Решение стереометрических задач методом координат
Существует два способа решения задач по стереометрии:
классический, требует отличного пространственного воображения, отличного знания аксиом и теорем геометрии, логики, умения строить чертеж, свести объемную задачу к последовательности планиметрических задач;
применение векторов и метода координат, требует знания конкретных формул, умения действовать по алгоритму и отличные вычислительные навыки.
Одним из рациональных способов решения стереометрических задач иногда является применение векторов и метода координат, хотя в условиях никаких координат и векторов нет. Что нужно знать, уметь и понимать для успешного применения этого метода?
Знать:
1. Если заданы точки А(х1,у1,z1) и В(x2; y2; z2)
Координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415)
Расстояние между этими точками или длина вектора:
13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1413 EMBED Equation.3 141515
Координаты точки С - середины отрезка АВ: С(13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415)
Формула - косинус угла
· между векторами 13 EMBED Equation.3 1415(x1; y1; z1), 13 EMBED Equation.3 1415(x2; y2; z2):
Уравнение плоскости в трехмерном пространстве:
13 EMBED Equation.3 1415, где A, B, C и D действительные числа.
Вектор, перпендикулярный к плоскости 13 EMBED Equation.3 1415, имеет координаты 13 EMBED Equation.3 1415(A; B; C) - нормаль к плоскости.
Расстояние от точки М(х0, у0, z0) до плоскости 13 EMBED Equation.3 1415
·=13 QUOTE 1415.13 EMBED Equation.3 1415
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
cos13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
Синус угла между прямой и плоскостью: sin 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
Уметь:
вводить систему координат;
определять координаты точек;
определять координаты вектора;
записывать уравнение плоскости;
Задачи типа С2 делятся на два основных вида: на нахождение расстояний и на нахождение углов.
Понимать
Нахождение расстояния
между прямыми
длина общего перпендикуляра – расстояние от произвольной точки одной из них до плоскости, проходящей через вторую параллельно первой
от точки до прямой
длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой
от точки до плоскости
длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, вычисляется по формуле
Нахождение угла
между прямыми
это угол между соответствующими векторами.
между прямой и плоскостью
это угол между прямой и нормалью к плоскости
между плоскостями
это угол между нормалями к этим плоскостям
Рассмотрим применение метода в решениях задач из сборника «Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ: 2012» под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко.
Пример 1 (8 вариант сборника)
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.
Решение: Введем систему координат: начало координат а точке А, ось х направляем по ребру АС, z по ребру AA1, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC, она будет параллельна ВН, высоте основания АВС.
Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y не совпадает с ребром AВ, т.к. треугольник ABC равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:
Расстояние между прямыми АА1 и ВС1найдем, как расстояние от точки А до параллельной АА1 плоскости ВСС1.
Найдем координаты точек А(0;0;0), В13 EMBED Equation.3 1415, С(0;1;0), С1(0;1;1).
Общий вид уравнения плоскости 13 EMBED Equation.3 1415. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки В, С, С1.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Уравнение плоскости ВСС1 : х+13 EMBED Equation.3 1415у - 13 EMBED Equation.3 1415=0
По формуле расстояние от точки А до данной плоскости равно 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2.
В единичном кубе АВСДА1 В1 С1 Д1 найдите расстояние от точки Д1 до прямой РQ, где Р и Q - середины соответственно ребер А1В1 и ВС.
Решение: Если в задаче дан куб – значит повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат.
Найдем координаты точек Р(0;13 EMBED Equation.3 1415;1), Q(13 EMBED Equation.3 1415;1;0), Д1(1;0;1).
Тогда РQ = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415,
Д1Q= 13 EMBED Equation.3 1415,
Д1Р = 13 EMBED Equation.3 1415.
Из треугольника Д1РQ, найдем cos13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, по тригонометрическому тождеству sin13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть Д1N 13 EMBED Equation.3 1415РQ, где N13 EMBED Equation.3 1415РQ. Тогда Д1N=Д1Р sin13 EMBED Equation.3 1415.
Д1N=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3. (6 вариант сборника)
В правильной четырехугольной пирамиде SАВСД, все ребра которой 1. найдите расстояние от середины ребра ВС до плоскости SСД.
Решение: Введем систему координат: начало в точке Д, ось x направим вдоль ДA, ось y вдоль DС, а ось z вверх, перпендикулярно плоскости OXY.
Найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны.
Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SО высота пирамиды, точки S и О отличаются лишь координатой z. Длина отрезка SО это и есть координата z для точки S. Координаты точек :Д(0;0;0), С(0;1;0), S13 EMBED Equation.3 1415, К13 EMBED Equation.3 1415.
Напишем уравнение плоскости 13 EMBED Equation.3 1415, проходящей через точки Д, С, S.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Получим уравнение плоскости SСД: 13 EMBED Equation.3 1415х+ z =0 и найдем расстояние от точки К(13 EMBED Equation.3 1415 до данной плоскости по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4 (10 вариант сборника)
В правильной шестиугольной призме АВСДЕFА1В1С1Д1 Е1 F1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми АВ1 и ВЕ1.
Решение: Введем систему координат. Начало координат точку O поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось х через середины отрезков AB и DE, ось у пойдет вдоль FC, ось z проведем перпендикулярно плоскости OXY.
Найдем координаты точек: А13 EMBED Equation.3 1415, В113 EMBED Equation.3 1415, В13 EMBED Equation.3 1415, Е113 EMBED Equation.3 1415. Угол между прямыми найдем как угол между соответствующими векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
cos13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415=0 , отсюда 13 EMBED Equation.3 1415=900.
Ответ: 900.
Пример 5 (3 вариант сборника)
В правильной треугольной пирамиде SАВС с основанием АВС известны ребра: АВ=13 EMBED Equation.3 1415,SС=13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер АS и ВС.
Решение: Введем систему координат: начало координат а точке А, ось х направляем по ребру АС, z по ребру AA1, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC, она будет параллельна ВН, высоте основания АВС.
Сделаем некоторые вычисления. АL=18, SО= 5.
Координаты точек L(9;913 EMBED Equation.3 1415;0), К(3;313 EMBED Equation.3 1415;2,5), тогда вектор 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем ординаты точек, задающих плоскость: А(0;0;0), В (18; 613 EMBED Equation.3 1415;0 ), С(0;1213 EMBED Equation.3 1415;0) и напишем уравнение плоскости 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение плоскости z=0, нормаль к плоскости имеет координаты 13 EMBED Equation.3 1415.
Угол между прямой и плоскостью - это угол между вектором, лежащим на заданной прямой и нормалью к плоскости.
sin 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
Получим sin 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, cos13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, отсюда tg13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415= arctg13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 6 (4 вариант сборника)
В прямоугольном параллелепипеде АВСДА1 В1 С1 Д1 известны ребра: АВ=35, АД=12, СС1= 21. Найдите угол между плоскостями АВС и А1ДВ.
Решение: Прямоугольный параллелепипед, как и квадрат, отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Введем координатную плоскость и найдем координаты точек, задающих плоскости АВС и А1ДВ.
Д(0;0;0), А(12;0;0), В(12; 35;0), А1(12;0;21). Напишем уравнения плоскостей АВС.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Уравнение плоскости АВС z=0, нормаль к плоскости имеет координаты 13 EMBED Equation.3 1415.
Напишем уравнение плоскости ВДА1.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Уравнение плоскости 35х-12у-20z=0, нормаль к плоскости имеет координаты 13 EMBED Equation.3 1415.
Угол между плоскостями найдем по формуле cos13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415.
Получим cos13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, sin 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, тогда tg13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415= arctg13 EMBED Equation.3 1415.
Задачи для самостоятельного решения.
В правильной трехгранной призме ABCA1 B1 C1, все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E середины ребер A1 B1 и B1 C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE. ( Ответ: arccos 0,7)
В правильной шестиугольной призме АВСДЕFА1В1С1Д1 Е1 F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.
(ответ: 0,75)
В правильной шестиугольной пирамиде SАВСДЕF, сторона основания равна 1, а боковые ребра равны 2. Найдите расстояние от точки F до прямой ВG, где G – середина ребра SС. (ответ: 13 EMBED Equation.3 1415).
В правильной треугольной призме АВСА1 В1 С1 все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями АВС1 и ВА1С1. (ответ 13 EMBED Equation.3 1415)
В правильной шестиугольной призме АВСДЕFА1В1С1Д1 Е1 F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости ВFЕ1. (ответ13 EMBED Equation.3 1415)
В правильно четырехугольной пирамиде SАВСД все ребра раны 1. Найти расстояние между прямыми SА и ВС. ( ответ 13 EMBED Equation.3 1415)
Н
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native