Спецкурс Избранные вопросы математики
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Средняя школа №42»
Рабочая программа
спецкурса по математике
«Избранные вопросы математики»
для 9в,9г,9д классов
на 2015-2016 учебный год
Составитель: Герасимова Д.И.
Должность: учитель математики
Квалификация: 1 категория
Введение
Жизнь украшается двумя вещами:
занятием математикой и ее
преподаванием
С.Д.Пуассон
Выпускнику современной школы, вступающему в самостоятельную жизнь в условиях современного рынка труда и быстро изменяющегося информационного пространства, необходимо быть конкурентно способным работником. Он должен быть творческим, самостоятельным, ответственным, коммуникативным человеком. Ему должна быть присуща потребность к познанию нового, умение находить и отбирать нужную информацию. XXI век называют эпохой математизации знаний. Математические методы исследования находят всё более широкое применение во множестве областей знаний и практической деятельности. Овладение любой современной профессией требует знаний по математике. На уроках математики решается задача обеспечения прочного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности, достаточных для изучения сложных дисциплин. Однако для продолжения образования этих знаний часто оказывается недостаточно. При сдаче ГИА, ЕГЭ, при поступлении в ВУЗы, особенно там, где математика является профилирующим предметом, в последнее время предлагаются задания, требующие умения применять полученные знания при решении нестандартных задач или задания, которые не рассматриваются школьной программой по математике в достаточном объёме.
Программа спецкурса «Избранные вопросы математики» предназначена для предпрофильной подготовки учащихся общеобразовательной школы, является предметно ориентированной. Спецкурс расширяет и углубляет знания учащихся, формирует интерес к математике и может оказать определенное влияние на последующий выбор профиля и профессии.
Программа состоит из четырех разделов. В первом раскрывается актуальность создания программы, ее методологические положения, сформулированы цели и задачи курса.
Во втором описание разделов программы, с указанием содержательного компонента по каждому разделу. Третий раздел включает учебно тематический план. В четвертом разделе дидактический материал.
Задачи в пособии систематизированы по разделам. В каждом разделе пособия приведён подробный разбор типовых задач.
Раздел 1. Пояснительная записка
Программа курса «Избранные вопросы математики» составлена для учащихся 9 классов, рассчитана на 34 часа. Программа рассчитана на учащихся девятых классов, которые осуществляют выбор профиля дальнейшего обучения, призвана помочь ученику оценить свой потенциал, способствовать созданию положительной мотивации на естественнонаучном профиле и профилях смежного плана. Каждое занятие, а также все они в целом направлены на то, чтобы развить интерес школьников к предмету, познакомить их с новыми идеями и методами, расширить представления об изучаемом в основном курсе материале, подготовиться к ГИА.
Материал для занятий подобран таким образом, чтобы можно было показать связь математики с другими областями знаний, познакомить с некоторыми историческими сведениями, подчеркнуть эстетические аспекты изучаемых вопросов.
Превалирующим в данном курсе является деятельностный подход в обучении. Практические работы, работа с компьютером, составление проектов, исследовательская деятельность.
Цель курса: - создание условий для формирования и развития у обучающихся навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний, их углубления
Задачи курса:
- обеспечить усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов решения задач;
- формировать и развивать у учащихся аналитическое и логическое мышления при проектировании решения задачи;
- развивать умения самостоятельно анализировать и решать задачи по образцу и в незнакомой ситуации;
- формировать опыт творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении нестандартных задач;
- формировать навык работы с научной литературой, различными источниками;
- развивать коммуникативные и общеучебные навыки работы в группе, самостоятельной работе, умение вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.
Программа построена на следующих принципах:
Принцип научности (знания, которые сообщает учитель и которыми овладевают учащиеся на любой ступени обучения должны быть научными, основанными на проверенных наукой и практикой положения).
Принцип систематичности и последовательности (учащиеся должны овладевать научными умениями и навыками в строго определенном порядке).
Принцип сознательности и активности (сознательность обучения предполагает учащимися смысла усваиваемых знаний, умений и навыков, отчетливое представление ими целей и значений учебной деятельности. Активность проявляется в инициативности и высокой степени самостоятельности учащихся).
Принцип наглядности (этот принцип исходит из единства чувственного и логического. Наглядность обеспечивает связь между конкретным и абстрактным, помогает достижению прочности знаний, осуществлению связи теории с практикой, доступность обучению и т.д.).
Принцип связи обучения с жизнью (он предполагает показ практического и общественного значения изучаемого материала).
Актуальность
Материал данного курса поможет учителю показать своим ученикам как красоту и совершенство, так и сложность, и изощрённость математических методов, порождённых не только алгеброй, но и геометрией и даже физикой, и химией, и информатикой. Не исключено, что данный курс поможет ученику найти своё призвание в профессиональной деятельности, требующей использовать точные науки или, по крайней мере, приобрести внепрофессиональное увлечение (хобби) пусть и не «на всю оставшуюся жизнь».
Новизна
Данный курс «Избранные вопросы математики» с одной стороны поддерживает изучение основного курса математики и способствует лучшему усвоению базового курса математики, с другой служит рассмотрению некоторых дополнительных вопросов математики. Сюжетное построение курса имеет ряд позитивных особенностей. Учитель может менять порядок тем, рассматривать не все включенные вопросы, а отбирать материал по своему усмотрению в соответствии с возможностями и интересами детей, а также временем, отведенным на занятия. Так как сюжеты не связаны между собой, то учащиеся имеют возможность подключиться к занятиям на любом этапе.
Методы обучения:
Основная методическая установка курса – обучение школьников навыкам самостоятельной индивидуальной и групповой работы.
Для организационных форм обучения на занятиях используются групповые и индивидуальные формы; из методов обучения частично-поисковый, исследовательский, эвристический.
Необходимость индивидуализации особенно велика при закреплении, повторении и применении знаний. Учащиеся нуждаются в закреплении и упражнении не на одинаковом уровне и не в неодинаковом количестве. Каждый ученик должен получить такое задание, с которым он может справиться в данный момент, приложив умеренные усилия, лишь такое обучение может быть развивающим.
Курс состоит из следующих тем:
1. Процентные вычисления в жизненной ситуации.
2. Квадратный трехчлен и его приложения
3. Уравнения и неравенства с одной переменной.
Такой подбор материала преследует две цели. С одной стороны, это создание базы для развития способностей учащихся, с другой выполнение некоторых содержательных пробелов основного курса. Эти вопросы интересны и доступны учащимся IX класса и требуют знаний только базового курса. Уровень сложности предлагаемых вопросов таков, что к их числу можно привлечь значительное число школьников, а не только наиболее сильных. Для кого то из школьников, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше.
Используемые педагогические технологии:
Технология проблемного обучения (такая организация занятий, которая предполагает создание под руководством учителя проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность учащихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение знаниями и развитие мыслительных способностей).
Технология коллективного способа обучения (такая организация занятий, при которой происходит общение учащихся в мини-группах по 2-3 человека, когда каждый учит каждого).
Технология индивидуального обучения (такая организация занятий, при которой происходит как взаимодействие учителя с каждым учащимся, так и взаимодействие каждого учащегося с источниками информации).
Технология развивающего обучения с направленностью на развитие творческих качеств личности (такая организация занятий, при которой каждая личность воспринимается непризнанным гением).
Технология поэтапного формирования умственных действий (такая организация занятий, при которой познание нового происходит за несколько этапов).
Технология уровневой дифференциации (такая организация занятий, при которой происходит обучение каждого учащегося на уровне его возможностей и способностей).
Критерии и механизм отслеживания результатов
По завершении изучения каждой темы проводится либо проверочная работа, тестирование, презентация творческих работ. В течение учебного года учащиеся по желание работают над научно исследовательским проектом, который презентуют в конце учебного года, т.е. выделяется компетентность в сфере самостоятельной познавательной деятельности, основанная на усвоении способов самостоятельного приобретения знаний из различных источников.
Виды деятельности на занятиях: лекция учителя, беседа, семинар, практикум, консультация, работа с компьютером.
Раздел 2. Описание разделов программы:
Процентные вычисления в жизненных ситуациях.
Данный раздел обусловлен непродолжительным изучением темы «Проценты» на первом этапе основной школы, когда учащиеся в силу возрастных особенностей еще не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к этой теме не предусматривается. Во многих школьных учебниках можно встретить задачи на проценты, но в них отсутствует компактное и четкое изложение соответствующей теории вопроса. Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочные навыки общения с процентами в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую и другие стороны жизни.
Основная цель показать широту применения в жизни такого простого и известного учащимся математического аппарата, как процентные вычисления.
Основное содержание
1. Проценты. Распродажа.
- Систематизируются знания о процентах, развивая их на примере решения различных задач.
- Решение задач на различные жизненные ситуации по распродаже товара.
Тарифы. Банковские операции.
- Современный мир не устойчив относительно цен на различные услуги. Решение различных задач, актуальных в настоящее время.
- Изучение формул вычисления сложных процентов. Создание справочной таблицы на вычисление сложных процентов и процентного прироста.
Голосование.
Злободневные задачи нашей действительности. Голосование в школьном самоуправлении, в гражданском обществе.
Задачи на смеси (сплавы).
Ожидаемые результаты
Учащиеся должны знать:
- понимать содержательный смысл термина «процент» как специального способа выражения доли величины;
- алгоритм решения задач на проценты составлением уравнения;
- формулы вычисления «сложных процентов» и простого роста;
- что такое концентрация, процентная концентрация.
Учащиеся должны уметь:
- решать типовые задачи на проценты;
- применять алгоритм решения задач составлением уравнения к решению более сложных задач;
- использовать формулы начисления «сложных процентов» и простого процентного роста при решении задач;
- решать задачи на сплавы, смеси, растворы;
- производить прикидку и оценку результатов вычисления;
- при вычислениях сочетать устные и письменные приемы, применять калькулятор, использовать приемы, рационализирующие вычисления;
- уметь соотносить процент с соответствующей дробью.
2.Квадратный трехчлен
Темы «Квадратный трехчлен» поддерживают изучение основного курса математики и способствуют усвоению базового уровня, ни в коем случае не дублируя его. Предлагаемый блок освещает намеченные, но совершенно не проработанные в школьном курсе математики вопросы. Стоит отметить, что навыки в применении квадратного трехчлена необходимы каждому ученику, желающему хорошо подготовиться для успешной сдачи ГИА, а также будет хорошим подспорьем для успешных выступлений на олимпиадах по математике и научно-практических конференциях. Кроме того, углубленное изучение этой темы поможет на уроках физики, т. к. многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией.
Основная цель - рассмотрение распространенных (стандартных) приемов и методов решения задач на основе свойств квадратного трехчлена, и на их базе показать нестандартные пути решения поставленной задачи.
Учащиеся должны знать: - некоторые нестандартные приемы решения задач на основе свойств квадратного трехчлена и графических соображений; - исследование корней квадратного трехчлена.
Должны уметь: - уверенно находить корни квадратного трехчлена, выбирая при этом способы рационального решения; - преобразовывать квадратный трехчлен (разложение на линейные множители, выделение полного квадрата двучлена); - уверенно владеть системой определений, теорем, алгоритмов; - проводить самостоятельное исследование корней квадратного трехчлена; - решать типовые задачи с параметром, требующие исследования расположения корней квадратного трехчлена.
3. Уравнения и неравенства с одной переменной
Основная цель расширить представления учащихся о целых уравнениях и способах их решения, знакомство со способами решения некоторых уравнений высших степеней.
Основное содержание
1. Целые уравнения и способы их решения (метод разложения на множители, теорема Безу, введение новой переменной).
2. Рациональные и дробно рациональные неравенства. Метод интервалов.
Учащиеся должны знать:
- понятия рационального уравнения и неравенства;
- основные способы для решения рациональных уравнений: разложение на множители и замена переменной;
- метод интервалов для решения рациональных и дробно рациональных неравенств.
Должны уметь:
- решать рациональные уравнения способом замены переменной и разложением на множители;
- решать рациональные и дробно рациональные неравенства методом интервалов.
Раздел 3. Учебно – тематический план
№ урока
Дата
Тема занятия
Кол во часов
Форма контроля
Всего
Теория
Практика
1. Процентные вычисления в жизненных ситуациях.
3
1
2
Тест
1
1.09-5.09
1неделя
Проценты. Распродажа.
1
1
2
7.09-12.09
2неделя
Тарифы. Банковские проценты. Голосование.
1
1
3
14.09-19.09
3неделя
Процентные вычисления в жизненных ситуациях. Обобщающее занятие.
1
1
Тест
2.Квадратный трехчлен и его приложения
8
4
4
4-5
21.09-16.09
4неделя
28.09-3.10
5неделя
Определение квадратного трехчлена, корни квадратного трехчлена.
Основные теоремы и их применение для нахождения корней квадратного трехчлена.
2
1
1
6
5.10-10.10
6неделя
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители выделением полного квадрата двучлена.
1
1
Проверочная работа
7-8
12.10-17.10
7неделя
19.10-24.10
8неделя
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители по формуле ах2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
2
1
1
9
26.10-31.10
9неделя
Применение свойств квадратного трехчлена при решении задач. Квадратный трехчлен и параметр
1
1
10
9.11-14.11
10неделя
Применение свойств квадратного трехчлена при решении задач. Квадратный трехчлен и параметр
1
1
11
16.11-21.11
11неделя
Решение разнообразных задач
1
1
Практическая работа
3. Уравнения и неравенства с одной переменной
5
3
2
12
23.11-8.11
12неделя
Целые уравнения и способы их решения
(теорема Безу, введение новой переменной).
1
1
13
30.11-5.12
13неделя
Решение квадратных уравнений и неравенств.
1
1
Тест
14
7.12-12.12
14неделя
Решение уравнений с параметрами
1
1
15
14.12-19.12
15неделя
Рациональные и дробно рациональные неравенства. Метод интервалов.
1
1
16
21.12-26.12
16неделя
Рациональные и дробно рациональные неравенства. Метод интервалов.
1
1
Проверочная работа
2 полугодие 2015-2016у.г.
Курс рассчитан на 18 часов (1 час в неделю).
Тематическое планирование спец. курса
№ п/п
Тема урока
Количество часов
Формы проведения
Образовательный продукт
Сроки проведения
Всего
Лек ции
Практикум
1
Системы уравнений. Решение задач с помощью систем уравнений
2 ч.
1 ч.
1ч.
Мини-лекция, работа в парах
Овладение разными способами решения линейных и нелинейных систем уравнений, решение задач с их помощью.
11.01-23.01
2
Функции и их графики.Чтение графиков и диаграмм
3 ч.
1 ч.
2 ч.
Семинар, групповая работа, тестирование
Обобщение знаний о различных функциях и их графиках.
25.01-
3
Решение несложных практических расчетных задач; решение задач, связанных с отношением, пропорциональностью величин, дробями, процентами;
3 ч.
1 ч
2ч.
Мини-лекция, групповая работа, тестирование
Овладение умениями решать текстовые задачи различных видов, различными способами.
4
Арифметическая и геометрическая прогрессии.
3 ч.
1 ч.
2 ч.
Мини-лекция, урок-практикум
Овладение умениями решать уравнения и неравенства с параметрами.
5
Виды треугольников. Замечательные линии и точки в треугольнике. Площадь треугольника
2ч.
0,5ч.
1,5ч.
Мини-лекция, урок-практикум
Овладение умениями решать геометрические задачи различных видов, различными способами.
6
Виды четырехугольников. Формулы площадей плоских фигур.
2ч
0,5ч
1,5ч
7
Обобщающее повторение. Решение заданий КИМов ГИА
3ч.
-
3 ч.
Индивидуальная работа Тестирование
Пробный экзамен
Умение работать с полным объемом КИМов ГИА
Итого
18ч
Содержание программы курса
Тема 1. Системы уравнений
Различные методы решения систем уравнений (графический, метод подстановки, метод сложения). Применение специальных приёмов при решении систем уравнений.
Тема 2. Функции
Функции, их свойства и графики (линейная, обратнопропорциональная, квадратичная и др.) «Считывание» свойств функции по её графику. Анализирование графиков, описывающих зависимость между величинами. Установление соответствия между графиком функции и её аналитическим заданием.
Тема 3. Текстовые задачи
.Задачи на «движение», на «концентрацию», на «смеси и сплавы», на «работу». Задачи геометрического содержания.
Тема 4. Прогрессии.
Линейные и квадратные уравнения и неравенства с параметром, способы их решения. Применение теоремы Виета. Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек. Системы линейных уравнений.
Тема 5. Треугольники
Треугольники. Виды треугольников. Площадь треугольника. Теорема Пифагора.
Тема 6. Четырехугольники.
Виды четырехугольников. Площади четырехугольников.
Тема 7. Обобщающее повторение. Решение заданий КИМов ОГЭ
Решение задач из контрольно измерительных материалов для ГИА.
Раздел 4. Дидактический материал
Тема 1. «Процентные вычисления в жизненных ситуациях»
Занятие 1. Проценты. Распродажа.
На первом занятии учащимся сообщается цель и значение элективного курса. Систематизируются знания учащихся о процентах. Объявляя учащимся цель занятия, полезно подчеркнуть, что сюжеты задач взяты из реальной жизни – из газет, объявлений, документов и т.д. Представленные в курсе задачи часто могут быть решены разными способами. Важно, чтобы каждый ученик самостоятельно выбрал свой способ решения, наиболее ему удобный и понятный.
Историческая справка: Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же целых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой с целым. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.
Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).
В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского pro mille – «с тысячи»), обозначаемые , по аналогии со знаком процента - %. Однако на практике в большинстве случаев «тысячные» - слишком мелкие доли, десятые же доли слишком крупные. Поэтому больше всего удобны сотые доли, иначе говоря, проценты.
В нашей стране ими пользуются при составлении и учете выполнения производственных планов в промышленности и сельском хозяйстве при разных денежных расчетах.
Справочный материал
Процентом называется сотая часть какого-либо числа. Процент обозначается знаком %. Например, 5%, 100%.
Если данное число принять за 1, то 1 % составляет 0,01 этого числа, 25% составляют 0,25 числа (или 1/4числа) и т. д. Таким образом, чтобы число процентов выразить в виде дроби, достаточно число процентов разделить на 100. Например, 125% = = 1,25; 2,3% =0,023.
Нахождение процентов данного числа. Чтобы найти а% от числа Ь, надо Ь умножить на а /100. Например, 30% от 60 составляют 60*30/100=18.
Нахождение числа по его процентам. Если известно, что а% числа х равно Ь, то число х можно найти по формуле х= b/а *100. Например, если 3% вклада в сберкассу составляют 150 р., то этот вклад равен 150/3*100=5000 р.
Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение двух чисел а и Ь, надо отношение этих чисел умножить на 100%, т.е. вычислить a/b*100%. Пусть, например, при плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей, тогда он выполнил план на (66/60)*100%, т. е. на 110%.
Сложные проценты. [3]
а) Пусть некоторая величина А увеличивается в п раз и каждый раз на Р%. Тогда ее значение A1 после первого увеличения находится по формуле:
А1 = А + А*р/100 = А( 1 + р/100).
Значение А2 после второго увеличения находится по формуле:
А2 = А1 + А1*р/100 = А1 (1+р/100) = А (1+р/100)2
Окончательное значение: Ап = А(1+р/100)п
б) Пусть некоторая величина А увеличивается п раз последовательно на P1%, Р2%,
..., Рп%. Тогда ее оконча тельное значение Ап находится по формуле:
Ап = А(1+ P1/100)(1+ P2/100)( 1+ Pп/100)
в) Пусть Ан - начальное, а Ак - конечное значения не которой величины (Ан> Ак).
Тогда процентный прирост р% этой величины находится по формуле:
р% = (Ак – Ан)/Ан * 100
Решение базовых задач
Распродажа.
Задача 1.Зонт стоил 360 руб. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре – еще на 10%. Какова стоимость зонта в декабре?
Решение: Стоимость зонта в ноябре составляет 85% от 360 руб., т.е. 360*0,85=306 руб. Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90% от 306 руб., т.е. 306*0.9 = 274.4 руб.
Ответ: 275 руб. 40 коп.
Дополнительный вопрос: На сколько процентов по отношению к первоначальной цене подешевел зонт?
Решение: Найдем отношение последней цены к исходной и выразим его в процентах. Получим 76,5%. Значит, зонт подешевел на 23,5%.
Задача 2. На осенней ярмарке фермер планирует продать не менее одной тонны лука. Ему известно, что при хранении урожая теряется до 15% его массы, а при транспортировке – до 10%. Сколько лука он должен собрать, чтобы осуществить свой план?
Решение: Просчитаем худший вариант. Пусть нужно собрать х т лука. Тогда после хранения может остаться 0,85х т и на ярмарку будет доставлено – 0,9*0,85х т. Составим уравнение 0,9 * 0.85х = 1, откуда х примерно 1,3.
Ответ: не менее 1,3 т.
Задачи
для самостоятельного решения учащимися
№3. Антикварный магазин приобрел старин ный предмет за 30 тыс. р. И выставил его на про дажу, повысив цену на 60%. Но этот предмет был продан лишь через неделю, когда магазин снизил его новую цeну на 20%. Какую прибыль получил магазин при продаже антикварного предмета?
Ответ: 8,4 тыс. р.
№4. На весенней распродаже в одном мага зине шарф стоимостью 350 р. уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45%. В ка ком магазине выгоднее купить этот шарф?
Ответ: выгоднее купить во втором магазине.
№5. Во время распродажи масляные краски для рисования стоимостью 213 р. за коробку про давали на 19% дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она купит партию в 150 коробок?
Ответ: примерно 6 тыс. руб.
Занятие 2. Тарифы. Банковские операции.
1.Устные задачи
2. Решение задач.
Задача 6. В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 12 руб. 80 коп., вместо 11 руб.20 коп. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14.5%?
Решение: Разность тарифов составляет 1,6 руб., а ее отношение к старому тарифу равно 0,1428 Выразив это отношение в процентах, получим примерно 14.3%.
Ответ: да, соответствует.
Задача 7. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счет в банке 5000 руб. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год, через два года, через пять лет?
Решение:
Первый способ: так как 8% от 5000 руб. составляет 400 руб., то через один год на счете окажется 5000 + 400 руб. = 5400 руб. В конце второго года банк будет начислять проценты уже на новую сумму. Так как 8 % от 5400 руб. составляет 432 руб., то через два года на счете окажется 5400 + 432 = 5832 руб. Вычисляя последовательно, найдем, что через пять лет на счете вкладчика будет 7346 руб. 64 коп.
Второй способ: Через год начальная сумма вклада увеличится на 8%, значит, новая сумма составит от первоначальной 108%. Таким образом, через год вклад увеличится в 108/100 = 1,08 раза и составит 5000*1,08руб. Еще через год образовавшаяся на счете сумма снова увеличится в 1,08 раза. Таким образом, через два года на счете будет (5000*1,08) * 1,08= 5000*13 QUOTE 1415 руб.
Аналогично через три года - 5000*13 QUOTE 1415 руб. Теперь видно, что вклад растет в геометрической прогрессии и через пять лет сумма на счете вкладчика составит 5000*13 QUOTE 1415 руб., т.е. 7346 руб. 64 коп.
Следует обратить внимание учащихся, что в рассмотренной ситуации начислялись так называемые сложные проценты, т.е. при вычислении процентов исходили из величины, полученной на предыдущем шаге, - начислялись «проценты на проценты».
Задачи
для самостоятельного решения учащимися
№8. В начале года тариф на электроэнер гию составлял 1 руб. . за 1 кВт' ч. В середине года он увеличился на 50%, а в конце года - еще на50%. Как вы считаете, увеличился ли тариф на - 100%, менее чем на 100%, более чем на 100%?
Ответ: тариф на электроэнергию увеличился более чем на 100 %.
№9. Стоимость проезда в городском авто бусе составляла 5 р. В связи с инфляцией она воз росла на 200%. Во сколько раз повысилась стои мость проезда в автобусе? Можно ли ответить на поставленный вопрос, не зная стоимости проезда?
Ответ: в 3 раза.
№10. В этом году тарифы на услуги лодоч ной станции оказались на 20% ниже, чем в про шлом году. Можно ли утверждать, что в прошлом году тарифы были на 20% выше, чем в нынешнем году?
Ответ: нет. (Пояснение. Ребенок может убедиться, что в прошлом году тарифы по сравнению с нынешним годом были выше на 25%)
Банковские операции.
№11. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому со ставляет 12%. Какая сумма будет лежать на его счете через год; через два года; через 6 лет?
Ответ:2240 руб., 2508 руб.80 коп., 3947 руб. 65 коп.
№12. Банк обещает вкладчикам удвоить" их сбережения за пять лет, если он воспользуются вкла дом «Накопление» С годовой процентной ставкой 16%. Проверьте, выполнит ли банк свое обязательство.
Ответ: да, вклад увеличится в 13 QUOTE 1415 раз, т.е. более чем в два раза.
№13. В прошлом году Антон для оплаты своего обучения воспользовался кредитом сбербан ка, взяв сумму 40 тыс. р. С обязательством возвра тить кредит (с учетом 20% годовых) через 3 года. В этом году снижены процентные ставки для креди та на оплату обучения в образовательных учрежде ниях: с 20% до 19% годовых. Поэтому у Бориса, последовавшего примеру брата, долг окажется меньше. На сколько?
Ответ: примерно на 1700 руб.
Занятие 3. Голосование.
Задача 14. Из 550 учащихся школы в референду ме по вопросу о введении Ученического совета участвовали 88% учащихся. На вопрос референду ма 75% принявших участие в голосовании ответи ли «да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, кто ответил положительно?
Решение: Выразим проценты дробями и вычислим число учащихся. Утвердительно ответивших на вопрос референдума: 550*0.88*0,75= 363 человека. Теперь найдем ответ на вопрос задачи: 363:550=0.66 – это 66%.
Дополнительный вопрос. Можно ли ответить на вопрос задачи, не зная числа учащихся школы?
Ответ: да.
№15. Собрание гаражного кооператива счи тается правомочным, если в нем приняли участие 2/3 всех его членов, и вопрос считается решённым, если за него проголосовали не менее 50% присутствовавших. В гаражном кооперативе 240 человек. На собрание пришли 168, а за положительное решение обсуждаемого вопроса проголосовали 86 человек. Какое принято решение?
Ответ: положительное.
Занятие 4. Решение задач. Проверочная работа (тест).
Задача 16. Сколько человек работало на заводе?
В начале года число мужчин, работавших на заводе, составляло 40% от общей численности работников завода. После того, как были приняты на работу еще 6 мужчин, а 5 женщин уволилось, число мужчин и женщин на заводе сравнялось.
Решение:
Сколько человек работало на заводе в начале года?
Решение: Число мужчин, работавших на заводе в начале года, было на 11 меньше числа работавших там женщин. Процентная разность между числом женщин и числом мужчин составляла в начале года 20%. Общая численность работавших на заводе 11: 0,2 – 55 человек.
Тест
Выразите в виде дроби 72%
а) 0,72 б) 7,2 в)9/50 г) 3/25
2. Выразите дробь 2,15 в виде числа процентов
а) 0,215% б) 21,5% в) 0,0215% г)215%
30% от 90 составляют:
а) 0, 27 б) 27 в) 0,3 г)30
4. 12% некоторого числа равны 36. Чему равно число?
а) 0, 03 б)30 в) 300 г) 0,3
5. Найдите процентное отношение числа 28 к числу 112.
а)25% б) 400% в) 250% г) 40%
При плановом задании 70 автомашины в день завод выпустил 84. На сколько процентов завод перевыполнил план?
а)на 120% б) на 20% в) на 12% г)на 120%.
Сберегательные банки начисляют по вкладам ежегодно 5% вклада. Вкладчик внес в сберегательный банк 120 р. Какой станет сумма вклада через 2 года?
а )140 р. б)140,4 р. в)132 р. г) 132,3 р.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
Ответ
а
г
б
в
а
б
г
б
Тема 3. Квадратный трехчлен и его приложения
Занятие 1
Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по темам «Квадратный трехчлен», закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений
Методы обучения: лекция, объяснение, устные упражне ния, письменные упражнения.
Формы контроля: диктант, проверка самостоятельно решенных задач.
Ход занятия
1. Лекция «Квадратный трехчлен».
Знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного решения много численных задач элементарной математики.
Квадратным трехчленом называется выражение, 13 QUOTE 1415
Выражение 13 QUOTE 1415 + pх+ q называют приведенным квадратным трехчленом.
Важнейшей теоремой о корнях квадратного трехчлена является теорема Виета.
Теорема Виета. Между корнями х1 и х2 квадратного трехчлена, 13 QUOTE 1415и коэффициентами этого трехчлена существуют соотношения:
Обратная теорема Виета. Если числа х1 и х2 таковы, что, то х1 и х2 – корни приведенного квадратного трёхчлена. Следует иметь в виду, что обратная теорема Виета применима, лишь для приведенного квадратного уравнения. Следствие из теоремы Виета.
Пусть х1 и х2 - корни квадратного трёхчлена , тогда
Теорема Виета применяется для исследования знаков корней квадратного трехчлена.
Теорема 1. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений: при этом оба корня будут положительными, если дополнительно выполняется условие
И оба корня отрицательны,если
Теорема 2. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения
В квадратном трехчлене всегда можно выделить квадрат двучлена
Аналогично, для приведенного квадратного трехчлена имеем
Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде
Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то трехчлен можно представить в виде.
.
Если дискриминант квадратного трехчлена меньше нуля, то квадратный трехчлен не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами.
2 Практические упражнения
Пример 1. 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 – корни квадратного трехчлена 13 QUOTE 1415 + 6х+ q удовлетворяют условию 13 QUOTE 1415= 213 QUOTE 1415. Найдите q, 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415.
Решение: Из теоремы Виета следует, что 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415 =-6, т.е. 13 QUOTE 1415=-2 и 13 QUOTE 1415= 213 QUOTE 1415-4. Тогда q=13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415=8.
Пример 2. Найдите 13 QUOTE 1415 +13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 корни квадратного трехчлена 13 QUOTE 1415 - 3х- 9.
Решение:
Преобразуем выражение
13 QUOTE 1415 +13 QUOTE 1415= 13 QUOTE 1415.
По теореме Виета 13 QUOTE 1415
Поэтому имеем 13 QUOTE 1415 =-51/8.
Закрепление.
Пример 4.
Дан квадратный трехчлен 613 QUOTE 1415Найдите:
1/13 QUOTE 1415+1/13 QUOTE 1415
Задания для самостоятельного решения
Пример 5.
Пусть 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 - корни квадратного трехчлена 413 QUOTE 1415 Составьте квадратный трехчлен, корнями которого являются числа:
а) 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415; б) 1/13 QUOTE 1415+1/13 QUOTE 1415
(Биографическая справка)
Знаменитый математик Франсуа Виет родился в 1540 году (1540-1603) в небольшом городке Фантанеле-Конт на юге Фран ции. Юрист по образованию, Виет служил при дворе Генриха IX. Математикой занимался в часы отдыха. Ознакомившись с учением Коперника, Виет заинтересовался астрономией и решил написать обширный астрономический трактат, но для этого надо было глу боко знать математику. Занявшись изучением математики, он вы полнил ряд алгебраических исследований, разработал символику в алгебре, но трактата по астрономии так и не написал. Свою знаме нитую теорему, которая известна под названием терема Виета, он доказал в 1591 году. Люди пользуются этой теоремой уже пятое столетие. Франсуа Виет обладал огромной трудоспособностью, он мог работать по трое суток без отдыха, многие его результаты и открытия достойны восхищения.
Во время войны Франции с Испанией Виет оказал большую ус лугу своей родине - он расшифровал весьма важное письмо испан ского двора. Правители Испании; письмо которых было перехваче но, не допускали мысли, что такой сложный шифр может быть рас крыт. Впоследствии они приписали раскрытие их шифра волшебству чародея.
В работе «Введение в аналитическое искусство» Виет изложил усовершенствованную им теорию уравнений с применением изо бретенных символов. В названном трактате Виет использовал ал гебраические выкладки при рассмотрении вопросов геометрии.
Виет ввел в алгебру общую символику. Числовые коэффициен ты он стал обозначать согласными буквами и придумал новый тер мин - коэффициент, позаимствовав из латинского языка слово со efficieпs - «содействующий». Знаки «+» и «-» он употреблял в со временном значении,. неизвестные обозначал буквами латинского алфавита.
Занятие 2.
Цель: проверить усвоение учащимися материала; добиться безошибочного определения корней квадратного трехчлена; познакомить с частными случаями нахождения корней квадратного трехчлена; закрепить умения учащихся применять разложение квадратного трехчлена на множители при упрощении выражения.
Форма контроля: самостоятельная работа.
Ход занятия:
Фронтальный опрос.
Самостоятельная работа.
Заполни следующую таблицу:
Квадратный трехчлен
а
в
с
413 QUOTE 1415
513 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
4х+713 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
413 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
(х-2)(х-5) - 2
13 QUOTE 1415
2.Выдели квадрат двучлена в следующих трехчленах:
1. 413 QUOTE 1415
2. 213 QUOTE 1415
3.13 QUOTE 1415
4. 413 QUOTE 1415
3. Разложи квадратные трехчлены на множители:
1. 13 QUOTE 1415
2. 413 QUOTE 1415
3. 413 QUOTE 1415
Объяснение нового материала
Частные случаи нахождения корней квадратного трехчлена ах2+вх+с
Если, а+в+с=0, то х1=1, х2=13 QUOTE 1415. Пример: 2х2+3х-5; х1=1, х2=13 QUOTE 1415
Если а-в+с=0, то х1= -1, х2=13 QUOTE 1415. Пример: 2х2+3х+1; х1= -1, х2=13 QUOTE 1415
Если, а=c=n, в= n2+1, т.е. nх2+(n2+1)х+ n, то х1= - n, х2=13 QUOTE 1415 . Пример: 2х2+5х+2; х1= -2, х2=13 QUOTE 1415
Если, а=c=n, в= -(n2+1), т.е. nх2-(n2+1)х+ n, то х1= n, х2=13 QUOTE 1415 . Пример: 3х2-10х+3; х1= 3, х2=13 QUOTE 1415
Задачи на закрепление:
Пример 6. Л.В.Кузнецова, С.Б. Суворова «Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе», стр. 106 № 1.6
Пример 7. Л.В.Кузнецова, С.Б. Суворова «Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе», стр. 111 № 1.50 – 1.51
Задания для самостоятельного решения
Пример 8. Л.В.Кузнецова, С.Б. Суворова «Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе», стр. 106 № 1.7 – 1.9.
Пример 9. Л.В.Кузнецова, С.Б. Суворова «Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе», стр. 110 № 1.38
Занятие 3-4 Исследование корней квадратного трехчлена
Цели: познакомить учащихся с особенностями расположения корней квадратного трехчлена с заданными свойствами на координатной плоскости; рассмотреть примеры расположения корней квадратного трехчлена.
Методы обучения: лекция, объяснение, упражнения.
Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач
Ход занятия
Лекция-объяснение.
Пусть числа х1 и х2 – корни квадратного трехчлена (положим х1 х2), у которого и даны А и В – некоторые точки на оси ОХ.
Тогда
1.(Таблица 1.) Оба корня меньше числа А, то есть Тогда и только тогда
Если в первой системе объединить условие (1) и (3), а во второй условие (4) и (6), то данные системы можно свести к одной.
2. (Таблица 2.) Корни лежат по разные стороны от числа А, т.е. Тогда и только тогда
Как и в предыдущем случае, данное условие можно записать одним неравенством
3.(Таблица 3.)Оба корня больше числа А, то есть тогда и только тогда когда,
Объединяя в первой системе условие (1) и (3), а во второй системе условие (4)и (6), получим одну систему:
4. (Таблица 4.) Оба корня лежат между точками А и В, т.е. , тогда и только тогда ,когда
Как и в предыдущих случаях можно значительно облегчить задачу, записав вместо двух систем одну
5. ( Таблица 7.) Корни лежат по разные стороны от отрезка А и В, т.е. тогда и только тогда, когда :
Данные две системы записываем одной
Закрепление изученного материала.
Пример 10. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения
13 QUOTE 1415+ (4а +5)х+3-2а=0?
Пусть 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 – корни квадратного уравнения, причем 13 QUOTE 1415<2< 13 QUOTE 1415. Воспользуемся теоремой о расположении квадратного трехчлена к следующей системе:
Д=1613 QUOTE 1415+48а+13>0,
f (2) = 13 QUOTE 1415+(4а+5)2+3-2а
·0.
Или 17+6а<0, откуда а<-17/6
Ответ: а<-17/6
Пример 11. Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни квадратного трехчлена 13 QUOTE 1415+ ах+1=0 различны и лежат на отрезке [0;2].
Решение:
13 QUOTE 1415
·13 QUOTE 1415,
Д>0,
0
·13 QUOTE 1415
·2,
f(0)13 QUOTE 1415
f(2)13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415-4>о,
0<-а/2<2,
2а+5>0.
(-
·;-2)
· (2;+
·),
(-4;0),
[-2,5;+
·)
Если а [-5/2;-2), то корни данного квадратного трехчлена принадлежат отрезку [0;2].
Ответ: [-5/2;-2).
Пример 12. Найдите все значения а, при которых квадратные уравнения:
а) 13 QUOTE 1415- 2х+а=0;
б) (2а-1) 13 QUOTE 1415+ 2х-1=0;
в) 13 QUOTE 1415- 3х-1=0;
г) 13 QUOTE 1415- (2а-1)х+а+2=0
имеют два действительных и различных корня.
Пример 13. Л.В.Кузнецова, С.Б. Суворова «Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе», стр. 104 № 2.29.
Пример 14. Л.В.Кузнецова, С.Б. Суворова «Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе», стр. 104 № 2.30.
Задания для самостоятельного решения
Пример 15. Л.В.Кузнецова, С.Б. Суворова «Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе», стр. 104 № 2.31.
Пример 16. Л.В.Кузнецова, С.Б. Суворова «Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе», стр. 107 № 2.59.
Занятие 5
Цель: закрепление знаний об особенностях расположения корней квадратного трехчлена с заданными свойствами на координатной плоскости.
Проверка домашнего задания.
Решение примеров:
Пример 17. Уравнение 13 QUOTE 1415+ 8х+с=0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны а и с ?
Решение:
Замечание: Если коэффициент при 13 QUOTE 1415 многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай а=0.
При а=0, уравнение имеет вид 8х+с=0, 13 QUOTE 1415=1, с=-8.
При а
·0, Д/4=0, 16-ас=0,
а+8+с=0.
а=с=-4.
Ответ: а=с=-4.
Пример 18. В уравнении 13 QUOTE 1415+ ах+12=0 определить а таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице.
Решение: Разность корней 13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415 =1, откуда а=±7.
Ответ: ±7.
Самостоятельное решение примеров с комментированием.
Пример 19. При каких а уравнение 13 QUOTE 1415-2ах+13 QUOTE 1415- а - 6=0 имеет два разных корня одного знака?
Решение:
f(0) >0, или 13 QUOTE 1415-а-6>0,
Д/4>0 13 QUOTE 1415- (13 QUOTE 1415-а-6)>0.
Откуда а принадлежит (-6;2)
· (3;+
·).
Ответ: (-6;2)
· (3;+
·).
Пример 20. При каких а уравнение 13 QUOTE 1415-2ах+13 QUOTE 1415- а - 6=0 имеет два разных отрицательных корня?
Решение:
Д>0, а+6>0,
13 QUOTE 1415<0, а<0
f(0)>0, 13 QUOTE 1415- а - 6>0
Откуда а принадлежит (-6;-2)
Ответ: (-6;-2)
Задания для самостоятельного решения
Пример 21. а) При каких значениях с уравнение х2 + 2х + с = 0 не имеет корней?
б) При каких значениях к уравнение 16х2 + кх + 1 = 0 имеет корни?
в) При каких значениях а уравнение ах2 + х + 2 = 0 имеет два корня?
г) При каких значениях к уравнение кх2 - 5х + 1/4к = 0 имеет два корня ?
Пример 22. а) При каких значениях а уравнение (а – 2)х2 + (4 – 2а) х + 3 = 0 имеет единственное решение?
б) При каких значениях а уравнение ах2 - 4х + а + 3 =0 имеет более одного корня?
в) При каких значениях а уравнение а(а + 3)х2 + (2а + 6)х – 3а - 9 =0 имеет более одного корня?
Занятие 6. Семинар
Цель: способствовать навыка решения задач, основанных на исследовании корней квадратного трехчлена.
Ход занятия:
Проверка домашнего задания.
Задания, вызвавшие затруднения, решить у доски.
Повторение изученного материала.
Выполнение упражнений.
Пример 23. При каких значениях а уравнение 13 QUOTE 1415-2ах - 1=0 имеет два различных корня?
Ответ: (-
·;+
·).
Пример 24. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения 5 13 QUOTE 1415-7х+а=0 относятся как 2 к 5?
Ответ: 2.
Пример 25. При каких в и с уравнение с +bх - 2 13 QUOTE 1415=0 имеет один положительный и один отрицательный корень?
Ответ: с>0, b принадлежит R.
Пример 26. При всех а решить уравнение а13 QUOTE 1415+8х+4=0.
Ответ: 1±13 QUOTE 1415/а.
Пример 27. При каких а все получающиеся корни уравнения
(1+а)13 QUOTE 1415-3ах+4а=0 больше 1?
Ответ:[-16/7;-1].
Задания для самостоятельного решения
Пример 28. При каких значениях а все уравнение
213 QUOTE 1415+(3а+1)х+13 QUOTE 1415+ а+2=0 имеет хотя бы один корень ?
Ответ (-
·;-3]
· [5;+
·).
Пример 29. В уравнении а13 QUOTE 1415+8х+3=0 определить а таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась 1.
Ответ: 4;-16.
Пример 30. Найти все значения параметра а, при которых один корень уравнения 13 QUOTE 1415- (а+1)х+2=0 больше а, другой меньше а? Ответ: а>0.
Занятие 7. «Решение задач по теме»
Цель: проверить усвоение учащимися изученного материала; продолжить решение задач по изученной теме.
Ход занятия:
Проверка домашнего задания.
Решение упражнений.
Пример 31. В уравнении 13 QUOTE 1415-4х+а=0 сумма квадратов корней равна 16. Найти а.
Пример 31. При каких а сумма корней уравнения 13 QUOTE 1415-2а(х-1) -1=0 равна сумме квадратов его корней?
Пример 32Найти все значения параметра а, для которых оба разных корня уравнения 13 QUOTE 1415+х+а=0 будут больше, чем а.
Ответ: а<-2.
Пример 33. Разложите на множители квадратный трехчлен относительно х и у:
а) 513 QUOTE 1415-7ху+213 QUOTE 1415;
б) 613 QUOTE 1415+17ху+1113 QUOTE 1415.
Задания для самостоятельного решения
Пример 34. В уравнении 13 QUOTE 1415-2х+а=0 сумма разности корней равна 16. Найти а.
Пример 35. При каких значениях а оба корня уравнения 4 13 QUOTE 1415-2х+а=0 заключены между -1 и 1?
Ответ: [-2; ј).
Занятие 8
Проверочная работа
Ход занятия:
В – 1.
Упростите выражение:
13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415 – 13 QUOTE 1415.
Не решая квадратного уравнения 313 QUOTE 1415, найдите
а) 1/13 QUOTE 1415+1/13 QUOTE 1415; б) 13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415.
3. При каких значениях а уравнение а13 QUOTE 1415+6х+2а+7=0 имеет один корень.
4. При каких значениях а уравнение 13 QUOTE 1415-2ах+13 QUOTE 1415+2а-3=0:
а) не имеет корней;
б) не имеет положительные корни.
Ответы: 1. 9х+5.
2.а) 3/169; б) 813 QUOTE 1415.
3. 1; -4,5; -7/6.
4. а) а>3/2; б) (1;3/2].
В – 2.
Упростите выражение:
13 QUOTE 1415 +13 QUOTE 1415.
Не решая квадратного уравнения 313 QUOTE 1415, найдите
а) 1/13 QUOTE 1415+1/13 QUOTE 1415; б) 13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415.
3. При каких значениях а уравнение а13 QUOTE 1415+6х+2а+7=0 имеет один корень.
4. При каких значениях а уравнение 13 QUOTE 1415-2ах+13 QUOTE 1415+2а-3=0:
а) имеет корни разных знаков;
б) имеет два разных отрицательных корня.
Ответы: 1. 13 QUOTE 1415
2.а) -1/11; б) 713 QUOTE 1415.
3. -5/18; 1; -16.
4. а) (-3;1); б) а<-3.
Занятие 9
Решение разнообразных заданий.
Цель: закрепить навык решения различных задач с применением утверждений о расположении корней трехчлена.
Методы занятий: беседа, решение упражнений.
Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач.
Ход занятия:
Анализ проверочной работы.
Решение задач.
Пример 36. При каких значениях а уравнение 13 QUOTE 1415-2(а-1)х+а+5=0 имеет хотя бы один положительный корень?
Решение: Если один из корней положителен, то другой может быть (1) отрицательным, (2) равным нулю и (3) положительным (при этом может совпасть, а может не совпасть с первым).
Рассмотрим каждый случай в отдельности:
f(0)=а+5<0, откуда а<-5.
f(0)=а+5<0
х(0) =1-а>0, откуда а=-5.
Д=13 QUOTE 1415-3а-4
·0,
f(0)=а+5<0
13 QUOTE 1415=1-а>0, откуда а принадлежит (-5;-1)
Объединяя все три случая, получаем а принадлежит (-
·;-1].
Пример 37. При каких значениях а уравнение 13 QUOTE 1415-2(а-1)х+а-5=0 имеет корни разных знаков, не превосходящих по модулю 5?
Решение:
Требуемые значения параметра являются решениями системы:
f(-5) =30-9а
·0,
f(0) =а-5<0,
f(5) =11а+10
·0.
а
·10/3,
а<5,
а
·-10/11.
Откуда а принадлежит [-10/11; 10/3].
Пример 37. При каких значениях а уравнение
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415=0 имеет четыре разных корня?
Решение: После замены t=13 QUOTE 1415получается уравнение
13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415-1=0.
Первоначальное уравнение имеет четыре различных решения только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет два разных положительных решения, т.е.
13 QUOTE 1415=2а-1/2>0,
f(0) =13 QUOTE 1415-1>0.
Решив систему, получим а принадлежит
(1;5/4).
Ответ: (1;5/4). Подведение итогов.
Тема 3. «Уравнения и неравенства с одной переменной»
Занятие 1. Целые рациональные уравнения и способы их решения.
Определение. Уравнение вида P(х)=0, где P(х) – многочлен стандартного вида, называют как известно, целым алгебраическим уравнением.
Определение. Уравнение f(x) = g(x), где функции f(x) и g(x) заданы целыми рациональными выражениями, называют целым рациональным уравнением.
О.Д.З. этого уравнения – множество всех действительных чисел. Т.к. любое целое рациональное выражение с помощью тождественных преобразований можно представить в виде многочлена, то данное уравнение равносильно уравнению Р(х) = Q(X), где Р(х) и Q(x)– некоторые многочлены с одной переменной х. Перенося Q(x) в левую часть, получим равносильное уравнение Р(х) – Q(x) = 0.
Степень многочлена, стоящего в левой части уравнения, называют степенью целого рационального уравнения. Решение целого рационального уравнения сводится к нахождению корней многочлена, стоящего в левой части уравнения. Многочлен степени n не может иметь более, чем n различных корней, поэтому всякое целое рациональное уравнение степени n имеет не более n корней.
Нам известны формулы нахождения корней линейных и квадратных уравнений. Процесс решения других уравнений заключается в сведении данного уравнения к вышеназванным уравнениям. Для этого применяют два основных метода: 1) разложение на множители, 2) введение новой переменной.
1). Метод разложения на множители.
Теорема 1. Уравнение f(x) ( g(x) = 0 определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений f(x) = 0 и g(x) = 0.
Согласно теореме 1 решение уравнений тесно связано с разложением его левой части на множители. Этот метод позволяет свести решение целого уравнения степени n к решению целых уравнений меньшей степени.
Пример 1. Решить уравнение 2х3 – 3х2 – 8х + 12 =0
Решение: Разложим многочлен, стоящий в левой части, на множители методом группировки:
2х3 – 3х2 – 8х + 12 = х2( 2х-3)- 4(2х – 3) = ( 2х – 3)( х2 -4).
Тогда исходное уравнение равносильно уравнению (2х–3)(х2-4) =0, которое по теореме 1 равносильно совокупности уравнений 2х – 3 =0 и х2 – 4 =0. Решая их, получим : х1= 1,5, х2 = 2, х3 = - 2.
Ответ : -2 ; 1,5 ; 2.
ТЕОРЕМА БЕЗУ: Для того чтобы многочлен делился без остатка на двучлен х-а, необходимо и достаточно, чтобы число а было корнем многочлена.
Теорема 2. Если уравнение а0хп + 13 QUOTE 1415++13 QUOTE 1415х+ап=0 имеет целые коэффициенты, причем свободный член отличен от нуля, то целыми корнями такого уравнения могут быть только делители свободного члена
Пример 2. Найти целые корни уравнения 213 QUOTE 1415.Делителями свободного члена являются числа -1,1,-2,2,-4,4. Подставляя эти числа в уравнение, находим, что левая часть уравнения обращается в нуль лишь при х=-2 и х=2.
Итак, второй множитель равен 13 QUOTE 1415+х-5.
Приравняв его к нулю, решим уравнение 13 QUOTE 1415+х-5=0.
Имеем 13 QUOTE 1415= 13 QUOTE 1415 , 13 QUOTE 1415== 13 QUOTE 1415.
Ответ: 1;13 QUOTE 1415 , 13 QUOTE 1415.
Задания для самостоятельного решения
Пример 4. Найдите целые корни уравнения:
а) 213 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415 - 7х+6 = 0;
б) 13 QUOTE 1415-213 QUOTE 1415-9 13 QUOTE 1415 + 2х+8 = 0;
Пример5. Решить уравнения:
а) 13 QUOTE 1415 - 3х - 2 = 0;
б) 13 QUOTE 1415 - 7х - 6 = 0;
в) 13 QUOTE 1415 + х – 10 = 0
Занятие 2-3. Метод замены переменной.
Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения f(x)=0 вводят новую переменную у=q(x) и выражают f(x) через у, получая новое уравнение, решив которое, возвращаются к исходной переменной.
Пример 6. Решить уравнение ( 3х +2)4 – 13(3х+2)2 +36 = 0.
Решение. Полагая у=(3х+2)2, получим уравнение
у2 – 13у +36 =0
Находим его корни: у1= 4, у2= 9, и решаем уравнения
( 3х +2)2 = 4 и ( 3х +2)2 = 9
получаем ответ : х1 = 0, х2 = -4/3, х3 =1/3,
х4 = -5/3.
Пример 7.
Решить уравнение
( х+1)(х+2)(х+3)(х+4) = 24
Решение. Раскроем скобки, группируя первый множитель с последним, а второй с третьим: ( х2 + 5х + 4)( х2 + 5х + 6) = 24.
Полагая х2 + 5х = у, получим уравнение второй степени (у+4)(у+96)=24,решая которое, получим уравнение у2 +10у =0, откуда у=0 или
у= -10. Возвращаясь к исходной переменной х , получим два уравнения :
13 QUOTE 1415+ 5х = 0 и х2 + 5х = -10.
Первое уравнение имеет корни 0 и -5, второе – корней не имеет, так как его дискриминант D<0.
ОТВЕТ: -5; 0.
Рассмотренный прием применим в общем случае к решению уравнений вида
( х+а)(х+b)(х+с)(х+d)= A, если а+d = d+с или имеется равенство сумм других пар этих чисел.
При решении многих уравнений трудно угадать, какую новую переменную нужно ввести, чтобы упростить уравнение. Поэтому рассматривают различные виды целых рациональных уравнений, для упрощения которых известна подстановка.
К таким уравнениям относятся возвратные уравнения, симметрические уравнения, однородные уравнения.
Возвратные уравнения четвертой степени имеют вид:
ах4 + bх3 + сх2 +bх + а =0, где a,b,c – некоторые числа, причем а
· 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:
- разделить левую и правую части уравнения на 13 QUOTE 1415. При этом не происходит потери решения, так как х = 0 не является корнем исходного уравнения при а
· 0;
- группировкой привести полученное уравнение к виду
а (13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415) + b (х + 13 QUOTE 1415 ) + с = 0;
- ввести новую переменную t = х + 13 QUOTE 1415, тогда выполнено 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 + 2 + 13 QUOTE 1415, т.е. 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 - 2;
В новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:
а13 QUOTE 1415+ bt + c – 2a = 0;
- решит его относительно t, возвратиться к исходной переменной.
Введением новой переменной у= х + 13 EMBED Equation.3 1415 это уравнение приводится к квадратному.
Аналогично, вводя новую переменную у = х + 13 EMBED Equation.3 1415 , можно упрощать уравнения вида
ах4 + вх3 + сх2 +kвх + k2а =0. Такие уравнения называют обобщенными возвратными уравнениями четвертой степени.
Пример 7. Решить уравнение
13 QUOTE 1415 - 513 QUOTE 1415 + 613 QUOTE 1415 - 5х + 1 = 0.
Решение: Разделим обе части уравнения на 13 QUOTE 1415. После группировки получаем (13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415) – 5(х + 13 QUOTE 1415) +6 = 0.
Замена t= х + 13 QUOTE 1415 позволяет свести это уравнение к квадратному уравнению
(13 QUOTE 1415-2) – 5t + 6 = 0.
Ответ: х =2 ±13 QUOTE 1415
Пример 8. Решить уравнение 3х4 -2х3 + 4х2 -4х + 12 =0
Решение. Это обобщенное возвратное уравнение четвертой степени при к=2, т.к.3х4 - 2х3 + 4х2 - 2
·2х + 3
·22 =0.
Так как х=0 не является корнем этого уравнения, то разделим обе части уравнения на х2
·0 и сгруппируем равноотстоящие от концов члены уравнения
( 3х2 + 13 EMBED Equation.3 1415) – ( 2х + 13 EMBED Equation.3 1415) + 4 =0,
3(х2 + 13 EMBED Equation.3 1415) – 2 (х + 13 EMBED Equation.3 1415) + 4 =0,
Положим (х + 13 EMBED Equation.3 1415) =у, тогда (х + 13 EMBED Equation.3 1415)2 =у2, а потому х2 + 13 EMBED Equation.3 1415= у2 – 4, подставим в уравнение, получим квадратное уравнение: 3(у2-4) – 2у + 4 =0, откуда находим корни
у1 = 2, у2 =-13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь задача свелась к совокупности уравнений :
х + 13 EMBED Equation.3 1415 = 2, х + 13 EMBED Equation.3 1415 =- 13 EMBED Equation.3 1415.
Эти уравнения не имеют действительных корней, а значит, и заданное уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.
Возвратное уравнение пятой степени имеет вид : ах5 + вх4 +сх3 + сх2 + вх + а =0,
Шестой степени : ах6 + вх5 + сх4 + dx3 +cx2 +вх + а =0 и т.д.
Леонард Эйлер ( 1707-1783) доказал, что любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень -1 и после деления такого уравнения на х+1 получается уравнение четной степени, которое тоже будет возвратным. Им же доказано, что каждое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем х=( содержит и корень х = 13 EMBED Equation.3 1415.
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Уравнение вида Р (u,v )=0 называется однородным уравнением степени k относительно u и v , если Р(u,v) –однородный многочлен степени k. Однородные уравнение степени k относительно u и v обладает тем свойством, что если разделить все члены уравнения на k-ю степень одной из переменных, то оно превращается в уравнение степени k с одной переменной.
Пример 9. Решить уравнение
( х2 + х + 1)3 + 2х4 ( х2 + х +1) – 3х6 =0
Решение. Введем новые переменные u= х2 + х + 1, v= х2 , получим однородное уравнение u3 + 2uv2 3v3 =0. Проверив, что х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим полученное уравнение на v3=x6.
Получим уравнение ( 13 EMBED Equation.3 1415 )3 + 2 (13 EMBED Equation.3 1415) -3 =0.
Положим у=13 EMBED Equation.3 1415, решим уравнение у3 +2у – 3 =0.
Легко видеть, что у=1 – корень, поэтому, разделив многочлен
у3 +2у – 3 на (у-1), перейдем к равносильному уравнению
(у-1)(у2+у+3)=0, которое имеет единственный действительный корень у=1.
Значит , осталось решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415=1.
Решая это уравнение, находим единственный корень х=1.
ОТВЕТ: 1.
Задания для самостоятельного решения
Пример 10.Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова «Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе» Решить уравнения:
х3 -3х2 – 3х +1=0
2. ( х +1)(х +3)(х +5)(х +7) =-15
3.х4 – 3х2 +2 =0
4. 2( х2 +х +1)2 – 7 (х -1)2 = 13(х3 – 1)
5.х4 +4х3 – х2 -16х – 12 =0
6. х4 -5х3 + 10х2 – 10х + 4 =0
7. (х2 + х)2 + 4(х2 +х) -12 =0
8. (х +5)4 – 13 х2(х + 5)2 + 36 х4 =0
Занятие 4. Метод введения новой переменной.
Одним из наиболее распространенных видов приема введения вспомогательной переменной являются различного рода обозначения чисел или числовых выражений с целью упрощения процесса вычислений или придания исходному выражению вида, более удобного для принятия решений.
ПРИМЕР 1. Решить уравнение и найти сумму всех его решений
х4 -12 х2 +1613 EMBED Equation.3 1415 х – 12 =0
Решение. Если ввести параметр 13 EMBED Equation.3 1415=в , то исходное уравнение примет вид
х4 – 6 в2х2 + 8в3х – 3в4 =0,
или после преобразований ( х – в)2(х2 +2вх -3в2)=0
Отсюда легко показать, что данное уравнение имеет два решения 13 EMBED Equation.3 1415 и -3 13 EMBED Equation.3 1415, а их сумма равна -2 13 EMBED Equation.3 1415.
ОТВЕТ: -2 13 EMBED Equation.3 1415.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.
Решить уравнения:
1. у4 - 213 EMBED Equation.3 1415 у2 – у + 3 - 13 EMBED Equation.3 1415 =0
2. ( у2+5у +1)2 +6у( у2+5у +1) + 8у2 =0
3. а2 – 2( х2 – 5х -1 )а + х4 – 10 х3 +22х2 + 12х =0
Литература
Богатырев Г.И., Бокавлев О.А. Математика для подготовительных курсов техникумов. Учебное пособие. – М: Наука, 1998.
Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н. и др. Алгебра – 8 с углубленным изучением математики. М.Просвещение, 1995
Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н. и др. Алгебра –9 с углубленным изучением математики. М.Просвещение, 1995
Галицкий М.Л, Гольфман А.М., Звавич Л.И. сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов с углубленным изучением математики. М «Просвещение», 1994.
Журнал «Математика в школе», № 10 – 2003г., № 20, 22, 23 – 2004г.
Горнштейн П.И., Полонский В.Б.. Задачи с параметрами, М: Илекса, Харьков, 1998.
Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа, 8 – 11кл.: пособие для школ с углубленным изучением математики – М: Дрофа, 1999.
Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе. Алгебра. Москва «Просвещение, 2009г.
Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7 – 9 классов. Просвещение, 1995.
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. Просвещение, 1990.
Математика: Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл. Учебник для образовательных учреждений. Под ред. Дорофеева Г.В.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. М.Просвещение, 2004.
Пойа Д. Как решать задачу. М.Просвещение, 1961.
Ястрибинский Г.А. Задачи с параметрами. М: Прсвещение,1986