Образовательный проект на тему:«Развитие познавательного интереса учащихся на уроках математики через решение текстовых задач различными способами»
МОБУ «Средняя общеобразовательная школа №23» г. Оренбурга
Образовательный проект на тему:
Развитие познавательного интереса учащихся на уроках математики через решение текстовых задач различными способами
Выполнила: Кузнецова Ирина Владимировна, учитель математики
МОБУ «COШ № 23», г. Оренбурга
Оренбург, 2014
Содержание
1. Пояснительная записка.. 3
1.1 Актуальность исследования .... .3
1.2 Цели и задачи проекта .. 4
1.3 Этапы реализации проекта .. 5 2. Теоретическое обоснование проекта ... 7
2.1 Характеристика возрастных психологических особенностей учащихся .. 7
2.2 Проблема познавательного интереса – актуальная проблема психологии и педагогики. 10
2.3 Математическое образование и общая теория задач... 15
2.4Сравнительная характеристика учебников математики ....22
3. Реализация проекта .. 25
3.1 Модель поиска решения задачи..25
3.2 Разные способы решения задач.. 27
3.3Методика исследования познавательного интереса школьников44
3.4 Результаты апробации комплекса методических приёмов...48
4. Библиографический список 58 1. Пояснительная записка
1.1 Актуальность исследования
Современное общество ждет от школы мыслящих, инициативных, творческих выпускников с широким кругозором и прочными знаниями. Школа в условиях модернизации системы образования ищет пути, которые позволили бы выполнить этот заказ общества. При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта передаваемой ему извне информации. Такой постановкой образовательного процесса учитель искусственно задерживает развитие познавательной активности ученика, наносит ему большой вред в интеллектуальном и нравственном отношении. Еще В.А. Сухомлинский говорил: «Страшная это опасность – безделье за партой; безделье шесть часов ежедневно, безделье месяцы и годы. Это развращает». Другой отечественный педагог М.В. Остроградский писал: « Скука является самой опасной отравой. Она действует беспрестанно; она растет, овладевает человеком и влечет его к наибольшим излишествам». Сейчас вспомнить эти слова особенно своевременно, поскольку из опыта работы и личных наблюдений знаю, что существует проблема утраты познавательного интереса учащихся к учению вообще и на уроках математики в частности, и, как следствие, происходит ухудшение успеваемости.
Глубокие преобразования в политической, экономической и социальной жизни общества объективно требуют дальнейшего развития систем образования. В настоящее время подчеркивается важность следующих направлений реформы: гуманизация, гуманитаризация, переход к человекоцентрическому подходу; отказ от единообразия, переход к вариативному личностно-ориентированному образованию. В последние годы много и часто говорят о недостаточной эффективности процесса обучения в школе. В связи с этим на первый план выдвигается задача организации такого педагогического процесса, в котором каждый из обучаемых мог бы стать субъектом собственного развития, находиться в поиске и построении тех видов деятельностного отношения к миру, в котором могут полнее всего проявиться, развиться уникальные потенции личности. В связи с этим особую актуальность приобретает проблема активизации познавательной деятельности учащихся. Проблемы активизации познавательной деятельности школьников получили освещение в работе ряда отечественных и зарубежных педагогов: выявлены дидактические условия, формы и методы активности учащихся в учебном процессе (Н.Ф. Талызина, Т.И. Шамова, Г.И. Щукина, Д.Б. Эльконин); раскрыты общие закономерности познавательной активности личности, психологические аспекты активизации познавательной деятельности (Л.С. Выготский и другие).
Познавательная активность как качественное личностное образование формируется и развивается пожизненно. В связи с этим под развитием понимается изменение, представляющее собой переход от простого ко все более сложному, от низшего к высшему; процесс, в котором постепенное накопление количественных изменений приводит к наступлению качественных изменений.
В течение многих столетий математика является неотъемлемым элементом системы общего образования всех стран мира. Объясняется это уникальностью роли математического образования в самоопределении личности. «Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования», - говорится в объяснительной записке программы по математике.
Новый путь в школьном математическом образовании, отдающий приоритет интересам личности, получил в работах Отдела математического образования ИОСО РАО название гуманитарной ориентации, направленности на личность и представляется в настоящее время наиболее соответствующим реалиям и перспективам российского общества.
Этот путь ориентирован не на математическое образование, а на образование с помощью математики, на общеинтеллектуальное и общекультурное развитие человека, строящийся на абсолютном уважении к интересам, склонностям и способностям человека. По этой причине особенно актуальными являются проблемы раскрытия и развития творческого потенциала учителя и ученика путем постановки перед ними и решения системы профессионально значимых методических задач инновационного характера сложности. Между тем авторы в своих исследованиях касались проблемы развития познавательной активности учащихся разных возрастов. И только сравнительно небольшое количество публикаций раскрывает проблему развития познавательной активности учащихся с помощью текстовых задач.
Все вышесказанное обуславливает выбор темы исследования «Развитие познавательного интереса учащихся на уроках математики через решение текстовых задач разными способами».
Гипотеза исследования: В процессе поиска решения задачи создаются условия для развития познавательной активности учащихся.
Приемы мышления (анализ, синтез общения, абстрагирование и т.д.) выступают так же, как специфические методы научного исследования, особенно ярко проявляющиеся при обучении математике (и, в частности, при решении задач разными способами) и все это влияет на развитие общей культуры мышления учащегося, на общеинтеллектуальное и общекультурное развитие человека.
Цель исследования заключается в определении методов, приемов обучения способов решения текстовых задач в математике, способствующих развитию познавательной активности детей. Экспериментально проверить обоснование построения модели поиска различных способов решения задач.
Задачи исследования:
- изучить состояние исследуемой проблемы в теории и практике;
- рассмотреть особенности процесса учебной деятельности в целях развития познавательной активности учащихся, показать динамику ее развития;
- определить влияние использования текстовых задач на развитие мышления учащихся, познавательного интереса.
1.2 Описание программы эксперимента
Исследование проводилось в течение четырех лет, 2009 – 2013г. Базой исследования явилось МОБУ «СОШ № 23» г. Оренбурга: учащиеся 5 – 9 классов.
Этапы и типы эксперимента
Функции этапов
Конкретные действия
Методы исследования
1.Подготовительный
2. Практический
1) Констатирующий эксперимент.
2) Формирующий эксперимент
3. Обобщающий
Диагностическая
Прогностическая
Организационная
Исполнительская
- Проведение и анализ анкет;
- анализ работ учащихся;
- анализ затруднений учителя.
- Выявление и формулировка противоречий, нуждающихся в ликвидации с помощью решения задач различными способами.
- Постановка цели;
- детализация посредством формулирования задач;
- определение гипотезы.
- Проведение констатирующих срезов;
- определение уровня мотивации, способности к обучению;
- проведение замеров интеллектуальных особенностей.
- Развитие познавательного интереса;
- выявление динамики развития познавательной активности учащихся 5а – 8а.
- Ознакомление учащихся с образцами действий, овладение первоначальным умением применять знания;
- совершенствование умений, применение их в разнообразных ситуациях.
- Обработка данных, сравнение результатов;
- замеры – выводы – измерение уровней.
- Беседа;
- анкетирование;
- анализ;
- синтез.
- Наблюдение;
- методы оценивания;
- тестирование;
- изучение результатов деятельности учащихся.
- Изучение психолого – педагогической литературы.
- Наблюдение: опросные методы, методы оценивания, тестирование.
- Опытная работа, теоретический анализ и синтез, моделирование.
Количественный и качественный анализ, обобщение и изучение результатов.
2. Теоретическое обоснование проекта
2.1 Характеристика возрастных психологических особенностей учащихся, на обучение которых направлен данный проект
Данный проект «Развитие познавательного интереса учащихся на уроках математики через решение текстовых задач различными способами» рассчитан на учащихся 5-9 классов средней школы.
В средних классах школы развитие познавательных процессов детей достигает такого уровня, что они оказываются практически готовыми к выполнению всех видов умственной работы, включая самые сложные. Познавательные процессы школьников приобретают такие качества, которые делают их совершенными и гибкими.
К познавательным психическим процессам относятся психические процессы, связанные с восприятием и переработкой информации. В их число входят ощущения, восприятие, представления, память, воображение, мышление, речь. Психические явления в данной группе процессов не только имеют существенные различия, но и тесно взаимосвязаны между собой. Поэтому очень часто о них говорят как об интеллектуальной сфере человека или как о когнитивных процессах. Развитие познавательных процессов, и особенно интеллекта, в подростковом возрасте имеют две стороны - количественная и качественная. В подростковом возрасте активно идет процесс познавательного развития. В это время оно происходит в основном в формах, мало заметных как для самого ребенка, так и для внешнего наблюдения. Подростки и юноши уже могут мыслить логически заниматься теоретическими рассуждениями и самоанализом. Важнейшее интеллектуальное приобретение подросткового возраста – это умение оперировать гипотезами. К старшему школьному возрасту дети усваивают многие научные понятия, обучаются пользоваться ими в процессе решения различных задач. Это означает сформированность у них теоретического или словесно-логического мышления. В подростковом возрасте прежде всего продолжает развиваться теоретическое мышление. Подросток в состоянии достаточно легко абстрагироваться от конкретного, наглядного материала и рассуждать словесно. На основе общих посылок он уже может строить гипотезы, проверять или опровергать, что свидетельствует о приоритетном развитии у него логического мышления. Причем, сталкиваясь с необходимостью решать задачу, которая для него является новой, в большинстве случаев подросток стремится использовать разнообразные подходы к ее решению, стараясь найти наиболее эффективный из них. Данные способности возникают не сами по себе, а формируются и развиваются в процессе школьного обучения, при овладении знаковыми системами, принятыми во многих современных науках. Причем главной особенностью развития мышления в этом возрасте является то, что постепенно отдельные умственные операции превращаются в единую целостную структуру.
Одновременно наблюдается интеллектуализация всех остальных познавательных процессов.
Особенно заметным в эти годы становится рост сознания и самосознания детей. Это находит свое выражение в изменении мотивации основных видов деятельности: учения, общения, труда. Возникают новые виды деятельности, начинается новая стадия психического развития. В подростковом возрасте активно совершенствуется самоконтроль деятельности, являясь вначале контролем по результату или заданному образцу, а затем – процессуальным контролем, т.е. способностью выбирать и избирательно контролировать любой момент или шаг в деятельности.
В подростковом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Активно начинает развиваться логическая память и скоро достигнет такого уровня, что ребенок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредованной памяти. Память занимает особое место среди психических познавательных процессов. Многими исследователями память характеризуется как «сквозной» процесс, обеспечивающий преемственность психических процессов и объединяющий их в единое целое. Вместе с тем на фоне доминирующей позиции логической памяти у подростка замедляется развитие механической памяти, что может приводить к возникновению ряда негативных явлений. У многих подростков возникают проблемы с запоминанием и они жалуются на плохую память.
С возрастом меняются отношения между памятью и мышлением. Исследования памяти детей данного возраста показали, что для подростка вспоминать – значит мыслить. Его процесс запоминания сводится к мышлению, к установке логических отношений внутри запоминаемого материала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этим отношениям.
В подростковом и раннем юношеском возрасте активное развитие получает чтение, монологическая и письменная речь. Развитие восприятия в подростковом возрасте зависит от процесса обучения, а точнее, от тенденции усложнения учебных программ по мере взросления ребенка. Например, на уроках геометрии, черчения и т.п. у ребенка постепенно формируются и развиваются способности воспринимать косвенные признаки предметов, мысленно трансформируя их до уровня, позволяющего адекватно идентифицировать воспринимаемый объект. Воображение – процесс преобразования представлений, отражающих реальную действительность, и создание на этой основе новых представлений. Чем выше уровень развития мышления, чем богаче практический опыт, тем более сложные формы воображения могут проявляться у человека. Данная тенденция в подростковом возрасте прежде всего проявляется в том, что ребенок все чаще обращается к творчеству. Некоторые подростки начинают писать стихи, серьезно заниматься рисованием и другими видами творчества. Воображение подростка является неотъемлемой частью его психической жизни, что позволило
Л.С. Выготскому высказать предположение о том, что фантазия подростка – это игра ребенка, переросшая в фантазию. Вместе с тем фантазии ребенка выполняют еще одну значимую функцию – регуляторную. Поэтому фантазии и воображение в ряде случаев приносят успокоение, снимая напряженность и устраняя внутренний конфликт. Интеллектуальное развитие ребенка в подростковом возрасте достигает весьма высокого уровня.
В последние годы много и часто говорят о недостаточной эффективности процесса обучения в школе, поскольку традиционная организация не отвечает требованиям времени, не создает условий для улучшения качества обучения и развития учащихся. При существующем обучении проблема развития ученика является одной из сложнейших в психолого-педагогической практике. Решение этой проблемы зависит от того, на получение какого именно результата ориентируется учитель в своей работе. Педагогические задачи многофункциональны, но основное содержание педагогической деятельности – ученик. Следовательно, критерием деятельности учителя является конечный результат: дать ученику лишь набор знаний по предмету или сформировать личность, готовую к творческой деятельности.
В первом случае не приходится говорить о развитии учащихся, поскольку ученик получает информацию, запоминает ее, затем воспроизводит он, т.е. осуществляет репродуктивную деятельность. В этом случае нужны способности к обучению, но это обучение не оказывает существенного влияния как на общее психологическое развитие детей, так и на развитие их специальных способностей. А именно это и есть, по определению В.В. Давыдова, развивающее обучение [10]. Поэтому, если школа ставит своей целью развитие ребенка, то конечный результат деятельности учителя – психические новообразования в личности учащегося.
Познавательная деятельность является одной из ведущих форм деятельности ребенка, которая стимулирует учебную, на основе познавательного интереса. Поэтому активизация познавательной деятельности школьников составная часть совершенствования методов обучения. Широкое понятие активности учащихся имеет философский, социальный, психологический и иные аспекты. Рассматриваемое в психолого-педагогическом аспекте это понятие связано с целями обучения. Через цели организации активной учебной деятельности школьников влияет на все остальные компоненты методической системы и их взаимосвязи. Анализ понятий активности школьника в процессе обучения предполагает изучение таких психолого-педагогических закономерностей, как формирование потребности к изучению, создание положительной эмоциональной атмосферы обучения, способствующей оптимальному напряжению умственных и физических сил учащихся.
Учебно-познавательная деятельность учащихся в школе – необходимый этап подготовки молодого поколения к жизни. Это деятельность особого склада, хотя структурно и выражает единство с любой другой деятельностью. Учебно-познавательная деятельность – это направленность учебной деятельности на познавательный интерес.
Невозможно переоценить значение познавательной деятельности для общего развития школьника и формирования его личности. Под влиянием познавательной деятельности развиваются все процессы сознания. Познание требует активной работы мысли, и не только мыслительных процессов, но и совокупности всех процессов сознательной деятельности.
В процессе учения, в своей учебно-познавательной деятельности школьник не может выступать только объектом. Учение всецело зависит от его деятельности, активной позиции, а учебная деятельность в целом дает более плодотворные результаты. Поэтому формирование деятельной позиции школьника в познании – главная задача всего учебного процесса. Решение ее в значительной мере обусловлено познавательным интересом. Познавательный интерес – избирательная направленность личности на предметы и явления окружающие действительность. Эта направленность характеризуется постоянным стремлением к познанию, к новым, более полным и глубоким знаниям. Систематически укрепляясь и развиваясь познавательный интерес становится основой положительного отношения к учению. Познавательный интерес носит (поисковый характер). Под его влиянием у человека постоянно возникают вопросы, ответы на которые он сам постоянно и активно ищет. При этом поисковая деятельность школьника совершается с увлечением, он испытывает эмоциональный подъем, радость от удачи. Познавательный интерес положительно влияет не только на процесс и результат деятельности, но и на протекание психических процессов – мышления, воображения, памяти, внимания, которые под влиянием познавательного интереса приобретают особую активность и направленность.
2.2 Проблема познавательного интереса
актуальная проблема психологии и педагогики
2.2.1 Интерес и его виды
Интерес – это сложное и значимое для личности образование, имеющее множество различных трактовок.
Интерес – это избирательная направленность человека, его внимания, мыслей, помыслов (С.Л. Рубинштейн) [23].
Интерес – это своеобразный сплав эмоционально-волевых и интеллектуальных процессов, повышающий активность сознания и деятельности человека (Л.А. Гордон).
Я считаю наиболее конкретным определением, определение данное В.А. Крутецким: «Интерес – это активная познавательная направленность человека на тот или иной предмет, явление и деятельность, созданная с положительным эмоциональным отношением к ним» [17].
Интересы человека определяются общественно-историческими и индивидуальными условиями его жизни. С помощью интереса устанавливается связь субъекта с объективным миром. Все, что составляет предмет интереса, почерпнуто человеком из окружающей действительности. Но предметом интереса для человека является далеко не все, что его окружает, а лишь то, что имеет для него необходимость, значимость, ценность и привлекательность.
Интересы людей чрезвычайно разнообразны. Существует несколько классификаций интересов.
Классификация интересов
по содержанию:
- материальные интересы. Проявляются в стремлении к жилищным удобствам, гастрономическим изделиям, к одежде и т.п.
- Духовные интересы. Это познавательные интересы к математике, физике, химии, биологии, философии, психологии и т.п., интересы к литературе и разным видам искусства (музыке, живописи, театру). Характеризуют высокий уровень развития личности.
- Общественные интересы. Включают интерес к общественной работе, к организационной деятельности.
по направленности:
- широкие интересы. Разнообразие интересов при наличии основного, центрального интереса.
- Узкие интересы. Наличие одного - двух ограниченных и изолированных интересов при полном равнодушии ко всему остальному.
- Глубокие интересы. Потребность основательно изучить объект во всех деталях и тонкостях.
- Поверхностные интересы. Скольжение по поверхности явления и нет интереса к объекту по-настоящему.
по силе:
- устойчивые интересы. Длительно сохраняются, играют существенную роль в жизни и деятельности человека и являются относительно закрепленными особенностями его личности.
- Неустойчивые интересы. Сравнительно кратковременны: быстро возникают и быстро угасают.
по опосредованности:
- прямые (непосредственные) интересы. Вызываются самим содержанием той или иной области знаний или деятельности, ее занимательностью и увлекательностью.
- Косвенные (опосредованные) интересы. Вызываются не содержанием объекта, а тем значением, которое он имеет, будучи связанным с другим объектом, непосредственно интересующим человека.
по уровню действенности:
- пассивные интересы. Созерцательные интересы, когда человек ограничивается восприятием интересующего объекта.
- Активные интересы. Действенный интерес, когда человек не ограничивается созерцанием, а действует с целью овладения объектом интереса.
2.2.2 Познавательный интерес как особый вид интересов человека
«Познавательный интерес – это избирательная направленность личности, обращенная к области познания, к ее предметной стороне и самому процессу овладения знаниями» (Г.И. Щукина) [34].
Познавательный интерес может быть: широким, распространяющимся на получение информации вообще, и углубленным в определенную область познания.
Познавательный интерес школьников направлен на овладение знаниями, которые представлены в школьных предметах. При этом он обращен не только к содержанию данного предмета, но и к процессу добывания этих знаний, к познавательной деятельности.
В педагогике наряду с термином «познавательный интерес» употребляется термин «учебные интересы». Понятие «познавательный интерес» более широкое, так как в зоне познавательного интереса находятся не только знания, ограниченные учебными программами, но и выходящие далеко за ее пределы.
В зарубежной литературе термин «познавательный интерес» отсутствует, но существует понятие «интеллектуальный интерес» [26]. Этот термин тоже не включает всего того, что входит в понятие «познавательный интерес», так как познание включает в себя не только интеллектуальные процессы, но и элементы практических действий, связанных с познанием.
Вот почему термин «интеллектуальный интерес» не равносилен интересу познавательному.
Познавательный интерес
·
·это соединение психических процессов: интеллектуального, волевого и эмоционального. Они очень важны для развития личности.
В интеллектуальной деятельности, протекающей под влиянием познавательного интереса, проявляется:
активный поиск;
догадка;
исследовательский подход;
готовность к решению задач.
Эмоциональные проявления, сопровождающие познавательный интерес:
эмоции удивления;
чувство ожидания нового;
чувство интеллектуальной радости;
чувство успеха.
Характерными для познавательного интереса волевыми проявлениями считаются:
инициатива поиска;
самостоятельность добывания знаний;
выдвижение и постановка познавательных задач.
Итак, интеллектуальная, волевая и эмоциональная стороны познавательного интереса выступают как единое взаимосвязанное целое. Своеобразие познавательного интереса выражается в углубленном изучении, в постоянном и самостоятельном добывании знаний в интересующей области, в активном приобретении необходимых для этого способов, в настойчивом преодолении трудностей, лежащих на пути овладения знаниями и способами их получения.
Так определяют и характеризуют познавательный интерес педагоги и психологи.
2.2.3 Познавательный интерес как мотив учебной деятельности
Психологи и педагоги выделяют три основных мотива, побуждающих школьников учиться.
Во-первых, интерес к предмету. (Я изучаю математику не потому, что преследую какую-то цель, а потому, что сам процесс изучения доставляет мне удовольствие). Высшая степень интереса – это увлечение. Занятия при увлечении порождают сильные положительные эмоции, а невозможность заниматься воспринимается как лишение.
Во-вторых, сознательность. (Занятия по данному предмету мне не интересны, но я сознаю их необходимость и усилием воли заставляю себя заниматься).
В-третьих, принуждение. (Я занимаюсь потому, что меня заставляют родители, учителя). Часто принуждение поддерживается страхом наказания или соблазном награды. Различные меры принуждения в большинстве случаев не дают положительных результатов.
Мною совместно с психологом школы было проведено анкетирование 182 учащихся с целью определения мотива изучения школьниками математики и влияние мотива на эффективность обучения.
Таким образом, чем выше интерес учащегося к предмету, тем активнее идет обучение и тем лучше его результаты. Чем ниже интерес, тем формальнее обучение, хуже его результаты. Отсутствие интереса приводит к низкому качеству обучения, быстрому забыванию и даже к полной потере приобретенных знаний, умений и навыков.
Значит, можно сделать вывод: для успешного обучения школьников необходимо вызвать у учащихся интерес к овладению знаниями.
Формируя познавательные интересы у учащихся, надо иметь в виду, что они не могут охватывать всех учебных предметов. Интересы носят избирательный характер, и один ученик, как правило, может заниматься с настоящим увлечением лишь по одному - двум предметам. Но, наличие устойчивого интереса к тому или иному предмету положительно сказывается на учебной работе по другим предметам, тут имеют значение как интеллектуальные, так и моральные факторы. Интенсивное умственное развитие, связанное с углубленным изучением одного предмета, облегчает и делает более эффективным учение школьника по другим предметам. С другой стороны, достигаемые успехи в учебной работе по любимым предметам укрепляют чувство собственного достоинства ученика, и он стремится прилежно заниматься вообще.
Таким образом, важной задачей учителя является формирование у школьников первых двух мотивов учения – интереса к предмету и чувства долга, ответственности в учебе. Их сочетание позволит ученику достигнуть хороших результатов в учебной деятельности.
2.2.4 Динамика познавательных интересов учащихся
Формирование познавательных интересов начинается задолго до школы, в семье, их возникновение связывают с появлением у детей таких вопросов, как «Почему?», «Отчего?», «Зачем?». Интерес выступает первоначально в форме любопытства. К концу дошкольного возраста под влиянием старших у ребенка формируется интерес к учению в школе: он не только играет в школу, но и делает успешные попытки овладеть чтением, письмом, счетом и т.п. В начальной школе познавательные интересы углубляются. Формируется сознание жизненной значимости учения. С течением времени познавательные интересы дифференцируются: одним больше нравится математика, другим – чтение и т.п. Большой интерес проявляется у детей к процессу труда, особенно если он совершается в коллективе.
При переходе детей из начальной школы в среднюю отмечается тревожный и парадоксальный факт: интерес к учению от класса к классу,
уменьшается, несмотря на то, что интерес к явлениям и событиям окружающего мира продолжает развиваться, становится более сложным по содержанию. Учение и другие виды познания вступают в конфликт, так как новые интересы школьников недостаточно удовлетворяется в школе. Разбросанность и неустойчивость интересов подростков объясняется и тем, что они «нащупывают» свой основной, центральный, стержневой интерес как основу жизненной направленности и пробуют себя в разных областях.
Когда интересы и склонности подростков, наконец-то, определяются, то у них начинаются формироваться и ярко проявляться способности. К концу подросткового возраста начинают формироваться интересы к определенной профессии.
В старшем школьном возрасте развитие познавательных интересов, рост сознательного отношения к учению определяют дальнейшее развитие произвольности познавательных процессов, умения управлять ими, сознательно регулировать их. В конце старшего возраста учащиеся овладевают своими познавательными процессами, подчиняют их организацию определенным задачам жизни и деятельности.
2.3 Математическое образование и общая теория задач
3.3.1 О математическом образовании
В течение многих столетий математика являлась неотъемлемым элементом системы общего образования всех стран мира. Объясняется это уникальностью роли математического образования в самоопределении личности.
Исторически сложились две стороны назначения математического образования: практическая, связанная с созданием и применением инструментария, необходимого человеку в его продуктивной деятельности, и интеллектуальная, связанная с мышлением человека, с овладением определенным методом познания и преобразованием действительности с помощью математических методов.
В настоящее время традиционный взгляд на содержание обучения математике, ее роль и место в общем образовании пересматривается и уточняется. Наряду с подготовкой учащихся, которые в дальнейшем станут профессиональными пользователями математики, важнейшей задачей обучения становится обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подготовки всех школьников, независимо от специальности, которую они изберут в дальнейшем.
В школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин. Все больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с применением математики (экономика, бизнес, финансы, физика, химия, биология, психология и другие). Таким образом, расширяется круг школьников, для которых математика становится профессионально значимым предметом.
В рамках философской парадигмы и вышесказанного цель математического образования выглядят следующим образом:
- приобретение конкретных математических знаний, необходимых для применения в практической деятельности;
- интеллектуальное развитие учащихся;
- формирование представления о математике как форме описания и методе познания реальной действительности;
- формирование личностно-ценностного отношения к математическим знаниям, представление о математике как части общечеловеческой культуры.
Для успешной реализации этих целей необходимо:
- перенести акцент преподавания с информационного на методологический:
- перейти в обучении от передачи знаний к развитию самостоятельности при их добывании, к развитию творческого мышления;
- ориентировать курс школьной математики на гуманитаризацию образования.
За годы реформирования образования изменились программы обучения в школе, обновилось содержание изучаемых предметных областей, получили развитие новые методики обучения. Новый путь в школьном математическом образовании, отдающий приоритет интересам личности, получил в работах Отдела математического образования ИОСО РАО название гуманитарной ориентации, направленности на личность и представляется в настоящее время наиболее соответствующим реалиям и перспективам российского общества.
Не математическое образование, а образование с помощью математики, ориентированное на общеинтеллектуальное и общекультурное развитие человека, строящееся на абсолютном уважении к интересам, склонностям и способностям человека. По этой причине особенно актуальными являются проблемы раскрытия и развития творческого потенциала учителя и ученика путем постановки перед ними и решения системы профессионально значимых методических задач инновационного характера и математических задач различной системы сложности при особом внимании к текстовым задачам.
Вместе с тем они входят в различные сборники заданий по подготовке к итоговой аттестации по математике за курс основной школы, включаются в варианты ЕГЭ и вступительных экзаменов в ВУЗы.
Решение задач является и специфической
разновидностью свободного мышления.
Уильям Джеймс.
2.3.2 Общая теория задач
Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно недоступной цели. Решение задачи означает нахождение этого средства.
Основная часть нашего сознательного мышления связана с решением задач. Решение задач – специфическое достижение разума, разум же – особый дар, которым наделен человек. Нет ничего более интересного, чем изучение проявлений человеческой деятельности. Наиболее характерными из них являются решение задач различными способами, размышление над тем, как можно достичь некоторой определенной цели, придумывание необходимых для этого средств. Решение задач – это широкая дорога в математику, впрочем, не единственная и вливающаяся в другие важные дороги. Роль и место задач в обучении математике исторически не оставались неизменными. В «Арифметике» Л.Ф. Магницкого к задачам указывались решения, которые следовало «вытверживать». Способы решения задач давались в виде многословных правил, и эти правила ученики должны были заучивать. Содержание задач охватывало все типичные ситуации, требовавшие соответствующих практических расчетов: куплю-продажу, займы, подряды, расходы и накопления, исчисление календарных дат. Задача была целью обучения, т.е. математику затем и учили, чтобы усвоить правила решения типичных задач. С изменением целей обучения изменяется и роль задач. Возрастает объем теоретических сведений, усвоение которых начинает сопровождаться решением задач. Данная мысль подтверждена в трудах С.И. Шохор-Троцкого «Арифметические задачи вообще должны, при разумном обучении, быть не целью, а только средством обучения арифметике» (Шохор-Троцкий С.И. Методика арифметики для учителей начальных школ. М., 1915. С. 78). Знаменитый педагог – математик выступал против увлечения решением неоправданно сложных задач, против отождествления умения решать такие задачи со знанием арифметики. С.И. Шохор-Троцкий сформулировал следующий принцип обучения, выдвинутый французским педагогом Ж. Жакото (1770-1840): «Учить других чему-нибудь – значит показать им, что они должны делать сами, чтобы научиться тому, чему их учат». Этот принцип является обоснованием самодеятельности и посильного труда учащихся в обучении математике. С.И. Шохор-Троцкий стремился к тому, чтобы при обучении математике сделать ученика не только свидетелем математических открытий, но, по возможности, их активным участником. В «методе целесообразных задач» С.И. Шохор-Троцкого нельзя не видеть зародыша современных идей проблемного обучения.
1. Усвоение учащимися определенного круга математических сведений было и остается одной из основных целей обучения математике. Поэтому каждый пункт учебника должен содержать одну или несколько центральных задач, выполняющих в обучении познавательные функции.
2. В дидактических целях полезно показать учащимся истоки познавательной задачи, наметить к ней подходы, связать с ранее рассмотренными познавательными задачами предшествующих пунктов учебника, познакомить со специальными приемами решения. Необходимо решать задачи, содержание которых несколько усложнено относительно основной познавательной задачи. Для этого и применяются задачи, выполняющие дидактические функции в обучении математике.
3. Развивающие функции задач. Учащиеся получают развитие только в процессе познания, только в процессе решения познавательных задач. Курс на развитие учащихся ставит учителя в такие условия, когда предлагаемое упражнение должно требовать от них самостоятельно рассуждать, делать обобщения и выводы, находить связи с ранее изученным материалом, проявлять инициативу, творческий подход и сообразительность в преодолении возникающих трудностей.
Итак, основные познавательные задачи и некоторое число дидактических задач последующей цепочки – это цель обучения: каждый ученик должен научиться их решать.
Предваряющие дидактические задачи представляют собой только средство обучения.
Задачи, выполняющие развивающие функции, также являются средством, способствующим познанию.
Задачи, выполняющие прикладные функции являются целью обучения.
Следовательно, наиболее эффективным средством развития математической деятельности учащихся является обучение «через задачи». Поэтому возникает проблема построения педагогически целесообразной системы задач, с помощью которой можно было бы провести ученика последовательно через все аспекты математической деятельности (выявление проблемных ситуаций и задач, математизация конкретных ситуаций, решение задач, мотивирующее необходимость расширения теории и т.д.).
Одним из важнейших средств активизации обучения математике является эффективная организация и управление поисковой деятельностью школьников в процессе решения различных математических задач и упражнений разными способами. Важно то, что при решении задач в процессе обучения математике, возможно, самым естественным образом формировать у школьников творческую активность наряду с реализацией одной из основных целей обучения математике – формированием системы математических знаний, умений и навыков.
Глубокое и прочное усвоение школьниками основ современного курса математики чрезвычайно важно для формирования их математической культуры. Вместе с тем формирование высокой математической культуры выпускников школы необходимо предполагает принципиально иную организацию собственной познавательной деятельности школьников, в процессе которой у них формируются умения изучать математику самостоятельно и творчески, а следовательно, создаются предпосылки к активному применению математических знаний.
Активизация самостоятельной познавательной деятельности школьников при изучении курса математики способствует более эффективному использованию системы учебных задач, которые являются важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний и способов деятельности, ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из эффективных средств их математического развития.
В связи с этим уместно напомнить высказывание известного педагога математики Д. Пойа: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности. Поэтому первая и самая главная обязанность курса математики состоит в подчеркивании методической стороны процесса решения задач». Пойа Д. Математическое открытие. М., «Наука», 1970. С. 16.
Психологическая сущность процесса решения задач. Процесс решения задач с психологической точки зрения представляет субъекта от одной проблемной ситуации к другой путем моделирования первой ситуации и принятия построенной модели за объект второй ситуации. При этом переход от проблемной ситуации к ее модели совершается путем децентрации субъекта, т.е. мысленно выхода субъекта из ситуации и ее активного изучения им как бы со стороны. В случае, когда задача становится мысленной моделью, эта децентрация принимает форму мысленного «раздвоения» субъекта: он изучает свою собственную мысль, ее преобразования, процесса ее протекания. Иначе говоря, субъект как бы развивается на два «существа»: одно из них строит и преобразует мысленные модели исходной задачи, а другое – мысленно изучает получающиеся модели и соотносит их с моделью конечной или промежуточной цели деятельности.
Формирование культуры решения задач. Культура поведения при встрече с задачей есть по сути дела овладение некоторой стратегией и тактикой поиска решения задачи. Известный математик и методист Д. Пойа так и советует: «Если хотите научиться решать задачи, то решайте их».
Культура решения задач заключается в том, что поиск решения совершается на базе глубокого и всестороннего предварительного анализа задачи, что каждая из совершаемых проб обосновывается и ее результаты анализируются, что после нахождения верного решении производится ретроспективный анализ с целью выявления общих методов, применяемых в этом решении, поиска более рационального решения, если это возможно.
Такой культуре можно и нужно учить учащихся, начиная с начальных классов.
Главное – это сделать сами задачи, их структуру и особенности предметом особого изучения и усвоения.
Для этого необходимо использовать особую систему упражнений, где конкретные задачи являются лишь материалом, а целью является последовательно:
расчленение задачи на элементарные условия и требования;
выявление связей и зависимостей между отдельными условиями (данными и между данными и требованием;
построение схематической модели задачи;
перекодирование задачи на другой язык.
Непременным условием является то, что во всех этих упражнениях сама задача не решается, чтобы не отвлекать учащихся от главного – анализа задачи. Особую роль в формировании у учащихся культуры решения задач играет заключительный ретроспективный анализ проведенного решения с целью выявления и усвоения общих методов и приемов решения задач.
Указанные учебные упражнения должны стать основой для формирования способностей и умений в решении задач. Необходимо четко представлять, какой компонент общих способностей к решению задач, какое умение формируется в данное время с помощь решения задач разными способами. Решения определенной системы учебных и конкретно-практических задач, какую роль при этом играет каждая из используемых задач.
Нужно изменить и сам подход к решению задач. Задачи и механизмы их решения должны стать объектами глубокого и постоянного изучения на протяжении всех лет обучения. Особое внимание должно быть уделено формированию культуры решения, привитию разумного подхода к поискам и конструированию методов решения, выработке дисциплинированного мышления в процессе решения, привитию эстетического взгляда на решение задач, предполагающих оценку этого решения не только с точки зрения ее безупречной логической правильности, но и красоты и изящества. Каждый школьник в процессе обучения должен приобрести учение учиться самостоятельно. Оно включает, в частности, умение ставить учебную задачу и решать ее. Решение задачи должно осуществляться на базе глубокого и всестороннего предварительного анализа задачи, необходим и анализ хода решения, в том числе ретроспективный, поиск наиболее рационального решения. Учитель, формируя у школьников такую культуру решения задач, добивается положительных результатов, не перегружая большим объемом заданий. Следует отметить, что в процесс обучения решению задач учитель может привнести много элементов творчества. Один из эффективных творческих приемов – восприятие самим учителем простого и понятного для него задания как нового и удивительного, т.е. попытка восприятия проблемы глазами ребенка. Среди основных признаков знаний большое значение имеет умение самостоятельно мыслить, «видеть» задачу и найти подход к ее решению, способность ориентироваться в новой ситуации. Оценивая умения, мы оцениваем мышление, память, внимание и способность к самостоятельному мышлению.
Из многообразия умений выделим следующие, которые в большей степени проверяются при решении задач:
Умение оперировать понятиями. Известно, что нельзя привести ни одного суждения, не оперируя понятиями. Понятие – общая и необходимая форма всякого логического мышления. Владение понятием связано с анализом, синтезом, сравнением, сопоставлением, абстрагированием, обобщением и, следовательно, со всеми мыслительными процессами. Оценивая умение, мы судим о развитии мышления, памяти, внимания.
Умение применять теорию к решению практических и учебных задач. Известно, что практика – это материальная, целеполагающая деятельность людей, освоение и преобразование объективной действительности, всеобщая основа развития человеческого общества и познания. Являясь критерием истины, практика отвечает на вопрос: есть знания или их нет.
Умение самостоятельно мыслить. Оно заключается в умении выделить главное, сравнить это главное с данной ситуацией и найти решение.
Знание языка математических наук или умение записать символами математические понятия и факты.
Основным дидактическим требованием эффективной проверки знаний с учетом объема, полноты, обобщенности, целенаправленности и действительности является оптимальный уровень сложности заданий и упражнений. В методике математике выделяют пять уровней сложности задач.
Первый и второй уровни – начальные; они соответствуют первому уровню знаний, который заключается в накоплении «фонда знаний», состоящего из фактов, дают заученные характеристики терминов и явлений.
Третий уровень – операционный; он заключается в умении осуществлять простейшие логические операции по готовому образцу и характеризуется образованием частносистемных ассоциаций и наличием связи между знаниями, усвоенными в пределах одной главы или одного раздела.
Четвертый уровень – аналитико-синтетический; достигнув его, учащиеся проявляют умение обобщать, дифференцировать устойчивые знания, выделять главные идеи, основные положения темы, раздела, вскрывать связи и проводить аналогии.
Пятый уровень – творческий; он требует переноса знаний в новые ситуации, создания нестандартных алгоритмов познавательных и практических действий.
Цели обучения решению задач предусматривают не только усвоение знаний, заданных программой курса, но и пропедевтику формирования математических понятий, развитие у школьников способности к самостоятельному целеполаганию и к применению в разных ситуациях приобретаемых в школе знаний и умений.
Обратим внимание на то, что проектирование систем учебных задач, удовлетворяющих заранее намеченным требованиям – это только один из аспектов задачного подхода к построению процесса обучения. Другой аспект касается содержания обучения.
В учебном порядке встречается множество ситуаций, когда учащиеся, не владея способами решения предлагаемых им задач, действуют наугад, вслепую перебирая известные им возможности. При этом иногда они попадают в точку: результат совпадает с приведенным в учебнике ответом.
А.А. Столяр выделяет «три вида учебных ситуаций, связанных с решением задач:
1) решение стандартных задач, общий метод решения которых еще неизвестен учащимся;
2) решение стандартных задач, общий метод которых уже известен учащимися;
3) решение нестандартных задач».
Эти ситуации требуют различных стратегий обучения.
Говоря о структуре и свойствах задач, замечаем следующее:
В любой задаче имеется трудность, которую нужно преодолеть. В математической задаче – это наличие неизвестных характеристик определенных объектов.
Текст любой задачи состоит из условия и требования. Требование математической задачи выражается как вопросительным предложением, так и повествовательным с глаголом в повелительном наклонении.
Условие задачи – это описание ситуации особого типа. В условиях математической задачи описывается ситуация, в которой известна какая-либо характеристика того или иного объекта.
Требование математической задачи состоит в том, чтобы описать с необходимой полнотой так называемые искомые характеристики. Для этого используются связи между известными и неизвестными характеристиками.
Количество известных и неизвестных характеристик в задаче может быть самым различным.
Решить задачу – это значит выполнить ее требование. Пользоваться надо только теми данными, которые необходимы для выполнения требования задачи.
Составить задачу в данной ситуации – это означает сформулировать определенное требование и выделить условия его выполнения.
2.4 Сравнительная характеристика учебников математики 5 – 6 классов по количеству сюжетных задач.
Название учебника
Кол-во задач, %, 5 класс
Кол-во задач, %, 6 класс
Н.Я. Виленкин,
В.И. Жохов «Математика»
32
27
Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон «Математика»
29
28
Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин «Математика»
30
22
И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович «Математика»
37
15
Общее количество сюжетных задач в учебниках авторов Н. Я. Виленкина и Г.В. Дорофеева незначительно больше и они распределены по всему изучаемому материалу. Текстовые задачи в этих учебниках содержатся в каждом пункте, они могут предлагаться ученикам на любом этапе урока: в устной работе, при изучении нового материала, при закреплении, при повторении ранее изученного и как задание для домашней работы. В других учебниках количество задач немного меньше.
Учебник [40] разбит на две главы: натуральные числа и дробные числа. В первой главе присутствуют задачи на все действия с натуральными числами, во второй – с пониманием смысла дроби связаны три основные задачи на дроби, осознанного решения которых важно добиться от учащихся. Такое определенное внимание уделяется решению текстовых задач на сложение и вычитание, данные которых выражены десятичными дробями. Во всех задачах используется самый разнообразный сюжет. Все сюжеты встречаются в жизни: сборка урожая, приготовление пищи, географическая тематика, заполнение емкости водой нахождение массы тела, длины ленты, ткани и т.д.
В учебнике [42] уже во втором параграфе предлагается для изучения тема «Математические модели», поэтому далее весь материал опирается на понятия «математическая модель» и «моделирование». Авторы не дают определения модели, а на примере двух задач показывают, что в двух непохожих ситуациях используется одна и та же математическая модель, сразу указывая на ценность математического моделирования, что одна и та же модель может описывать различные явления. Для того, что бы построить математическую модель, надо, прежде всего, научиться переводить условия задач на математический язык. Самая распространенная формулировка заданий, характерная для моделирования, звучит следующим образом: переведи условие задачи на математический язык; построй математическую модель задачи и реши её. Далее говорится, что после перевода задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями – к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям.
В задачах на движение представлены реальные ситуации, некоторые можно разыграть на уроке: прогулка от дома до школы, от дома до кинотеатра, от кафе до стадиона, от одного населенного пункта до другого; соревнования на лыжах, велосипедах, автомобилях, по плаванию, движение на различном транспорте от одного пункта до другого; движение по течению реки и против течения реки на теплоходе, катере, корабле. Много встречаются задач на определение возраста людей; на деление заработанной платы между рабочими. Меньше внимания уделяется решению задач арифметическим способом, а делается упор на отработку умений решать алгебраическим способом. После изучения темы «решение задач с помощью уравнений» этот способ преобладает в дальнейшем. Имеются задачи на проценты.
Учебник [41] тоже разбит на две главы: обыкновенные дроби и рациональные числа. В теме «Умножение и деление обыкновенных дробей» завершается работа над формированием навыков арифметических действий с обыкновенными дробями. Расширение аппарата действий с дробями позволяет решать текстовые задачи, в которых требуется найти дробь от числа или число по данному значению его дроби, выполняя соответственно умножение или деление на дробь. Представлены задачи на пропорциональные величины. Сюжеты задач имеют такую же направленность, как и в 5 классе.
Задачи в учебниках [40] и [41] решаются как алгебраическим способом, так и арифметическим.
В 6 классе [43] выделяются этапы процесса математического моделирования, в соответствии с этими этапами выделяются этапы решения задач с помощью уравнений. Большое внимание уделяется этапу формализации, который вызывает у школьников наибольшие трудности при решении задач. Не встречаются сюжетные задачи, требующие перевода условия задачи с русского на математический язык. Рассматриваются задачи на движение по реке, на нахождение процента от числа, на нахождение числа по его проценту, на простой процентный рост, на сложный процентный рост, на нахождение среднего арифметического, на смеси и сплавы. Сюжеты самые разнообразные и способы решения самые разнообразные.
В учебнике [36] задачи на движение, части, уравнивание, совместную работу решаются арифметическим способом. Есть отдельный пункт «разные арифметические задачи», в котором представлены необычные способы решения задач. Они подробно разобраны. Присутствуют задачи на нахождение дроби от числа и числа по его дроби. В этом параграфе предлагается решать задачи любыми из двух способов: опираться на смысл понятия дроби или применять одно из двух правил, представленных в учебнике.
В учебнике [37] большое внимание уделяется задачам на движение – на нахождение собственной скорости катера, пути, пройденного катеров по течению реки и против течения реки; пути вертолета при попутном ветре, при встречном ветре за определенный промежуток времени. Так же имеются задачи со сказочным сюжетом.
В учебнике [38] отдельно выделены параграфы для перевода задач на математический язык и на составление математической модели. Уделяется большое внимание задачам на проценты, который имеют разный сюжет: сборка урожая, вычисление заработанной платы, нахождение площади, определение количества человек, которые посещают различные спортивные секции. Имеются сюжетные задачи на деление фруктов на части.
В учебнике [39] встречаются самые разнообразные сюжеты: масса учебников и их количество; средняя скорость движения и проделанный за определенное время путь; время движения и путь, проделанный с определенной скоростью; рост человека и его масса; высота предмета в данной точке земли тень, которую он отбрасывает при конкретном времени в ясную погоду.
В учебниках [38] и [39] используется алгебраический и арифметический способы решения задач.
Таким образом, проанализировав учебники по математике 5 – 6 класс, мы можем сказать, что сюжеты задач схожи. Сюжетные задачи – наиболее традиционный вид математических задач. Они всегда занимали одно из ведущих мест в обучении математике, так как их функция в обучении весьма значительны, и среди них одна из важнейших – методологическая, суть которой заключается в том, что с помощью сюжетных задач обучаемый может познавать реальную действительность, осознавать те знания и умения, которые необходимы при решении любых задач, а не только сюжетных.
3. Реализация проекта
3.1 Модель поиска решения задачи
При решении математики самым трудным для ученика является решение текстовых задач, а также оформление этого решения. Причина затруднений, как мне кажется, состоит в том, что учитель старается обучить решению каждого типа задач в отдельности, а не сформировать у ученика способность анализировать любую задачу, вне зависимости от ее разновидности.
Поиск решения задачи – это серьезный интенсивный творческий процесс. Он может усложняться или облегчаться в зависимости от общей организации учебного процесса. Поэтому успех решения отдельно взятой задачи определяется не только интенсивностью и организацией умственного труда учащихся на этом уроке, но и системой работы с учащимися над математической задачей. Учитель должен четко себе представлять сущность математической задачи и ее решения, технологию поиска и место «озарения», творческой догадки в нем.
Всякая задача содержит вопрос и указания ситуации, в которой должен быть найден ответ. Следовательно, каждая задача состоит из двух частей: условия и, как будем говорить, главного вопроса. Решить задачу это значит разработать конечную последовательность простых задач, в которой вопросом последней задачи и является главный вопрос. Цель решающего задачу разработать конечную последовательность простых задач или разработать метод решения.
Первая стадия: Понимание постановки задачи. Вопросы, которые нужно себе задавать, кажутся крайне простыми и соответствующими здравому смыслу: Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие задачи? Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво? Вопросы простые, но на этой стадии совершается огромное количество ошибок.
Вторая стадия: Поиск идеи и составление плана решения.
Это самая сложная стадия: именно по ней и можно судить о творческих, созидательных способностях. Сперва человек активирует свои знания в этой области. Не встречалась ли вам раньше эта задача? Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? Если не удается вспомнить совсем близкую ранее решенную задачу, то может быть, попробовать видоизменить задачу, ввести дополнительные элементы, чтобы она стала похожа на известные.
Вот задача, родственная данной и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею? Нельзя ли применить ее результат? Нельзя ли использовать метод ее решения? Не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей. Если задача не поддается, то ее следует переформулировать, внимательнее посмотреть на условие, чтобы уяснить, нет ли пробела в ваших базовых знаниях. Нельзя ли иначе сформулировать задачу? Еще иначе? Вернемтесь к определениям. Нельзя ли извлечь что-либо полезное из данных? Нельзя ли придумать другие данные, из которых можно было бы определить неизвестное? Нельзя ли изменить неизвестное, или данные, или, если необходимо, и то и другое так, чтобы новое неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу? Все ли данные вами использованы? Все ли условия? Приняты ли во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче? Все глубже проникая в суть задачи, осознавая все больше связей, задавая раз за разом себе одни и те же вопросы, мы все ближе продвигается к озарению, то есть мыслительному скачку, догадке, последней переправе через препятствие. Никто не знает, в какой именно момент возникнет озарение, как никто не сможет точно предсказать, куда ударит молния.
Третья стадия: Осуществление плана.
Эта стадия отражает строгое лицо «точных наук». Здесь гипотеза, догадка подвергается самой суровой проверке. Осуществляя план решения контролируйте каждый свой шаг. Ясно ли вам, что предпринятый вами шаг правилен? Сумеете ли доказать, что он правилен?
Четвертая стадия: Взгляд назад (изучение полученного решения).
Решение новой задачи во многом опирается на решения предыдущих задач: они служат ступеньками друг для друга. Но память не очень прочна. Чтобы ей помочь, необходимо бросить взгляд назад и внимательно, шаг за шагом проследить, как вы решали задачу, где и почему возникли основные трудности, можно ли было их обойти, какие приемы решения подобных задач эффективны, почему вам все-таки удалось ее решить. Попробовать обобщить и распространить ваше решение на другие задачи. Сколько открытий было сделано благодаря этой мыслительной операции: Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения? Рене Декарт: «Каждая решенная мною задача становилась образцом, который служит впоследствии для решения других задач».
Особенно удачной мне представляется система работы с текстовыми задачами, которая позволяет сформировать у каждого ученика полноценное умение решать такие задачи не за счет "натаскивания" на основе ранней типизации задач и большого числа их, а за счет разнообразной творческой деятельности каждого ученика.
Наибольшее внимание в учебниках математики уделено разнообразным преобразованиям задач. Сюда относятся:
– преобразование текстов, не являющихся задачами, в задачи;
изменение вопроса так, чтобы действий в решении стало больше (меньше);
– изменение условия так, чтобы действий в решении стало больше (меньше);
– изменение вопроса (условия, данных) так, чтобы задача стала нерешаемой;
– внесение в задачу таких изменений, чтобы в ней появились лишние (недостающие) данные;
– внесение в задачу таких изменений, чтобы в ней исчезли лишние (недостающие) данные;
– изменение текста задачи так, чтобы в ее решении появилось обратное действие.
Помимо заданий, требующих преобразований текстов задач, большое внимание уделяется:
– подбору и самостоятельному составлению обратных задач;
– сравнению задач с одинаковой фабулой, но различным математическим содержанием;
– сравнению задач с разной фабулой и одинаковым математическим содержанием.
3.2 Разные способы решения задач
Постоянное использование всех этих аспектов работы с задачами дает хорошие результаты, способствует формированию умения решать задачи. К сожалению, значительно меньшее внимание авторы учебников уделяют решению задач разными способами. Число таких заданий значительно меньше, они встречаются от случая к случаю и в силу этого не воспринимаются многими учителями как важные.
Между тем мой многолетний опыт показал, что постоянная работа в этом направлении очень важна как с точки зрения развития школьников, так и с точки зрения формирования умения решать задачи.
Решение задач различными способами - первый шаг к эстетическому восприятию математики.
Большие возможности в эстетическом воспитании учащихся на уроках заложены в рассмотрении различных способов решения одной и той же задачи. Возможности решения одной задачи и той же задачи различными способами демонстрируют непреложность выводов науки – математики, подчеркивают красоту содержания учебного предмета.
Прежде всего, необходимо отметить, что решение задач разными способами – чрезвычайно увлекательное занятие для учащихся различных возрастных групп. Интерес, любопытство, творчество, желание добиться успеха – это привлекательные стороны, которые позволяют учащимся любить и выбирать этот вид деятельности на уроках математики.
А вот доводы в пользу постоянного решения задач разными способами с позиции учителя: этот вид деятельности способствует интенсивному развитию логического мышления, его глубины и гибкости, создает условия для улучшения речи учащихся (точности произношения и употребления слов, яркости и динамичности), готовит базу для решения задач разными способами в основной школе по разным предметам; способствует осуществлению личностно-ориентированного подхода, адаптации школьников, гуманизации обучения – важнейших проблем современной школы. Решение задач разными способами осуществляет право ученика на выбор решения, даже если оно не является традиционным, у него появляется дополнительная возможность справиться с делом. Когда есть выбор при решении задачи, варианты ее оформления – это делает ученика свободным, спокойным, появляется возможность его успеха, возникает устойчивость важной для жизни мысли: "Всегда можно найти выход из сложной ситуации". Все эти мысли и есть часть плана формирования социально адаптированной личности в условиях современной школы.
Заинтересованность учителя в данном виде деятельности плюс игра, поиск, азарт, воображение учащихся убеждают, что необходимо постоянно решать задачи разными способами.
Необходимо отметить, что решение задач разными способами соответствует дидактическим принципам, положенным в основу системы Мордковича (обучение на высоком уровне трудности, осознание школьниками процесса учения, развитие всех учащихся – как слабых, так и сильных), а также и свойствам методической системы (многогранность, процессуальность, разрешение коллизий, вариантность).
В своей работе я разделяю такие способы решения задач:
1) арифметические;
2) алгебраические;
3) смешанные.
Из предложенных детьми способов осуществляется выбор рационального способа решения: сначала из перечисленных выше (то есть ученики определяют, как рациональнее решать задачу – арифметически, алгебраически или частично так, а частично так; после такого выбора оцениваются с точки зрения их рациональности конкретные предложенные решения из выделенной на первом этапе категории решений.
Рациональный (лат.) – разумный, целесообразный. При решении рациональным способом числа подбираются так, чтобы с ними было удобно проводить математические операции, или само решение выполняется меньшим числом действий. Но слово "рациональный" не следует соотносить со словом "легкий", так как довольно часто бывает, что учащимся легче решить задачу большим числом действий.
Перед решением задачи, возможно, использовать следующие формы ее записи, если это необходимо ученикам:
краткую запись с использованием общепринятых условных
обозначений (вот аргумент в ее защиту: требует внимательного чтения текста задачи, "дисциплинирует" числа, позволяет установить взаимосвязь между величинами);
графическое моделирование задачи;
таблицу;
схематическое моделирование;
рисунок;
предметное моделирование.
Обучение решению задач с применением моделирования активизирует мыслительную деятельность учащихся, помогает им понять задачу, самостоятельно найти рациональный путь решения, установить подходящий способ проверки, определить условия, при которых задача имеет (или не имеет) решения. Работа с моделью позволяет ученикам яснее увидеть зависимость между данными и искомыми величинами и оценить задачу в целом, а учителю – продемонстрировать разные варианты решения и, сравнив их, обобщить теоретические знания.
Умение решать задачи – один из основных показателей уровня математического развития и глубины усвоения учебного материала.
Условие 1 задачи: Построили три одинаковых шестнадцатиэтажных дома, на каждом этаже по 20 квартир. В трёх домах 180 однокомнатных квартир, 270 двухкомнатных. Сколько в трёх домах трёхкомнатных квартир?
Рассмотрим поэтапно методику работы с данной задачей.
Этап I. Построение модели.
Как помочь ученику самостоятельно найти путь решения? Этому может способствовать создание модели, например в процессе беседы с учащимися.
20 кв.
20 кв.
20 кв.
Однокомн.
180 кв.
Двухкомн.
270 кв.
Трёхкомнатн.
?
Приведём перечень вопросов для беседы.
- О чём говорится в задаче?
- Сколько новых домов построено?
- Какие это дома? (Дома изображаются на доске в виде прямоугольников).
- Сколько этажей в каждом доме?
- Сколько квартир на каждом этаже? (На рисунке делаются соответствующие записи).
- Что еще известно?
- Какие квартиры есть в этих домах? (Множества квартир разного типа изображаются в виде квадратов, указываются типы квартир).
- Сколько в домах однокомнатных квартир?
- Где отметить это число?
- Сколько в домах двухкомнатных квартир?
- Где отметить это число? (Делаются записи в первых двух квадратах).
- Что надо найти? (Записывается «?» в третьем квадрате).
Построение модели позволяет выявить и зафиксировать характеристики задачи как целостного объекта. Таким образом, ученик видит задачу в целом.
Этап II. Разбор задачи.
Как лучше поступить дальше? Как провести разбор задачи? Даём возможность высказаться детям, выслушиваем их предложения. Дети, как правило, предлагают вести разбор «от данных к вопросу», сопровождая его рассуждениями вида «Знаяи зная, можно узнать». Выясняется, что для ответа на вопрос задачи сначала нужно определить общее число квартир в трёх домах. Сделать это можно тремя способами (дети их находят самостоятельно):
Зная количество квартир на этаже и количество этажей в доме, можно определить количество квартир в доме, а затем, зная, что дома одинаковые и что их три, определить количество квартир в трёх домах: (20*16)*3;
Зная количество этажей в доме и что таких домов три, можно определить количество этажей в трёх домах, а затем, зная, что на каждом этаже одинаковое число квартир, узнать количество квартир в трёх домах: (16*3)*20;
Зная количество квартир на каждом этаже и что дома одинаковые, можно узнать, сколько квартир на одном этаже во всех трёх домах, а затем, зная, что в каждом доме одинаковое число этажей, узнать, сколько всего квартир в трёх домах: (20*3)*16.
Каждый раз получается один и тот же результат. Почему? Здесь учителю следует спросить у учащихся, знание каких законов поможет это объяснить.
Далее необходимо выяснить, сколькими способами можно определить количество трёхкомнатных квартир в трёх домах, если известно общее число квартир, число однокомнатных и число двухкомнатных квартир. Оказывается, и в этом случае существуют три способа нахождения ответа. Отыскать их поможет построенная модель.
Обозначим общее число квартир в трёх домах буквой p. Чтобы ответь на вопрос задачи, можно:
определить число однокомнатных и двухкомнатных квартир вместе, а потом вычесть его из общего числа квартир: p-(180 + 270);
из общего числа квартир вычесть число однокомнатных квартир, а затем из ответа вычесть число двухкомнатных квартир: (p – 180 – 270);
из общего числа квартир вычесть число двухкомнатных квартир, а затем из ответа вычесть число однокомнатных квартир: (p – 270 – 180).
Здесь также полезно обсудить, почему получился один и тот же результат, и вспомнить о разных способах вычитания числа из суммы.
Этап III. Поиск числа способов решения задачи.
Комбинируя описанные способы вычисления общего числа квартир в трёх домах с возможными способами определения числа трёхкомнатных квартир в трёх домах, получим 9 способов решения (по четыре действия в каждом).
1 способ
20*16=320 (кв.)
320*3=960 (кв.)
180+270=450 (кв.)
960-450=510 (кв.)
2 способ
20*16=320 (кв.)
320*3=960 (кв.)
960-180=780 (кв.)
780-270=510 (кв.)
3 способ
20*16=320 (кв.)
320*3=960 (кв.)
960-270=690 (кв.)
690-180=510 (кв.)
4 способ
16*3=48 (эт.)
20*48=960 (кв.)
180+270=450 (кв.)
960-450=510 (кв.)
5 способ
16*3=48 (эт.)
20*49=960 (кв.)
960-180=780 (кв.)
780-270=510 (кв.)
6 способ
16*3=48 (эт.)
20*48=960 (кв.)
960-270=690 (кв.)
690-180=510 (кв.)
7 способ
20*3=60 (кв.)
60*16=960 (кв.)
960-270=690 (кв.)
690-180=510 (кв.)
8 способ
20*3=60 (кв.)
60*16=960 (кв.)
960-180=780 (кв.)
780-270=510 (кв.)
9 способ
20*3=60 (кв.)
60*16=960 (кв.)
960-270=690 (кв.)
690-180=510 (кв.)
Далее предлагаем учащимся записать решение задачи самостоятельно.
После этого, если дети не предложили другие варианты решения (помимо тех, которые были рассмотрены выше), учитель может спросить: - обязательно ли определять общее число квартир в трёх домах, что бы ответить на вопрос задачи?
Возможно, этого вопроса будет вполне достаточно, чтобы хотя бы один ученик догадался о существовании другого подхода к решению, а именно: сначала можно узнать, сколько трёхкомнатных квартир в каждом доме, а затем, сколько их в трёх домах.
Если наводящего вопроса окажется недостаточно, учителю стоит подробно остановиться на понятии «одинаковые дома». Что это означает? Не только то, что это дома с одинаковым числом квартир на каждом этаже, но и то, что в каждом доме одинаковое число и одно-, и двух-, и трёхкомнатных квартир. А выяснить это поможет модель, которая создается в ходе беседы с учащимися.
Домов – 3
Всего однокомн. – 180 кв.
Всего двухком. – 270 кв.
Всего трёхкомн. - ?
20 кв.
16 эт.
Рассматривая эту модель, получим ещё несколько способов решения задачи.
10 способ
20*16=320 (кв.)
180+270-450 (кв.)
450:3=150 (кв.)
320-150=170 (кв.)
170*3=510 (кв.)
11 способ
20*16=320 (кв.)
180:3=60 (кв.)
270:3=90 (кв.)
60+90=150 (кв.)
320-150=170 (кв.)
170*3=510 (кв.)
12 способ
20*16=320 (кв.)
180:3=60 (кв.)
270:3=90 (кв.)
320-60=260 (кв.)
260-90=170 (кв.)
170*3=510 (кв.)
13способ
20*16=320 (кв.)
180:3=60 (кв.)
270:3=90 (кв.)
320-90=230 (кв.)
230-60=170 (кв.)
170*3=510 (кв.)
Условие 2 задачи: Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 600 км, и через 4 ч встретились. Определи скорость каждого автомобиля, если один ехал быстрее другого на 12 км/ч.
Арифметические способы
1 способ:
1) 600:4 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150 – 12 = 138 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля.
3) 138:2 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
4) 69 + 12 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
2 способ:
1) 600 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150 – 12 = 138 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля.
3) 138:2 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
4) 150 – 69 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
3 способ:
1) 600:4 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150 + 12 = 162 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
3) 162:2 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
4) 81 – 12 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
4 способ:
1) 600:4 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150 + 12 = 162 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
3) 162:2 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
4) 150 – 81 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
5 способ:
1) 12 * 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 – 48 = 552 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля.
3) 552:2 = 276 (км) – проехал второй автомобиль.
4) 276 + 48 = 324 (км) – проехал первый автомобиль.
5) 324:4 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
6) 276:4 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
6 способ:
1) 12 * 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 + 48 = 648 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
3) 648:2 = 324 (км) – проехал первый автомобиль.
4) 324 – 48 = 276 (км) – проехал второй автомобиль.
5) 324:4 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
6) 276:4 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
7 способ:
1) 12 *4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 – 48 = 552 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля.
3) 552:4 = 138 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными.
4) 138:2 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
5) 69 + 12 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
8 способ:
1) 12 * 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 + 48 = 648 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
3) 648:4 = 162 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
4) 162:2 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
5) 81 – 12 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
9 способ:
1) 12 * 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 – 48 = 552 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля.
3) 552:2 = 276 (км) – проехал второй автомобиль.
4) 276:4 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
5) 69 + 12 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
10 способ:
1) 12 * 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 + 48 = 648 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
3) 648:2 = 324 (км) – проехал первый автомобиль.
4) 324:4 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
5) 81 – 12 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
11 способ:
1) 600:4 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150:2 = 75 (км/ч) – средняя скорость автомобилей (была бы скорость каждого автомобиля, если бы скорости были равными).
3) 12:2 = 6 (км/ч) – на столько больше скорость первого автомобиля, чем средняя скорость; на столько меньше скорость второго автомобиля, чем средняя скорость.
4) 75 + 6 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
5) 75 – 6 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
12 способ:
1) 4 + 4 = 8 (км/ч) – были в пути два автомобиля.
2) 600:8 = 75 (км/ч) – средняя скорость автомобилей (была бы скорость каждого автомобиля, если бы скорости были равными).
3) 12:2 = 6 (км/ч) – на столько больше скорость первого автомобиля, чем средняя скорость; на столько меньше скорость второго автомобиля, чем средняя скорость.
4) 75 + 6 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
5) 75 – 6 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля
Алгебраические способы
1 способ:
Пусть х (км/ч) – скорость второго автомобиля.
Тогда скорость первого автомобиля равна (х + 12) (км/ч).
Скорость сближения автомобилей – (х + х + 12) (км/ч).
Общий путь автомобилей до встречи – (х + х + 12) x 4 (км).
По условию задачи этот путь равен 600 км.
Получаем уравнение: (х + х + 12) * 4 = 600.
2 способ:
Пусть скорость второго автомобиля у (км/ч).
Тогда скорость первого автомобиля (у + 12) (км/ч).
Путь второго автомобиля до встречи равен у * 4 (км), а первого – (у + 12) * 4 (км).
Путь, пройденный двумя автомобилями вместе, – у * 4 + (у + 12) x*4 (км).
По условию задачи он равен 600 км.
Получаем уравнение: у * 4 + (у + 12) * 4 = 600.
3 способ:
Пусть скорость первого автомобиля к (км/ч.)
Тогда скорость второго автомобиля равна (к – 12) (км/ч).
Скорость сближения автомобилей – (к + к – 12) (км/ч).
Путь двух автомобилей до встречи равен (к + к – 12) *4 (км).
По условию задачи он равен 600 км.
Получаем уравнение – (к + к – 12) * 4 = 600.
4 способ:
Пусть скорость первого автомобиля в – (км/ч).
Тогда скорость второго автомобиля (в – 12) (км/ч).
Путь второго автомобиля до встречи равен в * 4 (км), а первого – (в – 12) * 4 (км).
Путь, пройденный двумя автомобилями вместе: в * 4 + (в – 12) * 4 (км).
По условию задачи он равен 600 км.
Получаем уравнение: в * 4 + (в – 12) * 4 = 600.
Ответ: 81 км/ч – скорость первого автомобиля, 69 км/ч – скорость второго автомобиля.
Дело в том, что главенствующий теперь способ решения текстовых задач с помощью уравнений возник на начальной стадии обучения не на пустом месте. Он вытеснил из процесса обучения различные арифметические способы решения задач, методика обучения решению которых была достаточно разработана. Разумеется, она не лишена недостатков. Ее ругали за архаичность, отрыв от жизни, т. е. за сохранение в обучении способов решения задач, не имеющих приложения на практике или в дальнейшем обучении, а также за другие действительно присущие ей недостатки, в частности, за обучение решению типовых задач по образцам. От недостатков традиционной методики избавились очень просто – убрали их из процесса обучения вместе с самой методикой, т. е. вылечили головную боль посредством отсечения головы.
Вместе с разнообразными арифметическими способами решения задач из практики школы ушла традиционная работа по обучению поиску решения задач (анализ и синтез), по развитию мышления и речи учащихся. Этот пробел учителя математики стали ощущать, например, на уроках геометрии, где происходит решение несколько иных текстовых задач.
Задача 3. Заготовленного сена хватило на 180 дней. Если бы расход сена уменьшился на 32 ц в день, то его хватило бы на 192 дня. Сколько центнеров сена было заготовлено на 1 день? Можно ли найти массу всего заготовленного сена?
Учащиеся обученные по традиционной методике, могли бы предложить (во всяком случае понять) такое решение:
1) 1 : 180 = 13 QUOTE 1415 (часть) сена заготовленного на 1 день;
2) 1 : 192 = 13 QUOTE 1415 (часть) сена расходовалась бы за 1 день;
3) 13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 (часть) сена приходится на 32 ц;
4) 32 : 13 QUOTE 1415 = 92 160 (ц) заготовленного сена всего;
5) 92 160 : 180 = 512 (ц) было заготовлено на 1 день.
Впрочем возможно и другое, арифметическое решение, которое придумать самим учащимся будет, видимо, сложнее. Запишем его с вопросами:
1) Сколько сена удалось бы сэкономить, если бы в день расходовали на 32 ц меньше?
180 *32 = 5760 (ц)
2) На сколько дней хватило бы сэкономленного сена?
192 – 180 = 12 (дней)
3) По сколько центнеров расходовали бы в день?
5760 : 12 = 480 (ц)
4) Сколько сена было заготовлено на каждый день?
480 + 32 = 512 (ц)
5) Сколько всего сена было заготовлено?
512 * 180 = 92 160 (ц)
Арифметическое решение которой приводит к значительным вычислениям или сопряжено с другими трудностями, чтобы подчеркнуть преимущество способа решения задач с помощью уравнения.
Кол – во сена (ц)
Расход сена ( ц в день)
Время ( дн.)
На деле
180 х
Х
180
При экономии
192(х-32)
Х-32
192
Ниже приведены задачи, которые решались на уроке двумя способами: составлением уравнения и с помощью координатного луча.
Задача 4. В трех корзинах 70 яблок. В первой в два раза больше, чем во второй, а в третьей в два раза больше, чем в первой. Сколько яблок в каждой корзине?
Решение. 1 способ. Пусть в II корзине х яблок, тогда в I корзине их будет 2х, а в третьей – 2*2х=4х. Таким образом, число яблок в трех корзинах равно (х+2х+4х). В то же время из условия задачи известно, что это число равно 70. Составляем уравнение и решаем его:
Х+ 2х+4х=70; 7х=70; х=10; 2*10=20; 4*10=40.
Ответ: 20, 10, 40 яблок.
2 способ. Изображаем число яблок в каждой корзине на трех координатных лучах, начала которых расположены на одной вертикали; единичны отрезки не указываются, но предполагаются, что на всех лучах они одинаковы (рис.1)
Рис.1
I корзина
II корзина
III корзина
При построении рисунка рассуждаем следующим образом: так как в I корзине яблок в 2 раза больше, чем во II, то точка на координатном луче, соответствующая числу яблок в I корзине, находится на расстоянии, вдвое больше от начала луча, чем точка, соответствующая числу яблок во II корзине. Аналогично точка, координата которой соответствует числу яблок в III корзине, расположена в 2 раза дальше от начала луча, чем точка, изображающая число яблок в I корзине.
1) Рассматривая рис.1 устанавливаем, что на количество яблок в трех корзинах (70 штук) приходится 1+2+2*2=7 частей;
2) 70:7 =10 яблок приходится на одну часть, что соответствует количеству яблок во II корзине;
3) 10*2=20 яблок в I корзине;
4) 20*2=40 яблок в III корзине;
Задача 5. Турист часть пути прошел пешком, часть проехал на велосипеде, остальной путь проехал на машине. Пешком турист преодолел путь, в четыре раза меньше, чем на велосипеде, а на машине на 300 км больше, чем пешком. Какой путь турист прошел пешком, если на машине он проехал на 60 км больше, чем на велосипеде?
Решение. 1 способ. Пусть х км – путь пешком, тогда 4х км – путь, проделанный на велосипеде, (х+300) км, или (4х+60) км – путь на машине.
Составляем уравнение и решаем его.
Х+300=4Х+60; 3Х=240; Х=80.
Ответ: 80 км.
2 способ. Изобразим схематически на трех координатных лучах расстояния, которые турист прошел пешком, проохал на велосипеде и на машине, и покажем, какова разница в километрах между ними.
0 Пешком
0 На велосипеде
0 + 60 км На машине
+ 300 км
1) 4-1=3 (части);
2) 300-60= 240 (км) – на три части;
3) 240:3= 80 (км) – путь пешком;
На следующем уроке предлагались для самостоятельного решения три аналогичные задачи.
Учащимся предлагалось выбрать, какие из задач они будут решать (решение всех трех задач не требовалось), а только способ решения.
В работе приняли участие два пятых класса. В таблице приведены результаты их работы (I способ – решение задачи составлением уравнения, II способ – арифметический с использованием луча).
Номер задачи
Решали (в %)
Решали (в %)
I способом
II способом
I способом
II способом
3
54
44
48
79
4
29
24
62
69
5
3
16
50
77
Предварительные результаты дают основание предполагать, что при решении указанных задач несколько проще и понятнее для учащихся оказался способ с использованием координатного луча для иллюстрации условия.
Если учесть, что задачи на составление уравнений решались учащимися в 5 - 6 классах достаточно часто, а с использованием координатного луча они познакомились только на этих уроках, то можно полагать, что ошибки, допускаемые при решении задач II способом, можно преодолеть с меньшей затратой сил.
Ознакомление учащихся с этим способом, как показал первый опыт, не потребует много времени, однако его применение поможет учителю в обучении учащихся решению задач.
Следует отметить, что возможно и разумное сочетание рассмотренных способов, например, сначала изобразить наглядно условие задачи с помощью координатных лучей для лучшего его понимания, а после этого ввести х и составить уравнение по условию задачи.
Использование координатного луча кроме непосредственной помощи в нахождении верного пути решения задачи формирует координатные представления учащихся. Это, несомненно, станет дополнительной основой при дальнейшем изучении координатного метода.
К методике решения задач с помощью уравнений.
Преимущество алгебраического метода решения перед арифметическим заключается в том, что при алгебраическом методе нужно лишь установить зависимость между неизвестной величиной и известными величинами и записать ее с помощью уравнения, алгоритм решения которого обычно не представляет трудности. При арифметическом же методе кроме установления такой зависимости приходится еще догадываться, как найти из нее неизвестную величину, что бывает порой очень трудно.
О геометрическом решении алгебраических задач.
Большинство алгебраических задач можно решить с помощью разных графиков, схем, диаграмм. Так, в курсе алгебры 7 - 8 классов большое внимание уделяется графическому решению уравнений, неравенств и их систем. Но нигде в этих классах текстовые задачи не решались графически. Решение алгебраических задач геометрическими методами было рассмотрено в книге А. И. Островского и Б. А. Кордемского, «Геометрия помогает арифметике» (М.: Физматгиз, 1960).
Очень многие текстовые задачи на составление уравнений (или систем уравнений), имеющиеся в ныне действующих пособиях, можно решать графически. К ним относятся задачи на движение и на совместную работу.
Кратко о существе метода. С помощью диаграммы или графика можно условно изобразить связь между рассматриваемыми в задаче величинами. При этом чертеж можно выполнить в виде наброска «от руки». Но решение задачи основывается на точных геометрических соотношениях (отсюда и название метода – геометрический)
Учителю математики, который не просто решает с учениками задачи, а учит решать, желательно владеть этим методом, видеть, в каких случаях его применение приводит к более рациональному решению. Всякий раз, как задача допускает изящный геометрический подход, желательно обращать на него внимание учащихся. Сравнивать его с аналитическим.
Преимущество геометрического решения в его наглядности, так как чертеж помогает глубже понять условие задачи. Поэтому желательно ознакомить школьников с графическими решениями текстовых задач, применяя тем самым геометрические методы в алгебре.
Обратимся к конкретным примерам.
Задача 6. Два трактора могут вспахать зябь на 18 ч быстрее, чем один первый, и на 32 ч быстрее, чем один второй трактор. За сколько часов может вспахать зябь каждый трактор, работая один?
18
y M L S
V I
N II
K
0 t P 32 R t
Геометрическое решение. На оси абсцисс откладываем время работы тракторов в часах (см. рис. 1). Пусть оба трактора, работая вместе, вспашут зябь за t часов (/OP/ = t). Тогда одному первому для этого понадобится (t+18) ч., а одному второму – (t+32) ч., /OR/ = t+32. Положение точки V на оси ординат соответствует объему работы, которою необходимо выполнить. Поскольку количество вспаханной земли («объем работы») прямо пропорционально затраченному на эту работу времени, то графики работы тракторов представляют собой отрезки. Тогда отрезок OL -график работы первого, отрезок OS – график работы второго трактора, а отрезок OM – график работы двух тракторов вместе.
Рассмотрим две пары подобных треугольников:
·OVL13 QUOTE 1415
·NML, тогда
13 QUOTE 1415 =13 QUOTE 1415;
·ORS13 QUOTE 1415
·OPK, тогда
13 QUOTE 1415 =13 QUOTE 1415.
Покажем, что /MN/ = /PK/. Действительно, за t ч первый трактор выполнит часть работы, соответствующая /NP/, тогда на долю второго трактора останется часть работы, соответствующая /MN/. Но за t ч второй трактор выполнит часть работы, соответствующую /PK/. Поэтому /MN/ = /PK/. Учитывая это равенство и то, что /SR/ = /VO/, из пропорций (1) и (2) получим соотношение:
13 QUOTE 1415 =13 QUOTE 1415,
от которого легко перейти к уравнению
13 QUOTE 1415 =13 QUOTE 1415,
положительный корень которого t=24 (ч). Таким образом, первый трактор вспашет зябь за 24+18=42 (ч), а второй – за 24+32=56 (ч).
Для развития логической деятельности учащихся, особенно в 7 – х классах, представляется целесообразным показать, что та или иная задача может быть решена несколькими различными способами; при этом один вариант решения обычный, а другой – специфичный, основанный на той или иной особенности данного условия, - он изящнее, но требует сообразительности и т.д. В качестве примера приведём четыре варианта решения одной задачи.
Условие задачи 7: Чтобы доставить письмо за 2 ч 40 мин из А в В, расстояние между которыми 70,5 км, почтальон ехал на велосипеде со скоростью 12,75 км/ч, а затем на мотоцикле со скоростью 67,5 км/ч. Сколько времени ехал почтальон на велосипеде и сколько на мотоцикле?
Способ I (арифметический).
12 3/4*2 2/3=34 (км) – проехал бы почтальон, если бы все 2 ч 40 мин ехал на велосипеде.
70,5 – 34 = 36, 5 (км) – расстояние, которое осталось бы проехать на мотоцикле.
67,5 – 12,75 = 54,75 (км/ч) – разность скоростей мотоцикла и велосипеда.
36,5:54,75 = 2/3 (ч) – он ехал на мотоцикле.
2 2/3 – 2/3 = 2 (ч) – ехал на велосипеде.
Ответ: на велосипеде почтальон проехал 2 часа, на мотоцикле – 40 минут.
Способ II (графический).
На велосипеде: s=12,75t.
На мотоцикле: s=67,5t – 109,5.
Составление этого уравнения – отдельная задача.
S=67,5t+b, учитывая, что график проходит через точку (2 2/3; 70,5), находим b. Точка пересечения графиков находится решением системы уравнений: t = 2, s = 25,5 – точка Е.
АВ=70,5 км. АN=2 2/3 ч
Способ III (вычислительный).
Ot – ось времени, Ov – ось скорости, 12,75 – скорость велосипедиста, 67,5 – скорость мотоциклиста; t - время, затраченное почтальоном на движение на велосипеде.
Путь, пройденный почтальоном, можно представить в виде суммы площадей прямоугольников S1 и S2 или площадью прямоугольника со стороной 67,5 и без площади прямоугольника S3, то есть
S1 + S2 = S = 70,5 (км) или S = 67,5*2 2/3 – S3
S3 = (67,5 – 12,75) * t
Тогда 67,5*2 2/3 – (67,5 – 12,75)*t = 70,5
180 – 54,75t = 70,5
t = 2 – время движения на велосипеде.
Способ IV (алгебраический).
Условие задачи
Уравнение
Время движения на велосипеде
t
Время движения на мотоцикле, если всего затрачено 2 ч 40 мин
2 2/3 – t
Путь, пройденный на велосипеде со скоростью 12,75 км/ч
12,75 * t
Путь, пройденный на мотоцикле со скоростью 67,5 км/ч
67,5 * (2 2/3 – t)
Так как весь путь 70,5 км, имеем уравнение
12,75t + 67,5(2 2/3 – t) = 70,5
12,75t + 180 – 67,5t = 70,5
- 54,75t = - 109,5
t = 2 – время движения на велосипеде.
«Учитель, который хочет принести пользу всем своим учащимся и тем, которые будут и тем, которые не будут пользоваться математикой после школы, должен обучать решению задач так, чтобы обучение на одну треть было математикой, а две трети здравым смыслом»
Д. Пойа
Урок «20 задач»
Вот уже несколько лет я провожу уроки «Двадцати задач». Уроки, на которых знания учащихся становятся глубокими, прочными, приводятся в систему, то есть на этих уроках создаётся база для развития познавательной активности математического творчества. Это уроки симулирующего контроля и диагностики, на котором созданы условия для работы каждого ученика, где есть возможность вовремя помочь тому, кому трудно, увидеть того, кому пора создать более высокие интеллектуальные трудности. Это урок, на котором идет развитие учеников с различными подструктурами мышления. Необычная форма урока не утомляет, а вызывает большое желание работать.
После звонка в течение 3 – 5минут учащиеся повторяют теорию. Затем переходим к решению задачи № 1. Если большинство учащихся поднимают руки, то есть знают, как её решать, мы сразу переходим к задаче № 2. Если она вызывает затруднение у большинства учащихся, то решаем её вместе и так далее. Когда решена последняя задача, спрашиваю: «Кто знает решения всех задач?». Находится 1 - 5 человек. Они являются помощниками. Те, учащиеся, у которых вызывает затруднение одна задача, задают вопросы любому из помощников. После снятия затруднений число помощников увеличивается и т.д. Если помощь консультантов не нужна, то учащиеся получают индивидуальные задания.
Урок «20 задач» - это:
Урок, на котором нет отсутствия мысли, так как каждый ученик 15 – 20 минут говорит сам.
Консультация, т.к. есть возможность побывать в роли учителя, помочь однокласснику.
Урок, который помогает не допускать пробелов в знаниях учащихся.
Урок, который не допускает забывание ранее изученного материала.
Урок, который помогает систематизировать материал.
Урок, на котором все учащиеся чувствуют себя уверенно и свободно.
Урок, который развивает активность, самостоятельность, познавательный интерес.
Урок, на котором осуществляется пропедевтика.
Большой зачет.
Маленький экзамен.
Праздник.
Один из самых результативных уроков.
«Плюсы» урока «20 задач»:
Учащиеся сознательно приходят к необходимости знания теории.
Учащиеся учатся рассуждать.
Учащиеся учатся говорить.
Учащиеся очень увлекаются.
Нотации читать некогда: каждая секунда на учёте.
Главное в работе:
Развиваю познавательный интерес учащихся.
Управляю процессом.
Создаю хороший микроклимат, эмоциональный настрой.
Одобряю учеников за любой вопрос к учителю, стараюсь доказать всему классу, почему именно этот вопрос важен.
Замечаю рост каждого ученика.
Стремлюсь к тому, чтобы учащиеся, как в классе, так и дома как можно больше работали самостоятельно.
3.3 Методика исследования познавательных интересов школьников
При исследовании познавательных интересов школьников мною были использованы следующие методы:
анкетирование;
интервьюирование школьников, учителей, родителей;
лабораторный эксперимент;
наблюдение, педагогический эксперимент.
3.3.1 Анкетирование
Анкетирование позволило мне получить «массовый» материал, на основе которого были установлены различные связи между познавательными интересами школьников и их отношением к учению, школе, учителю и т.д.Одни анкеты требовали выбора одного или нескольких ответов из предлагаемых, например, в перечне учебных предметов предлагалось подчеркнуть те, которые вызывают интерес. Другие анкеты требовали распространенного ответа: они были направлены на выяснение мотивировок самих учащихся («Что именно интересует тебя в данном предмете?», «Какие уроки за прошедшее полугодие ты считаешь самыми интересными?»).
При составлении анкет и проведении анкетного опроса сочетала прямые вопросы с косвенными, что позволило мне проверить точность ответов. Анкеты проводила с одними, и теми же учениками в разные сроки, через определенные промежутки времени: несколько месяцев, полгода, год. Они позволили выявить интересы учащихся: по содержанию, глубине, по устойчивости, по степени дифференцированности интереса, осознанности и т.д.
Но недостатком анкетирования явилось то, что оно не помогло зафиксировать процесса формирования интересов, оно лишь зафиксировало факт наличия или отсутствия этих интересов.
3.3.2 Интервьюирование школьников, учителей, родителей
Чтобы мое педагогическое воздействие было более точным и надежным, необходимо было узнать общевозрастные и специфические, связанные с индивидуальным образом жизни, особенности, а так же уровень развития интересов каждого школьника. В этом помогали интервью с учителями, классными руководителями, родителями и сами учениками.
Интервью с учителями различных предметов позволили установить то общее и то особенное, что характеризует познавательные интересы классов, в которых я работаю. Иногда интересы одного и того же школьника по-разному характеризовались различными учителями. Мои предположения, что у данного школьника доминирует познавательный интерес в определенной области или же учитель поверхностно знаком с интересами этого ученика, проверялись с помощью других методов.
3.3.3 Лабораторный эксперимент
Для диагностики познавательных интересов учащихся использовала также методику лабораторного эксперимента. Эксперимент состоял в следующем. Для каждого класса по каждому учебному предмету учителями были составлены задачи различного характера: одни из них требовали простого воспроизведения знаний, полученных на уроках, другие – установления причинной зависимости, выделения закономерности, третьи требовали практического использования знаний, четвертые задания – творческого подхода к их решению. По каждому из указанных разделов давались 3-4 задачи. Кроме того, ставился ряд вопросов (прямых или косвенных), чтобы выявить отношение учащихся к учебному предмету, а также характер использования свободного времени. Задачи и вопросы вкладывались в конверты с надписью учебного предмета. Ученику предлагалось выбрать любой конверт и ответить на те вопросы, на которые он захочет ответить. Другие конверты разрешалось брать только в том случае, когда ответы на вопросы с точки зрения ученика будут исчерпаны.
Диагностическими показателями познавательного интереса являлись:
характер выбора конверта (случайный или вполне закономерный направленный);
содержание выбранных подростком познавательных заданий (чему он оказывает предпочтение: практическим, творческим заданиям или же заданиям репродуктивного характера);
характер выполнения задания (элементарные и стереотипные действия или оригинальный подход, творческое решение);
эмоциональное выражение деятельности школьника в процессе эксперимента (ученик действует увлеченно, с подъемом или же безразличен к удачам и неудачам).
соотношение между предметным содержанием выбранного конверта и содержанием деятельности, к которой ученик проявляет склонности в свободное от школьных занятий время.
Эксперимент позволил выявить группы учащихся с различным характером познавательных интересов (с не сложившимися интересами; с широкими интересами; с интересами стержневыми и т.д.), установить особенности познавательных интересов, характерные для учащихся одних и тех же возрастных групп.
Свободный выбор задач явился своеобразным показателем познавательной активности учеников, связанной с познавательными интересами (предпочтение творческих задач репродуктивным, выбор задач поискового характера, выбор зданий по определенному предмету и проч.).
3.3.4 Наблюдение. Показатели познавательного интереса
Наблюдение дало возможность собрать факты, проследить сам процесс становления и развития интересов у отдельных учащихся и в классах, установить силу и слабость различных приемов побуждения познавательных действий учеников с моей стороны.
Ниже приведены показатели, по которым обнаруживался познавательный интерес у учащихся.
1. Проявления, характеризующие познавательную активность учащихся:
вопросы, с которыми учащиеся обращались к учителю, взрослым;
стремление учеников по собственному желанию, без указаний и
требований, принять участие в рассмотрении и обсуждении вопросов, в дополнении и исправлении ответов товарищей;
сосредоточенность произвольного внимания как свидетельство
сосредоточенности мыслей на предмете интереса;
характер процесса деятельности:
а) как принимается задание – с готовностью к действию или безразличием;
б) как выполняется познавательная задача – самостоятельно или по образцу;
в) внимателен ученик или рассеян;
г) каково отношение ученика к процессу своей деятельности
· увлечен или равнодушен;
д) каков результат выполнения познавательной задачи (глубина, основательность, оригинальность или узость и примитивность в подходе).
2. Эмоциональные проявления:
в речевых реакциях – в восклицаниях (типа «Вот здорово!»),
обмене мнениями с соседом;
в особом эмоциональном последствии, в наступившей тишине,
свидетельствующем о взволнованности, поглощенности только что высказанными мыслями, суждениями о полноте чувств, которые испытывают учащиеся;
в адекватности реакций учащихся в ответ на происходящее в
классе (смех в ответ на юмор, мимика гнева, радости, разочарования, мыслительного напряжения, соответствующие содержанию ситуации).
3. Показатели, раскрывающие картину устойчивости и силы познавательного интереса:
избирательная направленность круга чтения учащихся;
их участие по свободному выбору в различных формах и видах
внеклассной работы (КВН, предметных кружках, вечерах, расширяющих кругозор);
выполнение индивидуальных заданий;
характер использования свободного времени.
Наблюдение как метод педагогического исследования познавательных интересов сопутствовал всему процессу их изучения, но его нельзя считать определяющим методом исследования, поэтому наблюдение закономерно переросло в эксперимент.
3.3.5 Педагогический эксперимент
Задачей педагогического эксперимента, который был мною проведен, было изучение влияния вопросов учащихся на формирование познавательных интересов. Эксперимент протекал в естественной обстановке: в ходе урока, в процессе организации различных видов внеурочной деятельности, в условиях привычного общения учащихся между собою и взрослыми. Поэтому весь ход эксперимента испытуемыми воспринимался как привычная ситуация.
Как и в любом эксперименте, было целенаправленное изменение действительности в том смысле, что из общего комплекса условий, средств, воздействий, сопровождающих протекание деятельности, вычленялась экспериментальная задача, подлежащая изучению. С этой целью в педагогическом эксперименте происходило специальное конструирование необходимых ситуаций, условий, при которых данное явление или данные явления обнаруживалось наиболее отчетливо.
Таковы основные методы исследования познавательных интересов школьников, которые мною были использованы для изучения процесса формирования и развития познавательных интересов учащихся.
3.4 Результаты апробации комплекса методических приёмов
С целью подтверждения гипотезы исследования были проведены наблюдения за учащимися, анкетирование, тестирование. Изучался уровень развития познавательного интереса, преобладающее настроение на уроках математики у учащихся, а также уровень интеллектуальной лабильности.
С целью изучения настроения на уроках математики, учащиеся должны были оценить свое эмоциональное состояние по окончании урока, используя цветные таблички: красный – хорошее настроение, желтый – пониженное, зеленый – плохое настроение. Результаты исследование представлены в таблицах:
Из гистограммы следует, что в начале исследования (1) у учащихся преобладает пониженное и плохое настроение, в конце исследования (2) подавляющее большинство учащихся оценивают свое эмоциональное состояние на уроках математики как хорошее.
Следующим шагом стало анкетирование учащихся. Целью анкетирования было изучение интереса учащихся к урокам математики. Определяющими стали следующие вопросы:
Нравятся ли тебе уроки математики?
Что самое интересное на уроках математики?
Сколько раз в неделю должны быть уроки математики?
Результаты были получены следующие:
Таким образом, из гистограммы следует, что если в начале (1) исследования подавляющему большинству учащихся не нравились уроки математики, то в конце исследования (2), после серии уроков, на которых были использованы активные методы, подавляющее большинство учащихся на вопрос «Нравятся ли уроки математики?» дали положительный ответ.
На вопрос «Что самое интересное на уроках?» ответы распределились следующим образом:
Когда учитель предлагает различные игры, головоломки - 48, 6%
Решение задач разными способами – 39,5 %
Учащиеся в начале исследования предлагали проводить уроки математики как можно реже, хотя понимали необходимость получаемых знаний. В конце исследования, можно отметить динамику: предлагалось проводить уроки с решением задач разными способами математики 4 раза в неделю.
Познавательный интерес влияет на интеллектуальную лабильность учащихся. Под лабильностью интеллектуальных процессов понимается скорость перестройки этих процессов при последовательном переходе от решения одной задачи к другой. Показателем лабильности часто выступает время, затраченное на задачу, требующую нового способа решения. В качестве критерия лабильности выдвигается такой показатель, как целесообразное варьирование способов действий.
13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415
Вместе с понятием лабильности встречаются понятия гибкость и подвижность, которые также определяются, как способность человека широко использовать имеющийся опыт и знания, оперативно исследовать известные предметы в новых связях и отношениях, преодолевать шаблонность мышления. В определенном смысле, мышление имеет тенденцию к стабильности, некоторой трафаретности, что мешает решению новых или творческих задач. Ученые считают, что для того, чтобы среда развивала интеллектуальную лабильность, она должна быть сама, в определенном смысле, лабильной. Использование решение задач разными способами позволяют это сделать.
Исследование лабильности, то есть способности переключения внимания, умения быстро переходить с решения одних задач на выполнение других, не допуская при этом ошибок. Методику рекомендуется использовать с целью прогноза успешности в обучении, освоении нового вида деятельности и оценки качества трудовой практики.
Интерес учащихся можно измерять уровнем их активности
13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415
Интеллектуальная активность – чисто личностное свойство, единство познавательных и мотивационных факторов. Мерой её служит интеллектуальная инициатива.
Существует три качественных уровня интеллектуальной активности: стимульно-репродуктивный или пассивный; эвристический; креативный.
Динамика развития познавательной активности учащихся.
Уровни интеллектуальной активности
5 кл
6 кл
7 кл
8 кл
Стимульно-репродуктивный или пассивный
75,36
63,41
52,08
43,82
Эвристический
24,64
36,59
44,22
52,33
Креативный
3,7
3,85
Итак, в заключении необходимо подвести итог проведенного исследования:
Проблема активизации познавательной деятельности учащихся находится в центре научного поиска. Педагогами, психологами проведены различные исследования аспектов активизации познавательной деятельности учащихся. Одним из средств активизации познавательной деятельности учащихся является решение текстовых задач.
Тестовые задачи могут успешно использоваться учителями как средство активизации познавательной деятельности учащихся
Исследования подтвердили, что решение текстовых задач способствует активизации познавательной деятельности учащихся, у учащихся в ходе решения текстовых задач формируются и развиваются учебные и интеллектуальные умения.
Зафиксировано повышение уровня усвоения знаний по первому (репродуктивному) уровню:
В контрольном классе – на 1%
В экспериментальном – на 3%
Повышение уровня усвоения по второму уровню
В контрольном классе – на 1%
В экспериментальном – на 5%
Повышение уровня усвоения по третьему уровню
В контрольном классе – на 2%
В экспериментальном – на 4%
Уже к концу 5 класса дети экспериментального класса заметно выделялись на фоне основных по уровню сформированности учебной деятельности и своими личностными качествами, такими, как стремление учиться лучше, интерес к творческим заданиям. Они проявляли при этом волю и упорство в достижении результата. Это подтверждает эффективность предлагаемого средства активизации образовательного процесса как «Развитие познавательного интереса учащихся на уроках математики через решение текстовых задач разными способами». Развивая тему проекта в последующих классах 6, 7, 8, отмечаю, что увеличилось школьников уверенных в успешности своей познавательной деятельности.
Уровни владения учебно-познавательной деятельностью в начале эксперимента (5кл.) и на завершающем этапе (8кл.)
Уровень активности деятельности
Экспериментальный класс
Контрольный класс
Количество учащихся
%
Количество учащихся
%
Репродуктивный
14
6
51,8
22,2
13
11
48,1
40,7
Эвристический
8
12
29,6
44,4
10
11
37
40,7
Творческий
5
9
18,6
33,4
4
5
14,9
18,6
Основная часть учащихся, получивших в пятом классе необходимую стартовую базу развития мыслительной деятельности, овладевших аналитико-синтетическими операциями, сравнениям, обобщениям, гибкостью умственных действий – активно включились в учебную деятельность в средних классах.
Наличие интереса является необходимым условием процесса обучения, главным условием формирования познавательной активности учащихся. Чем выше интерес, тем активнее идет обучение, хуже его результаты. Отсутствие интереса приводит к низкому качеству обучения, быстрому забыванию и даже к полной потере приобретенных знаний, умений, навыков. Поэтому так важно знать уровень интереса учеников к обучению, контролировать и следить за его изменением
Считается, что важнейшими показателями деятельности учащихся являются:
Обученность школьников (мотивация и уровни усвоения знаний).
Уровень сформированности учебных знаний и навыков.
Уровень владения творческой деятельностью.
Эталоном мотивации являются интеллектуально-побуждающие мотивы, основанные на получении удовлетворения от процесса познания:
Интерес к знаниям, любознательность, стремление расширить свой культурный уровень, овладеть определенными учениями и навыками, увлеченность процессом решения учебно-познавательных задач.
Интерес в свою очередь является достаточно сильным мотивационным источником для самостоятельных поисков новых знаний и развития нового видения на свою деятельность.
Входной диагностический тест по решению задач показал, что с одной стороны есть интерес к теме, с другой – знаний не достает.
Данная методика мотивов учебной деятельности на уроках математики позволили сделать вывод о доминировании долга над интересом, хотя часть школьников позитивно отнеслась к предмету и имела устойчивые положительные эмоции на уроках.
Тест обученности – это совокупность заданий, сориентированных на определении аспектов содержания обучения. Анализ результатов позволил прийти к выводу о том, что менее чем одна третья учащихся обладает высоким уровнем усвоения.
13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415
13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415
13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415
Основные результаты проведенного теста видны из диаграммы.
(Развитие представлений о математическом моделировании как цели обучения решению текстовых задач)
13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415
Из диаграммы видно, что все возможные к заданиям 1 и 2 составил менее 30% учащихся каждого класса. Это говорит о том, что при обучении отдавалось предпочтение составить одно уравнение к одной задаче.
Задание 3 часть школьников решила арифметически. Но большинство выбрало способ составления уравнения, воспользовавшись идеей моделирования ситуации, описанной словесно.
В задании 4 испытуемые целенаправленно поставлены перед необходимостью моделировать конкретные предложения, причем предложение 4А по структуре взаимосвязей аналогично заданию 3. Результаты 3 и 4 заданий позволят выявить учащихся, которые умеют установить между величинами зависимость вида «изменения в процентах» га естественном языке, а затем перевести ее на математический язык. Таких учащихся совсем немного, не более 36-52% в восьмых-девятых классах и совсем мало в седьмых.
Задание 5 сформулировано нестандартно как внешне, так и по существу. Во-первых, в нем отсутствует явно выраженное требование найти неизвестную величину. Во-вторых, задание ориентирует учащихся на проведение самостоятельного исследования по получению новых свойств искомого числа. В-третьих, способ получения этих свойств напрямую связан с идеей применения уравнений к решению текстовых задач.
Наряду с предыдущими методиками, проведен мониторинг учебных возможностей или мониторинг развития учащихся. Для повышения эффективности развивающего обучения есть несколько путей. Один из них ориентация на развитие и активизацию познавательной сферы школьников. Развитость отдельных компонентов познавательных способностей способствуют повышению качества знаний школьников.
В качестве характеристик, подлежащих изучению, выделены следующие интеллектуальные способности: внимание, память, наблюдательность, анализ, синтез, сравнение, обобщение, выделение существенного, самостоятельность мышления, гибкость, критичность мышления, логичность речи, темп мышления.
При замере интеллектуальных особенностей используются тестовые методики. Тестируя по ним каждого ребенка, получаешь весьма достоверную информацию об уровне интеллектуального развития учащихся. В тестировании были задействованы учащиеся двух пятых классов. Всего 54 ученика.
5а – экспериментальный
5б – контрольный
Количество учащихся по уровням
Высокий
Средний
Ниже среднего
Низкий
Интеллектуальные особенности
1.Внимание
3
24
20
7
2.Память
5
22
18
9
3.Наблюдательность
2
25
24
3
4.Анализ
14
15
20
5
5.Синтез
14
15
20
5
6.Сравнение
10
14
22
8
7.Обобщение
17
13
20
4
8.Выделение существенного
8
23
19
4
9.Самостоятельность мышления
6
24
24
-
10.Гибкость мышления
7
21
26
-
11.Критичность мышления
8
20
23
12.Логичность речи
9
25
20
-
13.Темп мышления
8
20
23
3
Из таблицы следует, что на начало эксперимента большинство учащихся 5 классов: обладают средним и ниже среднего уровнями развития вышеперечисленных интеллектуальных особенностей.
Исходя из гипотезы, предполагаются следующие педагогические результаты:
в процессе поиска решения текстовых задач создать условия для развития познавательной активности учащихся. Моделирование решения задач положительно отразится на развитии познавательного интереса;
положительные тенденции в развивающей функции учебного процесса, предусматривающей формирования мыслительно-познавательной деятельности.
Все вышесказанное позволяет сделать вывод: гипотеза нашла свое подтверждение. Использование на занятиях решение задач разными способами, осуществляемых в разных формах учебной работы, сочетание игровых и неигровых методов создает благоприятные условия для развития познавательного интереса.
4. Библиографический список
Атаханов Р. Математическое мышление и методика определения уровня его развития – Москва – Рига, 2000.
Бабанский Ю.К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе. – М.: Просвещение, 1985. – 208 с.
Балл Г. А. Теория учебных задач. М., 1990.
Виленкин Н.Я., Сатволдиев А. Метод сквозных задач в школьном курсе математики. Повышение эффективности обучения математики в школе. Книга для учителя: из опыта работы / Составители Г. Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1989. – 240 с.
Виноградова Л. В. О задачах на составление уравнений. // Математика в школе. – 1994. - №5
Гальперин П.Я., Талызина Н. Ф. Современная теория поэтапного формирования умственных действий. М., 1979.
Глухова С.Г. Качество образования: Управление и мониторинг: Учебное пособие – Оренбург: Изд – во ОГПУ, 2003.
Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики – М.: Просвещение, 1990.
Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику? – М.: Просвещение, 2000.
Давыдова В.В. Теория развивающего обучения. – М.: Педагогика, 1996.
Епишева О. Б., Крупич В. И. Учить школьников учиться математике. – М.: Просвещение, 1990.
Зайцев В. Диагностико – технологическое управление процессом орбучения. // Народное образование. – 2000. – №7. – С. 70 – 77.
Карпов Ю. В., Талызина Н. Ф. Критерии интеллектуального развития детей. // Вопросы психологии. – 1985. - №2.
Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. Математические задачи как средство обучения и развитие учащихся. – М.: Просвещение, 1977.
Колягин Ю.М., Оганесян В. А. Учись решать задачи. – М.: Просвещение, 1980.
Коротина В. А. Ривкус Н. В. Текстовые задачи как фактор повышения математической культуры учащихся. – г. Оренбург: издательство ООИПКРО, 2001.
Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. – М.: Просвещение, 1968.
Обучение решению задач как средство развития учащихся: из опыта работы. Методическое пособие для учителя. – Киров, ИИУ. – 1999. – С. 3 – 18.
Окунев А.А. Спасибо за урок дети! – М.: Просвещение, 1988.
Пойа Д. Как решить задачу. – М., 1961.
Поташник М. М. Управление качеством образования. //Народное образование – 1999.- №7 – 8.
Перевощиков Е.Н. Обучение решению текстовых задач: цели и диагностика. //Математика в школе. – 1998. - №2.
Развитие творческой активности школьников/Под ред. А. М Матюшкина. – М.: Педагогика, 1991.
Скаткина М.Н. Обучение решению простых и составных арифметических задач. – М., 1963.
Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. М., 2004.
Тоом А.Л. Между детством и математикой: Текстовые задачи в математическом образовании/ Математика, 2005, №14.
Фридман Л.М., Кулагин Н. Ю. Психологический справочник учителя. М., 1991.
Фридман Л.М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи. – М.: Просвещение, 2002.
Цукарь А. Я. Схематизация и моделирование при решении текстовых задач. // Математика в школе. – 1998. - №5.
Шевкина А. В. Текстовые задачи: Задания для учащихся 7-11 классов.
М., Просвещение, 1997.
Шевкина А. В. О задачах на «работу» и не только о них.
// Математика в школе. – 2009. - №6.
Шевкина А. В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 88 с.
Шевкина А. В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 5-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 80 с.
Щукина Г.И. Педагогические проблемы формирования познавательных интересов учащихся. М., 1984.
Эрдниев Б.П. Развитие творческого мышления в математическом образовании. – Элиста, 1990.
Математика – 5 класс/ под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.. М., Просвещение, 2000.
Математика – 6 класс/ под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.. М., Просвещение, 2000.
Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика – 5 класс. М, Мнемозина, 2003.
Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика – 6 класс. М, Мнемозина, 2003.
Математика – 5 класс/ под ред. Виленкина Н.Я., Жохова В.И., М., Мнемозина, 2006.
Математика – 6 класс/ под ред. Виленкина Н.Я., Жохова В.И., М., Мнемозина, 2006.
Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика – 5 класс. «Баллас», «С – инфо».
Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика – 5 класс. «Баллас», «С – инфо».
13PAGE 15
13PAGE 14215
13PAGE 15
13PAGE 14315
і і і Root Entry