Варианты контрольных работ по геометрии 10 класс, Атанасян

Варианты контрольных работ
№1
Вариант 1
Прямые a и b пересекаются. Докажите, что прямая с, пересекающая их в двух различных точках, лежит с ними в одной плоскости.
Можно ли провести через точку пересечения диагоналей прямоугольника прямую, которая не пересекает его сторону?
Вариант 2
Даны четыре точки, три из которых лежат на одной прямой. Докажите, что все данные точки лежат в одной плоскости.
Можно ли провести через вершину треугольника прямую, которая не лежит в его плоскости?
№2
Вариант 1
Сторона АС треугольника АВС лежит в плоскости α. Вершина В не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и ВС, параллельна плоскости α.
Дан треугольник МКР. Плоскость, параллельная прямой МК, пересекает сторону МР в точке М1, а сторону РК в точке К1. Вычислите длину отрезка М1К1, если МР:М1Р1=12:5, МК=18 см.
Точка Р не лежит в плоскости трапеции ABCD с основаниями AD и BC. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков РВ и РС, параллельная средней линии трапеции.
Вариант 2
Через основание AD трапеции ABCD проведена плоскость α. Основание ВС не лежит в ней. Докажите, что прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, параллельна плоскости α.
Дан треугольник ВСЕ. Плоскость, параллельна прямой СЕ, пересекает сторону ВЕ в точке Е1, а сторону ВС в точке С1. Вычислите длину отрезка ВС1, если С1Е1:СЕ=3:8, ВС=28 см.
Точка Е не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АЕ и ВЕ, параллельна прямой CD.
№3
Вариант 1
Через точку К, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые а и b. Прямая а пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, а прямая b – в точка В1 и В2. Вычислите длину отрезка В1В2, если А2В2:А1В1=9:4, КВ1=8 см.
На изображении квадрат постройте: а) изображение центра описанной около квадрата окружности; б) изображение прямой, проведенной через точку пересечения диагоналей квадрата и перпендикулярной его стороне.
Верно ли утверждение, что прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости?
Вариант 2
Через точку М, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые а и b. Прямая а пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, а прямая b – в точка В1 и В2. Вычислите длину отрезка МВ2, если А2В2:А1В1=3:4, В1В2=14 см.
Постройте на изображении равностороннего треугольника АВС: а) изображение высоты АЕ данного треугольника; б) изображение биссектрисы угла С данного треугольника.
Прямые а и b расположены соответственно параллельных плоскостях α и β. Верно ли утверждение, что эти прямые не имеют общих точек?
№4
Вариант 1
Сторона равностороннего треугольника АВС равна 12 см. Точка К находится на равном расстоянии от его вершин и удалена от плоскости треугольника на 4 см. Вычислите: а) длину проекции отрезка КА на плоскость треугольника; б) расстояние от точки К до вершины треугольника.
Через сторону МР прямоугольника КМРТ проведена плоскость. Расстояние между прямой КТ и этой плоскостью равно 8 см. МК=15 см, МР=8 см. а) Вычислите длину проекции диагонали КР прямоугольника на данную плоскость. б) Докажите, что прямая МР перпендикулярна плоскости, в которой лежит сторона МК и ее проекция на данную плоскость.
Вариант 2
Сторона квадрата АВСD равна 8 см. Точка М удалена от каждой его вершины на 16 см. Вычислите: а) длину проекции отрезка МА на плоскость квадрата; б) расстояние от точки М до плоскости квадрата.
Через катет МР прямоугольного треугольника КМР проведена плоскость. Расстояние от вершины К до этой плоскости равно 5 см. РК=9 см, МР=12 см. а) Вычислите длину проекции гипотенузы треугольника на данную плоскость. б) Докажите, что прямая МР перпендикулярна плоскости, в которой лежат сторона КР и ее проекция на данную плоскость.
№5
Вариант 1
Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, проведены перпендикуляры АС и DB к линии пересечения. Вычислите длину отрезка АВ, если АС=12 см, DB=15 см, CD=16 см.
Через середину М стороны AD квадрата ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр МК, равный . Сторона квадрата равна 2а. Найдите: а) площади треугольника АКВ и его проекции на плоскость квадрата; б) расстояние между прямыми АК и ВС.
Вариант 2
Точки М и К расположены в двух перпендикулярных плоскостях. МС и KD – перпендикуляры к линии пересечения плоскостей. Вычислите длину отрезка CD, если MС=8 см, KD=9 см, MK=17 см.
Через середину E катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведен к его плоскости перпендикуляр МЕ, равный . , AC=b, BC=4a, Найдите: а) площади треугольника АCM и его проекции на плоскость данного треугольника; б) расстояние между прямыми АС и МЕ.
№6
Вариант 1
Докажите, что четырёхугольник ABCD является ромбом, если А(2; 1; 2), В(0; 1; 6), С(-2; 5; 6), D(0; 5; 2).
Из точки, удалённой от плоскости α на 12 см, проведены к ней две наклонные. Угол между каждой наклонной и плоскостью равен 30о, угол между их проекциями прямой. Вычислите расстояние между основаниями наклонных.
Вариант 2
Докажите, что четырёхугольник КМРТ является прямоугольником, если К(0; -6; 0), М(1; 0; 1), Р(0; 0; 2), Т(-1; -6; 1).
Расстояние между основаниями наклонных, проведённых из одной точки к плоскости β, равно см. Обе наклонные образуют с этой плоскостью углы в 60о, их проекции перпендикулярны. Вычислите длины наклонных.
№7
Вариант 1
Плоскости α и β пересекаются. Точка К, лежащая в плоскости α, удалена от плоскости β на 6 см, а от линии пересечения плоскостей на 12 см. Вычислите угол между плоскостями α и β.
Даны точки К(1; 3; 0), М(3; 0; 1), Р(4; -1; 2). Найдите на оси Ох такую точку А, чтобы векторы и были перпендикулярны.
Угол между плоскостью равностороннего треугольника АВС и плоскостью β, содержащей сторону АВ, равен φ. Сторона треугольника равна а. Найдите: а) расстояние от вершины С до плоскости β; б) площадь проекции треугольника АВС на плоскость β.
Вариант 2
Расстояние от точки М, лежащей в одной из пересекающихся плоскостей, до линии их пересечения равно 14 см. Проекция точки М на вторую плоскость удалена от линии пересечения плоскостей на 7 см. Вычислите угол между данными плоскостями.
Дано: При каком значении k векторы и будут перпендикулярными?
Через гипотенузу МК равнобедренного прямоугольного треугольника КМР проведена плоскость α. Угол между плоскостями α и данного треугольника равен φ, МР=а. Найдите: а) расстояние от вершины Р до плоскости α; б) площадь проекции треугольника КМР на плоскость α.