подготовительный материал для решения олимпиадных, конкурсных и прикладных задач.

Программа по формированию общей культуры учащихся, расширении его знаний по математике, формированию необходимых навыков для исследовательской работы, расширение кругозора. Школьники, изучившие данный материал смогут применять его при решении олимпиадных, конкурсных и прикладных задач.


Содержание материала.
Составление выражений. В данной теме рассматриваются задачи на арифметические действия, на расстановку скобок, на запись определенных чисел, например 5 семерками и подобные задачи.
Головоломки. В данной теме решаем задачи на развитие мышления.
Числовые ребусы. На данном этапе решаем ребусы, составленные из чисел и букв, причем одинаковым числам соответствуют одинаковые буквы в записи.
Другие задачи. Рассматриваются задачи первых трех тем вместе плюс некоторые другие типы задач на математическую смекалку.
Четность. При решении задач данного раздела требуются свойства четных и нечетных чисел, такие как: сумма двух четных – четное число, сумма двух нечетных – нечетное число, сумма четного и нечетного – нечетное число.
Геометрия в пространстве. В данном разделе рассматриваются геометрические задачи на смекалку, то есть связь геометрии и логики применительно к учащимся 5-6 классов, даются начала геометрии.
Переливания. Решаем задачи на сосуды и различные емкости.
Взвешивания. Использование весов, гирь и монет при решении задач.
Логические задачи. В данной теме рассматриваются задачи на рассуждение и логику.
Задачи- шутки. В этом разделе собраны задачи, правильное решение которых чаще всего не требует никаких дополнительных знаний ,- внимательно читайте условие задачи и попробуйте миновать расставленные ловушки.
В худшем случае. Довольно часто в задачах, где требуется доказать какое – либо утверждение, можно рассмотреть самый неудобный , худший случай, в котором утверждение кажется наиболее подозрительным. Если мы докажем утверждение в этом случае, то тем более оно будет верно и в остальных случаях.
Геометрия на клетчатой бумаге. Клетчатая бумага дает представление о том, как можно замостить плоскость равными квадратами, на ней удобно рисовать фигуры, разрезать фигуры. Здесь также рассматриваются игры с пентамино.
Смеси. В данном разделе многие задачи образуют цепочки, в которых метод решения предыдущей задачи может оказаться полезным для решения последующей. Эта тема завершающая, поэтому задачи в ней наиболее сложные и запутанные.

Составление выражений.
Применяя знаки арифметических действий и скобки запишите:
А). семью семерками 700
Б). восемью семерками 700
В). восемью двойками 200
Г). Десятью четверками 500
Д). десятью шестерками 600
Е). восемью восьмерками 1000
2. Используя три цифры 5, знаки арифметических действий и скобки, составьте несколько выражений, имеющих различные значения.
3. между цифрами 1,2,3,4,5,6,7,8,9 расставьте знаки арифметических действий и скобки так, чтобы полученное выражение имело значение 100.
4. из четырех двоек составьте выражения, значения которых равнялись бы числам 0,1,2,3,4,5,6,8,9,10

Головоломки.
Вырежте 16 одинаковых квадратов четырех цветов- по 4 квадрата каждого цвета. Сложите из них квадрат 4*4 так, чтобы одинаковые цвета не повторялись:
а) ни в строчках, ни в столбцах;
б). ни в строчках, ни в столбцах, ни на диагоналях.
Зарисуйте решения в тетрадь.
Можно использовать судоку.

Числовые ребусы.
Числовые ребусы- это примеры, в которых все или некоторые цифры заменены * или буквами. При этом одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры.

Замените * цифрами:
Решите числовой ребус:
Другие задачи.
Вася записывает последовательность чисел так, что каждое следующее число определяется по очень простому правилу. Определите это правило и запишите следующее число:
3,13,23,33
11,101,1001
1,2,3,5,8..
2,5,11,23,47.
1,1,2,3,5..
12,31,24,12,51.
2. Требуется определить арифметическое действие, с помощью которого из двух крайних чисел получено среднее, и вместо знака «?» поставить полученное число.

42(47)5 6(66)11 36(25)11 48(4)12
31(? )8 5(? )12 48(?)12 100(?)5
Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Найдите наименьшее целое число, квадрат которого начинается на 11, 111
Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого участвуют все цифры от 1 до 9?
Из некоторого числа вычли сумму его цифр, из полученного числа вычли сумму его цифр и так далее. После 11 вычитания впервые получили 0. каким могло быть первое число?

Четность.
Можно ли заплатить без сдачи 20 семью монетами, семью монетами по 1 и 5, 25 восемью монетами 1 и 5?
Записано 4 числа: 0,0,0,1. за один ход разрешается прибавить 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 одинаковых числа?
Нарисуйте замкнутую ломаную линию из 6 звеньев, пересекающую каждое свое звено ровно один раз. Существует ли такая ломаная из 7 звеньев?




Геометрия в пространстве.
Из шести спичек сложите 4 треугольника со сторонами, равными длине спички.
Продавец тремя прямыми разрезами разделил головку сыра на 8 частей. Как он это сделал?
Объем деревянного бруска 80 см3., ширина 4 см, высота 2 см. длину уменьшили на 3 см. определите объем оставшейся части.
Деревянный куб покрасили со всех сторон, потом распилили его на 27 одинаковых кубиков. Сколько среди них имеют одну, две, три окрашенных грани? Сколько кубиков не окрашено?

Переливания.

Имеются два сосуда емкостью 3л и 5л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 4л. Воды?
Как с помощью 7-ми литрового ведра и 3-х литровой банки налить в кастрюлю ровно 6 литров воды.
В первый сосуд входит 8 литров, и он наполнен водой. Имеются еще два пустых сосуда емкостью 5л и 8л. Как с помощью этих сосудов отмерить ровно 1 литр?
Имеются два типа песочных часов. Одни отмеряют 7 минут, а другие-11 минут. Как с их помощью отмерить 15 минут, необходимых, чтобы сварить вкрутую яицо?
Имеются стакан кофе и стакан молока. Ложку молока перелили в кофе, полученную смесь тщательно перемешали. Ложку смеси перелили обратно в молоко. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?



Взвешивания.
1. У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100 гр. Как за три взвешивания она может отвесить 700 грамм крупы?
2. На одной чашке весов лежат 6 одинаковых яблок и три одинаковые груши, на другой чашке- 3 таких же яблока и пять таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша?
3. Из трех монет две настоящие и одна фальшивая. Она легче остальных. Как за одно взвешивание на чашечных весах без гарь можно определить фальшивую монету?
4. Из 9 монет одна фальшивая- она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?
5. Из 27 монет одна фальшивая- она легче остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?
Логические задачи.
1. Встретились три подруги: Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой- красное, на третьей- белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «нам надо поменяться платьями, а то у всех троих цвет платья не соответствует фамилиям». Кто в каком платье был одет?
2. Коля, Боря, Вова и Юра заняли четыре первых места в соревнованиях. На вопрос, какие места они заняли, трое из них ответили:
-Коля ни первое, ни четвертое;
- Боря второе;
- Вова не был последним.
Какое место занял каждый мальчик.



Задачи- шутки.
1. Тройка лошадей проскакала 30 км. Сколько км. Проскакала каждая лошадь?
2. у меня две монеты на общую сумму 15 копеек, одна из них не пятак. Что это за монеты?
3. Крыша одного дома не симметрична: один скат ее составляет с горизонталью угол в 60 градусов, а другой- 70. предположим, что петух откладывает яицо на гребень крыши. В какую сторону упадет яицо?
4. Найдите два в квадрате, три в квадрате, угол в квадрате.
5. горело 5 свечей, две погасли. Сколько свечей осталось?
6. Шел мужик в Москву и повстречал 7 богомолок. У каждой из них было по мешку , а в каждом мешке – по коту. Сколько существ направлялось в Москву?
7. По дереву ползет гусеница. За день она поднимается на 6 метров, а за ночь опускается на 4 метра. За сколько дней она доползет до вершины, если высота дерева 14 метров?
В худшем случае.
1. На карточках написаны двузначные числа. Сколько карточек надо взять не глядя, чтобы по крайней мере одно из чисел делилось на 2 , на 7?
2. В ящике комода, который стоит в темной комнате, лежат 10 коричневых и 10 красных носков одного размера. Сколько носков нужно взять из ящика комода, чтобы среди них оказалась пара носков одного цвета?
3. Иван-царевич добыл ключи от нескольких комнат в подземелье, но не знал, какой ключ от какой комнаты. Сколько комнат в подземелье, если в худшем случае ему достаточно 21 пробы, чтобы выяснить, какой ключ от какой комнаты?
4. В школе 20 классов. В ближайшем доме живет 23 ученика этой школы. Можно ли утверждать, что среди них найдутся обязательно хоты бы два одноклассника?
5. В коллекции имеется 25 монет по 1,2,3,5 копеек. Имеется ли среди них 7 монет одинакового достоинства?
Геометрия на клетчатой бумаге.
1. Плоскость можно замостить равными прямоугольниками. Придумайте два своих паркета из равных прямоугольников.
2. Квадрат содержит 16 клеток. Разделите его на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток (несколько способов).
3. Квадрат 6*6 разграфлен на 36 одинаковых квадратов. Найдите 6 способов разрезания квадрата на две равные части так, чтобы линия разрезе шла по сторонам квадрата.
4. Прямоугольник 4*9 разрежьте на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
5. Составьте все возможные фигуры тетрамино ( от греческого слова тетра- четыре) зарисуйте полученные фигуры в тетрадь. Сколько их получилось?
6. Двенадцатью различными фигурами пентамино ( от слова пять) нужно замостить прямоугольник 6*10. найдите несколько решений.
Смесь.
1. Как разделить 7 яблок поровну на 12 человек, чтобы не разрезать яблоко более чем на 5 частей?
2. Веревку разрезали на части. При этом сделали 6 разрезов. Сколько частей получилось?
3. Имеются бревна по 4м и по 5 метров. Сколько бревен каждого вида надо распилить, чтобы получить 42 бревна по одному метру и сделать наименьшее число распилов.
4. Сколькими способами можно разменять 50 копеек монетами по 1,5 и 10 копеек?
5. в нашем классе 33 человека и каждый дружит ровно с 5 одноклассниками. Может ли такое быть?
6. Три соседки готовили обед на общей плите. Первая принесла 5 поленьев дров, вторая- 4 полена, а у третьей дров не было и она угостила своих соседок, дав им 9 яблок. Как соседки должны разделить яблоки по справедливости?
31.05.2010г.