Презентация по математике Десять способов решения квадратного уравнения

Выполнил:Ученик 9 А классаМОБУ СОШ№1 Ковалёв МаркУчитель Авдеева Л.Н. Гипотеза Существует оптимальный способ решения квадратных уравнений – это решение уравнений по формулам, изучаемых в школьной программе Цель работыРасширить представление о квадратных уравненияхЗадачи: Познакомиться с информацией о решении уравнений в процессе формирования науки алгебры.Изучить различные способы решения квадратных уравнений Предмет исследования: квадратные уравнения.Объект исследования: способы решения квадратных уравнений.Метод исследования: аналитический План работы История развития квадратных уравнений 1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне 2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения 3. Квадратные уравнения у ал- Хорезми 4 Квадратные уравнения и Омар Хайям 5. Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв 6. О теореме ВиетаСпособы решения квадратных уравнений 1. Разложение левой части уравнения на множители 2. Метод выделения полного квадрата 3. Решение квадратных уравнений по формуле 4. По теореме Виета 5. Способ «переброски» 6. По свойствам коэффициентов 7. Графическое решение 8. С помощью циркуля и линейки 9. С помощью номограммы 10. Геометрический способ Заключение Исследования и выводы. История развития квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне: Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне ( около 2 тыс. лет до н.э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями в виде уравнений. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»(10+х)(10-х) =96 или же:100 - х2 =96х2 - 4=0Решение х= -2 для Диофанта не существует так как греческая математика Знала только положительные числа. Как решал квадратные уравнения Ал-Хорезми? Учебник математики Ал-Хорезми,выпущенный им около 830 года под заглавием„Китаб аль-джебр валь мукабала", посвященв основном решению уравнений первой и второйстепени. Этот математик уравнения решает такжегеометрически. Вот пример, ставший знаменитым, из «Алгебры» ал - Хорезми: х2 +10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39». Узбекский математик, поэт и врач Омар Хайям уже в IX веке Систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Хайям в своём алгебраическом трактате говорит, что он много занимался поисками точного решения уравнений третьей степени. Омар Хайям Квадратные уравнения в Европе XIII—XVII веков Способы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовал распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI—XVII вв. и частично XVIII. Михаэль Штифель Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х2 + вх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г.немецким математиком Михаэлем Штифелем. Франсуа Виет Благодаря трудам Виета открылась возможность выражения свойств уравнений и их корней общими формулами. (формулы Виета). Впервые свои исследования по математике Виет опубликовал в книге "Математический канон" в 1574 году. Эта книга печаталась за счет Виета и поэтому вышла очень небольшим тиражом. Его работы были написаны столь трудным для понимания математическим языком, что не нашли такого распространения, которого заслуживали. Все свои математические труды Виет опубликовал в 1591 году в книге „Isagoge in artem analiti-cam". Они свидетельствовали о всесторонности его знаний. Спустя 40 лет после смерти Виета его произведения были изданы под общим заглавием “Opera mathematica”. Рене Декарт «Алгебраические обозначения получают усовершенствование у Виета и Декарта; начиная с Декарта алгебраическая запись мало чем отличается от современной». Андронов А.А., советский математик Эти ученые внесли достойный вклад в развитие теории решения квадратных уравнений Франсуа Виет (1540 – 1603, Франция) вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде, однако он признавал только положительные числа.Штифель (1486 – 1567, Германия) в 1544 году сформировал общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду х2 + b x = c при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b и c.Итальянские учёные Тарталья (1500-1557), Кардано (1501-1576), Бомбелли (1526-1572) среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни.В XVII веке благодаря трудам Жирара (1595-1632, Голландия), Декарта (1596-1650, Франция), Ньютона (1643-1727, Англия) и других учёных, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. ДиофантIV в. н.э. Л. ФибоначчиXIII век н.э. И.Ньютон1643-1727 т Тарталья Штифель1486-1567 Способы решения квадратных уравнений. 1 СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.х2 + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители способом группировки:(х + 12)(х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Это означает 2 и -12 корни уравнения х2 + 10х - 24 = 0. 2 СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0 выделив в левой части полный квадрат.х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.Таким образом, данное уравнение можно записать так:(х + 3)2 - 16 =0(х + 3)2 = 16.х + 3 - 4 = 0 или х+ 3 = -4, х1 = 1 х2 = -7. 3 СПОСОБРешение квадратных уравнений по формуле.ах2 + bх + с = 0, 4 СПОСОБ Решение уравнений с использованием теоремы Виета.Для приведённого уравнениях2 + px + g = 0.x1 x2 = q, x1 + x2 = - pДля полного уравненияах2 + вx + с = 0.x1 x2 = с/а, x1 + x2 = - в/а 5 СПОСОБ Решение уравнений способом «переброски».ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.Умножая обе его части на а, получаем уравнениеа2х2 + аbх + ас = 0.Замена ах = у, откуда х = у/а; Уравнение у2 + by + ас = 0 равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а. 6 СПОСОБ Свойства коэффициентов квадратного уравнения.Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.Если, а + b + с = 0 , то х1 = 1, х2 = с/а.Если, а + с = в , то х1 = -1, х2 = - с/а. 7 СПОСОБГрафическое решение квадратного уравнения.х2 + px + q = 0Перенесём второй и третий члены в правую часть уравнения х2 = - px - q. Построим графики функций у = х2 и у = - px - q. Точки пересечения графиков являются корнями уравнения 8 СПОСОБ Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. Построим точки S- центр окружности и точку А(0;1), абсциссы точек пересечения окружности с осью х являются корнями уравнения.Так как по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a. 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках ( рис.1) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 2) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.3), в этом случае уравнение не имеет решения. рис.1 рис.2 рис.3 9 СПОСОБ примеры С помощью номограммы. 10 СПОСОБ Геометрический способ решения квадратных уравнений. Решим уравнение х2 + 10x = 39 В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» Исследовательская работа по нахождению оптимальных способоврешения тематического теста«Решение уравнений второй степени с одной переменной» Неполные квадратныеуравнения По теореме Виета По свойству коэффициентов По формулам 1. а+в+с=0 2. а+с=в Количество заданий 3 2 4 3 8 № заданий 1,2,3 4,5 6,8,10,15 7,9,11 12,13,14,16,17,18,19,20 № Уравнение Способ решения Вспомогательная работа Ответ  1 4х2-100=0 Разложение на множители 4(х-5)(х+5)=0 Х1=5; х2=-5 2 8х2+13х=0 Разложение на множители Х(8х+13)=0 Х1=0; х2= - 3 3х2-48=0 Разложение на множители 3(х-4)(х+4)=0 х1=4; х2= - 4. 4 х2-7х+12=0 Теорема Виета х1+х2 =7; х1.х2 = 12 х1=4; х2= 3 5 х2-5х+6=0 Теорема Виета х1+х2 =5; х1.х2 = 6 х1=2; х2=3 6 157х2-153х-4=0 Свойство 1 х1=1; х2=с/а х1=1; х2= -4/157 7 232х2+229х-3=0 Свойство 2 х1= -1; х2= - с/а х1= -1; х2=3/232 8 176х2-171х-5=0 Свойство 1 х1=1; х2=с/а х1=1; х2= -5/176 9 254х2+259х+5=0 Свойство 2 х1= -1; х2= - с/а х1= -1; х2= -5/254 10 134х2-131х-3=0 Свойство 1 х1=1; х2=с/а х1=1; х2= -3/134 11 2х2+3х+1=0 Свойство 2 х1= -1; х2= - с/а х1= -1; х2= -1/2 15 3х2-х-2=0 Свойство 1 х1=1; х2=с/а х1=1; х2= -2/3 С применением метода «Переброски», решены оставшиеся задания № 12,13,14,16,17,18,19,20 12 3х2-13х+4=0 Переброска: 3х=у у2-13у+12=0,свойство 1у1=1, у2=12 х1=1/3; х2= 4 13 3х2-11х+6=0 Переброска: 3х=у у2-11у+18=0,теорема Виетау1=9, у2=2 х1=3; х2= 2/3 14 2х2-3х-2=0 Переброска: 2х=у у2-3у-4=0,свойство 2у1= -1, у2=4 х1= -1/2; х2=2 16 4х2-9х+2=0 Переброска: 4х=у у2-9у+8=0свойство 1у1= 1, у2=8 х1= 1/4; х2=2 17 2х2-9х-5=0 Переброска: 2х=у у2-9у-10=0,свойство 2у1= -1, у2=10 х1= -1/2; х2=5 18 2х2-7х+3=0 Переброска: 2х=у у2-7у+6=0свойство 1у1= 1, у2=6 х1=1/2; х2=3 19 3х2-7х+2=0 Переброска: 3х=у у2-7у+6=0свойство 1у1= 1, у2=6 х1=1/3; х2= 2 20 2х2-11х+5=0 Переброска: 2х=у у2-11у+10=0свойство 1у1= 1, у2=10 х1=1/2; х2= 5 Для сравнения: на одно задание теста с № 6 по 10 с большими коэффициентами, при решении с помощью формул уходит примерно 8 минут,(без применения калькулятора и таблицы квадратов) тогда как на решение всех 20 заданий с применением других методов ушло 20 минут, т.е. по1 минуте на уравнение. Неполные квадратныеуравнения По теореме Виета По свойству коэффициентов По формулам 1. а+в+с=0 2. а+с=в Количество заданий сразу выполненных без формул 3 2 4 3 8 № заданий 1,2,3 4,5 6,8,10,15 7,9,11 12,13,14,16,17,18,19,20 С применением переброски - 13 12,18,19,20 16 Итого 3 3 8 6 0 Выводы: Развитие науки о решении квадратных уравнений прошло длинный и тернистый путь.Только после трудов Штифеля, Виета, Тартальи, Кардано, Бомбелли, Жирара, Декарта, Ньютона наука о решении квадратных уравнений приняла современный вид.Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры, они играют огромную роль в развитии математики. Знание способов решения квадратных уравнений позволит мне выбирать рациональный в каждом конкретном случае, сэкономит время решения при применении свойств коэффициентов или теоремы Виета. Список литературы 1. Макарычев Ю.Н.,Миндюк Н.Г., Нешков К.И.,Алгебра, 8 кл.,М., «Мнемозина».2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы,с.83-84. Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83.3. С.В.Шиловская, За страницами учебника (открытые уроки, математические кружки, подготовка к олимпиадам),-М: Глобус,2008,с.76-82. 4. Литвинова С.А., Куликова и др. За страницами учебника (открытые уроки, математические кружки, подготовка к олимпиадам), Решение алгебраических задач геометрическим методом, -М: Глобус,2008,с.35-38.5. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста, М., «Педагогика»,1985.6. Попова И.Н. Учебно- тренировачные и тематические тесты по математике, Базовый уровень. 9 класс. Государственная итоговая аттестация в новой форме.