РАЗВИТИЕ КОМБИНАТОРНО-ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ

РАЗВИТИЕ КОМБИНАТОРНО-ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ
Матвеева А.А.
Россия, г. Астрахань, МБОУ г. Астрахани «СОШ №71»
В статье дается определение понятия комбинаторно-логического мышления, его применение при решении задач из Единого Государственного Экзамена (ЕГЭ) по математике часть С. А также развитие данного вида мышления реализуя принцип непрерывности при изучении геометрии.
Математика необходима для развития творческого потенциала человека. В.М. Тихомиров писал: «И также, как каждому разумному человеку должна быть понятна роль физкультуры для здоровья и гармоничного развития тела, всеми нами должна быть осознана особая роль тренировки и гармоничного развития наших мыслительных способностей, нашего мозга. Но за всю историю человечества пока не найдено лучшего способа развития интеллектуальных и творческих способностей человека, чем при помощи математики».
Комбинаторно-логическое мышление – это мышление, при помощи которого обучающийся с помощью логических приемов выстраивает определенные комбинации способов и методов, направленных как на разрешение различным числом вариантов частных конкретных задач, так и на поиск общих закономерностей. Это мышление, реализуемое посредством мыслительных операций, направленного на выделение конечных вариантов рассматриваемых явлений и понятий [1].
Комбинаторное мышление является важной составляющей интеллектуального развития человека.
Чтобы развивать комбинаторно-логический стиль мышления у старшеклассников необходимо:
Научить разносторонним подходам к решению поставленных задач и находить более подходящий способ;
Научить анализировать собственные действия и действия других с различных точек зрения, делать выводы, развивая тем самым критическую и рефлексивную компоненты;
Научить при помощи ряда мыслительных операций, переформулировать задачу, подходить к ее решению и оформлению решения с различных позиций;
Научить переходить от частного случая решения задачи к общему и обратно.
Неоценим вклад геометрии в образование подрастающего поколения, развитие мышления, воображения, исследовательских способностей школьников. Современная наука немыслима без геометрии.
На протяжении всей истории человечества геометрия служила источником развития не только математики, но и многих других наук. Именно в ней появились первые теоремы и доказательства. Сами законы математического мышления формировались с помощью геометрии.
Многие геометрические задачи способствовали появлению новых научных направлений:
-задача об измерении длины отрезков привела Пифагора к открытию несоизмеримых отрезков и в дальнейшем к построению действительных чисел;
-задачи об измерении длины окружности, площади круга, объемов шара и пирамиды привели древнегреческих ученых к понятию предела и заложили основы интегрального исчисления;
-задачи нахождения уравнения касательной к кривой и вычисления площади криволинейной трапеции привели Г. Лейбница и И. Ньютона к созданию дифференциального и интегрального исчисления;
-геометрические методы изображения пространственных фигур стали фундаментом живописи, изобразительного искусства;
-задача о нахождении орбит космических тел оказалась связанной и была решена с помощью конических сечений;
-современные представления о Вселенной описываются на языке геометрии с помощью понятия многообразия.
-задача Эйлера о кенигсбергских мостах положила начало нового направления геометрии – теории графов;
-функциональный анализ, один из современных разделов математического анализа, опирается на понятие бесконечномерного линейного пространства, обобщающего понятие евклидова пространства;
-одно из основных понятий алгебры – понятие группы, возникло на основе геометрических понятий симметрии и движения. Группы симметрий играют важную роль не только в математике, но и физике, химии, биологии, кристаллографии и других науках;
-разработка методов решения задач оптимального управления стала возможной благодаря развитию геометрических методов, в том числе теории многогранников;
-в последние десятилетия активно развивается алгебраическая геометрия – раздел математики, изучающий алгебраические структуры геометрическими методами. В частности, решение проблемы Ферма было недавно получено с использованием глубоких геометрических методов;
-в связи с развитием компьютерной техники, возникло и успешно развивается новое направление геометрии – компьютерная геометрия, применения которой охватывают все большее число сфер человеческой деятельности: архитектура, машиностроение, медицина, геология, космос и др [2].
Одно из центральных мест в курсе математики занимают тригонометрические уравнения и неравенства, которые применяются к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера.
В школьном математическом образовании с изучением тригонометрических уравнений и неравенств связаны несколько направлений:
1. Решение уравнений и неравенств;
2. Решение систем уравнений и неравенств;
3. Доказательство неравенств [3].
Так же следует заметить, что решение тригонометрических уравнений и неравенств создаёт предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по тригонометрии и даёт возможность установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения, равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования алгебраических выражений и т.д.)
Рассмотрим задачу из ЕГЭ часть С.
Задача 1. Решите уравнение x2-2xsinx+a+1=0 в зависимости от значений параметра a.
Решение. Так как x=0 не является корнем уравнения, то уравнение можно представить в виде sinx+a=x2+12x.
Если x>0, то x2+12x≥1. Действительно, так как x2-2x+1≥0, то x2-2x+12x≥0, x2+12x≥1.
Так как sinx+a≤1, то sinx+a=x2+12x выполняется только в случае x2+12x=1, т.е. x=1. Тогда sina-1=1, 1+a=π2+2πk, a=π2-1+2πk, k∈Z.
Если x<0, то x2+12x≤-1 и равенство sinx+a=x2+12x выполняется только в случае x=-1.
Тогда sina-1=-1, a-1=-π2+2πn, n∈Z.
Ответ: x=1, если a=π2-1+2πk, k∈Z;
x=-1, если a=1-π2=2πn, n∈Z.
Так же, как без базовых знаний из курса алгебры невозможно решить тригонометрические уравнения, так и без начальных знаний построения геометрических фигур и их свойств невозможно решить более сложные задачи с применением тригонометрии.
Рассмотрим некоторые задачи из ЕГЭ часть С.
Задача 2. Основанием пирамиды является прямоугольник с углом 30° между диагоналями, а боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом α. Найдите объем пирамиды, если радиус описанной сферы равен 9, а cosα=13.
Решение. Сделаем диагональное сечение пирамиды, вписанной в сферу. В сечении получим равнобедренный треугольник ASC, вписанный в окружность радиуса 9, с углом при основании α.
88907620Основанием ∆ASC является диагональ AC основания пирамиды. По известным формулам S∆ASC=bac4R; S∆ACS=12cbsinα, bac36=12cb223, c=a=122, где AS=c; SC=a и AС=b.
Из ∆ASO: AO=ccosα=1223=42, AС=82; SO=csinα =16. Vпир=13Sосн∙SO.
Так как Sосн=12(AC)2sin30°=(82)2∙14=32, то Vпир=1332∙16=5123.
Ответ: Vпир=5123Задача 3. В правильной треугольной призме боковое ребро равно 3, а ребро основания равно 4. Найдите угол между теми диагоналями двух боковых граней, которые выходят из противоположных концов смежного им ребра.
8890-177165Решение. Рассмотрим правильную треугольную призму ABCA1B1C1.
Проведем диагонали A1B и AC1. Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно найти угол между лучами с общей вершиной, параллельными данным прямым. Сделаем дополнительные построения. Из точки C1 проведем прямую, параллельную A1B и отложим на ней отрезок C1A2=A1B. Искомый угол равен ∠AC1A2. Из условий задачи следует: AC1=A1B=16+9=5 (боковые грани правильной призмы представляют собой равные прямоугольники). ACA2B – ромб с острым углом 60°, и его диагональ AA2=43. Из ∆AC1A2 по теореме косинусов находим ∠AC1A2=125.Ответ: arccos125.
Таким образом, реализуется принцип непрерывности в обучении математике на протяжении всего школьного курса. Осуществляется развитие комбинаторно–логического мышления школьников при обучении математики и необходимость его применения при подготовке к ЕГЭ.
Литература
Попова Т.Г. Математика. 10-11 классы. Развитие комбинаторно-логического мышления. Задачи, алгоритмы решений / Т.Г. Попова. – Волгоград: Учитель, 2009. - 111 с.
Смирнова И.М. Геометрия 10-11 (для гуманитарного профиля обучения). – М.: Просвещение, 1997, 1998.
Аджиева А. Тригонометрические уравнения // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 33, 2001г.
THE DEVELOPMENT OF COMBINATORIAL-LOGICAL THINKING IN THE STUDY OF GEOMETRY AND ITS APPLICATION IN THE PREPARATION FOR THE USE
Matveyeva A.A.
Russia, Astrakhan, МБОУ г. Астрахани «СОШ №71»
In the article the definition of the notion of the combinatorial-logical thinking, its application to solution of tasks of the Unified State Examination (USE) in mathematics part С. And development of this type of thinking by implementing the principle of continuity in the study of geometry.