класс линейных функций в совокупности его общих свойств, необходимо поставить новую для учащихся познавательную задачу: исследовать класс функций у=kх+b в зависимости от параметров, установить геометрический смысл параметров. Эта задача возникает сразу же вслед за введением понятия функции. Наиболее естественный прием, который может быть применен, состоит в рассмотрении одновременно нескольких функций, у которых один из параметров изменяется, а другой остается постоянным. Простейшая система, реализующая этот прием, состоит из четырех заданий с их последующим анализом и установлением связей между ними.
Пример 5. Постройте графики функций:
у=0,5x; y=0,5x+0,5; y=1,5x; у=1,5x+0,5.
Основная часть работы начинается после построения графиков. Их нужно сравнить, обращая внимание на особенности графиков в зависимости от числовых значений коэффициентов. Опишем, например, методику выяснения геометрического смысла коэффициентов при переменной.
Рисунок 2. Графики линейной зависимости
Следует обратить внимание на то, что графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс одинаковые углы, это же имеет место и для графиков (в) и (г). Кроме того, графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс меньшие углы, чем (в) и (г). С другой стороны, коэффициенты при переменной в формуле для первой и второй функций одинаковы и меньше, чем соответствующие коэффициенты у третьей и четвертой функций. Можно после этого сформулировать вывод о зависимости рассмотренного угла от коэффициента, ввести термин «угловой коэффициент» и привести несколько закрепляющих упражнений.
Значительные трудности представляет случай отрицательных значений углового коэффициента; для него требуется отдельная работа, построенная аналогичным образом.
Приведём пример закрепляющего упражнения: на одном и том же чертеже изображены графики функций у =3x+2; у=3/4x+2.
Построить на этом же чертеже графики функций у = 3х–1;
у =3/4х – 1; объяснить построение.
Если параметры, определяющие класс функций, имеют ясный геометрический смысл, то описанный прием изучения дает достаточно полное представление об этом классе. Однако в школьном курсе алгебры рассматриваются и такие классы, при изучении которых оказывается необходимым использовать и другие приемы.
Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями и неравенствами.
Первой из этого класса функций, в значительной степени еще вне изучения собственного класса, рассматривается функция у=х2. Свойства этой функции во многом отличаются от рассмотренного ранее случая линейных функций. Прежде всего, эта функция немонотонна; только на этом этапе у учащихся появляется пример функции, отличной от линейных, которые монотонны на всей области определения. Чтобы подчеркнуть указанное отличие, полезно предложить учащимся следующее задание: функция задана формулой у=х2 на промежутке –2 ≤ х ≤ 3. Найти множество значений этой функции. Перенося свойство монотонности с класса линейных функций на функцию у=х2, учащиеся часто делают ошибку, приводя ответ - промежуток 4 ≤ x ≤ 9. Эта ошибка для своего устранения требует рассмотрения графика функции у=х2.
Другое отличие состоит в том, что характер изменения значений функции у=х2неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других – медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем целесообразно рассмотреть два графика: один – в крупном масштабе на промежутке,–1≤ x ≤ 1, другой–в мелком масштабе на промежутке, например, –3≤ х ≤ 3. Построение можно вести описанным выше методом загущения. Важно отметить свойство параболы – симметричность относительно оси абсцисс; в дальнейшем это свойство приведет к рассмотрению класса четных функций, причем именно функция у = х2 будет ведущим примером функции этого класса.
Наиболее существенное применение, эта функция имеет при рассмотрении понятия иррационального числа. Первый пример иррационального числа (–2) может быть введен различными способами, но независимо от этого необходимо объяснить его связь с графическим методом решения уравнения х2=2.
Изучение класса квадратичных функций начинается с изучения функций вида у=ах2; при этом выясняется геометрический смысл коэффициента а. Далее вводится более широкий класс функций, имеющий вид у=ах2+с. И здесь также коэффициент с получает ясную геометрическую интерпретацию, подойти к которой можно либо явно используя понятие параллельного переноса вдоль оси ординат, либо независимым рассуждением.
Пример 6. Задан график функции у=х2. Построить на этом чертеже график функции у=х2+1.
Заметим, что при заданном значении аргумента хо (рассматриваются, конечно, конкретные значения) значения функции у=х2+1 на одно и то же число, равное 1, больше значений функции у=х2. Поэтому для построения соответствующей точки на графике второй функции достаточно поднять на 1 точку графика первой функции с абсциссой Хо. Следовательно, чтобы построить весь график второй функции, нужно поднять на 1 график первой.
Это рассуждение хорошо усваивается учащимися, целесообразно применить его и при изучении класса линейных функций. В дальнейшем при обобщении свойств графиков его можно сформулировать так: «Чтобы построить график функции у=f(x)+с по известному графику функции у=f(х), можно произвести параллельный перенос второго графика на с единиц вдоль оси ординат».
После этой подготовки, казалось бы, можно приступить к изучению графиков произвольных квадратичных функций. Но здесь возникает трудность: коэффициент при первой степени неизвестного не имеет для квадратичной функции у=ах2+bх+с достаточно простого геометрического смысла. Именно поэтому приходится идти обходным путем, следуя тем же преобразованиям, которые производились при выводе формулы решения квадратного уравнения, и вводить в рассмотрение новый подкласс квадратичных функций вида у=а(х–b)2. Объяснения при построении графиков здесь в целом могут быть такими же, как при рассмотрении функций вида у=x2+с, однако усваивается предлагаемый способ здесь с большим трудом, поэтому требуется достаточное количество упражнений для закрепления. После таких приготовлений построение графика, а также изучение его свойств происходят без принципиальных затруднений.
Отметим здесь один частный, но полезный прием, который состоит в использовании системы заданий, имеющих цель – дать представление о тех или иных чертах данной функции или целого класса без указания точного значения величин, связанных с рассматриваемым вопросом. Этот прием можно назвать качественным или оценочным исследованием функции. Приведем два примера, связанные с изучением квадратичных функций.
Пример 7. На рисунке изображены графики функций у=х2 и у= –0,5х2. Как относительна них пройдет график функции y=0,5х2; –2х2; Зх2? Это задание не предполагает «точного» построения искомого графика; достаточно лишь указание на область, где он расположен, или его эскизное построение.
Пример 8. На рисунке 3 изображен график функции у=х2+1, –2<х<2. Пользуясь этим чертежом, изобразить от руки график функции у=х2+ 0,3. Проверить правильность сделанного эскиза: вычислить значения функции у = х2при х=±0,5; ±1,5 и отметить точки графика. Каким преобразованием можно перевести график функции
у=х2–1в график функции у=х2?
Цель задания — согласовать зрительный образ графика, его геометрические свойства и формулу. График функции у = x2 + 0,3 симметричен относительно оси ординат, значит, рисунок не должен быть скошенным.
Рисунок 3. График квадратичной зависимост
Его симметричность подчеркивается симметричным расположением «пробных» значений аргумента. Положение точек на чертеже должно выправить распространенную неточность в изображении графиков квадратичных функций: нарисованные от руки ветви параболы, как правило, расположены гораздо шире, чем должны быть. Поэтому пробные точки (их ординаты вычисляются по условию, а не ищутся по чертежу) попадают в полосу между изображенными линиями. То, что графики сближаются по мере удаления от начала координат, требует пояснений, которые можно сделать при обсуждении.
К изучению класса кубических функций привлекается прием, аналогичный изучению квадратичных функций, основанный на использовании геометрических преобразований для построения графика произвольной кубической функции из кубической параболы стандартного положения – графика функции у=ах³, а≠0 (рисунок 4).
Рисунок 4. График кубической параболы
Как и в случае с квадратичной функцией у=х² видим, что характер изменения значений функции у=х³ неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других – медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем целесообразно рассмотреть два графика: один – в крупном масштабе на промежутке, –1 ≤ x ≤ 1, другой–в мелком масштабе на промежутке, например, –2 ≤ х ≤ 2. Построение можно вести описанным выше методом загущения. Важно отметить свойство кубической параболы – симметричность её графика относительно начала координат.
Далее вводится более широкий класс функций, имеющий вид у=ах3+с (рисунок 5). И здесь также коэффициент с получает ясную геометрическую интерпретацию, подойти к которой можно либо явно используя понятие параллельного переноса вдоль оси ординат, либо независимым рассуждением.
Пример 9. Задан график функции у=х³. Построить на этом чертеже график функции у=х³–2.
Рисунок 5. График функции вида у=ах3+с
Здесь также можно поступить по аналогии с рассмотренными примерами при рассмотрении квадратичной функции.
Далее необходимо подвести учащихся к основным свойствам функции y=x3:
Область определения – вся числовая прямая;
y=x3–нечетная функция;
Функция возрастает на всей числовой прямой.
2.3 Методика введения понятия обратной функции и функции вида y=х в VIII классе
Понятие обратной функции не имеет аналогов, поэтому приходится вводить их посредством явного определения. Роль обратной функции велика. Использование обратной функции необходимо для введения большого количества классов основных элементарных функций: корня k-й степени, логарифмической, обратных тригонометрических функций. При изучении обратной функции выясняется зависимость ее монотонности от монотонности исходной функции – это необходимо для того, чтобы обосновать существование обратной функции и подробно рассматривать взаимное расположение графиков данной и обратной функций.
Преподаватель может подвести учащихся к понятию обратной функции, поставив новую для учащихся познавательную задачу. На основе усвоенного учениками важного представления, входящего в понятие функции,– однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции провести следующее рассуждение:
«Каждому допустимому значению переменной x равенство y=f(x) ставит в соответствие вполне определенное значение переменной величины y. Однако в некоторых случаях соотношение y=f(x) можно рассматривать и как такое равенство, которое каждому допустимому значению переменной величины y ставит в соответствие вполне определённое значение переменной величины x.» Далее следует пояснение данного сопоставления на примере.
Пример 10. Равенство y=2x–1 каждому значению y ставит в соответствии следующее значение x: x=(y+1)/2. например приу=1 х=1; при у=2х=1,5; при у=3х=2 и так далее. Поэтому можно сказать что равенство y=2x–1 определяет х как некоторую функцию переменной величины у. В явном виде эта функция записывается таким образом:x=(y+1)/2.
«Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы:
y=f(x), их=φ(у) во второй формуле у выступает в качестве аргумента, а х – в роли функции. Переписав в привычном виде мы получим у=φ(х).
Определенная таким образом функция у=φ(х) называется обратной по отношению к функции y=f(x).
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает (убывает) на Y.
Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x».
Методика введения понятия функции вида y=х основана на на аналогичном примере
Пример 11. Пусть длина стороны квадрата равна а см, а его площадь Scм². Каждому, значению стороны квадрата а соответствует единственное значение его площади S. Зависимость площади квадрата от его стороны выражается формулой S=a², где a>0. Наоборот, для каждого значения площади квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение стороны а. Зависимость стороны квадрата от eго площади выражается формулой a=S Формулами S=a², где a>0, a=S задаются функциональные зависимости между одними и теми же переменными, однако в первом случае независимой переменной является сторона квадрата a, а во втором – площадь S.
Рисунок 6. Примеры графиков функций
Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы:
у=х² , где х>0, и у=x.
Приведем примеры графиков функций (рисунок 6).
Построим график известной учащимся функции у=х² и предложить им составить таблицу значений функции у=x.(таблица 3)
Таблица 3
Таблица значений функции у=x.
Х 0 0,5 1 2 3 4 5 6
У 0 0,7 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4
По точкам таблицы построить график функции у=x.и затем предложить сформулировать некоторые свойства функции.
Подвести учащихся к понятию симметричности графиков относительно
прямой у=х.
Для закрепления темы найти по графику значения аргумента по функции и наоборот.
Пример 12. Пользуясь графиком найдите:
а) значение x.при х=0,5; 5,5; 8,4;
б) значение х, которому соответствует x.=1,2; 1,7; 2,5.
Таким образом, отметим, что рассмотренные выше подходы к изучению функций в школе не охватывают все многообразие способов и методов изучения этого понятия. Они лишь являются основными, наиболее разработанными подходами к вопросу об изучении функций в школе, ориентируясь на которые можно разрабатывать новые, специфические методы обучения, которые были бы лишены недостатков вышеперечисленных подходов и были бы следующим шагом в деле обучения математике в школе.
2.4 Разработка урока для формирования представлений о функциональной зависимости в VIII классе средней школы
Для формирования представлений о функциональной зависимости у младших школьников целесообразно будет разработать конспект урока «Развитие функциональной зависимости в 8 классе».
Цель: формировать умение читать и строить график функции, заданной аналитически.
Задачи:
образовательные:
– сформировать понятие «график функции»;
– обучить читать и строить график функции, заданной аналитически;
– познакомить учащихся с различными графиками и отраслями знаний, в которых они могут быть использованы;
воспитательные:
– воспитывать у учащихся аккуратность, наблюдательность, любознательность и положительную мотивацию к учению;
развивающие:
– расширять познавательный интерес и кругозор учащихся;
– развивать речь, графические навыки, умение анализировать полученные результаты;
– развивать межпредметные связи между математикой и другими науками.
Тип урока: комбинированный урок с использованием мультимедиа технологий.
Ход урока
1. Организационный момент
2. Постановка цели и мотивация
Как заметил Г. Галилей, книга природы написана на математическом языке и её буквы – математические знаки и геометрические фигуры – невозможно понять её слова. И именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе [4].
Впервые функция вошла в математику под именем «переменная величина» в знаменитом труде французского математика и философа Р. Декарта «Геометрия» (1637 г.). С развитием науки понятие функции уточнялось и обобщалось.
3. Актуализация опорных знаний
Кроссворд «Функция» (рисунок 7).
Фронтальная работа с классом. Проверка знаний формулировок, определений, правил по теме «Функция».
INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://puzzlecup.com/crossword-ru/img/24x1.png" \* MERGEFORMATINET
1Ф У Н К Ц И Я
2А Р Г У М Е Н Т
3Н Е З А В И С И М А Я
4Г Р А Ф И Ч Е С К И Й
5А Б С Ц И С С А
6О Р Д И Н А Т А
7О П Р Е Д Е Л Е Н И Я
Рисунок 7. Кроссворд
По горизонтали:1. Зависимая переменная. 2. Независимая переменная. 3. Переменная, значение которой выбирают произвольно. 4. Способ задания функции. 5. Название координаты х на координатной плоскости. 6. Название координаты у на координатной плоскости. 7. Как называется область функции, которую образуют все значения независимой переменной.
По вертикали: 1. Зависимость одной переменной от другой.
4. Проверочная работа
С помощью теста «Что такое функция. Вычисление значений функций по формуле» проверяется на сколько усвоен учебный материал. Учащиеся самостоятельно выполняют задания теста, затем происходит взаимопроверка, учащиеся обмениваются с соседом тетрадями.
Тест «Что такое функция. Вычисление значений функций по формуле»
А1. Если стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 и 5, то зависимость его высоты h от объема V можно задать формулой h = 15:V. Укажите область определения этой функции.
1) h > 0; 2) h 0;
3)V 0;
4) V 0.
А2. Функция задана формулой у = х2 – 23. Найдите значение функции при х = 4.
1) – 7; 2) – 15; 3) 16; 4) 4.
А3. Расстояние между городами равно 900 км. Машина едет из одного города в другой со скоростью U км/ч и преодолевает это расстояние за tчасов. Задайте формулой зависимость времени t от скорости машины U.
1) U = 900 : t ;
2) t = 900 : U;
3) t = 900U;
4) Ut =900.
А4. Дана функция . Найдите значение аргумента, при котором значение этой функции равно 12.
1) 1; 2) 9; 3) – 1; 4) 15,5.
А5. В область определения функции, заданной формулой , не входит число.
1) 5; 2) – 5; 3) – 2; 4) 2.
5. Объяснение нового материала
1) Формирование представления о графике функции на основе связи аналитического, табличного и графического способов задания функции.
Учитель: на предыдущих уроках мы уже познакомились с основными способами задания функции. Особое внимание было уделено связи аналитического и табличного способов. На этом уроке наша задача – показать, что эти два способа тесно связаны с графическим, причем его особенность в том, что с помощью графика мы можем наглядно представлять функциональную зависимость не только для точечной, но и бесконечной области определения функции:
задание функциональной зависимости
Рисунок 8. Схема задания функциональной зависимости
2) Построение графика функции по точкам.
Учитель: Функция задана формулой у = х(х – 3), где – 2 х 2. Заполните таблицу 4.
Таблица 4
Функция вида у = х(х – 3), где – 2 х 2.
х – 2 – 1,5 – 1 – 0,5 0 0,5 1 1,5 2
у Построить график, соединив эти точки плавной линией.
Необходимо сделать вывод: по точкам можно построить график любой функции, заданной таблично или аналитически (с помощью формулы).
3) введение определения понятия графика функции
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Рисунок 9. Определение функции
Физкультминутка (Упражнения для глаз .)
1. Закрыть глаза. Отдых 10–15 с. Открыть глаза. Повторить 2–3 раза.
2. Закрывать и открывать глаза, крепко сжимая веки. Повторить 5–6 раз. Закрыть глаза, расслабить веки, 10–15 с.
3. Быстро поморгать глазами. Закрыть глаза. Отдых 10–15 с. Открыть глаза.
4) Работа по изображенному графику функции.
Пример 2 с. 60 учебника (Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев и др; под ред. С.А. Теляковского. – М. : Просвещение, 2011г.) изучаем работу по изображенному графику на нахождение значения функции по заданному значению аргумента и обратное задание.
Работа по графику из № 283, вопросы:
а) Сколько точек пересечения с осью х имеет график? Каково значение у в этих точках?
б) Сколько точек пересечения с осью у имеет график? Каково значение х в этой точке?
в) Сравните значения функции в точках –2 и 1.
г) Назовите координаты какой-нибудь точки графика, у которой значения аргумента и функции положительны; значение аргумента положительно, а функции – отрицательно и т. д.
5) Презентация творческой работы «Применение графиков функций».
Учащийся (группа учащихся) представляют презентацию «В каких же отраслях знаний могут быть использованы графики?»
6. Формирование умений и навыков
1. № 284
2. № 285 (1 вариант – рис. 15, 2 вариант – рис. 16), двое учащихся работают у доски.
7. Итоги урока
Вопросы для учащихся:
– Что называется графиком функции?
– Как построить график функции, заданной формулой?
– Как по графику найти значение функции, соответствующее данному значению аргумента?
– Как по графику функции найти значение аргумента, которому соответствует данное значение функции?
– Как по графику зависимости определить, является ли она функцией?
8. Рефлексия
Закончи предложение:
Что узнали, изучив тему…
Чему научились, изучив тему…
Какие испытали трудности…
9. Домашнее задание:
1. п. 14, определение, № 286–288.
2. Творческое задание: проект «Функции в пословицах и поговорках». (Показать примеры).
Таким образом, отметим, что разработанный конспект урока возможно использовать в школьном курсе математике для формирования идеи функциональной зависимости у школьников 8 классе образовательного учреждения.
Заключение
В ходе дипломного исследования изучены теоретические аспекты развития функциональной идеи в школьном курсе математики и рассмотрена методика развития функциональной идеи в курсе математического образования в средних классах.
Изучив понятие и развитие идеи функциональной зависимости в школьном курсе математике, можно отметить, что понятие функции выступает в курсе математики как определённая математическая модель, что и является мотивировкой для его углублённого изучения. Функциональная зависимость – это зависимости одной переменной от другой. Функциональная зависимость двух количественных признаков или переменных состоит в том, что каждому значению одной переменной всегда соответствует одно определенное значение другой переменной.
Функциональная линия школьного курса математики, является одной из ведущих курса алгебры, алгебры и начал анализа. Основной особенностью учебного материала этой линии является то, что с его помощью можно устанавливать разнообразные связи в обучении математике.
Анализируя ход развития педагогических идей в области преподавания важнейшей составляющей математики – функциональной зависимости, в работе выделено несколько этапов. Первый этап –этап введения понятия функции (в основном, через аналитическое выражение) в школьный курс математики. Второй этап введения понятия функции в курс алгебры средней школы характеризуется в основном переходом к графическому изображению функциональной зависимости и расширением круга изучаемых функций. Третий этап развития русской школы начался в 20-е гг. двадцатого столетия. Четвертый этап обусловлен переводом экономики РСФСР на плановую основу. В 1931–34 годы была предпринята попытка перехода школьного образования на позиции систематического и прочного усвоения наук.
Рассмотрена функциональная пропедевтика в начальном курсе математики. Пропедевтикой называется совокупность сведений и знаний, которыми необходимо запастись до начала какого-нибудь научного или специального занятия. Пропедевтика функциональной зависимости способствует формированию мыслительных операций и воспитанию интеллектуальных качеств личности. Обобщив основные цели изучения учебного содержания функциональной линии курсов Л. Г. Петерсон и Н. Я. Виленкина, отметим, что развитие функционально-аналитического мышления школьников, характеризующегося способностью рассматривать объекты, в том числе и математические, во взаимосвязи и взаимозависимости; формирование у учащихся способности к выражению зависимости между величинами разными способами (таблично, аналитически, графически).
На основе функциональных представлений в ходе дипломной работы нами разработаны учебные задания, направленные на их формирование: задания на формирование представлений об изменении и зависимости: на изменение результата арифметического действия в зависимости от изменения его компонентов; на использование основного свойства дроби; задания на формирование представления о закономерности, задания на формирование представления о соответствии: на соотнесение предметной, графической и символической моделей; на установление соответствия между символическими моделями.
В работе был проведен анализ методик формирования представлений о функциональной зависимости у школьников 7–8 классов. Во второй части дипломной работы рассматриваются общие вопросы методики введения понятий: независимой и зависимой переменной, функциональной зависимости, аргумента, функции, области определения функции. Приводятся примеры.
Вторая часть дипломной работы направлена на рассмотрение вопросов методики изучения в VII–VIII классах школьного курса математики функций, образующих классы, которые обладают общностью аналитического способа задания функций, сходными особенностями графиков, областей применения. Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических для неё, с общим представлением о функции. Особое внимание уделено методике изучения линейной, квадратичной и кубической функций и их графиков, а также рассматриваются понятия обратной функции и функции вида у=x.
Кроме того нами была предложена разработка урока в 8 классе, направленного на формирования функциональной зависимости у младших школьников. Разработанная программа урока позволит закрепить знания школьников о функциональной зависимости в различных ее проявлениях.
Список использованных источников
Алгебра. 7 класс: поурочные планы по учебнику Ю. Н. Макарычева [и другие] (компакт-диск) – издательство «Учитель», 2011. – 305 с.
Алгебра: учеб.для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев [и др.]; под ред. С. А. Теляковского. – М. : Просвещение, 2011. – 259 с.
Аматова, Г. И. Математика /Г. И. Аматова, М. А. Аматов. – М.: Московский психолого-социальный институт, 2004. – 337 с.
Бабанский, Ю. К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса / Ю. К. Бабанский.– М.: Просвещение, 1982. – 192 с.
Байрамукова, П. У. Внеклассная работа по математике / П. У. Байрамукова. – М.: Райл, 2009. – 214 с.
Брейтнгам, Э. К. Обучение математике в личностно-ориентированной модели образования/ Э. К. Брейтнгам // Педагогика. – 2014. – № 10. – С. 45–48.
Виленкин, Н. Я. Функции в природе и технике: книга для внеклассного чтения / Н. Я. Виленкин. – М. : Просвещение, 1978. – 192 с.
Гельфанд, И. М. Функции и графики (основные приемы) /И. М. Гельфанд. – М.: Наука, 1973. – 432 с.
Глазков, Ю. А. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре: 7 класс: к учебнику Ю. Н. Макарычева и др. / Ю. А. Глазков. – М.: Экзамен, 2011. – 229 с.
Груденов, Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики / Я. И. Груденов. – М.: Просвещение, 1990. – 188 с.
Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: состояние, перспективы (методическая подготовка учителя математики в педвузе в условияхфундаментализации образования) : материалы Всероссийской научной конференции / под ред. Г. И. Саранцева. – Саранск :Мордов. гос. пед. ин-т, 2005. – 225 с.
Гурова, Л. Л. Психологический анализ решения задач /Л. Л. Гурова. – 1976. – 156 с.
Гусев, В. А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе/В. А. Гусев // МШ. – 2012. – №4. – С.27–32.
Гусев, В. А. Как помочь ученику полюбить математику? /В. А. Гусев. – М.: Авангард, 1994. – 168 с.
Давыдов, В. В. Основные проблемы развития мышления в процессе обучения/ В. В. Давыдов // Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии. – М.,1981. – 312 с.
Егерев, В. К. Методика построения графиков функций /В. К. Егерев, Б. А. Радунский, Д. А. Тальский. – М.: Высш.шк., 1970. – 150 с.
Егорченко, И. В. Фундаментализация математического образования: аспекты, особенности трактовок, направления реализации / И. В. Егорченко // Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: состояние, перспективы (методическая подготовка учителя математики в педвузе в условиях фундаментализации образования : материалы Всероссийской научной конференции. – Саранск :Мордов. гос. пед. ин-т, 2005. – С. 7–10.
Епишева, О. Б. Общая методика преподавания математики в школе: Курс лекций : учеб.пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. вузов / О. Б. Епишева. – Тобольск: Изд-во ТГПИ, 1997. – 124 с.
Капкаева, Л. С. Лекции по теории и методике обучения математике. Частная методика : учеб.пособие для студентов мат. спец. пед. вузов: В 2 ч. Ч. 1 / Л. С. Капкаева ; Мордов. гос. пед. ин-т. – Саранск, 2009. – 262 с.
Концепция математического образования (в 12-летней школе) // Математика в школе. – 2011. – № 2. – С.13–18.
Короткова, Л. М. Элементарные функции. Требования к математической подготовке учащихся 7–9 классов / Л. М. Короткова. – М.: Математика. Приложение к газете «Первое сентября», 1994. – № 7. – С. 26–29.
Кравец, Е. В. Числа и функции в тестах: учеб.-метод. пособие /Е. В. Кравец, А. М. Радьков. – Мн.: Изд. В. М. Скакун, 2000. – 192 с.
Крупич, В. И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач / В. И. Крупич. – М.: Прометей, 1995. – 176 с.
Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс: учеб.для общеобразоват. учеб. заведений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева ; под ред. Г. В. Дорофеева. – М.: Дрофа, 1998. – 288 с.
Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 8 класс : учеб.для общеобразоват. учеб. заведений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева ; под ред. Г. В. Дорофеева. – М.: Дрофа, 1998. – 242 с.
Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 9 класс: учеб.для общеобразоват. учеб. заведений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева ; под ред. Г. В. Дорофеева. – М.: Дрофа, 1998. – 245 с.
Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики : учеб.пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / сост. Ю. М. Колягин [и др.]. – М. : Просвещение, 1977. – 480 с.
Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика : учеб.пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / сост. В. И. Мишин [и др.]. – М. : Просвещение, 1987. – 416 с.
Оганесян, В. А. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика : учеб.пособ. для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин [и др.]. – М. : Просвещение, 1980. – 368 с.
Окунев, А. К. Квадратные функции, уравнения и неравенства в курсе математики средней школы / А. К. Окунев. – М., 1972. – 195 с.
Онищук, В. А. Урок в современной школе / В. А. Онищук. – М.: Просвещение, 1981. – 229 с.
Саранцев, Г. И. Гуманизация и гуманитаризация математического образования/ Г. И. Саранцев // Педагогика. – 1999. – № 4. – С. 39–44.
Саранцев, Г. И. Методология методики обучения математике /Г. И. Саранцев. – Саранск: Тип. «Крас. Окт.», 2001. – 144с.
Саранцев, Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях / Г. И. Саранцев // Математика в школе. – 1999. – №6. – С. 36–41.
Саранцев, Г. И. Методическая система обучения предмету как объект исследования/ Г. И. Саранцев // Педагогика. – 2005. – №2. – С.30– 36.
Теляковский, С. А. О понятии функции в школьном курсе математики/ С. А. Теляковский// МШ. – № 4. – 1989. – С. 90–91.
Фридман, Л. М. Как научиться решать задачи /Л. М. Фридман, Е. Н. Турецкий. – М.: Просвещение, 2011. – 192 с.
Цыдыпова, Е. Д. Некоторые пути ознакомления школьников с функциональной зависимостью / Е. Д. Цыдыпова// Начальная школа. – 2014 –№1. – С.31–36.
Шикова, Р.Н. Решение задач на движение в одном направлении / Р.Н. Шикова // Начальная школа. – 2013. – № 12. – С. 48–52.
Эрдниев, П. М. Теория и методика обучения математике в школе / П. М. Эрдниев, Б. П. Эрдниев. – М.: Педагогика, 2011. – 208 с.