Программа элективного курса по математике Погружение в тригонометрию
Программа элективного курса
по математике для учащихся 10-го класса
"Погружение в тригонометрию"
Пояснительная записка
Программа прикладного курса по математике «Тригонометрия» составлена на основе примерной программы по алгебре и началам анализа, в соответствии с требованиями государственного общеобязательного стандарта среднего образования.
Данная программа предназначена для повышения эффективности подготовки учащихся к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа за курс средней школы.
Тригонометрия – составная часть школьного курса математики. Хорошие знания и прочные навыки по тригонометрии являются свидетельством достаточного уровня математической культуры. Однако значительная часть выпускников школ обнаруживает из года в год весьма слабую подготовку по этому важному разделу математики, этот недостаток в получении тригонометрических знаний поможет устранить данный курс.
Элективный курс разработан для углубленного изучения и расширения знаний учащихся, на закрепление и развитие умений и навыков , полученных на уроках математики.
Отдельные вопросы, рассматриваемые в курсе, выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, а также решению заданий повышенной сложности. Предложенный курс ориентирован на удовлетворение любознательности старшеклассников, повышении их математической культуры, способствует развитию творческого потенциала личности.
Цель курса :
Коррекция базовых знаний , систематизация, расширение и углубление знаний в вопросах тригонометрии.
Подготовить учащихся к сдаче ЕНТ.
Развитие познавательных интересов и творческих способностей учащихся.
Воспитание творческой личности , которая сумеет реализовать себя в системе мировой математической культуры
Задачи курса:
Акцентировать внимание учащихся на единых требованиях к правилам оформления различных видов заданий, включаемых в итоговую аттестацию за курс полной общеобразовательной школы.
Расширить математические представления учащихся по определенным темам раздела «Тригонометрия»
Формировать навыки применения свойств тригонометрических функций и соотношение между тригонометрическими функциями при преобразовании тригонометрических выражений, при решении тригонометрических уравнений и неравенств, при решении нестандартных задач;
Развивать умение самостоятельно анализировать и решать задания по образцу и в незнакомой ситуации:
Формировать представления о новых методах решения тригонометрических уравнений;
Развивать способности учащихся к математической деятельности;
Развивать коммуникативные навыки в процессе практической деятельности.
Основные умения.
Учащиеся после изучения курса должны приобрести конкретные уменияи наваки работы с тригонометрическими функциями;
в совершенстве владеть определениями и формулами;
устанавливать связь между градусной и радианной мерами;
применять формулы при решении примеров, доказательстве тождеств, преобразовании тригонометрических выражений;
определять знаки тригонометрических функций в зависимости от аргумента;
решать тригонометрические уравнения с использованием различных методов по заданному алгоритму и в нестандартной ситуации;
решать тригонометрические уравнения с обратными тригонометрическими функциями, решать тригонометрические неравенства .
Формы организации занятий
Для реализации данного курса используются различные формы организации занятий, такие как: лекция и семинар, групповая или работа в парах (такая форма выполняет функцию консолидации, снимает страх, робость в общении, улучшает способность к восприятию и коммуникации), индивидуальная , практикумы и консультации, игра, взаимообучение.
Количество часов:
1 час в неделю – всего 34 часа.
Учебно-тематический план.
№ п/п
Название темы
к\ч
Форма проведения
занятий
Форма контроля
1
Градусная и радианная мера угла
1
комбинированное занятие
Тест( инд.раб.)
2
Основные тригонометрические формулы
1
Комбинированное занятие
Тест(инд.раб.)
3
Основные тригонометрические формулы
1
Самостоятельная работа
Зачет(групповая работа)
4
Формулы приведения
1
Семинар
Групповая работа
5
Формулы сложения
1
Комбинированное занятие
Работа в парах
6
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
1
Комбинированное занятие
Карточки(раб.в парах)
7
Арксинус,арккосинус,арктангенс,арккатангес
1
лекция
8
Решение простейших тригонометрических уравнений
1
Комбинированное занятие
Тест(инд. раб.)
9
Решение простейших тригонометрических уравнений
1
Самостоятельная работа
тест,разноуров
невые карточки
10
Уравнения сводимые к алгебраическим
1
лекция
11
Уравнения сводимые к алгебраическим
1
Учебно- деловая игра «счастливый случай»
Зачет.
(группов. раб.)
12
Уравнения решаемые разложением на множители.
1
Комбинированное занятие
Карточки (инд.раб.)
13
Уравнения решаемые разложением на множители
1
Семинар-практикум
Тест
( инд.раб.)
14
Уравнения решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций
1
Комбинированное занятие
Карточки (раб. в парах)
15
Уравнения реш.с пом. понижения стпени
1
Комбин. занятие
Тест
( инд. раб.)
16
Уравнения вида а sin x +в· cos x = с
1
Комбинированное занятие
Реферат
(инд. раб.)
17
Уравнения смешанного типа
1
лекция
18
Тригонометрические уравнения, содержащие знак модуля
1
семинар
Защита проектов ( раб. в пар.)
19
Простейшие уравнения с параметрами
1
Самостоятельная работа
Карточки, тест
(индив. раб)
20
Уравнения содержащие обратные тригонометрические функции
1
Комбинированное занятие
Реферат
(индив. раб.)
21
Системы тригонометрических уравнений
1
Комбинированное занятие
Проверочная
работа
22
Решение тригонометрических систем
1
лекция
Коллективная работа
23
Решение тригонометрических систем
консультация
Работа по карточкам
(раб. в парах)
24
Решение тригонометрических систем
1
Урок практикум
Решение заданий ЕНТ
25
Решение тригонометрических систем
1
Комбинированное занятие
тест (индив. раб.)
26
Решение систем уравнений содержащие только тригонометрические функции
1
Семинар- практикум
Групповая работа
27
Решение тригонометрических неравенств
1
Комбинированное занятие
Работа по карточкам(раб. в парах)
28
Решение тригонометрических неравенств
1
Урок- игра «Снежный ком»
Групповая работа
29
Решение систем тригонометрических неравенств
1
Комбинированное занятие
Карточки, тест
(раб. в парах)
30
Решение систем тригонометрических неравенств
1
Учебно-деловая игра.
Творческая работа( кол. раб)
31
Геометрические задачи , приводящие к решению тригонометрических уравнений
1
Урок-исследование
Реферат( инд. работа)
32
Учебные проекты
1
Урок- презентация
Защита проектов
33
Учебные проекты
1
Урок- презентация
Защита проектов
34
Итоговое занятие
1
Контрольная работа.
Содержание
Занятие 1. ТЕМА. Градусная и радианная мера угла.
Сообщение учащимся цели и задачи элективного курса. Общие сведения: исторические сведения. Знакомство учащихся с числовой окружностью и радианной мерой угла, перевод радиан в градусы и наоборот. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Практикум решения задач. Проверочная работа в виде теста.
Занятие 2. Тема. Основные тригонометрические формулы
Повторить с учащимися основные тригонометрические тождества, умение применять их при решении
Основные тригонометрические тождества: sin2x+cos2x=l; ctgx=13 EMBED Equation.3 1415; tgx=13 EMBED Equation.3 1415; tgx·ctgx=1. Доказательство тождеств.
Занятие 3. Тема. Основные тригонометрические формулы
Самостоятельная работа. Зачет
( Самостоятельная работа на применение знаний по данной теме, умение делать выводы .Зачет)
Занятие 4. Тема. Формулы приведения
( Учащиеся самостоятельно повторяют формулы приведения, их применение к преобразованию тригонометрических выражений, работая в группах консультируют друг друга, при необходимости обращаются за помощью к учителю.)
Приемы и методы: Самостоятельная работа на применение своих знаний по теме, работа с книгой; опора на правила. Формулы. Свойства; выполнение заданий по образцу с последующим обобщением и проверкой.
Занятие 5..Тема. Формулы сложения и их следствия
Повторить формулы сложения. Расширить и углубить знания и умения , связанные с преобразованием тригонометрических выражений
Приемы и методы: Объяснение с опорой на упражнения, далее учащиеся работают в парах, консультируя друг друга. Учитель помогает им по мере необходимости дает индивидуальные консультации
Занятие 6. Тема. Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Повторить формулы суммы и разности тригонометрических функций. Расширить и углубить знания и умения связанные с данными формулами.
Форма проведения занятий: Комбинированное занятие.
( Учитель напоминает формулы сложения , умение применять их на практике.)
Приемы и методы: Работа с книгой ; опора на правила, формулы ,свойства.
Занятие 7. . Тема. Арксинус, арккосинус, арктангенс.
Ввести понятие арксинуса, арккосинуса, и арктангенса угла используя графики тригонометрических функций. Сформировать умения находить значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса.
Форма проведения занятий. Лекция
(Создать содержательные организационные условия для восприятия, осмысления и закрепления учащимися новых фактов и сведений.)
Приемы и методы: Лекция, рассказ; описание схем алгоритма; упражнения.
Занятие 8. Тема. Решение простейших тригонометрических уравнений.
Нахождение корней простейших тригонометрических уравнений построить на изученных свойствах и их график Особое внимание уделить решению уравнений вида· sin x=0, cos x=1 и другие. Чтобы учащиеся не сводили их решение к применению общих формул.
Форма проведения занятий: комбинированное
Приемы и методы: Описание схем алгоритма решения уравнений, объяснение различных фактов с опорой на таблицы.
(работа с тестами, учащиеся по одному выполняют тестовые задания.)
Занятие 9. Тема. Решение простейших тригонометрических уравнений.
Форма проведения занятий. Самостоятельная работа.
(Учащиеся самостоятельно отрабатывают решение простейших тригонометрических уравнений. Выполняют работу по разноуровневым карточкам, выполняют тестовые задания.)
Приемы и методы. Самостоятельная работа на применение знаний по теме; работа с книгой.
Занятие 10-11. Тема. Уравнения сводимые к алгебраическим.
Это уравнения, сводимые к одной и той же функции относительно одного и того же неизвестного выражения, входящего только под знак функции.
Форма проведения занятий. Лекция. Учебно - деловая игра.
(Создать содержательные организационные условия для восприятия, осмысления и закрепления учащимися новых фактов и сведений. На втором занятии зачет )
Приемы и методы. Эврестический, описание схем алгоритма.
Занятие12-13. Тема. Уравнения решаемые разложением на множители.
Решение уравнений с использованием различных способов разложения на множители, вынесение за скобки общего множителя, применение формул сокращенного умножения.
Форма проведения занятий. Комбинированное занятие. Семинар- практикум.
(Объяснить алгоритм решения уравнений. На втором занятии учащиеся самостоятельно выполняют предложенные задания по тестам. При необходимости обращаются за консультацией к учителю.)
Приемы и методы. Проблемно- поисковый, уметь находить правильные способы решения различных уравнений.
Занятие 14. Тема. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.
Использование формул преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
Форма проведения занятий. Комбинированное занятие.
Объяснение некоторых вид
Приемы и методы. Комментированное решение с выводом; поиск примеров на основании нового правила. Самостоятельная работа на применение знаний по теме.
Занятие 15. Тема. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.
Решение уравнений с использованием формул понижения степени.
Форма проведения занятий. Комбинированное занятие.
(Создать содержательные организационные условия для восприятия, осмысления и закрепления учащимися новых фактов и сведений, учащиеся по одному выполняют тестовые задания на компьютере по данной теме. )
Приемы и методы. проблемно- поисковый.
Занятие 16.Тема.Уравнение вида а sin x + в Cos x= с.
Рассмотрение решений данных уравнений четырьмя способами.
Форма проведения занятий. Комбинированное занятие.
Приемы и методы. Доказательства путем сравнения свойств ,с опорой на наглядности и упражнения.
Занятие 17.Тема. Уравнения смешанного типа.
Форма проведения занятий. Лекция.
(Создать содержательные организационные условия для восприятия. Осмысления и закрепления учащимися новых фактов и сведений)
Приемы и методы. Лекция, описание схем алгоритма, упражнения. Формирование навыков решения тригонометрических уравнений.
Занятие 18.Тема.Тригонометрические уравнения содержащие знак модуля.
План занятия
«Решение тригонометрических уравнений, содержащих знак абсолютной величины».
Цель: научить учащихся применять алгоритм решения уравнений с модулем к тригонометрическим уравнениям.
Форма проведения занятий. Семинар
Приемы и методы. Творческий, учебное занятие проверки , оценки и коррекции знаний и способов деятельности.
I. Вступление.
На предыдущих занятиях мы работали с различными заданиями по тригонометрии. Это задания группы А и В. Сегодня проверим как вы усвоили этот уровень.
1) Контроль знаний в форме теста. Учащиеся в тетрадях оформляют решение, а в бланки ответов заносят решения (см. приложение).
2) Один учащийся работает с интерактивной доской – решает тригонометрические уравнения.
Собираются работы учащихся и сверяются с правильными ответами на доске.
Проверяются задания учащегося у интерактивной доски.
Результаты показали, что основная часть усвоила типовые задания по тригонометрии. Кому-то есть еще над чем поработать. Сегодня мы рассмотрим тригонометрические уравнения, содержащие знак абсолютной величины. В прошлом году мы изучали на тему «Модуль» - преобразовывали алгебраические выражения, решали алгебраические неравенства и уравнения с модулем. Давайте вспомним, как решались уравнения с модулем.
Презентация
«Решение уравнений,
содержащих знак абсолютной величины».
Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А (а).
.О .А (а)
а
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнения с модулем.
1.
13 EMBED Equation.3 1415
а)13 EMBED Equation.3 1415, решений нет.
б)13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
равносильно объединению уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
равносильно системе уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
4. Алгоритм решения уравнений с переменной под знаком модуля на числовых промежутках.
а) Найти точки, в которых выражение под знаком модуля обращаются в нуль.
б) Разбить числовую ось на промежутки найденными точками.
в) Раскрыть модуль отдельно на каждом промежутке в соответствии с определением модуля и решить получившиеся уравнения. Проверить принадлежность значения переменной данному промежутку.
г) Объединить решения, полученные на каждом промежутке.
Закрепление.
Теперь попробуем применить известные нам знания на примере темы «Тригонометрические уравнения, содержащие знак абсолютной величины».
1)13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
- не удовлетворяет условию - не удовлетворяет условию
13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
2). 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415Выражения под знаком модуля обращаются в ноль при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - - +
. . . .
-1 - 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 t
13 EMBED Equation.3 1415
1)
13 EMBED Equation.3 1415
- не удовл. условию.
2)
13 EMBED Equation.3 1415
значит 13 EMBED Equation.3 1415.
3)
13 EMBED Equation.3 1415
- является корнем.
Решением уравнения является отрезок 13 EMBED Equation.3 1415.
Вернемся к замене.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
3).
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, значит 13 EMBED Equation.3 1415 при любом x, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Вернемся к замене.
13 EMBED Equation.3 1415 или
- нет решений.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Заключение
Сегодня на занятии мы протянули нить между алгебраическими уравнениями с модулем к тригонометрическим уравнениям. Зная схему решения уравнений с модулем ее можно применить не только в тригонометрии, но и любой теме начал анализа. Но необходимо не только знать схему решения, но и критически оценивать полученные результаты, объединять корни.
Сегодня мы продвинулись еще на один шаг в подготовке к ЕНТ.
Занятие 19.Тема Тригонометрические уравнения с параметром.
Форма проведения занятий. Самостоятельная работа(Учащиеся самостоятельно выполняют предложенные задания, при необходимости обращаются за консультацией к учителю.)Приемы и методы. Самостоятельная работа на применение знаний и умений работать в измененной ситуации.
Примеры простейших тригонометрических уравнений с параметрами.
Тригонометрические уравнения с параметрами для самостоятельного решения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Занятие 20. Тема 7. Простейшие уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.
Определения и свойства обратных тригонометрических функций. Тождества, связывающие обратные тригонометрические функции. Решение уравнений, левая и правая части которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов.
Форма проведения занятий. Комбинированное.
Приемы и методы. Частично-поисковый. Защита рефератов.
Функция
Область определения
Область значений
Монотонность
Y=arcsin x
x13 EMBED Equation.3 1415, x=sin y
y13 EMBED Equation.3 1415
Определена и монотонно возрастает на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
Y=arcсos x
x13 EMBED Equation.3 1415, x=cos y
y13 EMBED Equation.3 1415
Определена и монотонно убывает на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
Y=arctg x
x13 EMBED Equation.3 1415, x=tg y
y13 EMBED Equation.3 1415
Определена и монотонно возрастает на R.
Y=arcctg x
x13 EMBED Equation.3 1415, x=ctg y
y13 EMBED Equation.3 1415
Определена и монотонно убывает на R.
Тождества, связывающие обратные тригонометрические функции:
arcsin x+ arccos x = 13 EMBED Equation.3 1415
x13 EMBED Equation.3 1415
arctg x+ x=13 EMBED Equation.3 1415
x13 EMBED Equation.3 1415
arctg x = arcctg13 EMBED Equation.3 1415
x13 EMBED Equation.3 1415
arctg x = -arcctg(-13 EMBED Equation.3 1415)
x13 EMBED Equation.3 1415
arcsin(-x)=-arcsin x
x13 EMBED Equation.3 1415
arctg (-x)=- arctg x
x13 EMBED Equation.3 1415
arcсos(-x)=13 EMBED Equation.3 1415- arcсos x
x13 EMBED Equation.3 1415
arcctg (-x) = 13 EMBED Equation.3 1415- arcctg x
x13 EMBED Equation.3 1415
Решение уравнений, левая и правая части которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов, основано на свойстве монотонности. Справедливы следующие равносильные переходы:
arcsin f(x) =arcsin g(x) 13 EMBED Equation.3 1415
arccos f(x)=arccos g(x) 13 EMBED Equation.3 1415
arctg f(x)=arctg g(x)13 EMBED Equation.3 1415
arcctg f(x)=arcctg g(x) 13 EMBED Equation.3 1415
Занятие21-26 Тема.Методы решения систем тригонометрических уравнений.
При решении систем тригонометрических уравнений,
Форма проведения занятий. Лекция. Консультация. Урок-практикум.
( В течении занятий учащиеся отрабатывают навыки решения уравнений.
Занятие 27-28. Тема. Решение тригонометрических неравенств.
Решение простейших тригонометрических неравенств. Изучить общие формулы для решения тригонометрических неравенств.
Форма проведения занятий. Комбинированный.Урок- игра « Снежный ком»
Приемы и методы. Описание схем алгоритма, объяснение причин различных фактов с опорой на наглядность, таблицы, схемы; доказательство закономерности, алгоритма.
При решении систем тригонометрических неравенств обратить внимание на дуги окружностей, которые могут не пересекаться, объяснить, как находится общий период у функций с разным наименьшим периодом. Рассмотреть как можно больше разных случаев.
Занятие 29-30. Методы решения систем тригонометрических неравенств.
Решение систем тригонометрических неравенств.
Занятие 31.Геометрические задачи , приводящие к решению тригонометрических уравнений.
Занятие 32-33. Защита проектов.
Форма проведения занятий. Защита творческих проектов.
Метод. Метод проектов. Учебное занятие проверки. Оценки и коррекции знаний.
Сообщения учащихся:
Тригонометрия.
Тригонометрические функции у древних греков;
Тригонометрические функции в Индии;
Учение о тригонометрических функциях у народов Средней Азии и Кавказа;
Развитие учения о тригонометрических функциях в Европе;
Примеры применения тригонометрических функций в различных областях знаний и практической деятельности человека.
Занятие 34.Итоговое занятие.
Контрольная работа по теме “Решение тригонометрических уравнений и неравенств”
Форма проведения занятий. Контрольная работа в форме тестов.
Приемы и методы. Самостоятельная работа.
Планируемые результаты.
Изучение данного курса дает учащимся возможность:
- повторить и систематизировать и углубить ранее изученный материал школьного курса математики;
- освоить основные приемы решения задач;
- овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;
- познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;
- повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;
- познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов, в ходе подготовки к итоговой аттестации в форме ЕНТ
Приложения.
1. Математическая викторина.
Вопросы:
Что больше: sin 50є или cos50є?
сos 35є или sin 55є?
Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 300є?
Как изменяется функция y= sin х при изменении аргумента от 0 до 2
· ?
Может ли синус отрицательного аргумента быть числом положительным?
Вычислить выражение tg 18є + tg 42є +
·3 tg 18є
· tg42є.
Решить уравнение cos58 х + sin40 х = 1.
Сколько решений имеет уравнение: sin х = 0,02х?
Какая из функций, sin 2х или 2sin х,принимает большие значения если 0< x <
· /2?
Может ли быть справедливо равенство sin (х + у) = sin х + sin у?
Доказать, что если при некотором значении х tg х/2 - рациональное число, то рациональными числами будут при этом значении х и sin х, cos х, tg х, ctg х, sec х, cosec х.
В треугольнике АВС угол С - прямой. Вычислить произведение ctg А · ctg В.
При каких значениях х справедливо равенство sin
· /1+х2 =0?
Доказать, что сумма sin х + cos х ни при каких х не может равняться 1,5.
Вопросы для самостоятельного изучения.
Кто ввел названия тригонометрических функций?
Кто ввел обозначение тригонометрических функций?
Кем и когда были составлены первые тригонометрические таблицы?
Какой ученый впервые явно сформулировал теорему косинусов?
Чьи это слова: “Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков, из счисления времени и механики”?
Что такое триангуляция и кто ее придумал?
Что такое простафарезис?
Что означает слово “тригонометрия”?
Что такое “гониометрия”?
Кто ввел обозначения в треугольнике сторон малыми латинскими буквами, а противолежащих им вершин соответствующими большими латинскими буквами?
Чем можно объяснить, что у среднеазиатских и некоторых европейских ученых линии тангенса и котангенса назывались “тень”?
Может ли синус отрицательного аргумента быть числом положительным?
Кто первый измерил длину земного меридиана?
Ответы :
Понятие “синус” ввели индийские ученые, рассматривая половину хорды. Индийское название синуса “архаджива” означало “половина тетивы лука”.В арабском переводе слово было искажено в “джайб” (углубление, излучина, пазуха) и переведено на латинский язык как синус.Термин “тангенс” (по-латински - “касательная”) был введен Региомонтаном. В 1583г. Т. Финк ввел термин “секанс”. Название “косинус” и “котангенс” введены Гунтером (1581–1626).
Современные обозначения для синуса и косинуса были введены в 1739г. И. Бернулли в письме к Л. Эйлеру. Для остальных тригонометрических функций обозначения ввел Л. Эйлер. Знак для арксинуса ввел Ж. Лагранж в 1772г.
Первые тригонометрические таблицы (“таблицы хорд”) были составлены древнегреческим астрономом Гиппархом во II в. до н.э. Таблицы синусов были составлены в IV в. индийским ученым Ариабхата.
Франсуа Виет.
Это слова Ф. Энгельса.
Триангуляция – это способ косвенного измерения больших расстояний на поверхности земли построения так называемой триангуляционной сети. (Это сеть треугольников, разбивающая искомое расстояние на ряд отрезков, постепенно вычисляемых на основе непосредственного измерения только одного отрезка, базиса, и измерения углов, что можно сделать со значительно большей степенью точности, чем измерение отрезков). Триангуляцию впервые применил голландский ученый XVI в. В. Снеллиус.
Простафарезис – это способ вычисления произведения до изобретения логарифмов. Для сведения умножения к сложению и вычитанию (термин составлен из греческих слов, обозначающих эти действия) применялись формулы, заменяющие произведение тригонометрических функций суммой или разностью. Данные числа рассматривались как значения тригонометрических функций, что всегда можно сделать соответствующим переносом запятой. Затем результаты получались применением тригонометрических таблиц.
“Тригонометрия” происходит от двух греческих слов: “тригонон” – треугольник и “метрейн” – измеряю, т.е. измерение треугольников.
“Гониометрия” – учение о тригонометрических функциях.
Эти обозначения ввел Л. Эйлер (1707-1783), придавший всей тригонометрии совершенный вид.
Это объясняется тем, что с понятием тангенса и котангенса ученые встретились при решении задачи на определение высоты солнца по тени, отбрасываемой шестом. При этом линия тангенса быта тенью (катетом) в прямоугольном треугольнике.
В промежутках [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]синус имеет положительные значения, хотя значения аргумента отрицательны.
Греческий ученый Эратосфен (275-193 гг. до н.)
Дидактическое обеспечение курса
Тест по теме «Градусная и радианная мера угла»
1. Выразите в радианной мере величины углов:
I
6013 EMBED Equation.3 1415
II
4513 EMBED Equation.3 1415
1013 EMBED Equation.3 1415
2013 EMBED Equation.3 1415
-7513 EMBED Equation.3 1415
-12013 EMBED Equation.3 1415
22513 EMBED Equation.3 1415
30013 EMBED Equation.3 1415
722013 EMBED Equation.3 1415
450013 EMBED Equation.3 1415
2. Выразите в градусной мере величины углов:
I
13 EMBED Equation.3 1415
II
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
-11
-13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3. В какой четверти расположен угол 13 EMBED Equation.3 1415, если:
I
13 EMBED Equation.3 1415=29813 EMBED Equation.3 1415
II
13 EMBED Equation.3 1415=71713 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415=-7213 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415=-11313 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415=-13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415=-13 EMBED Equation.3 1415
4. Укажите положение точек, изобразив их на единичной окружности.
I
A13 EMBED Equation.3 1415
II
A13 EMBED Equation.3 1415
B13 EMBED Equation.3 1415
B13 EMBED Equation.3 1415
C13 EMBED Equation.3 1415
C13 EMBED Equation.3 1415
D13 EMBED Equation.3 1415
D13 EMBED Equation.3 1415
Самостоятельная работа
«Преобразование тригонометрических выражений»
(использование основных формул)
Упростите выражения:
I вариант
tg13 EMBED Equation.3 1415
II вариант
13 EMBED Equation.3 1415
III вариант
13 EMBED Equation.3 1415
Зачетная работа по теме «Тригонометрические выражения»
Карточка №1
1. Что называется синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла?
2. Найдите значение выражения: 2sin 30є- cos 60є + 3 tg 45є;
4 ctg 45є - sin 60є + cos 30є
Карточка №2
1. Каковы знаки синуса , косинуса, тангенса и котангенса в каждой из координатных четвертей?
2. Сравните с нулем значение выражения:
sin 143є, cos 108є , tg61є , ctg280є, sin 125є , cos200є, tg160є, ctg200є
Карточка №3
1. Выразите sin 763є через синус угла, заключенного в промежутке от 0є до 360є. Сформулируйте свойство синуса, которое при этом использовалось. Обладают ли аналогичными свойствами косинус· тангенс и котангенс?
Карточка №4
1. Является ли четной или нечетной функция: у = sin x, y= cos x, y= tg x и y= ctg x?
2. Вычислите: sin(
·30є) tg(
·45є) cos (
·60є) ctg(
·30є)
Карточка №5
1. Какой угол называется углом в 1 радиан? Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна: 2,5;
· / 4; -
·/ 2; 10
· .
2. Найдите радианную меру угла, равного: 120є; 270є; - 180є;- 150є.
Карточка №6
1. Запишите основные тригонометрические тождества.
2. Упростите выражения: а) 1- sin
· · cos
·; б) 2- cos
· - sin
·
Карточка №7
1. Какие три формулы являются основными для получения всех формул приведения?
2. Пользуясь формулами приведения, замените данные выражения тригонометрическими функциями угла
· :
sin (180є+
· ) ; sin(
·/ 2+
·) ; cos (270є-
·); cos(
· -
·); tg ( 90є+ +
· ); tg(
· / 2-
· )
Карточка №8
1. Запишите формулы сложения для синуса и косинуса суммы (разности) двух углов и сформулируйте соответствующее правило.
2. Упростите выражение: sin (
· -
· ) + (cos
· · sin
·)/ sin (
· + +
·) - cos
· · sin
· ; sin(
· +
· ) + cos (
· -
· )/ cos (
· +
· ) – cos (
· - -
· ).
Карточка №9
1. Запишите формулы суммы (разности) синусов двух углов и суммы (разности) косинусов двух углов. Сформулируйте соответствующее правило.
2. Используя формулы сложения, вычислите: sin 75є; cos 15є; sin 105є; cos 105є
Карточка № 10
1. Запишите формулу двойного угла для синуса, косинуса и тангенса.
2. Упростите выражение: sin 2
· / 2 cos
·; cos4
· - sin4
· ;
sin 2
· - (sin 2
· + cos2
· ); 2 tg 15є/ (1- tg2 15є)
Проверочная работа по теме
«Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции»»
1. Найдите область определения функции
1. а13 EMBED Equation.3 1415 6.13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415 7. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415 8. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415 9. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 10. 13 EMBED Equation.3 1415
2. Вычислите:
1.13 EMBED Equation.3 1415 5. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415 6. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415 7. 13 EMBED Equation.3 1415
4.13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнения.
1. 13 EMBED Equation.3 1415 5. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 6. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415 7. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Проверочная работа по теме
«Решение тригонометрических неравенств».
1.Решите неравенства:
Вариант I
Вариант II
sin x13 EMBED Equation.3 1415
cos x13 EMBED Equation.3 1415
tg x13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
ctg x13 EMBED Equation.3 1415
sin x13 EMBED Equation.3 1415
cos x13 EMBED Equation.3 1415
tg x13 EMBED Equation.3 1415
ctg x13 EMBED Equation.3 1415
2.Решите систему неравенств и уравнения.
Вариант I
Вариант II
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1 вариант
2 вариант
1.2sin2x-1=0
2. 6sin2x+sinx=2
3. sin2x-4sinxcosx+3cos2x=0
4. 2sin(
·/3-x/4)=
·3
5.sin4x-sin7x=0
6. 2sin2x-sin2x=cos2x
7.cos2x-sin2x=0,5
8. 6cos2x+cosx-1=0
9. 2sinx+cosx=0
10. sin3x+cos3x=
·2
11.2cos(
·/4-3x)=
·2
1.cos2x+8sinx=3
2.cos2x+sinІx=cosx
3.sinx=cosx
4.-2sinx+5sin2x=0
5.sinІx-2sinxcosx-3cosІx=0
6.(cosx-sinx)І=cos(5
·/3)
7.cos(
·/2+3x)=sinx
8.sin2x+sinx=2cosx+1
9.cosx-sin(
·/2-x)+cos(
·+x)=0
10. 2cos(
·+2x)=1
11. cos5x-cos3x=sinx
12.2sinІx+5cosx=4
а) 2sinx cosx = 1
-------------------------------------------------
sin2x = 1
2x =
·/2 + 2
·n, n Z
x =
·/4 +
·n, n Z
a) cos2x – sin2x = 1
---------------------------------------------------
cos2x = 1
2x = 2
·n, n Z
x =
·n, n Z
б) 6cos2x + cosx – 1 = 0
-----------------------------------------------------
cosx = y
6y2 + y – 1 = 0
D = 1 – 4
·6
·(– 1) = 25
y1,2 = (– 1 ± 5)/12 = 1/3; – 1/2
y = 1/3 или y = – 1/2
cosx = 1/3 или cosx = – 1/2
1. x = ± arcos(1/3) + 2
·n, n Z
2. x = ± arcos(–1/2) + 2
·k, k Z
x = ± 2
·/3 + 2
·k, k Z
б) 2sin2 – 3sinx – 2 = 0
---------------------------------------------------
sinx = y
2y2 – 3y – 2 = 0
D = 9 – 4
·2
·(– 2) = 25
y1,2 = (3 ± 5)/4 = 2; – 1/2
y = 2 или y = – 1/2
sinx = 2 или sinx = – 1/2
1. решений нет
2. x = (– 1)n arcsin(– 1/2) +
·n, n Z
x = (– 1)n (–
·/6) +
·n, n Z
x = (– 1)n + 1
·/6 +
·n, n Z
Тестовыезадания.
Тригонометрические уравнения (простейшие)
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) нет решений 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите все решения уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
4. Найдите все решения уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
6. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) нет решений
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
Опорный конспект по тригонометрии.
Синусом угла
· называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла
· называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла
· называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла
· называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
Синусом угла
· называется ордината точки единичной окружности.
Косинусом угла
· называется абсцисса точки единичной окружности.
Тангенсом угла
· называется отношение синуса угла
· к косинусу.
Котангенсом угла
· называется отношение косинуса угла
· к синусу.
Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415– основное тригонометрическое тождество
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Функция
Аргумент
0 (0
·)
13 EMBED Equation.3 1415 (30
·)
13 EMBED Equation.3 1415 (45
·)
13 EMBED Equation.3 1415 (60
·)
13 EMBED Equation.3 1415 (90
·)
sin
·
0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1
cos
·
1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
0
tg
·
0
13 EMBED Equation.3 1415
1
13 EMBED Equation.3 1415
-
ctg
·
-
13 EMBED Equation.3 1415
1
13 EMBED Equation.3 1415
0
Частные случаи:
sin x = 0, 13 EMBED Equation.3 1415
sin x = 1, 13 EMBED Equation.3 1415
sin x = - 1, 13 EMBED Equation.3 1415
cos x = 0, 13 EMBED Equation.3 1415
cos x = 1, 13 EMBED Equation.3 1415
cos x = - 1, 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение
Формула решения
Примечание
sin x = a
x = (-1)n arcsin a +
·n, 13 EMBED Equation.3 1415
arcsin (-a) = - arcsin a
cos x = a
x = ± arccos a + 2
·n, 13 EMBED Equation.3 1415
arccos (-a) =
· - arccos a
tg x = a
x = arctg a +
·n, 13 EMBED Equation.3 1415
arctg (-a) = - arctg a
ctg x = a
x = arcctg a +
·n, 13 EMBED Equation.3 1415
arcctg (-a) =
· - arctg a
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Основные тригонометрические формулы
Формулы приведения
Для того, чтобы привести тригонометрическую функцию произвольного аргумента
· к аргументу
·, 0<
· < 13 EMBED Equation.3 1415, надо:
представить: 13 EMBED Equation.3 1415
если m – чётное число, то наименование функции НЕ меняется;
если m – нечётное число, то наименование функции меняется на кофункцию;
определить знак приводимой функции и поставить её перед приведённой.
Формулы сложения для тригонометрических функций
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Тригонометрические функции двойного аргумента
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
Формулы понижения степени тригонометрических функций
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Тригонометрические функции половинного аргумента
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Формулы суммы и разности синусов и косинусов
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Это интересно.
Лошадиное правило
В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа менять или не менять название функции (синус на косинус), смотрел на свою умную лошадь. Она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента
·/2 ± а (3
·/2 ± а) или
· ± а (2
· ± а). Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ, то математик считал, что получен ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ, то «нет, не менять».
Обращай внимание на цвета!
Тригонометрия на ладони
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415 13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Реферат Тригонометрия.
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю).
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.
Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.
Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги.
В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 1) он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin( 90° - a)).
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.
Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.
Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.
Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще,
Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.
Список литературы для учащихся.
Азаров, А.И. Тригонометрия. Тождества, уравнения, неравенства, системы учебное пособие / А.И. Азаров, В.И. Булатов, В.С. Федосенко, А.С. Шибут. – Минск: Полымя, 1998. – 494с.
Амелькин, В.В. Задачи с параметрами справочное пособие по математике / В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич. – Минск: Асар, 1996.
Башмаков, М.И. Уравнения и неравенства М.И. Башмаков. – М.: Наука, 1971.
Список литературы для учителя.
1.Из опыта работы учителей математики. Алгебра. Тригонометрия [Текст] / Под ред. И.А. Гибша. – М.: Издательство Академии пед. наук, 1957.
2.Кожеуров, П.Я. Тригонометрия [Текст] / П.Я. Кожеуров. – М.: Физматгиз, 1963. – 320с.
3.Крамор, B.C. Тригонометрические функции: (Система упражнений для самостоятельного изучения) [Текст]: пособие для учащихся / В.С. Крамор, П.А. Михайлов. – М.: Просвещение, 1979. – 144с.
4.Крамор, В.С. Примеры с параметрами и их решение [Текст]: пособие для поступающих в вузы / В.С. Крамор. – М.: АРКТИ, 2000.
5.Лагунов, С. Тесты при обучении решению тригонометрических уравнений [Текст] / С. Лагунов // Математика / Прил. к ПС, 2004. – №6. – С.26.
6.Новоселов, С.И. Специальный курс тригонометрии [Текст] / С.И. Новоселов. – М.: Высшая школа, 1959.
7.Родионов, Е.М. Справочник по математике для поступающих в вузы. Решение задач с параметрами [Текст] / Е.М. Родионов. – М.: МЦ «Аспект», 1992.
Савин, А. Тригонометрия [Текст] / А. Савин // Квант, 1996. – №4.
8.Тиняков, Г.А. Задачи с параметрами [Текст] / Г.А. Тиняков, Н.Г. Тиняков. – М., 1994
9. Шабашова, О.В. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях [Текст] / О.В. Шабашова // Математика в школе, 2004. – №1. – С.20-24.
10.Ястребинецкий, Г.А. Задачи с параметрами [Текст]: книга для учителя / Г.А. Ястребинецкий. – М.: Просвещение, 1986.
13PAGE 15
13PAGE 144315
13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native