«Решение уравнений, содержащих модуль»
ГБОУ СОШ № 225
Г. Москва
Конспект урока по алгебре
в 11 классе
«Решение уравнений, содержащих модуль»
Учитель математики
Дорошенко Н.И.
2013
Цели урока:
развивать навыки решения тригонометрических уравнений, уравнений, содержащих модуль; вспомнить решение систем иррациональных уравнений и закрепить навыки их решения;
развитие математического и общего кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;
воспитание интереса к математике и ее приложения; активности; умения общаться; общей культуры.
Тип урока: систематизация и обобщение.
Ход урока
Организационный момент
На прошлом уроке мы закончили решение тригонометрических уравнений на заданном промежутке. Сегодня на уроке мы продолжим решение тригонометрических уравнений, а также уравнений, содержащих модуль, и разберем решение нескольких систем уравнений.
Проверка домашнего задания
Решить систему уравнений
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Решим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 тогда 13 EMBED Equation.3 1415, получим 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415=0.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415>0, t1,2=13 EMBED Equation.3 1415 t1=13 EMBED Equation.3 1415, t2=7.
Возвращаясь к переменной у имеем:
1) 2)
Система примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Проверка:
1) х=1, у=7 2) х=7, у=1
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (1;7), (7;1).
-Учитель рассматривает 2-ой способ решения, который короче
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415=t , тогда получим 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415= 7+13 EMBED Equation.3 1415.
Числа 7 и 13 EMBED Equation.3 1415 являются корнями уравнения, других корней оно не имеет, т.к. сводится к квадратному уравнению
Либо х=7у, либо у=7х
у=1, х=7 х=1, у=7
Проверка показывает, что обе пары значений удовлетворяют системе.
Ответ: (1;7), (7;1).
Актуализация знаний.
Решение тригонометрических уравнений
1)
2)
3)
4)
5)
pешения не имеет, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415
6)
Решение тригонометрических уравнений, содержащих модуль
1)
Значение х, при котором sin x =0 является решением данного уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 имеем
Отбираем те значения х, которые удовлетворяют условию 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
При k=2l корни удовлетворяют условию 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
2) При 13 EMBED Equation.3 1415 имеем
Отбираем те значения х, которые удовлетворяют условию 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
При s=2m корни удовлетворяют условию 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
2)
Т.к. а=2, 2>1, функция 13 EMBED Equation.3 1415 - возрастает и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, если 13 EMBED Equation.3 1415 , то t1=t2, следовательно:
13 EMBED Equation.3 1415
Значения х, при которых sinx=0 являются решением данного уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то13 EMBED Equation.3 1415
1)При 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415имеем 13 EMBED Equation.3 1415
а) если 13 EMBED Equation.3 1415, то 2х-4=х
х=4
Но sin4<0, следовательно х=4 не является корнем уравнения
б) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 2х-4= - х
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415 - не является корнем уравнения
2) При 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415имеем 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
а) если 13 EMBED Equation.3 1415, то -2х-4=х; 13 EMBED Equation.3 1415
Но sin13 EMBED Equation.3 1415<0 и 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415 - является корнем уравнения
б) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то -2х-4= - х
х=4
sin4<0 и 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно х=4 – не является корнем уравнения
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
3) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Значение х, при которых cos x=0 является решением данного уравнения, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 имеем 13 EMBED Equation.3 1415
а) если 13 EMBED Equation.3 1415, то
Отбираем те значения х, которые удовлетворяют условию 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
При m=2l корни удовлетворяют условию 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415
б) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то
Отбираем те значения х, которые удовлетворяют условию 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
При s=2t корни удовлетворяют условию 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 , следовательно 13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 имеем 13 EMBED Equation.3 1415
а) если 13 EMBED Equation.3 1415, то
Отбираем те значения х, которые удовлетворяют условию 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
б) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то
Отбираем те значения х, которые удовлетворяют условию 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
3 . Решение систем уравнений
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решим уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (5;1).
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Решим уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1)
не удовлетворяет условию
2)
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (0;1).
Итог урока.
В заключении учитель подводит итог урока, объявляет оценки, задает домашнее задание.
Список использованной литературы
Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 кл, 2009 г., под редакцией А.Н. Колмогорова
Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2012, 2013 г., под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова; Ростов – на –Дону: Легион
Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2013 г., авт. сост. А.П. Власова; «Издательство Астрель»
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native