Расстояние между скрещивающимися прямыми

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ Координатным и векторным способом Алферова Наталья Васильевна, учитель математики МКОУ «Горячеключевская СОШ» Омского района Омской области Основные понятия Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина общего перпендикуляра к данным прямым Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от точки одной прямой до плоскости параллельной данной прямой и содержащей вторую прямую. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и DB1. х y z Точки A1 (1;0;1), B (1;1;0) Вектор A1B {0;1;-1} Точки D (0;0;0), B1 (1;1;1)Вектор DB1 {1;1;1} Пусть КМ ┴А1В и КМ┴DВ1, значит КМ – искомое расстояние. Пусть точка К лежит на прямой A1B, а точка М на прямой DB1. Рассмотрим векторы А1К и DM, сонаправленные с направляющими векторами данных прямых . По лемме о коллинеарных векторах вектор А1К = а · А1В, т.е. вектор А1К{0;a;-a}, вектор DM = b · DB1, т.е. вектор DM {b;b;b}. Тогда К(1;а;1-а), М(b;b;b) и вектор КМ {b-1;b-a;b-1+a}. К М Решим систему из условия перпендикулярности двух векторов KM·A1B=0 0·(b-1)+1·(b-a)-1·(b-1+a) = 0, KM·DB1=0 1·(b-1)+1·(b-a)+1·(b-1+a) = 0 Решив систему получаем a=1/2, b=2/3, подставим эти значения в координаты вектора КМ: КМ { -1/3; 1/6; 1/6}. Найдём длину вектора |КМ| =√хІ+yІ+zІ, |КМ| =√1/9+1/36+1/36=√6/6. Ответ: √6/6 В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и DB1. K M x y z DB1{1;1;1}, BA1 {0;-1;1}, B1B{0;0;1}KM = {a; a ;a} + {0; 0; 1} + {0; -b ; b}== {a; a- b; a+1+b}KM·BA1=0 0·a-1·(a-b) +1·(a+1+b)=0,KM·DB1=0 1·a+1·(a-b)+1·(a+1+b) = 0 b= -Ѕ, a= -⅓KM {-1/3; 1/6;1/6}|KM|= √1/9+1/36+1/36 =√6/6 В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми  АВ и СВ1  z y x Рассмотрим плоскость (А1В1С), содержащую прямую В1С и параллельную прямой АВ. Расстоянием между скрещивающимися прямыми будет расстояние от точки прямой АВ, например от А, до плоскости (А1В1С).Введём прямоугольную систему координат ОХУZ так, чтобы ось ОХ была параллельна высоте ВН основания, ось ОУ совпадала с АС, ось ОZ совпадала с АА1. Н Рассмотрим ∆АВС в плоскости ОХУ x y A C B H ∆ ABC – правильный, АВ=ВС=АС=1, ВН=√3/2.Составим уравнение плоскости (А1В1С): Ax+By+Cz+D=0. A1(0;0;1), B1(√3/2; 1/2 ;1), C(0;1;0) , подставляем координаты точек в уравнение плоскости, получим систему: 0A+0B+1C+D=0, (√3/2)A+(1/2)B+1C+D=0, 0A+1B+0C+D=0.Получаем C=-D, B=-D, A= (√3/3)D. Уравнение плоскости (А1В1С1): (√3/3)Dx-Dy-Dz+D=0, (√3/3)x-1y-1z+1=0, Формула расстояния от точки до плоскости: d=где (х0;у0;z0)- координаты точки A, d = |√3/3·0-1·0-1·0 +1| / √ (√3/3)І+1+1 =√21/7. Ответ: √21/7. х у z H В правильной четырехугольной пирамидеSABCD, сторона основания 3√2, боковые ребра 5 ,точка М – середина ребра AS. Найдите расстояние между прямыми МD и SB. M K Из точки М проведён прямую MK параллельную SB, очевидно, что МК-средняя линия ∆ ASB, SB‖ (KMD). Расстояние между прямыми MD и SB – это расстояние от точки прямой SB до плоскости (MDK). Введём прямоугольную систему координат ОХУZ с началом в точке пересечения диагоналей О, так чтобы ось ОХ совпадала с ОА, ось ОУ с ОВ, ось ОZ с высотой OS. Сторона квадрата 3√2, =>, диагональ АС=6.В прямоугольном ∆ АОS: AO=3, SO=4.Составим уравнение плоскости (MKD): Ax+By+Cz+D=0,A(3;0;0),D(0;-3;0), S(0;0;4), M(3/2;0;2) 3A+D=03B+D=0(3/2)A+2C+D=0 y x z M K A= (- 1/3)D, B=(1/3)D, C=(-1/4)D.Уравнение плоскости (МКD): (-1/3)Dx+(1/3)Dy+(-1/4)Dz+D=0,(-1/3)x+(1/3)y+(-1/4)z+1=0.Определим расстояние от точки В(0;3;0) до плоскости (МКD) по формуле d=d=|1+1|/√1/9+1/9+1/16=√41/12 Ответ: √41/12 z x y Спасибо за внимание!!!