Методическая разработка Решение задач путем составления уравнений в теме «Прямая и обратная пропорциональная зависимости»

Якупова Г.М.
Решение задач путем составления уравнений в теме «Прямая и обратная пропорциональная зависимости»
В данном разработке мы рассмотрим этапы изучения темы «Прямая и обратная пропорциональная зависимости». Во-первых, необходимо научить учащихся решать пропорции. При этом основной способ их решения должен опираться на основное свойство пропорций. Когда эта цель будет достигнута, то можно показать использование свойств пропорций для упрощения их решения.
Во-вторых, необходимо обучить школьников умению выделять в условиях задач две величины и устанавливать вид зависимости между ними.
В-третьих, важно дать учащимся понимание, как можно по условию задачи составить пропорцию. При формировании навыка решать подобные задачи, необходимо подчеркнуть, что стоимость покупки определяется по формуле:
стоимость = цена • количество
и отметить, как при уменьшении или увеличении одной величины в несколько раз меняется вторая величина при постоянстве третьей. Подобная работа с задачами проводится и по формуле:
путь = скорость • время
1. За несколько карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за карандаши, если их:
а) в 2 раза больше;
б) в 2 раза меньше?
2. У ученика есть деньги на покупку 30 карандашей.
а) Сколько тетрадей может купить ученик на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?
б) Сколько ручек может купить ученик на те же деньги, если ручка дороже карандаша в 10 раз?
Наблюдения, которые получают учащиеся при решении 1 и 2 задач необходимо использовать при обучении понятиям прямой и обратной пропорциональности.
Прямо пропорциональными называются две величины, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Обратно пропорциональными называются две величины, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
Далее, имея опыт решения задач 1 и 2 и определений прямой и обратной пропорциональности, учащиеся должны ответить на вопросы заданий 3,4,5. Необходимо постоянно обращать их внимание на то, какие величины изменяются, а какие нет.
3. Какова зависимость:
1) между ценой одной ручки и стоимостью нескольких ручек, при условии что их количество постоянно?
2) между количеством ручек и их стоимостью, при условии постоянной их цены?
3) между количеством ручек и их ценой, при условии постоянной их стоимости?
4. Какова зависимость:
1) между количеством тракторов и площадью, которую они могут вспахать за 1 день?
2) между числом дней работы и площадью, которую он вспашет?
3) между количеством тракторов и числом дней, за которые они вспашут все поле?
5. Ученики покупают одинаковые альбомы. Какова зависимость между количеством альбомов и стоимостью покупки?
Необходимо обобщить работу над заданиями 2 и 3, отметив для учащихся, что если три величины связаны равенством а = b • с, то при постоянном произведении множители пропорциональны обратно, а при постоянном множителе второй множитель и произведение пропорциональны прямо. Данный момент также нужно рассмотреть для формул:
путь = скорость • время,
стоимость = цена • количество,
работа = производительность • время.
Рассмотрим решение задач с помощью пропорций.
6. Пассажирский поезд прошел расстояние между двумя городами за 3 часа со скоростью 80 км/ч. Сколько часов понадобится товарному поезду, чтобы пройти такое же расстояние, если он движется со скоростью 60 км/ч?
Скорость (км/ч)               Время (ч)
80   3
60  х
Из краткой записи условия задачи мы видим, что стрелки указывают, что скорость уменьшилась, а время увеличилось в одно и то же число раз. Данное число вычисляется путем деления большего числа на меньшее (в направлении стрелок). Для того, чтобы школьники более глубоко освоили прием составления пропорций, при решении задач нужно постоянно использовать вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) первая величина?» Тогда число, дающее ответ, будет находиться делением большего значения величины на меньшее (в направлении стрелок). На первых порах это число должно быть целым, позднее – дробным.
7. 5 маляров покрасили забор за 8 дней. Сколько дней потребуется, чтобы покрасить этот же забор:
а) 1 маляру; б) 10 малярам?
Также, чтобы избежать формирования у школьников впечатления, что зависимость бывает только прямо и обратно пропорциональной, нужно рассматривать провокационные задачи, содержащие в себе другой тип зависимости.
8. Рыбаки за 3 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают рыбаки за 4 ч?
9. Утром два петуха разбудили шесть человек. Сколько человек разбудят пять петухов?
10.Трое пошли – три гвоздя нашли. Четверо пойдут – много ли найдут?
Вначале мы рассматривали задачи, в которых отношение двух неизвестных значений представляло собой целое число. Рассмотрим задачи, в которых отношение выражается дробью. Здесь также постоянно задается вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) величина?»
11. Товарный поезд, движущийся со скоростью 80 км/ч, прошел 720 км. Какое расстояние за это же время пройдет пассажирский поезд, движущийся со скоростью 60 км/ч?
12.Токарь обтачивает 6 деталей, его ученик за это же время обтачивает 4 детали. Ответьте на вопросы:
1) Сколько деталей успеет обточить ученик за то время, которое нужно токарю для обточки 27 деталей?
2) Сколько времени потратит ученик на задании, которое токарь выполняет за 1ч?
После того, как учащиеся изучать основные понятия в данных темах («Пропорции», «Прямая и обратная пропорциональности»), необходимо дать им для решения соответствующие задачи.
Подготовительные упражнения
Перейдем к рассмотрению некоторых подготовительных упражнений, с помощью которых можно сформировать у учащихся умения и навыки устанавливать зависимости между величинами.
1. Какую часть одно число составляет от другого?
а) 2 от 10; б) 7 от 15; в) 20 от 40; г) 13 от 21
2. Найдите отношения и придумайте отношения, значения которых равны заданным:
а) 25 к 5; б) 0,25 к 0,55; в) 1,37 к 1,3; г) 6 к 27
3. Что показывает отношение:
а) пути, пройденного автомобилем, ко времени его движения;
б) числа деталей ко времени из изготовления;
в) стоимости апельсинов к их массе?
4. Перед вами представлена пропорция. Вам необходимо найти выражение, которое не является пропорцией, выведенной из данной:
1) а : 20 = 4 : 8
а) а : 4 = 20 : 8;
б) 8 : 20 = 4 : а;
в) 20 : а = 4 : 8;
г) 20 : а = 8 : 4.
2) 8 : 21 = b : 30
а) b : 21 = 30 : 8;
б) 8 : b = 21 : 30;
в) 8 : 30 = b : 21;
г) 8 : 21 = 30 : b.
1. Используя основное свойство пропорции, необходимо проверить следующие равенства. Какие из нижеприведенных равенств являются пропорцией, а какие нет?
а) 4: 3= 36 : 26
б) =
в) 2: 9 = 1 : 39
г) =
д) 3 : 7,5 = 2,5 : 6
2. Какова зависимость:
1) между временем и скоростью движения при неизменном пути?
2) между количеством тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?
3. Установите зависимость:
1) За х кг апельсинов заплатили k рублей. Каким образом изменится стоимость покупки, если массу апельсинов увеличили в 4 раза; уменьшили в 3 раза?
4. За три часа велосипедист проехал расстояние от деревни до города.
1) Сколько часов потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние, если его скорость в 3 раза меньше скорости велосипедиста?
2) Сколько часов потребуется мотоциклисту, чтобы проехать это же расстояние, если его скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?
Решая данные задачи, школьники повторяют, что такое отношение, каким образом оно составляется, что такое пропорция, какие у нее свойства, как устанавливается прямая или обратная пропорциональности между величинами.
Очевидно, что если в содержании задачи говорится о двух величинах, то краткая запись будет выглядеть следующим образом:
I величина – II величина
Изменение I величины – II величины.
При этом проверяется зависимость первой величины от второй или наоборот. Если при увеличении / уменьшении первой величины в n раз, во столько же увеличится / уменьшится II величина, то это прямая пропорциональность.
↓ Обозначение вводится с помощью стрелок, которые направлены в одну сторону.
↓ I величина – II величина
I изменение величины – II изменение величины
Для обратной пропорциональности при соответствующем определении для нее, стрелки будут иметь разное направление:
↓↑ I величина – II величина
I изменение величины – II изменение величины
Так как в пропорции четыре составляющие, то три из них должны быть оговорены в задаче. А четвертую и будем обозначать неизвестной.
Приведем пример: «В 200 граммах солевого раствора содержится 4 грамма соли. Сколько соли содержится в 600 грамма раствора?»
Составив схематическую запись для этой задачи, получим:
раствор соль
Было 200 г – 4 г
Спрашивается 600 г – х г
Теперь выясняем зависимость и ставим стрелочки.
↓↓
200 г – 4 г
600 г – х г
При рассуждении учащиеся обращаются к своему практическому опыту. Вид пропорциональности устанавливается на основе закономерности; «законов» логики в соотношении между величинами. У учащихся развивается воображение, самоконтроль за выполнением своих действий.
Работа с задачей и схема работы на уроке.
Рассмотрим в качестве примера работу по решению задач на выполнение конкретных задач, опираясь на приведенную схему (этапы).
Для того, чтобы перевезти груз, понадобилось 15 машин грузоподъемностью 7,5 тонн. Сколько потребуется машин грузоподъемностью 4,5 тонн, чтобы перевезти тот же самый груз?
1) Учащимся необходимо ответить на следующие вопросы:
1. Что рассматривается в задаче? (количество машин грузоподъемностью 4,5 тонн)
2. Что они должны делать? (перевезти тот же самый груз)
3. Сколько машин, с грузоподъемностью каждая по 7,5 тонн, потребовалось, чтобы перевезти этот груз? (15)
4. Что является неизвестным? Каким образом обозначим? (неизвестно количество машин; обозначим х)
II. Составим краткую запись условия:
15 – 7,5 т
х – 4,5 т
1) Груз остается прежним, но каждая из грузоподъемность машин уменьшилась – одна машина может увезти 4,5 тонн. Увеличится или уменьшится количество машин, которые перевезут груз? (увеличится).
2) А число машин увеличилось или уменьшилось? (увеличилось).
3) Какая это пропорциональность? (обратная)
↑↓ 15 – 7,5 т
х – 4,5 т
III. Составим пропорцию. Она будет являться уравнением.
15 – 7,5 т
х – 4,5 т
Обратите внимание, на то, каким образом составляется пропорция:
а) записываются два отношения в соответствии со стрелками;
б) между ними ставится знак равенства.
IV. Далее необходимо найти неизвестное х. Для этого используем основное равенство пропорции.
15 • 7,5 = х • 4,5
х • 4,5 = 112,5
х = 112,5 : 4,5
х = 25
V. В качестве х в данной задаче мы обозначили количество машин, так как это задавалось в вопросе. Именно поэтому мы нашли ответ. Так как мы использовали свойство пропорции и известный алгоритм решения уравнений, то все действия законны и вычисления верны. Осталось посмотреть соответствие ответа смыслу поставленного вопроса. Значение неизвестной х – это то количество машин, которое мы ищем, то есть то, что спрашивалось в задаче. Запишем ответ.
VI. Ответ: потребуется 25 машин грузоподъемностью 4,5 т.
VII. Здесь можно не проводить исследование задачи, так как представлен только один способ ее решения с помощью пропорции. Этапы выявления основания и анализ решения задачи в данной теме не имеют необходимости. При этом учащиеся могут совершать ошибки при установлении вида зависимости. Поэтому в процессе решения важно акцентировать внимание на смысл слов, осмысленное выявление зависимости, для того, чтобы в дальнейшем верно записать пропорцию.