Модульная технология обучения. Практический модуль Производная сложной функции по теме Правила дифференцирования

Правила дифференцирования

Правило 3 Если функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеют производную в точке х, то их произведение имеет производную в точке х, причем: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, где С const 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - «сложная» функция
13 EMBED Equation.3 1415 - внешняя функция
13 EMBED Equation.3 1415 - внутренняя функция
13 EMBED Equation.3 1415
(производная от внешней функции умножается на производную от внутренней функции)

Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.



Пример:
Правило 4. Если функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеют производную в точке х и в этой точке13 EMBED Equation.3 1415, то и частное 13 EMBED Equation.3 1415имеет производную в точке х, причем: 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Применяем правило 3 для функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Вычисляем производные функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415


Практикум 3
Практикум 4
Производная частного двух функций равна дроби; числитель которой есть разность произведений производной первой функции на вторую функцию и произведений первой функции на производную второй функции, а знаменатель квадрат второй функции.


· 1.Найдите производную функции:
1.Найдите производную функции:


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример:

2.Вычислите скорость изменения функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415
Помни: физический и геометрический смысл производной ТМ1
.2.Найдите тангенс угла между касательной к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415 и осью х
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Применям правило 4 для функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415

Вычисляем производные функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415

Упрощаем полученное выражение

13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415



3.Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
3. Решите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415



13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415