Урок по теме “Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия” (алгебра, 10кл.)
Урок по теме “Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия” (алгебра, 10кл.)
Цель урока: ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Оборудование: проектор, экран.
Тип урока: урок – усвоение новой темы.
Ход урока
I. Орг. момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Актуализация знаний учащихся.
В 9 классе вы изучали арифметическую и геометрическую прогрессии.
Вопросы
1. Определение арифметической прогрессии. (Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой,начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом).
2. Формула n-го члена арифметической прогрессии (13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415)
3. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
(13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415)
4. Определение геометрической прогрессии. (Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число).
5. Формула n-го члена геометрической прогрессии (13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415)
6. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии. (13 EMBED Equation.3 1415)
7. Какие формулы вы еще знаете?
(13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415)
5. Для геометрической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415 найдите пятый член. 13 EMBED Equation.3 1415
6. Для геометрической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415 найдите n-й член. 13 EMBED Equation.3 1415
7. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите b4. (4)
8. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите b1 и q. 13 EMBED Equation.3 1415
9. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите S5. (62)
III. Изучение новой темы (демонстрация презентации).
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.
В результате, мы получили последовательность сторон квадратов [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]образующих геометрическую прогрессию со знаменателем [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.
Например, последовательность площадей квадратов:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.
Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]13 EMBED E
·quation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.
Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.
Определение:
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. 13 EMBED Equation.3 1415.
С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.
Задача
Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415. Найдем q.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.
Рассмотрим сумму n первых слагаемых.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Если n неограниченно возрастает, то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
или 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности S1, S2, S3, , Sn, .
Например, для прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415,
имеем 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Так как 13 EMBED Equation.3 1415
Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
III. Осмысление и закрепление (выполнение заданий).№4.38
IV. Подведение итогов.
С какой последовательностью сегодня познакомились?
Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?
Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
V. Домашнее задание.
1. Читать п. 4.5. № 4.38
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native