Урок по алгебре в 9 классе Синус, косинус, тангенс

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
Тема: Синус, косинус и тангенс угла
Цель урока: развитие тригонометрического аппарата, как средства решения геометрических задач.
Задачи:
- обучающие: ввести понятие синуса, косинуса и тангенса для углов от 0 до 180, вывести основное тригонометрическое тождество и формулы для вычисления координат точки, создать условия для успешного усвоения учащимися данных понятий
-развивающие: развивать умение логически мыслить, выяснять причинно-следственные отношения, применять ранее изученные знания в новой ситуации
-воспитательные: прививать самостоятельность, умение организовывать свою деятельность в группе
Тип урока: изучение нового материала.
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Оборудование: интерактивная доска, учебник, тетрадь, учебные принадлежности.
Ход урока
1. Организационный момент.
Приветствие, сообщение цели урока, позитивный настрой на урок.
2. Анализ контрольной работы. Работа над ошибками.
3. Подготовка к изучению нового материала. Тест.
С
- Мы с вами уже встречались с тригонометрическими функциями в 8 классе на теме «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника». Сейчас вспомним, что же нам о них известно. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с острым углом А.
Что будет называться синусом острого угла А?
(Синусом острого угла А прямоугольного треугольника называется
отношение противолежащего катета к гипотенузе)
А
В
Косинусом острого угла А?
(Косинусом острого угла А прямоугольного треугольника называется
отношение прилежащего катета к гипотенузе)
Тангенсом острого угла А?
(Тангенсом острого угла А прямоугольного треугольника называется
отношение противолежащего катета к прилежащему)
Предлагаю вам вспомнить значения синуса, косинуса и тангенса для углов 300, 400 и 600, а так же применение уже сказанных определений.
На столах у вас лежит тест, ответе на него, выбрав один правильный ответ.
Тест.
В


5
4

А
С

3

Синус угла А равен:
а) 45; б) 35; в) 43Тангенс угла А равен:
а) 43; б) 35; в) 34Косинус 600 равен:
а)32; б) 12; в) 22Если sinα=59, то cosα равен:
а) 95; б) 5681; в)2149Если cosα=13, то sinα равен:
а) 22; б) 8; в) 122Упрости выражение: sin300∙cos450∙tg600а) 64; б) 324 ; в)24Теперь проверим правильность вашего решения. (Самопроверка)
1 2 3 4 5 6
а в б в а а
4. Изучение нового материала
-269875182245
Введём прямоугольную систему координат Оху и построим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Назовём её единичной окружностью. Из точки О проведём луч h, пересекающий единичную окружность в точке М(х;у). Обозначим буквой α угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс.
Если угол α острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем sin α = MD/OM, а
cos α = OD/OM.
Но OM = 1, MD = у, OD = х, поэтому sin α = у, cos α = х. Итак, синус острого угла α равен ординате у точки М, косинус угла α- абсциссе х точки М. Для определения прямого, тупого, равного 0 или развернутого , так же используются эти формулы sin α = у, cos α = х.
Таким образом, для любого угла α из промежутка 0°≤ α ≤180 синусом угла α называется ордината у точки М, а косинусом угла α – абсцисса х точки М.
Тангенсом угла α (α≠900) называется отношение ординаты у к абсциссе х точки М. Т.е. tg a = y/x
Основное тригонометрическое тождество.
На рисунке изображены система координат Оxy и единичная полуокружность DСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид X² + Y² = 1. Подставив сюда выражения для x u y из формулы: sin = x, cos = y, получим равенство sin²a+ cos²a = 1. Данное равенство называется Основным тригонометрическим тождеством. В 8 классе мы с вами доказывали его для острых углов. Справедливы также следующие тождества sin900-α=cosα, cos(900-α)=sinα, при 0°≤ α ≤900 , sin(1800-α)=sinα, cos(1800-α)= -cosα, при 0°≤ α ≤1800
Знаки sin a.
Так как sin a = y /R, то знак sin a зависит от знака y. В 1 и 2 четвертях y>0, а в 3 и 4 четвертях y<0. Значит: sin a>0, если а является углом 1 или 2 четверти, и sin a<0, если а является углом 3 или 4 четверти.
Знаки cos a.
Знак cos a зависит от знака x, так как cos a = x/R. В 1 и 4 четвертях x>0, а во 2 и 3 четвертях x<0. Поэтому: cos a>0, если а является углом 1 или 4 четверти, и cos a<0, если а является углом 2 или 3 четверти.
Знаки tg a и ctg a.
Так как tg a = y/x, а ctg a = x/y, то знаки tg a и ctg a зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg a>0 и ctg a>0, если а является углом 1 или 3 четверти; tg a<0 и ctg a<0, если а является углом 2 или 4 четверти.
Формулы для вычисления координат точки.
Пусть задана система координат Oxy и дана точка А(x;y). Выразим координаты точки А через длину отрезка ОА и угол a: М – точка пересечения луча ОА с единичной полуокружностью. x = cosa, y = sina, М(cosa; sina) Вектор ОМ имеет те же координаты, что и точка М, т.е.ОМ {cosa;sina} Вектор ОА имеет те же координаты, что и точка А, т.е. ОА{x;y} По лемме о коллинеарных векторах: ОА=ОА∙ОМ, поэтому х=OA ∙ cosa, у=OА ∙ sina
5. Закрепление темы
1) Разберем решение задач
№ 1 Найдите по рисунку синус, косинус и тангенс угла: а) АОМ; б) АОК….
у
Решение:
К
В(0;1)
а)

М


С (-1;0)

О
А (1;0)
х

Угол АОМ образован лучом ОМ и положительной полуосью абсцисс, точка М лежит на единичной окружности. Значит, синус угла АОМ равен ординате точки М, т.е. sin∠АОМ=0,6. Косину угла АОМ равен абсциссе точки М, т.е. cos∠АОМ=0,8. Тангенс ∠АОМ равен sin∠АОМcos∠АОМ, т.е 34б) (самостоятельно) Синус угла ОАК равен ординате точки К, т.е. sin∠АОК=0,8. Косинус угла ОАК равен абсциссе точки К, т.е. cos∠АОК=-0,6. Тангенс угла АОК равен sin∠АОКcos∠АОК, т.е 0,8÷(-0,6)=-43№ 2 Принадлежит ли единичной полуокружности точки: а) Р(-0,6;0,8), б) Т(14;34)? Решение:
а) Точка с координатами (х;у) принадлежит единичной окружности, если выполнены два условия: 1) -1≤х≤1, -1≤ у≤1 и 2) х2+у2=1. Рассмотрим данные точки.
Точка Р: х= -0,6, у=0,8 удовлетворяют первому условию: -1≤ (-0,6)0,8≤1; х2+у2= (-0,6)2+0,82=0,36+0,64=1. Следовательно, выполнено второе условие. Поэтому точка Р принадлежит единичной полуокружности.
б) Точка Т: х=14 , у=34, следовательно, -1≤ 14 ≤1, -1≤ 34 ≤1, первое условие выполняется. Проверяем второе (14)2+(34)2=1016 Следовательно, точка Т не принадлежит единичной полуокружности.
№ 3
Решение:
а) cosα=1⇒sinα=1-cosα2=1-1=0tgα=sinαcosα=0
№4
Стороны прямоугольного треугольника равны 26, 24 и 10 см. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла β.
Стороны прямоугольного треугольника равны 3, 4 и 5 см. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла α.
Катет прямоугольного треугольника равен 6 дм, а угол, прилежащий катету равен 300. Найдите гипотенузу данного треугольника.
Вычисляя синус острого угла прямоугольного треугольника, ученик получил 1,05. Верны ли его вычисления?
Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, если синус равен 12/13.
Синус равен 9/41. Чему равен косинус другого острого угла? с=26, а=24, в=10.
Тогда sin β=в/с=24/26=12/13;
cos β=а/с=10/26=5/13;
tg β=в/а=24/10=2,4.
с=5, а=3, в=4.
Тогда sin α=а/с=4/5=0,8;
cos α=в/с=3/5=0,6;
tg α=а/в=4/3.
Пусть а=6 дм, тогда угол β равен 300.
сos β=cos 300=1/2.
cos300=a/с.
с=а/cos 300=12 дм.
Не верны, так как синус может принимать различные значения от -1 до 1 включительно.
Если синус равен 12/13, значит а=12, с=13. Тогда по теореме Пифагора в=5. Значит, косинус равен 5/13, а тангенс - 12/5.
9/41, т.к. sinα=a/с, а cosβ=a/с. Поэтому косинус равен синусу другого острого угла.
6. Постановка д.з.
Решение домашнего задания
(а) cos α=1/2. sin α=1-cos2α=1-14=32.
(б) sin α=14. cos α=±1-sin2α=±1-116=±154.
(в) sin α=0. cos α=1.