Методическое пособие для подготовки к ОГЭ по теме: «Степени с целым показателем, квадратные корни и алгебраические выражения».

Методическое пособие для подготовки к ОГЭ по теме: «Степени с целым показателем, квадратные корни и алгебраические выражения».
Данное задание проверяет умение выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений и применять свойства арифметических квадратных корней для преобразования числовых выражений, содержащих квадратные корни.

Справочные материалы.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a и обозначается a. Число a называется подкоренным числом.
Свойства квадратных корней (для а≥0, b≥0).
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей a∙b=a∙b , где a≥0, b≥0.Например:
48=16 ∙3=16 ∙3=432. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя: ab=ab, где a≥0, b>0 Например:
253=253=53=5∙3(3)2=533
3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число: (a)2=a2=aНапример:
(3)2=32=9=3

Степенью называют выражение an, a - основание степени, n- показатель степени.
an=a∙a∙a∙…. ∙a n раз
Степень с нулевым показателем.
Если a≠0, то a0=1Например: (4)0=1Степень с отрицательным показателем.
Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя.
Если a≠0 и n- натуральное число, то a-n= 1anНапример: 2-3 = 123=18
Степень с дробным показателем.
Для того, чтобы возвести действительное число a в степень   mn нужно извлечь корень n – ой степени из m-ой степени этого числа a.
Если a≥0 и m,n - натуральные числа, n≥2, то
amn=namНапример: 432 = 43 = 64 = 8.                         
Свойства степеней с рациональным показателем.
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются am ∙an = am+nНапример:
23∙ 22=23+2=25=322. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются aman= am-n Например:
2422= 24-2=22=4
3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (a∙b)n  = an  ∙  bnНапример:
63=(2 ∙3)3=23∙33=8∙27=216
4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя) ( ab )n = an bnНапример:
( 35 )2=3252=925
5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются (am) n = am ∙ nНапример:
(32 )2=32 ∙2=34=81
Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.
Формулы сокращённого умножения.
Формула разности квадратов
a2 - b2 = ( a - b) ∙(a+b)Формула квадрата разности
(a-b )2 = a2 - 2ab + b2Формула квадрата суммы
(a+b )2 = a2 + 2ab + b2
Формула разности кубов
a3 - b3 = ( a-b )∙( a2 + a∙b+ b2 )
Формула суммы кубов
a3+ b3 = ( a+b )∙( a2 - a∙b+ b2 )
Стандартный вид положительного действительного числа.
Любое положительное число a можно представить в виде a1∙10n, где 1≤a1<10, а n - целое число. Говорят, что число a записано в стандартном виде, показатель n называют порядком числа. Например: Пусть a=39500, тогда в стандартном виде a=3,95∙104.
Сравнение чисел, записанных в стандартном виде, выполняется так:
Сравнить степени десятки. Наибольшим будет то число, у которого эта степень больше;
Если степени одинаковые, начинаем сравнивать значащие цифры — как в обычных десятичных дробях. Сравнение идет слева направо, от старшего разряда к младшему. Наибольшим будет то число, в котором очередной разряд окажется больше;
Если степени десятки равны, а все разряды совпадают, то сами дроби тоже равны.
Разумеется, все это верно только для положительных чисел. Для отрицательных чисел все знаки меняются на противоположные.
Примеры заданий с решениями.
№1. Найдите значение выражения  5-3∙5-9∙5-11.
1) -152) -5
3) 154) 5.
Решение.
Применяем свойства степеней
5-3∙5-9:5-11=5-3+-9-(-11)=5-12+11=5-1=15.
Ответ: 3.
№2. Какое из данных чисел  810; 8,1 ; 0,81 является рациональным?
1) 8102) 8,13) 0,814) ни одно из этих чисел.
Решение.
По определению рациональные числа — это числа, которые могут быть представлены в виде дроби  mn (n≠0) где m — целое число, а n — натуральное число.
810Корень не извлекается, значит представить в виде дроби mn ( где m — целое число, а n≠0, n — натуральное число) невозможно. Вывод: число иррациональное
8,1Корень не извлекается, значит представить в виде дроби mn ( где m — целое число, а n≠0, n — натуральное число) невозможно. Вывод: число иррациональное
0,810,81=0,9=910 , где 9- целое число, 10- натуральное число, Вывод: число рациональное
Ответ: 3.
№3. Какое из данных чисел 0,36, 36, 3,6 является иррациональным?
1) 3,6 2) 36 3) 0,36 4) ни одно из этих чисел.
Решение.
По определению рациональные числа — это числа, которые могут быть представлены в виде дроби  mn (n≠0) где m — целое число, а n — натуральное число.
3,6Корень не извлекается, значит представить в виде дроби mn ( где m — целое число, а n≠0, n — натуральное число) невозможно. Вывод: число иррациональное
3636=6 можно представить в виде дроби 6= 61 , где 6 - целое число, 1 - натуральное число. Вывод: число рациональное
0,360,36=0,6=610 , где 6- целое число, 10- натуральное число. Вывод: число рациональное
Ответ: 1.
№4. Значения какого из выражений является числом рациональным?
1) 18∙7 2) 9-14∙(9+14) 3) 222 4) 54+36.
Решение.
По определению рациональные числа — это числа, которые могут быть представлены в виде дроби  mn (n≠0) где m — целое число, а n — натуральное число.
18∙718∙7=18∙7=126
Корень не извлекается, значит представить в виде дроби mn ( где m — целое число, а n≠0, n — натуральное число) невозможно. Вывод: число иррациональное
9-14∙(9+14)9-14∙(9+14)=92-(14)2=9-14=-5. Можно представить в виде дроби -5= -51 , где -5 - целое число, 1 - натуральное число. Вывод: число рациональное
222222=222=11
Корень не извлекается, значит представить в виде дроби mn ( где m — целое число, а n≠0, n — натуральное число) невозможно. Вывод: число иррациональное
54+3654+36=9∙6+36=9∙6+36=36+36=66
Корень не извлекается, значит представить в виде дроби mn ( где m — целое число, а n≠0, n — натуральное число) невозможно. Вывод: число иррациональное
Ответ: 2.
№5. Какое из следующих чисел является наименьшим?
1) 6,4 ∙10-3 2) 5,7 ∙10-3 3) 4,9 ∙10-5 4) 0,7 ∙10-5.
Решение.
Числа положительные и записаны в стандартном виде. Сравним степени десятки: 10-5<10-3. значит наименьшим будет то из чисел, у которого значащая часть меньше : 0,7<4,9;
значит 0,7 ∙10-5<4,9 ∙10-5.
№6. Значения какого из следующих выражений является наибольшим?
1) 43 2) 6,5
3) 211 4) 33.Решение.
Из положительных чисел наибольшим будет то число, квадрат которого больше.
Возведём в квадрат каждое число:
(43)2=42∙(3)2=16∙3=48
6,52=42,25
(211)2=22∙(11)2=4∙11=44
(33)2=32∙(3)2=9∙3=27
Так как 27<42,25<44<48 , то (33)2<6,52<(211)2<(43)2.
Значит 33<6,5<211<43 . Наибольшим является 43.
Ответ: 1.
№7. Найдите значение выражения (23+1)2. 1) 22+223 2) 22
3) 24+223
4) 24+23.
Решение.
Применяем формулу квадрата суммы (a+b )2 = a2 + 2ab + b2.
(23+1)2=(23)2+2∙23∙1+12=23+223+1=24+223 .
Ответ: 3.
№8. Найдите значение выражения 30 ∙72 ∙80 .
1) 720
2) 2406 3) 2403 4) 24015.
Решение.
Подкоренное выражение разложим на множители и извлечём корень из произведения
30 ∙72 ∙80=3∙5∙2∙36∙2∙16∙5=5∙2∙6∙43=2403.
Ответ: 3.
№9. Найдите значение выражения 3205. 1) 40
2) 8
3) 85 4) 645.
Решение.
Подкоренное выражение числителя разложим на множители и извлечём корень из произведения
3205=16∙2∙2∙55=4∙2∙55=8.
Ответ: 2.
№10. Найдите значение выражения 22 ∙ 3 ∙86 . 1) 576
2) 384
3) 24
4) 96.
Решение.
22 ∙ 3 ∙86 =2∙8∙2∙3∙6=16∙36=16∙6=96.
Ответ: 4.
№11. Найдите значение выражения 108 ∙ 600675.
1) 430 2) 83 3) 122 4) 46.
Решение.
Разложим на множители подкоренные выражения:

Применяем свойства корней.
108 ∙ 600675=22∙33 ∙23∙52∙352∙33=22∙33∙23∙52∙352∙33=22∙23∙3=22∙22∙2∙3=2∙26=46.
Ответ. 4.
№12. Найдите значение выражения 11 ∙ 24 ∙ 11 ∙ 32 . 1) 1452
2) 132
3) 1584
4) 1211.Решение.
Применяем свойства корней.
11 ∙ 24 ∙ 11 ∙ 32=11 ∙ 24∙11 ∙ 32=11∙22∙3=132.
Ответ: 2.
№13. Найдите значение выражения (1,7 ∙10-2) ∙(6 ∙ 10-2).
1) 0,0102
2) 0,00102
3) 102000
4) 0,000102.
Решение.
Перепишем выражение и сгруппируем сомножители:
(1,7 ∙10-2) ∙6 ∙ 10-2=17∙10-1∙10-2∙6 ∙ 10-2=17∙6∙10-1∙10-2∙10-2=102∙10-5=0,00102.
Ответ: 2.
№14. Расположите в порядке возрастания числа 43, 35 и 7.
1) 35, 7, 43 2) 43, 35, 7
3) 7, 43, 35 4) 35, 43, 7.
Решение.
Возведём в квадрат каждое число:
(43)2=42∙(3)2=16∙3=48
(35)2=32∙(5)2=9∙5=45
72=49
Так как 45<48<49 , то (35)2<(43)2<72.
Значит 35<43<7.Ответ: 4.
Задания для самостоятельного решения.
1. Найдите значение выражения 3-5∙ 3-7 : 3-11.
1) -3
2) 3
3) 13 4) − 132. Найдите значение выражения 2-7∙ 2-8: 2-9.
1) 164 2) -164 3) -64
4) 64.
3. Значение какого из выражений является числом рациональным?
1) 5-2∙(5+2) 2) (3)22 3) 3∙7 4) (5-2)2 .
4. Значения какого из выражений является числом иррациональным?
1) 3∙12 2) 19-6∙(19+6) 3) 246 4) 8+22.
5. Значения какого из выражений является числом иррациональным?
1) ) 18∙8 2) 17-18∙(17+618 3) 818 4) 45-5.
6. Какое из следующих чисел является наименьшим?
1) 6,2 ∙10-3 2) 5,3 ∙10-4 3) 7,2 ∙10-3 4) 5,9 ∙10-4.
7. Какое из следующих чисел является наибольшим?
1) 3,7 ∙10-4 2) 2,5 ∙10-5 3) 9,9 ∙10-5 4) 9,3 ∙10-4.
8. Значения какого из следующих выражений является наибольшим?
1) 13,5
2) 83 3) 65 4) 57.9. Значения какого из следующих выражений является наибольшим?
1) 6,9 2) 21,8 3) 3437 4) 135 . 52 .
10. Найдите значение выражения (86+4)2. 1) 70
2) 102+886 3) 102 + 486
4) 70 + 886.
11. Найдите значение выражения (39-1)2. 1) 38-239 2) 38
3) 40-239
4) 40-39.
12. Найдите значение выражения 2 ∙45 ∙5 .
1) 152 2) 30
3) 156 4) 1510.
13. Найдите значение выражения 50 ∙5 ∙20 .
1) 502 2) 5010 3) 506 4) 100.
14. Найдите значение выражения 328. 1) 2
2) 48 3) 28 4) 16.
15. Найдите значение выражения 2008. 1) 5
2) 258 3) 58 4) 40.
16. Найдите значение выражения 83 ∙ 6 ∙22 . 1) 24
2) 96
3) 384
4) 576.
17. Найдите значение выражения 86 ∙ 2 ∙23 . 1) 576
2) 24
3) 96
4) 384.
18. Найдите значение выражения 720 ∙ 15600.
1) 36 2) 6
3) 32 4) 310.
19. Найдите значение выражения 540 ∙ 12090.
1) 60
2) 125 3) 1210 4) 1215.
20. Найдите значение выражения 5 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 26 . 1) 245 2) 600
3) 120
4) 2880.21. Найдите значение выражения 7 ∙ 34 ∙ 7 ∙ 22 . 1) 2268
2) 882
3) 187 4) 126.22. Найдите значение выражения (4,1 ∙10-2) ∙(9 ∙ 10-2).
1) 0,00369
2) 0,000369
3) 0,0369
4) 369000.
23. Найдите значение выражения (2,9 ∙10-3) ∙(4 ∙ 10-3).
1) 0,00000116
2) 0,000116
3) 11600000000
4) 0,0000116.
24. Расположите в порядке возрастания числа 23, 32 и 4.
1) 23, 4, 32 2) 32, 4, 23
3) 23, 32, 4
4) 4, 23, 32.
25. Расположите в порядке убывания числа 50, 43 и 7.
1) 43, 7, 50 2) 43, 50, 7
3) 50, 43, 7
4) ) 50, 7, 43.