Лабораторные работы к курсу
Лабораторная работа №1
Задание: Используя, алгоритм половинного деления, найти корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью 13 EMBED Equation.3 1415.
Порядок выполнения работы
Графически или аналитически отделить корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 (т.е. найти отрезок 13 EMBED Equation.3 1415, на котором функция 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяет условиям Больцано-Коши).
Составить процедуру для вычисления 13 EMBED Equation.3 1415.
Составить программу, содержащую алгоритм половинного деления и печать результатов. (Программа должна содержать счетчик итераций).
Провести вычисления по программе.
Составить отчет о проделанной работе.
Пример. Найти отличный от нуля корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, с четырьмя верными знаками после запятой.
Искомый корень легко отделяется графически. Для этого нужно преобразовать уравнение к виду 13 EMBED Equation.3 1415 и построить графики функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Точки пересечения наших графиков и будут искомые решения данного уравнения. Искомый корень лежит на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Для того, чтобы найти корень с тремя верными знаками после запятой, полагаем 13 EMBED Equation.3 1415=0.0005. В этом случае головная программа, вспомогательные функция и процедура просты и не требуют комментариев:
Function f(x: real): real;
begin
f=x*x-5*sin(x);
end;
Procedure pol_del;
begin
while b-a
c:=(b+a)/2;
y:=f(c);
writeln(c);
if y*f(a)<0 then b:=c else a:=c;
end;
end;
begin
writeln(Введите значения параметров a, b, eps’);
readln(a,b,eps);
pol_del;
writeln(корень уравнения - ’,c);
end
В результате выполнения программы был получен результат:
корень уравнения – 2.08631Е+00.
Варианты заданий
№ варианта
Задание
a
b
c
d
A
B
1
Найти наименьший положительный корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
0,6319
0,9217
2
9,4637
13,8249
3
0,9464
1,3825
4
8,5174
12,4424
5
1,8927
2,7650
6
4,4164
6,4516
7
Найти больший корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, где13 EMBED Equation.3 1415
0,3049
0,3436
0,5
8
9,1464
10,3081
1,0
9
0,6098
0,6872
1,5
10
8,5366
9,6209
2,0
11
0,9146
1,0308
2,5
12
7,9268
8,9337
3,0
13
Найти наименьший положительный корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
0,33
2,3
0,5
14
10
7,375
7,75
15
1
2,2
1
16
6,3
5,189
5
17
1,67
2,5
1,5
18
8
6,18
6,25
19
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
0,312
0,7586
20
0,893
0,52
21
0,0385
0,963
22
0,944
0,51
23
0,25
0,8
24
0,67
0,6
25
0,5
0,667
26
0,6857
0,56
27
0,982
0,503
28
Найти корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
0,8896
-2,813
-3,6929
11,2
1
3
29
0,107
-0,4613
-2,3738
5,44
0
4
30
1,2755
-3,601
-1,37
6,76
1
3
Лабораторная работа №2
Задание: Используя, алгоритм метода хорд, найти корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью 13 EMBED Equation.3 1415.
Порядок выполнения работы
Графически или аналитически отделить корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 (т.е. найти отрезок 13 EMBED Equation.3 1415, на котором функция 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяет условиям Больцано-Коши).
Оценить значения первой и второй производной.
Найти наименьшее 13 EMBED Equation.3 1415и наибольшее 13 EMBED Equation.3 1415 значения первой производной.
Составить процедуру для вычисления 13 EMBED Equation.3 1415.
Составить процедуру для вычисления 13 EMBED Equation.3 1415.
Составить процедуру для вычисления 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то сравнение 13 EMBED Equation.3 1415, иначе 13 EMBED Equation.3 1415
Составить программу, содержащую метод хорд и печать результатов. (Программа должна содержать счетчик итераций, а также сведения о том, какая из точек является неподвижной).
Провести вычисления по программе и сравнить с результатами половинного деления.
Составить отчет о проделанной работе.
Пример. Найти отличный от нуля корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, с четырьмя верными знаками после запятой.
Искомый корень легко отделяется графически. Для этого нужно преобразовать уравнение к виду 13 EMBED Equation.3 1415 и построить графики функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Точки пересечения наших графиков и будут искомые решения данного уравнения. Искомый корень лежит на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Для того, чтобы найти корень с тремя верными знаками после запятой, полагаем 13 EMBED Equation.3 1415=0.0005. Находим первую и вторую производные: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Легко видеть, что 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 положительна (так как cosx<0) и 13 EMBED Equation.3 1415 положительна (так как sinx>0), поэтому для уточнения корней можно применять метод хорд. Наибольшее и наименьшее значения первой производной находятся решая задачу о наибольшем и наименьшем значениях функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Находим критические точки этой функции: 13 EMBED Equation.3 1415. Найденные критические точки на лежат на рассматриваемом промежутке 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому наибольшее и наименьшее значения находятся на концах промежутка: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. В этом случае головная программа, вспомогательные функция и процедура просты и не требуют комментариев:
Function f(x: real): real;
begin
f=x*x-5*sin(x);
end;
Function f1(x: real): real;
begin
f=2*x-5*cos(x);
end;
Function f2(x: real): real;
begin
f=2+5*sin(x);
e
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·‘Введите значения параметров a, b, eps, m1, M1’);
readln(a,b,eps, m1,M1);
met_hord;;
writeln(корень уравнения - ’,y);
end.
Лабораторная работа №3
Метод простых итераций решения уравнения f(x)=0
Метод простых итераций решения уравнения f(x)=0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением 13 EMBED Equation.3 1415 и построении последовательности 13 EMBED Equation.3 1415, сходящейся при 13 EMBED Equation.3 1415 к точному решению. Сформулируем достаточные условия сходимости метода простых итераций:
Теорема: Пусть функция 13 EMBED Equation.3 1415 определена и дифференцируема на 13 EMBED Equation.3 1415, причем все ее значения 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда, если существует число q, такое, что 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, то последовательность 13 EMBED Equation.3 1415 (n=0, 1, 2,)сходится к единственному на 13 EMBED Equation.3 1415 решению уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 при любом начальном значении 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. При этом, если на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 производная 13 EMBED Equation.3 1415 положительна, то13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415 отрицательна, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Опишем один шаг итераций. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения xn-1, вычисляем 13 EMBED Equation.3 1415. Если 13 EMBED Equation.3 1415, полагают xn=у и выполняют очередную итерацию. Если же 13 EMBED Equation.3 1415, то вычисления заканчивают и за приближенное значение корня принимают величину xn=у. Погрешность полученного результата зависит от знака производной 13 EMBED Equation.3 1415. При 13 EMBED Equation.3 1415>0 корень найден с погрешностью 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415<0, то погрешность не превышает 13 EMBED Equation.3 1415.
При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции 13 EMBED Equation.3 1415 в уравнении 13 EMBED Equation.3 1415, эквивалентном исходному. Для метода итераций следует подбирать функцию 13 EMBED Equation.3 1415 так, чтобы 13 EMBED Equation.3 1415. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности 13 EMBED Equation.3 1415 к корню с тем выше, чем меньше число q.
Пример. Найти корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью 13 EMBED Equation.3 1415.
Корни уравнения с1 и с2 легко отделяются графически. Они являются абсциссами точек пересечения графика y=ex с прямой у=10х. Из приведенного графика видно, что первый корень лежит на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, а второй – на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Для уточнения первого корня заменим исходное уравнение эквивалентным 13 EMBED Equation.3 1415, здесь 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. На отрезке 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, т.е.q=0,3. В качестве начального приближения выбираем х0=1. Вычисления прекращаем, когда 13 EMBED Equation.3 1415. Последовательные приближения в этом случае таковы:
0,271828
0,131236
0,114024
0,112078
0,111860
0,111835
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то принимаем с=0,111835. В этом результате все знаки верные.
Для определения второго корня представляем исходное уравнение в виде 13 EMBED Equation.3 1415. Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 и при 13 EMBED Equation.3 1415производная 13 EMBED Equation.3 1415 оценивается сверху: 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. q=0,5. Если в качестве начального приближения взять х0=2, то получаем следующие последовательные приближения:
2,99573
3,39977
3,52629
3,56283
3,57314
3,57603
3,57684
3,57706
3,57713
Принимаем с=3,57713 с погрешностью 0,0001, так как 13 EMBED Equation.3 1415.
Приведем часть программы, в которой реализована логика метода простых итераций:
Procedure Met_iter;
begin
p:=b-a;
while p>eps do begin
y:=g(x);
p:=abs(x-y);
x:=y;
end;
end;
begin
readln(x, q,eps);
if q>0.5 then eps:=(1-q)/q*eps;
met_iter;
writeln (x);
end.
Задание к лабораторной работе: Используя приведенную программу, найти корень уравнения f(x)=0 с заданной точностью 13 EMBED Equation.3 1415.
Порядок выполнения лабораторной работы:
Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x)=0.
Преобразовать уравнение f(x)=0 к виду 13 EMBED Equation.3 1415 так, чтобы в некоторой окрестности 13 EMBED Equation.3 1415 корня с производная 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяла условию 13 EMBED Equation.3 1415. При этом следует помнить, что чем меньше q, тем быстрее последовательные приближения сходятся к корню.
Выбрать начальное приближение, лежащее на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
Составить функцию для вычисления значений 13 EMBED Equation.3 1415.
Составить главную программу, содержащую обращение к процедуре Met_iter и вывод результатов (все приближения и счетчик итераций).
Сделать отчет о проделанной работе.
Варианты заданий
Найти корень уравнения f(x)=0 при заданных значениях коэффициентов.
№
f(x)
a
b
c
d
1
f(x)=tgax-bx
1,5773
2,3041
2
2,2082
3,2258
3
3,7855
5,5300
4
9,1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·0,7308
0,5778
27
0,833
0,5455
28
f(x)=ax3+bx2+cx+d
0,1697
-0,5693
-1,6
3,73
29
1,039
-3,145
-1,94
8
30
4,6839
-14,04
-2,448
23,5
Лабораторная работа №4
Метод касательных в решении уравнения f(x)=0.
Если известно хорошее приближение решения уравнения f(x)=0, то эффективным методом уточнения является метод касательных. Метод состоит в построении последовательности 13 EMBED Equation.3 1415, сходящейся к корню уравнения f(x)=0. Сформулируем достаточные условия сходимости метода.
Теорема. Пусть f(x) определена и дважды дифференцируема на 13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415, а производные 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, сохраняют свой знак на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда, исходя из начального приближения 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющего неравенству 13 EMBED Equation.3 1415, можно построить последовательность 13 EMBED Equation.3 1415, n=0,1,2,, сходящуюся к единственному решению с уравнения f(x)=0.
Метод касательных допускает хорошую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами 13 EMBED Equation.3 1415, провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью абсцисс и есть очередное приближение 13 EMBED Equation.3 1415 корня уравнения f(x)=0.
Для оценки погрешности n-го приближения корня можно воспользоваться неравенством: 13 EMBED Equation.3 1415, где М2 – наибольшее значение модуля второй производной 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415; m1 – наименьшее значение модуля первой производной 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, если 13 EMBED Equation.3 1415. Последнее соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро. Значит, если необходимо найти корень с точностью 13 EMBED Equation.3 1415, то итерационный процесс можно прекращать, когда
Варианты заданий
Найти корень уравнения f(x)=0.
№ варианта
Задание
a
b
c
d
1
13 EMBED
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·2
22
0,6304
0,6133
23
0,7
0,5882
24
0,8103
0,5224
25
0,875
0,533
26
0,9118
0,5231
27
0,9595
0,5103
28
13 EMBED Equation.3 1415
2,113
-6,44
-3,19
15,13
29
3,94
-11,79
-1,56
18,67
30
1,203
-3,53
-1,36
7,11
Порядок выполнения лабораторной работы.
Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x)=0. Убедиться, что на найденном отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 функция f(x) удовлетворяет условиям сходимости метода касательных.
Выбрать начальное приближение корня x0 13 EMBED Equation.3 1415 так, чтобы 13 EMBED Equation.3 1415.
Оценить снизу величину 13 EMBED Equation.3 1415, оценить сверху величину 13 EMBED Equation.3 1415.
По заданному 13 EMBED Equation.3 1415 для условия окончания итерационного процесса выбрать 13 EMBED Equation.3 1415.
Составить процедуру для метода касательных и головную программу, содержащую обращение к процедуре и вывод результатов (корень уравнения и счетчик итераций).
Сделать отчет о проделанной работе.
Лабораторная работа №5
Примерная программа для метода Гаусса:
Procedure Met_Gayssa;
begin
{прямой ход}
for k:=1 to n-1 do
for i:=1 to k+1 to n do begin
m[i]:=a[i;k]/a[k;k];
for j:=k to n do
a[i;j]:=a[i;j]-m[i]*a[k;j];
b[i]:=b[i]-m[i]b*[k];
end;
x[n]:=b[n]/a[n;n];
{обратный ход}
for i:=n-1 downto 1 do begin
h:=b[i];
for j:=i+1 to n do
h:=h-x[j]*a[i;j];
x[i]:=h/a[i;i];
ehd;
end;
Порядок выполнения лабораторной работы
Усовершенствовать процедуру Met_Gayssa, чтобы на каждом этапе строки матрицы переставлялись так, чтобы на главной диагонали оказался наибольший элемент k-го столбца.
Составить головную программу, содержащую обращение к Met_Gayssa и вывод результатов.
Сделать отчет о проделанной работе.
Пример. Решить систему уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Вычисления по программе привели к следующим результатам:
Х1=1, Х2=2, Х3=3.
Варианты заданий
Решить систему линейных уравнений
№ варианта
Матрица коэффициентов системы
Столбец свободных членов
1
1,84
2,32
1,83
2,25
2,60
2,06
2,53
2,82
2,24
-6,09
-6,98
-5,52
2
2,58
1,32
2,09
2,93
1,55
2,25
3,13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Лабораторная работа №6
Графический метод решения задачи линейного программирования
Графический метод используется для решения задач с двумя переменными следующего вида:
13 EMBED Equation.3 1415
Данный метод основывается на возможности графического изображен
·ия области допустимых решений задачи и нахождения среди них оптимального решения.
Область допустимых решений задачи строится как пересечение областей решений каждого из данных ограничений.
Областью решений линейного неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 является одна из полуплоскостей, на которые прямая 13 EMBED Equation.3 1415, соответствующая данному неравенству, делит координатную плоскость.
Для того чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство: если оно удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, содержащая данную точку, если же неравенство не удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, не содержащая данную точку.
Областью допустимых решений задачи является общая часть полуплоскостей – областей решений всех неравенств системы ограничений.
Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения используют линии уровня и опорные прямые.
Линией уровня называется прямая, на которой целевая функция задачи принимает постоянное значение. Уравнение линии уровня в общем случае имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415, где l – const. Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль 13 EMBED Equation.3 1415.
Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых значений и по отношению к которой эта область находится в одной из полуплоскостей.
Область допустимых решений задачи имеет не более двух опорных прямых, на одной из которых может находиться оптимальное решение.
Значение целевой функции на линиях уровня возрастают, если линии уровня перемещать в направлении их нормали, и убывают при перемещении линии уровня в противоположном направлении.
Алгоритм графического метода решения задач линейного программирования с двумя переменными:
Построить область допустимых решений.
Если область допустимых решений является пустым множеством, то задача не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений.
Если область допустимых решений является непустым множеством, построить нормаль линии уровня 13 EMBED Equation.3 1415 и одну из линий уровня, имеющую общие точки с этой областью.
Линию уровня переместить до опорной прямой в задача на максимум в направлении нормали, в задаче на минимум – в противоположном направлении.
Вариант
Задача
Вариант
Задача
Вариант
Задача
1
13 EMBED Equation.3 1415
11
13 EMBED Equation.3 1415
21
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415
12
13 EMBED Equation.3 1415
22
13 EMBED Equation.3 1415
3
13 EMBED Equation.3 1415
13
13 EMBED Equation.3 1415
23
13 EMBED Equation.3 1415
4
13 EMBED Equation.3 1415
14
13 EMBED Equation.3 1415
24
13 EMBED Equation.3 1415
5
13 EMBED Equation.3 1415
15
13 EMBED Equation.3 1415
25
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415
16
13 EMBED Equation.3 1415
26
13 EMBED Equation.3 1415
7
13 EMBED Equation.3 1415
17
13 EMBED Equation.3 1415
27
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415
18
13 EMBED Equation.3 1415
28
13 EMBED Equation.3 1415
9
13 EMBED Equation.3 1415
19
13 EMBED Equation.3 1415
29
13 EMBED Equation.3 1415
10
13 EMBED Equation.3 1415
20
13 EMBED Equation.3 1415
30
13 EMBED Equation.3 1415
Лабораторная работа №7
Интерполяционный многочлен Ньютона
Пусть функция f(x) задана на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 таблицей значений 13 EMBED Equation.3 1415 в равноотстоящих узлах 13 EMBED Equation.3 1415. Многочленом Ньютона степени n называют многочлен
13 EMBED Equation.3 1415, (1)
где коэффициенты многочлена находятся по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Подставим коэффициенты в (1):
13 EMBED Equation.3 1415
Введем обозначение 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона принимает вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Если n=1, то 13 EMBED Equation.3 1415. В этом случае получаем формулу линейной интерполяции.
Если n=2, то 13 EMBED Equation.3 1415 - формула квадратичной интерполяции.
Степень интерполяционного многочлена целесообразно брать не выше, чем порядок практически постоянных конечных разностей.
Для интерполяции по формуле Ньютона можно составить примерную программу:
Procedure Met_Nuton;
begin
writeln(Введите значение х, в котором нужно найти значение функции’);
readln(x);
S:=y[1];
u:=(x-x[1])/h;
A:=1;
for k:=0 to n-1 do begin A=A*(n-k)/(k+1);
S:=S+A*d[k];{d[k]=13 EMBED Equation.3 1415}
end;
end;
Порядок выполнения лабораторной работы:
Составить процедуру для ввода табличных данных в массивы x[i], y[i].
Составить процедуру для подсчета конечных разностей 13 EMBED Equation.3 1415, которые будут хранится в массиве d[i].
Написать головную программу, содержащую обращение к процедуре Met_Nuton.
Провести вычисления.
Написать отчет о проделанной работе.
Варианты заданий
X
Значения13 EMBED Equation.3 1415
В-1
В-2
В-3
В-4
В-5
В-6
В-7
В-8
В-9
В-10
В-11
0,1
5,998
6,030
5,85
6,310
5,650
6,323
3,88
4,08
3,90
4,03
3,82
0,2
5,820
6,072
5,619
6,308
5,431
6,523
3,86
4,18
3,83
4,23
3,44
0,3
5,754
6,297
5,569
6,546
5,250
6,646
3,84
4,38
3,60
4,49
3,16
0,4
5,828
6,428
5,426
6,855
5,000
7,256
3,91
4,46
3,47
4,71
2,95
0,5
5,627
6,425
5,237
7,073
4,790
7,487
3,71
4,44
3,31
5,00
2,73
0,6
5,597
6,473
5,025
7,770
4,569
7,827
3,49
4,55
3,05
5,26
2,40
0,7
5,693
6,592
4,988
7,225
4,296
8,133
3,51
4,66
3,14
5,36
2,27
0,8
5,469
6,815
5,037
7,739
4,065
8,402
3,68
4,89
2,83
5,87
1,85
0,9
5,413
6,786
4,586
7,995
3,837
8,581
3,74
4,86
2,66
5,67
1,88
1
5,526
6,925
4,575
8,063
3,519
9,014
3,47
5,04
2,53
5,89
1,32
1,1
5,344
7,116
4,445
8,247
3,281
9,049
3,60
5,22
2,35
6,16
1,18
1,2
5,304
7,053
4,353
8,472
2,926
9,571
3,51
4,99
2,49
6,65
1,15
1,3
5,352
7,224
3,933
8,627
2,801
9,891
3,48
5,39
2,19
6,39
0,85
1,4
5,301
7,439
3,899
8,936
2,546
10,073
3,30
5,56
1,82
6,81
0,48
1,5
5,424
7,302
3,793
9,082
2,232
10,406
3,23
5,42
1,69
7,08
0,18
1,6
4,996
7,426
3,473
9,076
2,016
10,821
3,26
5,85
1,54
7,24
-0,01
1,7
5,080
7,797
3,551
9,363
1,794
11,151
3,14
5,99
1,22
7,61
-0,12
1,8
5,256
7,871
3,171
9,679
1,663
11,232
3,17
5,85
1,17
7,64
-0,60
1,9
5,090
7,929
3,330
9,846
1,375
11,655
2,96
6,01
1,04
8,03
-0,68
2,0
5,053
8,060
3,044
10,013
1,217
11,952
2,81
5,97
1,12
7,92
0,54
X
Значения13 EMBED Equation.3 1415
В-12
В-13
В-14
В-15
В-16
В-17
В-18
В-19
В-20
В-21
В-22
0,1
4,27
1,92
2,14
2,25
1,56
1,62
2,43
-0,02
0,00
-0,01
0,38
0,2
4,45
1,91
2,19
2,31
1,81
1,54
2,67
-0,28
0,23
-0,20
0,36
0,3
4,84
2,09
2,32
2,75
1,51
1,09
2,71
-0,06
0,32
-0,31
0,45
0,4
5,14
1,73
2,59
2,77
1,52
1,07
3,15
-0,00
0,24
-0,63
0,89
0,5
5,55
1,88
2,56
3,00
1,09
0,67
3,47
-0,24
0,35
-0,73
0,91
0,6
5,85
1,81
2,64
3,24
1,04
0,24
3,76
-0,11
0,52
-0,87
1,11
0,7
6,18
1,71
2,66
3,55
1,05
0,29
3,91
-0,28
0,77
-1,05
1,49
0,8
6,38
1,66
2,84
3,48
0,91
-0,07
4,46
-0,35
0,68
-1,39
1,72
0,9
6,72
1,47
3,04
3,64
0,69
-0,26
4,76
-0,47
0,92
-1,05
1,83
1
7,04
1,44
2,94
3,86
0,51
-0,56
5,15
-0,47
0,97
-1,40
1,98
1,1
7,26
1,23
3,23
4,06
0,46
-0,69
5,54
-0,52
1,08
-1,74
2,35
1,2
7,70
1,37
3,27
4,39
0,14
-0,85
5,61
-0,68
1,15
-1,88
2,82
1,3
7,78
1,30
3,31
4,67
-0,06
-1,29
5,93
-0,72
1,35
-1,79
2,76
1,4
8,33
1,22
3,13
4,93
-0,29
-1,39
6,12
-0,77
1,33
-1,99
2,90
1,5
8,62
1,38
3,49
4,95
-0,28
-1,73
6,54
-0,69
1,51
-2,22
2,90
1,6
8,78
1,35
3,56
5,06
-0,25
-1,98
6,67
-0,79
1,57
-2,46
3,25
1,7
9,06
1,14
3,66
5,49
-0,57
-2,37
7,28
-0,77
1,65
-2,75
3,42
1,8
9,56
1,00
3,79
5,57
-0,57
-2,41
7,55
-0,99
1,59
-2,72
3,37
1,9
9,71
0,96
3,96
5,89
-1,06
-2,68
7,79
-1,07
1,77
-2,87
3,83
2,0
10,14
0,93
4,08
6,00
-1,01
-2,96
8,18
-1,03
1,99
-2,84
3,90
X
Значения13 EMBED Equation.3 1415
В-23
В-24
В-25
В-26
В-27
В-28
В-29
В-30
0,1
-0,15
0,30
-2,09
-2,12
-2,30
-1,77
-2,45
-1,61
0,2
-0,42
0,50
-2,02
-2,00
-2,38
-1,60
-2,64
-1,53
0,3
-0,79
0,82
-2,13
-1,59
-2,37
-1,47
-2,69
-1,12
0,4
-0,92
1,43
-2,20
-1,61
-2,83
-1,19
-2,99
-0,98
0,5
-0,97
1,49
-2,15
-1,53
-3,02
-1,00
-3,33
-0,61
0,6
-1,48
1,85
-2,26
-1,74
-3,42
-0,97
-3,30
-0,01
0,7
-1,63
2,01
-2,17
-1,11
-3,02
-0,64
-3,73
-0,02
0,8
-1,95
2,56
-2,51
-1,10
-3,41
-0,29
-3,99
0,27
0,9
-2,23
2,72
-2,41
-1,08
-3,42
-0,17
-4,37
0,70
1
-2,55
2,85
-2,50
-0,96
-3,57
-0,11
-4,57
0,99
1,1
-2,64
3,12
-2,63
-0,89
-3,57
-0,05
-4,77
1,42
1,2
-2,85
3,75
-2,55
-0,72
-3,57
0,37
-5,17
1,57
1,3
-3,32
3,90
-2,54
-0,63
-3,81
0,60
-5,23
1,87
1,4
-3,64
4,12
-2,69
-0,67
-4,05
0,78
-5,53
1,93
1,5
-3,78
4,47
-2,89
-0,55
-4,29
1,01
-5,68
2,67
1,6
-3,84
4,68
-3,01
-0,33
-4,49
1,19
-5,85
2,92
1,7
-4,19
5,21
-2,83
-0,35
-4,50
1,46
-6,23
3,07
1,8
-4,58
5,23
-2,96
-0,07
-4,56
1,46
-6,45
3,32
1,9
-4,73
5,76
-2,92
-0,05
-4,97
1,81
-6,55
3,63
2,0
-5,00
6,11
-3,13
0,05
-5,04
2,06
-6,97
3,72
Лабораторная работа №8
Линейная регрессия
Пусть требуется исследовать зависимость y(x), причем величины y и x измеряются в одних и тех же экспериментах. Без ограничения общности можно считать, что величина x измеряется точно, в то время как измерение величины y содержит случайные погрешности. Это означает, что погрешность измерения величины x пренебрежимо мала по сравнению с погрешностью измерения величины y. Таким образом, результаты эксперимента можно рассматривать как выборочные значения случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415, зависящей от х как от параметра. Регрессией называют зависимость условного математического ожидания этой величины от х, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Задача регрессионного анализа состоит в восстановлении функциональной зависимости у(х) по результатам измерений (xi;yi), i=1,2,,n.
Аппроксимируем искомую зависимость у(х) функцией 13 EMBED Equation.3 1415. Это значит, что результаты измерений можно представить в виде 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- неизвестные параметры регрессии; 13 EMBED Equation.3 1415 - случайные величины, характеризующие погрешности эксперимента.
Обычно предполагается, что 13 EMBED Equation.3 1415 - это независимые нормально распределенные случайные величины с 13 EMBED Equation.3 1415 и одинаковыми дисперсиями 13 EMBED Equation.3 1415.
Параметры 13 EMBED Equation.3 1415 следует выбирать такими, чтобы отклонение предложенной функциональной зависимости от результатов эксперимента было минимальным. Часто в качестве меры отклонения принимают величину 13 EMBED Equation.3 1415 и, следовательно, параметры 13 EMBED Equation.3 1415 определяются методом наименьших квадратов.
На практике регрессионный анализ состоит из трех этапов. На первом этапе выдвигают гипотезу о виде функции 13 EMBED Equation.3 1415, на втором этапе по имеющимся данным находят оценки неизвестных параметров 13 EMBED Equation.3 1415. На третьем этапе проверяют согласие выдвинутой гипотезы с результатами измерений
Рассмотрим простейший случай линейной регрессии. Пусть выдвинута гипотеза о том, что функция f имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415. Найдем оценки параметров а и b методом наименьших квадратов. Для этого минимизируем функцию 13 EMBED Equation.3 1415. Приравнивая нулю производные 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, получаем
13 EMBED Equation.3 1415
Проверяя согласие построенной линии регрессии с результатами эксперимента, можно руководствоваться следующими соображениями. Идея любой регрессии состоит в том, чтобы часть изменений измеряемой величины связать с изменением внешних переменных (в данном случае только одна внешняя переменная х). Не предполагая, что у зависит от х, можно было бы за меру разброса результатов эксперимента принять величину 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415. Если прямая регрессии построена, то за меру разброса естественно принять сумму квадратов отклонений от линии регрессии, т.е. величину 13 EMBED Equation.3 1415. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то это значит, что аппроксимирующая функция выбрана неудачно, т.е. подходящую функцию регрессии следует искать не среди прямых, а, например среди парабол или кривых другого вида.
Procedure Lin_Regr;
begin
S1:=0; S2:=0; S3:=0; S4:=0;
for I=1 to n do begin
S1=s1+x[i]; {подсчет 13 EMBED Equation.3 1415}
S2:=S2+y[i]; {подсчет 13 EMBED Equation.3 1415}
S3:=S3+x[i]*y[i]; {подсчет 13 EMBED Equation.3 1415}
S4:=S4+x[i]*x[i]; {подсчет 13 EMBED Equation.3 1415}
end;
a:=(n*S3-S1*S2)/(n*S4-S2*S2);
b:=S2-a*S1;
end;
Порядок выполнения лабораторной работы
Составить головную программу, содержащую описание массивов, Х и У, ввод исходных данных, обращение к процедуре Lin_Regr.
Сделать анализ выбора функции регрессии, используя меру разброса результатов эксперимента13 EMBED Equation.3 1415 и меру отклонений результатов эксперимента от линейной регрессии 13 EMBED Equation.3 1415.
Провести вычисления.
Сделать отчет.
Лабораторная работа №9
Вычисление определенного интеграла с помощью формул прямоугольника, трапеций, парабол.
На практике для приближенного вычисления определенного интеграла применяют три формулы:
Формула прямоугольников:
13 EMBED Equation.3 1415
Формула трапеций:
13 EMBED Equation.3 1415
Формула парабол (формула Симпсона):
13 EMBED Equation.3 1415
где N – количество равных отрезков на которые разбивается отрезок 13 EMBED Equation.3 1415.
Погрешности вычислений находятся следующим образом:
Формула прямоугольников:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
Формула трапеций:
13 EMBED Equation.3 1415, где I2N – значение определенного интеграла при 13 EMBED Equation.3 1415, IN –значение определенного интеграла при 13 EMBED Equation.3 1415. (правило Рунге).
Формула парабол (формула Симпсона):
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
Порядок выполнения лабораторной работы
Выберите четное число N для разбиения отрезка 13 EMBED Equation.3 1415.
Напишите процедуру для вычисления подынтегральной функции f(x).
Напишите процедуры для вычисления определенного интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 по формулам прямоугольников, трапеций, парабол.
Составьте головную программу, содержащую обращение к процедурам и вывод результатов вычислений.
Сравнить полученные результаты.
Сделать отчет.
Варианты заданий
№ варианта
Задание
№ варианта
Задание
1
13 EMBED Equation.3 1415
16
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415
17
13 EMBED Equation.3 1415
3
13 EMBED Equation.3 1415
18
13 EMBED Equation.3 1415
4
13 EMBED Equation.3 1415
19
13 EMBED Equation.3 1415
5
13 EMBED Equation.3 1415
20
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415
21
13 EMBED Equation.3 1415
7
13 EMBED Equation.3 1415
22
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415
23
13 EMBED Equation.3 1415
9
13 EMBED Equation.3 1415
24
13 EMBED Equation.3 1415
10
13 EMBED Equation.3 1415
25
13 EMBED Equation.3 1415
11
13 EMBED Equation.3 1415
26
13 EMBED Equation.3 1415
12
13 EMBED Equation.3 1415
27
13 EMBED Equation.3 1415
13
13 EMBED Equation.3 1415
28
13 EMBED Equation.3 1415
14
13 EMBED Equation.3 1415
29
13 EMBED Equation.3 1415
15
13 EMBED Equation.3 1415
30
13 EMBED Equation.3 1415
у
х
0
1
2
3
4
y=x
y=ex
х2
х1
0
13 EMBED Equation.3 1415.
Опорная прямая
х2
х1
0
13 EMBED Equation.3 1415.
Опорная прямая
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeaEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native