Методическая разработка по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (8 класс)

Министерство образования Республики Марий Эл
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 3 г. Козьмодемьянска»












Методическая разработка
элективного курса по математике
для 9-го класса


«Решение алгебраических уравнений
высших степеней»








Разработала: учитель математики
высшей квалификационной категории
МОУ «СОШ № 3 г Козьмодемьянска»
Республики Марий Эл
Авдеева Галина Николаевна









г. Козьмодемьянск
Пояснительная записка.

Элективный курс «Решение уравнений высших степеней» предназначен для предпрофильной подготовки в 9 классе, а так же может быть использован для изучения в профильных 10 – 11 классах. Актуальность этого курса состоит в том, что в последние годы в материалах выпускных экзаменов в форме ОГЭ и ЕГЭ предлагаются задания по этой теме. Курс предназначен для углубления знаний учащихся по теме «Уравнения» и рассчитан на 10 часов. Содержание курса согласовано с государственными стандартами общего среднего образования и примерными программами по математике.
Предлагаемый элективный курс соответствует возрастным особенностям учащихся, не создает у них перегрузок при изучении математики.
Курс ориентирован на развитие у школьника умений решать уравнения более сложные, чем предлагаются в учебнике, выбирать оптимальный метод решения для данного конкретного уравнения.
Данный элективный курс может быть использован учителями общеобразова- тельных классов для индивидуальных и дифференцированных занятий.

Цели курса:
развитие математической культуры учащихся;
развитие познавательной деятельности учащихся;
развитие интереса школьников к предмету.

Задачи курса:
расширить представления учащихся по важнейшей теме в курсе алгебры;
познакомить учащихся с различными методами решения уравнений;
развивать логическое мышление, умение аргументировать ответы.

Ожидаемые результаты:
умение учащихся решать уравнения различными методами;
применение полученных знаний для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ;
определение склонностей ученика при выборе профильного обучения.

Виды деятельности на занятиях:
лекция, практикум, беседа.

По окончании курса учащиеся должны выполнить практическую работу: подготовить подборку уравнений рассмотренных видов из дополнительной литературы (с решениями).







Методы решения уравнений высших степеней.

1. Метод разложения на множители.

1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
х =
· 3. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 t
· 0.
13 EMBED Equation.3 1415
· посторонний корень

13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
·3; 13 EMBED Equation.3 1415.

2) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 9 + 12 = 21 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1; 13 EMBED Equation.3 1415.

2. Метод введения новой переменной.

Это самый распространенный метод.

а) Простейшие случаи. Очевидная замена.

1) 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
t = 1; t =
· 4
Получаем: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
х = 1 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415; 1.

2) 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415. t =
· 7, t = 4.
13 EMBED Equation.3 1415
· 7 или 13 EMBED Equation.3 1415 4
13 EMBED Equation.3 1415+ 7 = 0 13 EMBED Equation.3 1415
· 4 = 0
D = 9 – 28 =
· 19 D = 9 + 16 = 25
корней нет 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ:
· 1; 4.

3) 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда t(t – 10) = 144. 13 EMBED Equation.3 1415
· 144 = 0. t =
· 8; t = 18.
Имеем два уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
· 8 или 13 EMBED Equation.3 1415 18
13 EMBED Equation.3 1415 + 6 = 0 13 EMBED Equation.3 1415 20 = 0
D = 1 – 24 =
· 23 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
корней нет
Ответ:
· 5; 4.

4) 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 4 = 0. t = 1; t = 4.
13 EMBED Equation.3 1415 1 или 13 EMBED Equation.3 14154
х
· 1 =
· 1 или х
· 1 = 1 х
· 1 =
· 2 или х
· 1 = 2
х = 0 х = 2 х =
· 1 х = 3
Ответ:
· 1; 0; 2; 3.

5) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 2 = 0. t = 1; t = 2.
Имеем два уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415 1 или 13 EMBED Equation.3 1415 2
13 EMBED Equation.3 1415 = 0 13 EMBED Equation.3 1415
· 1 = 0
х (х + 1) = 0 D = 1 + 4 = 5
х = 0; х =
· 1 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
· 1; 0; 13 EMBED Equation.3 1415.

б) Использование основного свойства дроби

1) 13 EMBED Equation.3 1415

Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то разделим и числитель, и знаменатель каждой дроби на х
· 0.
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Получаем уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415. ОДЗ: t
· 6; t
· 8.
13 EMBED Equation.3 1415
Возвращаемся к переменной х.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
D = 49 – 60 =
· 11 < 0 D = 49 – 15 = 34
корней нет 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

2) 13 EMBED Equation.3 1415
Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то разделим и числитель, и знаменатель каждой дроби на х
· 0.
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
ОДЗ: t
· 5; t
·
·1.
2t + 2 + 13t – 65 – 6(t2 – 4t – 5) = 0
2t2 – 13t + 11 = 0
t = 1; 13 EMBED Equation.3 1415
Возвращаемся к переменной х.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
2х2 – х + 3 = 0 4х2 – 11х + 6 = 0
D = 1 – 24 =
· 23 D = 121 – 96 = 25
корней нет х1 = 0,75; х2 = 2
Ответ: 0,75; 2.
в) Раскрытие скобок парами

1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
(t + 4)(t – 14) = 40
13 EMBED Equation.3 1415
· 96 = 0
t =
· 6; t = 16.
Получаем два квадратных уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
х = 2; х = 3; D = 25 + 64 = 89
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 2; 3; 13 EMBED Equation.3 1415.

2) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда (t + 2)(t
· 18) =
· 96.
13 EMBED Equation.3 1415 60 = 0
t = 6; t = 10.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 6 13 EMBED Equation.3 1415 10
13 EMBED Equation.3 1415
· 6 = 0 13 EMBED Equation.3 1415
· 10 = 0
D = 9 + 24 = 33 х =
· 5; х = 2
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
· 5; 2; 13 EMBED Equation.3 1415.


г) Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим
на 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 + 8 = 18
13 EMBED Equation.3 1415
· 10 = 0
t =
· 10; t = 1.
Получаем два уравнения с переменной х:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
D = 25 + 20 =45 х =
·4; х = 5
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
·4; 5; 13 EMBED
·Equation.3 1415.

д) Выделение квадрата двучлена.

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
t = 1; t =
· 5
Имеем два уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415= 1 или 13 EMBED Equation.3 1415 =
· 5
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
х =
· 1; х = 2; D = 25 – 40 =
· 15
корней нет
Ответ:
·1; 2.

е) Возвратные уравнения

Определение. Возвратным уравнением называют уравнение, в котором
равноудаленные от концов уравнения коэффициенты равны.

1) 13 EMBED Equation.3 1415
Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим
на 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 = t. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415; значит, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
D = 25 + 1200 = 1225
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Имеем два уравнения с переменной х:
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
х =
· 3; 13 EMBED Equation.3 1415; х = 2; 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ:
· 3; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 2.

2) 13 EMBED Equation.3 1415
Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим
на 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 = t. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415; значит, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
t = 0; t = 4
Имеем два уравнения с переменной х:
13 EMBED Equation.3 1415= 0 или 13 EMBED Equation.3 1415 = 4
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
х = 13 EMBED Equation.3 1415 1 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 1; 13 EMBED Equation.3 1415.


ж) Уравнения, сводящиеся к однородному уравнению

1) 13 EMBED Equation.3 1415
Первый способ
Разделим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Получаем квадратное уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
D = 25 – 24 = 1
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Возвращаемся к переменной х:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
ОДЗ: х
· 3; х
· 4.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
х = 1; 13 EMBED Equation.3 1415; х = 0; 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 0; 1; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

Второй способ.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда имеем квадратное уравнение
с двумя переменными:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2u + v = 0 или 3u + v = 0
Подставим в эти равенства выражения с переменной х:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
х = 1; 13 EMBED Equation.3 1415; х = 0; 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 0; 1; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

2) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда имеем квадратное уравнение
с двумя переменными:
2а2 – 13аb – 7b2 = 0
2а2 – 14аb + аb – 7b2 = 0
2а(а – 7b) + b(a – 7b) = 0
(a – 7b) (2а + b) = 0
a – 7b = 0 или 2а + b = 0
х2 + х + 1 – 7х + 7 = 0 или 2х2 + 2х + 2 + х
· 1 = 0
х2
· 6 х + 8 = 0 2х2 + 3х + 1 = 0
х = 2; х = 4; х =
· 1; х =
· 0,5.
Ответ:
· 1;
· 0,5; 2; 4.

з) Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения.

1) 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Получаем уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415; t =
· 2; t = 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 ОДЗ: х
· 0.
х2 + 2х + 1 = 0 2 х2 + х + 2 = 0
(х + 1)2 = 0 D = 1 – 16 =
· 15
х =
· 1 корней нет
Ответ:
· 1.

2) 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Получаем уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415; t = 16; t = 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
ОДЗ: х
·
· 2,5.
3х – 1 = 8х + 20; 3х – 1 =
· 8х
· 20; 12х – 4 = 2х + 5; 12х – 4 =
· 2х
· 5;
5х =
· 21 11х =
· 19 10х = 9 14х =
· 1
х =
· 4,2 х = 13 EMBED Equation.3 1415 х = 0,9 х = 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ:
· 4,2; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 0,9.

3. Применение следствия из теоремы Безу.

Если число
· является корнем многочлена Р(х), то этот многочлен делится на
двучлен х –
·.

1) 13 EMBED Equation.3 1415
Подбором находим, что число 2 является корнем уравнения. Значит, левая
часть уравнения делится на х – 2. Получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
х + 5 = 0 или х2 – 3 = 0
х =
· 5 х2 = 3
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
·5; 2; 13 EMBED Equation.3 1415.


2) 13 EMBED Equation.3 1415
Подбором находим, что число 1 является корнем уравнения. Значит, левая
часть уравнения делится на х – 1. Получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Подбором находим, что число
·1 является корнем уравнения. Значит, левая
часть уравнения делится на х + 1. Получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Подбором находим, что число
·2 является корнем уравнения. Значит, левая
часть уравнения делится на х + 2. Получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
D1 = 4 + 4 = 8
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
·2;
·1; 1; 13 EMBED Equation.3 1415.


Для самостоятельного решения:

1. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 14152.

2. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 1; 0.

3. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
· 4; 13 EMBED Equation.3 1415.

4. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 0,5; 3,5.

5. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 .
6. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
·3; 2; 3; 4; 5.

7. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
·1; 23; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

8. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
· 13 EMBED Equation.3 1415; 2; 13 EMBED Equation.3 1415.

9. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
·2; 3; 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 3; 4.


Список литературы

1. А.Г. Мордкович. Алгебра – 8 . Часть 1. Учебник. Мнемозина, 2013 год.
2. А.Г. Мордкович и др. Алгебра – 8. Часть 2. Задачник. Мнемозина, 2013 год
3. А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. Алгебра – 8. Учебник для классов с
углублённым изучением математики. Мнемозина, 2010 год.
4. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский. Алгебра – 8. Задачник для классов с
углублённым изучением математики. Мнемозина, 2010 год.
5. А.Г. Мордкович. Алгебра – 9 . Часть 1. Учебник. Мнемозина, 2013 год.
6. А.Г. Мордкович и др. Алгебра – 9. Часть 2. Задачник. Мнемозина, 2013 год
7. А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. Алгебра – 9. Учебник для классов с
углублённым изучением математики. Мнемозина, 2009 год.
8. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский, П.В. Семёнов. Алгебра – 9. Задачник для
классов с углублённым изучением математики. Мнемозина, 2009 год.
9. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре. 8 – 9
классы. М.: Просвещение, 2010 год.






Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native=Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native