Практические работы по математике для студентов 1 курса

Практическая работа №11.
Тема: "Производная и ее геометрический смысл".
Цель работы: Закрепить знания и совершенствовать умения по нахождению производной.
Ход работы:
1. Ответить на контрольные вопросы:
1). Определение производной функции
2). Геометрический смысл производной
3). Записать правила дифференцирования
2. Выполнить контрольное задание.
Образец выполнения заданий.
Таблица производных
(xp)'=p∙xp-1(lnx)'=1x, где x>0(kx+b)'=k(ln(kx+b))'=kkx+b((kx+b)p)'=p∙k∙(kx+b)p-1(logax)'=1x∙lnaC'=0, где С-число
(sinx)'=cosx(ex)'=excosx'=-sinx(ekx+b)'=k∙ekx+bsinkx+b'=k∙coskx+b(ax)'=ax∙lnacoskx+b'=-k∙sinkx+b1. Вычислить производные: 1) y=-5x4;2) y=1x5;3) y=5x2;4) y=13x4;5) y=sin2x-1+cosx2+3;6) y=2lnx+3xРешение:
1) y'=-5x4'=-5∙4∙x4-1=-20x32) y'=1x5'=x-5'=-5x-5-1=-5x-6=-5x63) y'=5x2'=x25'=25x25-1=25x-35=25x35=255x34) ) y'=13x4'=1x43'=x-43'=-43x-43-1=-43x-73=-43x73=-433x75) y'=sin2x-1+cosx2+3'=sin2x-1'+cosx2+3'=2cos2x-1+-12sinx2+3=2cos2x-1-12sinx2+36) y'=2lnx+3x'=2lnx'+3x'=2lnx'+3x'=2∙1x+3xln3=2x+3xln32. Найти значения k и b, если прямая y=kx+b проходит через точку (x0;y0) и образует с осью Ох угол α: α=π4 , x0=2, y0=-3Решение:
Найдем угловой коэффициент касательной k=tgα, k=tgπ4=1Т.к. прямая y=kx+b проходит через точку x0;y0, то y0=kx0+b, подставляем-3=1∙2+b =>b=-5 3. Составьте уравнение касательной к графику функции fx=x2+x+3, в точке x0=1Решение:
Общее уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид: y = fx0+f'x0x-x01) Подставим в первое уравнение точку x0 , получим fx0= 12+1+3=52) Найдем f'x=x2+x+3'=2x+1, 3) Подставим сюда также точку x0 , получим fx0=2x0+1=2∙1+1=34) Полученные данные внесем в общее уравнение касательной:
y=5+3x-1=5+3x-3=3x+2-уранение касательной4. Найти значение производной функции fx=5x3-7x2+x-9 в точке x0=-1Решение:
f'(x)=5x3-7x2+x-9'=15x2-14x+1f'x0=15x02-14x0+1=15∙-12-14∙-1+1=15+14+1=305. Выяснить, при каких значениях x значение производной функции fx=8x-2x2 равно 0:
Решение:
f'x=8x-2x2'=8-4xf'x=0 8-4x=0 4x=8 x=2 6. Вычислите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону S(t)=1-t+t2 через 10 с (S - метрах, t - секундах)
ϑ=S'(t)=1-t+t2'=-1+2tϑ=S'10=-1+2∙10=19 м/с I вариант
II вариант
1. Вычислить производные: 1) 3x4; 2) 1x2; 3) 3x2; 4) 1-3x; 5) (4x+5)3; 6) log2x1. Вычислить производные: 1) 4x2; 2) 1x3; 3) 5x3; 4) 6x+1; 5) (7-x)2; 6) e-3x+42. Найти значения k и b, если прямая y=kx+b проходит через точку (x0;y0) и образует с осью Ох угол α:
α=π3 , x0=4, y0=-52. Найти значения k и b, если прямая y=kx+b проходит через точку (x0;y0) и образует с осью Ох угол α:
α=π4 , x0=-3, y0=23. Составьте уравнение касательной к графику функции fx в точке x0:fx=sinx, x0=π63. Составьте уравнение касательной к графику функции fx в точке x0:fx=4-x2, x0=24. Найти значение производной функции fx в точке x0:
fx=4x3-3x2-x-1, x0=-14. Найти значение производной функции fx в точке x0:
fx=3x3-2x2+4x-1, x0=-15. Выяснить, при каких значениях x значение производной функции fx равно 0:fx=x3-3x+55. Выяснить, при каких значениях x значение производной функции fx равно 0:fx=2-27x+x36. Вычислите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону S(t) через время t (S - метрах, t - секундах):
St=-2cos2t, t=π66. Вычислите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону S(t) через время t (S - метрах, t - секундах):
St=3sin2t, t=π8III вариант IV вариант
1. Вычислить производные: 1) 5x3; 2) 1x7; 3) 8x3; 4) 2x-3; 5) 11x-64; 6) ln4x+11. Вычислить производные: 1) 2x5; 2) 1x5; 3) 7x2; 4) 2-6x; 5) (5-4x)5; 6) cos6x-52. Найти значения k и b, если прямая y=kx+b проходит через точку (x0;y0) и образует с осью Ох угол α:
α=π6 , x0=-1, y0=-32. Найти значения k и b, если прямая y=kx+b проходит через точку (x0;y0) и образует с осью Ох угол α:
α=-π3 , x0=1, y0=-13. Составьте уравнение касательной к графику функции fx в точке x0:fx=1-x3, x0=-23. Составьте уравнение касательной к графику функции fx в точке x0:fx=cosx, x0=π64. Найти значение производной функции fx в точке x0:fx=2x6-3x4+2x2, x0=-14. Найти значение производной функции fx в точке x0:fx=2x4-x3+2x2+3x+1, x0=-15. Выяснить, при каких значениях x значение производной функции fx равно 0:fx=x3-3x2+25. Выяснить, при каких значениях x значение производной функции fx равно 0:fx=2x3-3x2+16. Вычислите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону S(t) через время t (S - метрах, t - секундах):
St=-4cos3t, t=π66. Вычислите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону S(t) через время t (S - метрах, t - секундах):
St=4sin2t, t=π9