Занятие элективного курса по математике для учащихся 11 класса или урок в рамках изучения темы в 11 классе Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Одним из основных целей математического образования является формирование у учащихся умения решать задачи, развитие логики и интуиции. Учебное время, отводимое на изучение математики, можно условно разделить на две части: затрачиваемое на изучение теории и отводимое на применение теории, т.е. на решение задач. И времени на решение задач не хватает. Поэтому учитель вынужден ограничиваться решением одно – двухшаговых задач и на базе решения таких задач не может быть и речи о развитии мышления.
К этому добавляется дефицит времени, при котором не до поиска решения нестандартных задач.
Решению этой проблемы помогает блочно-модульный метод изучения учебного материала.

Данный урок можно проводить на занятии элективного курса по математике для учащихся 11 класса или в рамках изучения темы в рамках темы в 11 классе «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»
по теме «Метод мажорант»
Продолжительность 2 часа
Урок практикум
ЦЕЛЬ: знакомство с одним из нестандартных методов решения уравнений и неравенств – методом, основанным на свойстве ограниченности функций.
ОБРУДОВАНИЕ: интерактивная доска, теория на раздаточных материалах.
Б6








М1
М2
М3
М4
М5
М6

М6 – нестандартные методы решения уравнений и неравенств








1. Информационный цикл
2. Практический цикл (Самопогружение)
3. Практический цикл (отработка навыков и проверка знаний


I. Информационный цикл.
После повторения и проверки опорных знаний перехожу к изложению новой темы в виде лекции. Так как происходит укрупнение дидактических единиц, то желательно применение опорных конспектов, таблиц, наглядных средств.
II. Практический цикл (самопогружение).
Ставится цель, выделяются опорные задачи, планируется деятельность учителя и ученика. Учащийся работает с текстом, отвечая на контрольные вопросы. На данном уроке идет отработка навыков и умений.
III цикл желательно проведение самостоятельной работы обучающего характера.
Урок -практикум-самопогружение

Теория. (раздаточный материал
Мажорантой данной функции f(x) на множестве D называется такое число M, что либо f(x)13 EMBED Equation.3 1415 M для всех 13 EMBED Equation.3 1415, либо f(x)13 EMBED Equation.3 1415M для всех 13 EMBED Equation.3 1415.
Для удобства последующего изложения введём вспомогательные понятия ограниченности функции сверху и снизу, которые будут часто использоваться в дальнейшем.
Пусть функция f(x) определена на множестве D. Будем говорить, что она ограничена на этом множестве числом M сверху, если для любого числа х из множества D выполняется неравенство f(x)13 EMBED Equation.3 1415 M.
Аналогично будем говорить, что функция f(x) ограничена на множестве D числом т снизу, если для любого числа х из множества D выполняется неравенство f(x)13 EMBED Equation.3 1415 т.
Мы знаем много мажорант для известных функций. Например, любое число, большее или равное 2 является мажорантой для функций 13 EMBED Equation.3 1415на любом множестве.
Основная идея метода мажорант может быть сформулирована в виде следующих теорем:
Теорема №1.

Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена на этом множестве тем же числом А, но снизу.
Тогда уравнение f(x) = g(x) равносильно системе: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Теорема №2.

Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = А+В равносильно системе уравнений:13 EMBED Equation.3 1415

Теорема №3.

Пусть f(x) и g(x) – некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)13 EMBED Equation.3 1415= А13 EMBED Equation.3 1415 равносильно системе уравнений (при условии, что А13 EMBED Equation.3 1415и В13 EMBED Equation.3 1415):13 EMBED Equation.3 1415
В этом утверждении особенно важно условие неотрицательности функций f(x) и g(x), а также условие положительности А и В.
Как искать такое число M? Это можно сделать с помощью производной(найти наибольшее и наименьшее значения функций f(x) и g(x)). Но чаще всего производная не понадобится, если хорошо знать множество значений элементарных функций и владеть следующими неравенствами:
13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415, причем равенство достигается только при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 ,13 EMBED Equation.3 1415 , причем равенство достигается при 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим несколько примеров нахождения мажорант некоторых функций.

1. Найти множество значений функции:
1) 13 QUOTE 1415 D(y): 13 QUOTE 1415

Т.к. функция 13 QUOTE 1415 возрастающая и область её значений 13 QUOTE 1415, то область значений функции 13 QUOTE 1415 также 13 QUOTE 1415. Значит функция не ограничена сверху и не ограничена снизу.
Ответ:13 QUOTE 1415.
2) 13 QUOTE 1415
Т.к. 13 QUOTE 1415, то наименьшее значение функция примет при 13 QUOTE 1415, а наибольшее при 13 QUOTE 1415, т.е. 13 QUOTE 1415. Значит функция имеет верхнюю и нижнюю границу.
Ответ: 13 QUOTE 1415.
3) 313 QUOTE 1415
Т.к. 13 QUOTE 1415 и функция возрастающая, то 13 QUOTE 1415, т.е. 13 QUOTE 1415. Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.
Ответ: 13 QUOTE 1415.
4) 13 QUOTE 1415
Т.к. 13 QUOTE 1415 при всех действительных значениях 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415. Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
Ответ: 13 QUOTE 1415.
5) 13 QUOTE 1415
Множество значений функции 13 QUOTE 1415: 13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415 - ордината вершины параболы. Найдем 13 QUOTE 1415: 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415, тогда 13 QUOTE 1415. Таким образом 13 QUOTE 1415. Учитывая, что функция 13 QUOTE 1415 является возрастающей, получим 13 QUOTE 1415.
Таким образом функция имеет только нижнюю границу.
Ответ: 13 QUOTE 1415.

2. Найдите наибольшее значение функции:
1) 13 QUOTE 1415

Функция 13 QUOTE 1415 убывающая. Значит, своё наибольшее значение она принимает при наименьшем значении t, если таковое имеется.
Функция 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415, наименьшее значение этой функции равно -1. Тогда наибольшее значение функции 13 QUOTE 1415 равно 13 QUOTE 1415.
Ответ: 13 QUOTE 1415.
3.Упростить выражение для 13 QUOTE 1415 и найти ее наибольшее значение.
Область определения данной функции состоит из всех действительных значений 13 QUOTE 1415. Т.к. 13 QUOTE 1415 и квадратный трехчлен 13 QUOTE 1415 принимает только положительные значения, т.к. 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415, то дробь 13 QUOTE 1415 при всех 13 QUOTE 1415 Значит эта дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя 13 QUOTE 1415 при 13 QUOTE 1415.
Ясно, что при 13 QUOTE 1415 значение 13 QUOTE 1415, а это наибольшее значение 13 QUOTE 1415. Таким образом, наибольшее значение данной функции равно 13 QUOTE 1415.

Метод мажорант позволяет решать задачи, которые традиционными преобразованиями и методами не решаются.
№ УЭ
Учебный элемент с указанием заданий
Учителю

УЭ-2
Цели:
а) составить алгоритм решения уравнения, используя предложенный метод;
б) изучить теоретический материал, на котором основан метод;в) начните его первичное усвоение.
1. Метод использования свойств функции
Этот метод основан на свойстве ограниченности функции
1. Реши уравнение: 213 EMBED Equation.3 1415= cosx.

Проверьте правильность решения, используя лист ответов, в случае необходимости откорректируй алгоритм решения.
 Работа в парах, группах и индивидуально. Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя


УЭ-3
Цели:
а) изучить свойства, на которых основан данный метод;
б) составить алгоритм его решения.
1. Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
2. Подготовь ответы на вопросы:
а) дать определение, что какие уравнения называются равносильными;
б) почему появляется лишний корень?
в) Проверить правильность решения по листу ответов,
г) Оцените работу: 2 балла – активно участвовал и выдвигал много предложений; 1 балл – собственных предложений не выдвигал, но участвовал в работе; 0 баллов – не участвовал.
Работайте с конспектом, с тетрадями

УЭ-4
Цели:
а) изучить новый материал, на котором основан метод;б) начать его первичное усвоение;в) составить алгоритм решения уравнения данным методом.
1. Решить уравнение: sinxcos4x=1.
а) Разберите теорему № 1 в конспекте.
б)Устно составьте алгоритм решения этого уравнения.б) Обсудите составленный алгоритм, вспомните прием нахождения множества значений функции тригонометрической.
в) Подготовьтесь к защите составленного алгоритма у доски.

Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя


Работа в парах

УЭ-5
Цели:
а) составить алгоритм решения системы уравнений и начать его усвоение;1 Решить систему уравнений: 13 EMBED Equation.3 1415
2. Подготовиться к выступлению о методах решения систем уравнений с двумя переменными.
Проверить правильность решения по листу ответов.
Работайте самостоятельно.


Работайте с конспектами по подготовке к ЕГЭ

УЭ-6
Цели:
а) повторить новый материал, на котором основаны методы;б) начать их усвоение;в) составить алгоритмы решения уравнений с помощью предложенных методов.
1. Найти нули функции:


Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя

УЭ-7
Цели:
а) закрепить навыки решения иррациональных уравнений; б) развивать умения решать иррациональные уравнения разного вида;в) составить формулы, применяемые при решении иррациональных уравнений.
Решить уравнение любое на выбор:

13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
.
Выставьте дополнительные баллы:
5 б. – все понял и могу объяснить другому;4 б. – сам понял, но объяснить не берусь;3 б. – для полного понимания надо повторить;2 б. – я ничего не понял.
Подсчитайте общее количество баллов. Кто набрал от 18 баллов и выше, оценка 5, от 14 до 17 оценка 4, от 9 до 13 оценка 3, меньше 9 баллов оценка Проверьте правильность выполнения по образцу
   

Смотри решение примеров в учебнике и по образцу.

УЭ-9
Обобщение. Задание составьте схему или таблицу методов, приемов решения уравнений методом мажорант =метод (оценки) = решение комбинированных уравнений, основанных на использовании свойств ограниченности функции
Дополнительно

УЭ-10
Цель: выходной контроль
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Выполнив задание, сдай тетрадь учителю на проверку.
Рефлексия: вернись к цели урока, проанализируй свою деятельность и работу в группе.
Оцени себя, получи оценку товарищей и учителя за урок. Подсчитайте общее количество баллов. Кто набрал от 18 баллов и выше, оценка 5, от 14 до 17 оценка 4, от 9 до 13 оценка 3, меньше 9 баллов оценка 2.



Лист ответов:

Задача 1.
Реши уравнение: 213 EMBED Equation.3 1415= cosx Очевидно, что нормальными средствами решить это уравнение нельзя, поэтому используем ограниченность правой и левой частей уравнения.
Так как sin13 EMBED Equation.3 1415x13 EMBED Equation.3 1415, то левая часть уравнения ограничена снизу числом 1. правая часть также ограничена числом 1, но уже сверху, поэтому исходное уравнение равносильно системе:13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Задача 2.
Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415(как сумма положительных взаимообратных чисел).
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Значит данное уравнение равносильно системе:13 EMBED Equation.3 1415
Решим второе уравнение системы:
13 EMBED Equation.3 1415
Проверим, будет ли 13 EMBED Equation.3 1415 решением первого уравнения системы:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415верно. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415 является решением и всей системы.

Задача 3.
Решить уравнение: sinxcos4x=1.

Переведем произведение в сумму:






и 13 EMBED Equation.3 1415 значит, их сумма равна 2 только в том случае, когда и тот и другой равны 1. Поэтому это уравнение равносильно системе:13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Методом подбора находим значения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющие уравнению 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415значит,
13 EMBED Equation.3 1415
Значит, решением системы уравнений является13 EMBED Equation.3 1415

Задача 4.
Решить систему уравнений: 13 EMBED Equation.3 1415
Данная система имеет три неизвестных и всего два уравнения. Однако сразу же ясно, что в первом уравнении левая часть 13 EMBED Equation.3 14152 взаимообратных положительных величин, а правая часть13 EMBED Equation.3 14152. поэтому первое уравнение равносильно системе двух уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Тем самым необычность данной системы полностью «снята» - мы имеем обыкновенную систему трёх уравнений с тремя неизвестными, и притом чрезвычайно простую. Из двух новых уравнений и второго данного мы получаем:13 EMBED Equation.3 1415 Поэтому решения данной системы даются формулами: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 любые целые числа.

Задача 5. Найти нули функции:


Для нахождения нулей функции решим уравнение:
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415
Т.к. 13 QUOTE 1415, а 13 QUOTE 1415, то уравнение равносильно системе двух уравнений:
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 - корни уравнения (1). Проверкой устанавливаем, что корнем уравнения (2) является только 13 QUOTE 1415.
Таким образом 13 QUOTE 1415 - единственный нуль функции.
Ответ:13 QUOTE 1415.

Задача 6.
Решить уравнение:

Преобразуем уравнение:

Разделим обе части уравнения на 5:

13 QUOTE 1415
Т.к. 13 QUOTE 1415, как сумма двух взаимно обратных положительных чисел, а 13 QUOTE 1415 при всех действительных значениях 13 QUOTE 1415, то уравнение равносильно системе двух уравнений:
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Проверим, верны ли корни уравнения (1) для уравнения (2).Таким образом:13 QUOTE 1415 - единственный нуль функции.
Ответ: 13 QUOTE 1415.

Задача 8

Решить уравнение:

Решим квадратное уравнение относительно x:
13 QUOTE 1415. Т.к. 13 QUOTE 1415, то уравнение будет иметь корни только при условии:
13 QUOTE 1415 ; 13 QUOTE 1415
Получим:
13 QUOTE 1415, тогда:
13 QUOTE 1415 или 13 QUOTE 1415.

Задача 9.
Решить уравнение:

Т.к. 13 QUOTE 1415, а 13 QUOTE 1415, то данное уравнение равносильно системе уравнений:
13 QUOTE 1415 ; 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415.
Ответ: 13 QUOTE 1415.

Задача10
Решить уравнение:
13 QUOTE 1415
ОДЗ: x>0, y>0.
13 QUOTE 1415
Тогда 13 QUOTE 1415 , как суммы двух положительных взаимно обратных чисел. Значит 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415, а их сумма равна 4, когда каждое из них одновременно равно 2, т.е. уравнение равносильно системе двух уравнений:
13 QUOTE 1415
Из этого следует, что
13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415.


Задача11.
Решить уравнение:
13 QUOTE 1415

Так как сумма 2-х взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, значит левая часть больше либо равна 4:
Оценим правую часть уравнения. Для этого рассмотрим функцию 13 QUOTE 1415, график функции парабола, ветви вниз, вершина:x0=2 y0=16.
Значит y
·16, следовательно: 13 QUOTE 1415
Следовательно данное уравнение равносильно системе:

х=2.
Ответ: х=2

Домашнее задание:

Повторить теорию, (дорешать примеры, если не успеем), подыскать в литературе по 2 примера по данной теме.


Задача 15.
Для чисел 13 QUOTE 1415 верны равенства 13 QUOTE 1415 Найдите 13 QUOTE 1415, если известно, что 13 QUOTE 1415, а
13 QUOTE 1415
1.Т.к. 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 то 13 QUOTE 1415 – корень уравнения 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Т.к. 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 то 13 QUOTE 1415
2. Т.к. 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415 - корень уравнения 13 QUOTE 1415

Т.к. 13 QUOTE 1415, значит 13 QUOTE 1415
3.Число 13 QUOTE 1415 является корнем уравнения 13 QUOTE 1415 Так как 13 QUOTE 1415 то
13 QUOTE 1415 Значит, 13 QUOTE 1415, и, продолжая аналогично, получаем, что
13 QUOTE 1415
Из этого следует, что 13 QUOTE 1415
Ответ: x=1

Задача 16.
Для чисел 13 QUOTE 1415 верны равенства 13 QUOTE 1415 Найдите 13 QUOTE 1415 если известно, что 13 QUOTE 1415, а
13 QUOTE 1415
Оценим значение функции 13 QUOTE 1415 сверху. Если 13 QUOTE 1415, то очевидно, что 13 QUOTE 1415 и тогда 13 QUOTE 1415. Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415 (т.к. функция 13 QUOTE 1415 возрастающая). Значит 13 QUOTE 1415.
Найдем производную данной функции при 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 .Очевидно, что 13 QUOTE 1415, при всех 13 QUOTE 1415. Следовательно на промежутке 13 QUOTE 1415 функция возрастает и непрерывна.
Т.к. по условию 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415 является корнем уравнения 13 QUOTE 1415. Возможны два случая:
a) 13 QUOTE 1415.
Т.к. в этом случае функция 13 QUOTE 1415 возрастает, то уравнение имеет не более одного корня. А т.к. 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415, то искомый корень находится на промежутке 13 QUOTE 1415, т.е. больше 4. Таким образом 13 QUOTE 1415. По условию 13 QUOTE 1415. Учитывая, что 13 QUOTE 1415 при всех действительных значениях 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415, делаем вывод, что уравнение (1) корней не имеет.
б) Если 13 QUOTE 1415, тогда 13 QUOTE 1415, т.е. 13 QUOTE 1415. Но тогда 13 QUOTE 1415, поэтому 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415. Рассуждая аналогично найдем 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 и так далее получим 13 QUOTE 1415. Значит 13 QUOTE 1415
Ответ: 9.
Задания из УЭ 10 взяты из учебника Алгебра и начала анализа 11 класс под ред С.М. Никольского стр. 306











13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native