Урок по алгебре в 11 классе, по теме «Показательные уравнения и методы их решения».

Урок по алгебре в 11 классе,
по теме «Показательные уравнения и методы их решения».
Разработан преподавателем ГБПОУ «Соликамский технологический колледж» О.В.Ромодиной.
Тип урока: комбинированный урок
Цели урока:
1) Изучение основных методов решения показательных уравнений.
2) Формирование навыков решения показательных уравнений.
3) Развитие умений сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли.
4) Воспитывать познавательную активность, интерес к предмету.
Структура  урока:
1.Организационный момент.
2.Постановка целей и задач  урока.
3. Изучение нового материала.
4.Закрепление изученного материала.
5.Задание на дом.
6. Итог урока. Ход урока.
1.Организационный момент
2.Постановка целей и задач  урока. 
Сегодня на учебном занятии мы с вами должны познакомиться с различными способами решения показательных уравнений. Закрепить знания о типах  показательных уравнений, а так же получить и систематизировать знания о методах решения показательных уравнений
Учащиеся записывают тему урока.
Актуализация опорных понятий
Изучение нового материала.
На доске записаны уравнения
1. 4х=162. 4х-2=423 .4х+5∙2х+4=0 4. 3х-3х+3=-78
5. 5х=7хУчитель: «Ребята, посмотрите внимательно на уравнения, что их все объеденяет? Какие из уравнений вы смогли бы сразу решить?» Учащиеся должны заметить, что в каждом из уравнений переменная х находится в показатели степени. А так же очевидный ответ первого уравнения х=2.
Итак:
Показательные уравнения - уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени.
Уравнение вида:  ax=b, где  a > 0, a ≠ 1 называется простейшим показательным уравнением.
Например: уравнение 4х=16 можно решить простым подбором.
4х=42 х=2
Но уравнение вида 4х-2=42 не является таким же очевидным.
При решении показательных уравнений вида: af(x)=ag(x), где a > 0, a ≠ 1, используется следующее свойство: f(x)=g(x). Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью. Преобразование показательного уравнения к виду af(x)=ag(x) выполняется многими способами. Сегодня мы познакомимся с некоторыми из них.
Для решения данного уравнения нужно уравнять основания. Этот способ так и называется «Способ уравнивания оснований».
Поработаем отдельно с правой частью уравнения: 42=22∙212=2212.
Вернемся к записи уравнения:
2(х-2)=2212х-2=212х=212+2
х=412Ответ: х=412Далее учитель совместно с учащимися составляет алгоритм решения простейшего показательного уравнения.
1.Уравнять основания степеней;
2.Приравнять показатели степеней.
3. В зависимости от типа полученного уравнения (линейное, квадратное, биквадратное), решить его.
4.Записать ответ.
Пример №3.
4х+5∙2х+4=042х+5∙2х+4=0Сделаем замену, пусть 2х=t, t>0, тогда уравнение примет вид:
t2+5t+4=0t1=1, t2=4Сделаем обратную замену:
2х=12х= 20х=02х=42х= 22х=2Ответ: х=0, х=2
Составляется совместно с учащимися алгоритм решения показательного уравнения, сводящегося к квадратному уравнению.
1.Привести уравнение к виду: Аа2х+Вах+С=02. Сделать замену: ах=t, t>0,
3. Решить квадратное уравнение: Аt2+Вt+С=04. Сделать обратную замену.
5.Решить простейшие показательные уравнения.
6.Записать ответ.
Пример №4. Рассмотрим еще один тип показательных уравнений:
3х-3х+3=-78
Вспомним следующие свойство показательной фунции: ах+у=ах∙ау, тогда уравнение можно переписать в следующем виде:
3х-3х∙33=-78Вынесем общий множитель за скобки:
3х(1-33)=-783х(-26)=-783х=-78-263х=3х=1Составим алгоритм решения данного вида уравнений:
1. Воспользоваться свойством: ах+у=ах∙ау2.Вынести общий множитель за скобки
3.Выполнить арифметические действия в скобках
4.Разделить обе части уравнения на число, полученное в скобках.
5.Решить простейшее показательное уравнение.
6.Записать ответ.
Данный способ решения будем называть «способом группировки».
Пример №5. Следующий тип уравнений, когда показатели степени одинаковые, а основания разные:
5х=7хНеобходимо уравнять основания степени. Разделим обе части уравнения, например на 7х, имеем право это сделать т. к. 7х всегда больше нуля:
57х=157х=570х=0Учителю следует отметить, что существует еще несколько способов решения показательных уравнений и сегодня на уроке были рассмотрены не все из них.
4.Закрепление изученного материала.
Учащимся предлагается решить уравнения из задачника по алгебре и началам математического анализа за 10-11 класс к учебнику автора А.Г. Мордкович - №40.2, 40.3, 40.4, 40.5 , 40.13, 40.14 (а,в)
(сначала в парах, а потом с проверкой у доски)
5.Задание на дом.
1. Решить графически показательные уравнения: 2х=x2, 2х+3=3х2. Выполнить номера из задачника по алгебре и началам математического анализа за 10-11 класс к учебнику автора А.Г. Мордкович - №40.4, 40.5 , 40.13, 40.14 (б)
6.Итог урока.
Слова учителя в конце урока: Итак, мы рассмотрели решение типовых показательных уравнений. На следующем уроке мы перейдем к решению более сложных показательных уравнений. Спасибо за работу.