УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ (ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ БЛОК) ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 09.02.03 Программирование в компьютерных системах

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
«СЕМИЛУКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»





М.Д. Евдокимова

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ЕН.01. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

(ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ БЛОК)

ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ
09.02.03 Программирование в компьютерных системах

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ





Семилуки. 2014
Одобрено методическим советом ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»
Автор-составитель: Евдокимова М.Д., преподаватель ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»













Учебно-методический комплекс по дисциплине Элементы высшей математики составлен в соответствии с требованиями к минимуму результатов освоения дисциплины, изложенными в Федеральном государственном стандарте среднего профессионального образования по специальности 09.02.03 Программирование в компьютерных системах.


Учебно-методический комплекс по дисциплине Элементы высшей математики адресован студентам очной формы обучения.
УМКД включает теоретический блок, примеры решения задач, задания для закрепления материала, перечень практических занятий, вопросы для самоконтроля, а также вопросы и задания по промежуточной и итоговой аттестации.











© Евдокимова М.Д., 2014
©ГОБУ СПО ВО «СГТЭК» 

СОДЕРЖАНИЕ


Наименование разделов
стр

Введение
4

Образовательный маршрут
9

Содержание дисциплины
10

Раздел 1. Основы линейной алгебры
10

Раздел 2. Основы аналитической геометрии
35

Раздел 3. Основы теории комплексных чисел
62

Раздел 4. Основы дифференциального исчисления
74

Раздел 5. Основы интегрального исчисления
102

Раздел 6. Дифференциальные уравнения
146

Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины
165

Информационное обеспечение дисциплины
168


УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!

Учебно-методический комплекс по дисциплине Элементы высшей математики создан Вам в помощь для работы на занятиях, при выполнении домашнего задания и подготовки к текущему и итоговому контролю по дисциплине.
УМК по дисциплине включает теоретический блок, примеры решения задач, задания для самостоятельного решения, перечень практических занятий, вопросы для самоконтроля.
Приступая к изучению новой учебной дисциплины, Вы должны внимательно изучить список рекомендованной основной и вспомогательной литературы. Из всего массива рекомендованной литературы следует опираться на литературу, указанную как основную.
По каждой теме в УМК перечислены основные понятия и термины, вопросы, необходимые для изучения (план изучения темы), а также информация по каждому вопросу из подлежащих изучению. Наличие теоретической информации по теме позволит Вам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии.

После изучения теоретического блока приведен перечень практических занятий, выполнение которых обязательно. Наличие положительной оценки по практическим необходимо для получения допуска к экзамену по дисциплине, поэтому в случае отсутствия на уроке по уважительной или неуважительной причине Вам потребуется найти время и выполнить пропущенную работу. В процессе изучения дисциплины предусмотрена самостоятельная внеаудиторная работа, включающая решение задач, углубленную проработку тем.
По итогам изучения дисциплины проводится экзамен и дифференцированный зачет.

В результате освоения дисциплины Вы должны уметь:
выполнять операции над матрицами;
решать системы линейных уравнений;
решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости;
применять методы дифференциального и интегрального исчисления;
решать дифференциальные уравнения;
пользоваться понятиями теории комплексных чисел;
применять методы дифференциального и интегрального исчисления функции двух переменных;
применять дифференциальные уравнения в науке и технике

В результате освоения дисциплины Вы должны знать:
основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии;
основы дифференциального и интегрального исчисления;
основы теории комплексных чисел.
2. Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке
2.1. В результате аттестации по учебной дисциплине осуществляется комплексная проверка следующих умений и знаний, а также динамика формирования общих компетенций:
Таблица 1.1
Результаты обучения: умения, знания и общие компетенции
Показатели оценки результата


Уметь:


У 1 - выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

- выполнение действий над матрицами: сложение, вычитание, умножение, умножение матрицы на число
-вычисление определителей
- решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
- решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
- решение систем линейных уравнений методом Гаусса


У 2 - решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости;
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

- Выполнение действий над векторами: сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число
- Нахождение скалярного, векторного и смешанного произведения векторов
- Составление уравнений прямых и кривых 2 порядка, их построение


У 3. применять методы дифференциального и интегрального исчисления;
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

-Вычисление предела функции в точке и в бесконечности
- Исследование функции на непрерывность в точке
- Нахождение производной функции
- Нахождение производной сложной функции
- Вычисление производной неявной функции. Логарифмическое дифференцирование Производная функции, заданной параметрически.
- Исследование функции с помощью производной и построение графика
- Нахождение неопределенных интегралов
-Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование рациональных функций
- Вычисление определенных интегралов
-Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла
-Исследование сходимости положительных, знакочередующихся рядов
Разложение функции в степенной ряд

У 4 - решать дифференциальные уравнения;
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

-Решение дифференциальных уравнений первого и второго порядка (перечислить виды)

У 5 - пользоваться понятиями теории комплексных чисел;
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

- Производить действия с комплексными числами в алгебраической, тригонометрической, показательной формах.
- Осуществлять геометрическую интерпретацию комплексного числа.
-Переводить комплексные числа из одной формы в другую.

Знать:



З1 - основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии;
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

- Воспроизводить алгоритмы решения систем линейных уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера, методом Гаусса
- Воспроизводить Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- Определять уравнения кривых второго порядка


З2 - основы дифференциального и интегрального исчисления;
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
- Воспроизводить методы вычисления пределов, замечательные пределы
- Классифицировать точки разрыва функции
- Воспроизводить правила дифференцирования и производные основных элементарных функций
- Воспроизводить алгоритм построения графиков функций с помощью производной
- Называть табличные интегралы. Решать интегралы методом замены переменной, интегрированием по частям.
-использовать приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, объемов тел вращения, пути, пройденного точкой


З3 - основы теории комплексных чисел
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
- Представлять комплексного числа в алгебраической, тригонометрической, показательной формах, выполнять действия в них.




В таблице приведены профессиональные компетенции, к освоению которых готовит содержание дисциплины.

Название ПК
Результат, который Вы должны получить после изучения содержания дисциплины

ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.
Умение составлять математические модели решаемых задач


ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
Умение использовать полученные знания при составлении программ.


ПКв Осуществлять разработку кода программного продукта для решения различных практических задач математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.
Умение использовать полученные знания при составлении программ.


ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
Умение использовать полученные знания при составлении программ.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Умение использовать полученные знания при составлении программ.


Внимание! Если в ходе изучения дисциплины у Вас возникают трудности, то Вы всегда можете к преподавателю прийти на дополнительные занятия, которые проводятся согласно графику. Время проведения дополнительных занятий Вы сможете узнать у преподавателя, а также познакомившись с графиком их проведения, размещенном на двери кабинета преподавателя.
В случае, если Вы пропустили занятия, Вы также всегда можете прийти на консультацию к преподавателю в часы дополнительных
занятий.



ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ МАРШРУТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Таблица 1
Формы отчетности, обязательные для сдачи
Количество


практические занятия
25

Итоговая аттестация (при наличии)
Экзамен, дифференцированный зачет




Желаем Вам удачи!
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ БЛОК


Раздел 1. Основы линейной алгебры

Тема лекции: «Матрицы. Общие сведения. Операции над матрицами»

План лекции
Матрицы. Виды матриц.
Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса.
Свойства операций над матрицами

Матрицы. Виды матриц

Определение: Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел aij, которые называют элементами матрицы и обозначается
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Заметим, что элементами матрицы могут быть не только числа. Представим себе, что вы описываете книги, которые стоят на вашей книжной полке. Пусть у вас на полке порядок и все книги стоят на строго определенных местах. Таблица, которая будет содержать описание вашей библиотеки (по полкам и следованию книг на полке), тоже будет матрицей. Но такая матрица будет не числовой. Другой пример. Вместо чисел стоят разные функции, объединенные между собой некоторой зависимостью. Полученная таблица также будет называться матрицей. Иными словами, Матрица, это любая прямоугольная таблица, составленная из однородных элементов. Здесь и далее мы будем говорить о матрицах, составленных из чисел.
Вместо круглых скобок для записи матриц применяют квадратные скобки или прямые двойные вертикальные линии
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Определение. Если в выражении (1) m = n, то говорят о квадратной матрице, а если m [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]n, то о прямоугольной.
В зависимости от значений m и n различают некоторые специальные виды матриц:
Матрица - строка (или строковая матрица), состоящая из одной строки. Это прямоугольная матрица размером 1 Ч n.
A=(a11 a12 ... an).
Матрица - столбец (столбцевая матрица), состоящая только из одного столбца. Это также прямоугольная матрица размером m Ч 1
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Матрица, состоящая из одного элемента. A=(a11)1Ч1=a11.
Нулевая матрица, состоящая из одних нулей, в матричной алгебре играет роль 0, обозначается V.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Единичная матрица, состоящая из нулей, кроме главной диагонали, на которой стоят единицы. Обозначается E и играет роль единицы в матричной алгебре
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Диагональная матрица, квадратная порядка n, состоящая из нулей и на главной диагонали стоят не равные нулю элементы (не обязательно единицы)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если amn = anm , то матрица называется симметрической.
Пример: 13 EMBED Equation.3 1415- симметрическая матрица

Операции над матрицами

1. Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.
cij = aij ± bij

2. Умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к  умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

 
3. Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:
AЧB = C;
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Из приведенного определения видно, что каждый элемент матрицы С равен алгебраической сумме произведений элементов i – той строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В.
Отсюда правило:
13 EMBED Equation.3 1415
Замечание: Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Пример:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] (обозначение: AT) операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы АТ.(т.е. строки матрицы А заменены на столбцы и наоборот)

Контрольные вопросы:

Что такое матрица?
Какие виды матриц вы знаете?
Какие операции над матрицами можно выполнять?


Задания для закрепления материала:

1. Даны две матрицы А и В. Найти: а) А+В; б) 2А-В; в) ВА+АТ:
13 EMBED Equation.3 1415, .
, .





Тема лекции: «Действия над матрицами, их свойства»

Пример: Даны матрицы А = , В = , С = и число ( = 2. Найти АТВ+(С.
AT = ; ATB = ( = = ;
(C = ; АТВ+(С = + = .
Пример: Даны матрицы А = и В = . Найти произведение матриц АВ и ВА.
АВ = ( = .
ВА = ( = (2(1 + 4(4 + 1(3) = (2 + 16 + 3) = (21).
Пример: Найти произведение матриц А=, В =
АВ = (= = .
Свойства операций над матрицами

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] сложения: A + B = B + A.
Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.
Вообще говоря, умножение матриц не коммутативно: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] умножения относительно сложения:
A(B + C) = AB + AC;
(B + C)A = BA + CA.
Свойства операции транспонирования матриц:
(AT)T = A
(AB)T = BTAT
(A
· 1)T = (AT)
· 1, если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] A - 1 существует.

Задания для закрепления материала:

Найти линейную комбинацию матриц

Найти произведение матриц и если

Вычислить выражение , если , .
Решение. Прежде всего преобразуем матрицу , используя определение произведения матрицы на число
.
Найдём теперь . По определению, чтобы получить матрицу небходимо в поменять местами соответствующие строки и столбцы, таким образом имеем
.
Вычислим теперь искомое выражение 13 EMBED Equation.3 1415

Вычислить выражение , если .
Решение. Выражение представляет собой матричный многочлен
, где - единичная матрица.
Вычислим последовательно слагаемые этого выражения:
,
, .
Подставив всё это в , имеем
.


Дополнительные задачи
Найти , если .
Даны матрицы .
Найти: а) б)
Найти матрицу , если
а)
б)
5. Даны матрицы .
Найти: а) б) в)
6.Найти и , если
7.Найти произведения матриц





8. Вычислить:
а) ; б) ;
9. Вычислить , если
а) ;
б) ;
в) ;
г) .



Тема лекции: «Определители. Свойства определителей»

План лекции
Определители 2-го, 3-го порядков.
Определители n-го порядка.
Свойства определителей.
Методы вычисления определителей.

Определители 2-го, 3-го порядков

Определитель- число, характеризующее матрицу. Часто применяется при решении СЛУ.
Определение: Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Примеры определителей второго порядка:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Определение: Определителем третьего порядка называется следующее выражение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Определитель третьего порядка вычислить легко, если учесть следующее правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположого угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольноков, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило, называемое правилом треугольников. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а зеленым (справа) - со знаком минус.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Примеры определителей третьего порядка:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Определители n-го порядка

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице , называется число
.
Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.
Это правило называется правилом Лапласа.
Определение. Алгебраическим дополнение элемента называется число, равное .
Определение. Дополнительным минором элемента матрицы называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
.
Пример: Вычислить данный определитель четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:

Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак, имеем
Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать по второй строке:



Таким образом окончательно получим

Свойства определителей

При транспонировании матрицы определитель не меняется.
При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.
При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число.
Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то .
Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.
Определитель равен нулю, если
- все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.
- две строки (столбца) одинаковы.
- две строки (столбца) определителя пропорциональны.

Методы вычисления определителей

1). Разложение по строке или столбцу.
2). Метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца. Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какого-либо столбца (строки) путём умножения его на соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк), зануляются все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке).
3). Метод приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного зануления всех элементов первой строки (столбца) кроме одного, второй строки (столбца) – всех кроме двух и т.д. В итоге определитель преобразуется к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диогонали.
4). Вычисление с использованием теоремы Лапласа, согласно которой определитель - го порядка равен сумме произведений всех его миноров -го порядка, стоящих в выделенных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

Контрольные вопросы:

Что такое определитель?
Как вычисляется определитель 2-го порядка?
Как вычисляется определитель 3-го порядка?
Как вычисляется определитель n-го порядка?
Какими свойствами обладают определители?


Задания для закрепления материала
Вычислить определитель:
Вычислить определитель .
Решить уравнение . Ответ: .
Решить уравнение .
Решить уравнение .
Вычислить определитель:
Вычислить определитель:
Вычислить определитель:
Разложим по элементам третьего столбца, т.е.
.
Решить уравнение: . (х=2)
Решить уравнение:
Вычислить определители:








Тема лекции: «Обратная матрица»

Определение. Квадратная матрица называется обратной к квадратной матрице того же порядка, если , где - единичная матрица.

Утверждение. Квадратная матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .

Утверждение. Элементы обратной матрицы , если она существует, можно найти по формуле
или ,
где - алгебраическое дополнение к элементу матрицы , - алгебраическое дополнение к элементу транспонированной матрицы .

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

Вычислить определитель.
Транспонировать матрицу.
Вычислить алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы.
Выписываем обратную матрицу по формуле)

Пример: Найти матрицу обратную к , если .
Решение. Прежде всего вычислим определитель матрицы , чтобы убедиться в возможности существования обратной матрицы.

Следовательно, для существует обратная матрица.
Воспользуемся теперь формулой, выражающей элементы обратной матрицы через алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы. Для имеем .
Вычислим последовательно элементы :
, ,

, ,

, ,

, ,
.
С учётом полученного обратная к матрица имеет вид
.
Контрольные вопросы:

Какая матрица называется обратной?
Для каких матриц существуют обратные?
Алгоритм нахождения обратной матрицы.

Задания для закрепления материала

1. Найти матрицу, обратную к данной, если она существует
; Решение: , обратной матрицы не существует.
; Решение:
. Решение:


Тема лекции: «Ранг матрицы»

Определение. Минор -го порядка матрицы называется её базисным минором, если он не равен нулю, а все миноры матрицы порядка и выше, если они существуют, равны нулю.

Определение. Ранг матрицы – это порядок её базисного минора (наивысший порядок, отличных от нуля миноров).
Для ранга матрицы используются такие обозначения: .

Утверждение. Ранг матрицы не меняется
- при транспонировании матрицы.
- при перестановке её строк и столбцов.
- при умножении всех элементов её строки (столбца) на число отличное от нуля.
- при добавлении к одной из строк (столбцов) линейной комбинации из других её строк (столбцов).
- при удалении (вычёркивании) из неё строки (столбца) из нулей.
- при удалении из неё строки (столбца), представляющей линейную комбинацию других строк (столбцов).

Методы вычисления ранга матрицы

Метод упрощения матрицы с помощью элементарных пребразований. Упрощения производятся с использованием свойств ранга матрицы. Как и в случае с определителями, можно, например, с помощью 1-й строки занулить все элементы первого столбца кроме одного - верхнего. Далее с помощью второй строки занулить все эементы второго столбца кроме двух верхних и т.д., пока матрица не приведётся к ступенчатому виду.
Метод окаймления. Ищется минор порядка , заведомо отличный от нуля. Затем вычисляются все окаймляющие (т.е. содержащие ) миноры порядка. Если среди них найдётся хоть один, отличный от нуля, то ищутся окаймляющие миноры следующего порядка. Процедура продолжается до тех пор, пока для какого-то, отличного от нуля минора -го порядка, все окаймляющие миноры ни окажутся равными нулю. Тогда ранг матрицы равен нулю.
Пример: Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы:
.
Решение. Используем свойства ранга матрицы. Для удобства преобразуем матрицу так, чтобы в первой строке самый крайний слева элемент был равен единице. Для этого вычтем первую стоку из второй и преобразованную вторую строку поменяем местами с первой.

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:
.
Третья строка равна второй и её можно вычеркнуть согласно свойству 6. Таким образом, исходная матрица в результате эквивалентных преобразований переходит в следующую:
.
В этой матрице имеются миноры второго порядка, отличные от нуля, например,
минор . Этот минор можно выбрать в качестве базисного. Следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: .
Пример: Вычислить методом окаймления ранг матрицы
.
Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля:
.
Теперь вычислим миноры, окаймляющие данный. Таковых два:
,
.
Таким образом, оба окаймляющих минора равны нулю и, следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: .

Контрольные вопросы:

Ранг матрицы.
Как вычислить ранг матрицы.

Задания для закрепления материала

1. Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы
; ; .
2. С помощью элементарных преобразований найти ранг матрицы
а) ; б) ;



Тема лекции: «Правило Крамера решения систем линейных уравнений»

«Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим тонким инструментом человеческого гения! В формулах увековечены ценнейшие достижения людского рода, в них заключено величие и могущества разума, его торжество над покоренной природой.»
академик И. И. Артоболевский
(из книги «Машина» под редакцией академика И.И. Артоболевского)
Наш сегодняшний урок я хотела бы начать со слов академика Ивана Ивановича Артоболевского, которые вы видите на экране.
(ЦЕЛИ) Сегодня вы должны научиться решать системы линейных уравнений по правилу Крамера, которые представляют из себя готовые формулы.
Поэтому слова Артоболевского очень хорошо отражают цель нашего занятия.
А так как формулы легко программируются, то мы также научимся сегодня применять эти методы еще и в электронном виде, т.е. решать системы линейных уравнений с помощью MS Excel, для этого будем записывать системы в виде матриц. А с матрицами вы уже знакомы и умеете выполнять с ними многие действия. Все эти знания пригодятся вам на занятии.
(МОТИВАЦИЯ) Для чего мы изучаем эту тему? Многие экономические задачи для решения моделируются в виде систем линейных уравнений, которые компактно записываются с помощью матриц.
Особенно актуально это при работе с базами данных, почти вся информация БД хранится и обрабатывается в матричной форме.

Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему уравнений:
(1)
Такие системы порядка 2*2, 3*3 вы решали еще в школе.
Вспомните основные способы решения систем уравнений:
метод подстановки;
метод исключения неизвестных (метод Гаусса);
графический метод;
метод сложения.

Если рассмотреть любой из этих методов, то можно заметить, что переменные при решении из строки в строку переписываются, а меняются только коэффициенты при этих переменных.
Поэтому существует упрощенная форма записи системы – матричная форма:
Пусть ,
тогда система (1) равносильна записи AХ=B.

Обращаю ваше внимание, что изучаемые сегодня методы решения систем подходят только для квадратных систем, когда количество уравнений совпадает с количеством переменных.
В этом и есть их недостаток.

Метод Крамера

Рассмотрим метод решения систем линейных уравнений - метод Крамера. Назвать его новым нельзя, т.к. это тот же метод сложения уравнений, только записанный в матричной форме.
Этот метод основан на понятии определителя матрицы.
Теорема. Пусть
· - определитель матрицы системы А, а
·j - определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j-ого столбца столбцом свободных членов В. Тогда система уравнений имеет единственное решение, определяемое по формулам:
.
Это правило названо именем швейцарского математика Крамера (1704 - 1752), который одним из первых пришел к понятию определителя и доказал приведенную здесь теорему в 1750 году в своей работе «Введение в анализ кривых линий».

(Мотивация) Этот метод очень важен при решении теоретических вопросов, Он широко применяется (как и само понятие определителя) не только в высшей алгебре, но и в других разделах высшей математики, в механике и теоретической физике. Однако, для практического решения систем линейных уравнений самым экономным (в смысле объема производимых вычислений) оказывается метод последовательного исключения неизвестных, метод Гаусса, именно им часто пользуются на практике. С этим методом мы познакомимся позже.
А сегодня научимся применять теорему Крамера при решении систем линейных уравнений с использованием ваших знаний и умений, полученных на уроках математики и информатики.

Пример:Решить систему уравнений методом Крамера:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
Запишем данную систему уравнений на языке матриц.
.
Вычислим главный определитель матрицы системы:
.
Вычислим вспомогательные определители (самостоятельно, у доски):

По формулам Крамера, получаем:
.
Ответ: (0;2;1).

Теперь рассмотрим, как можно облегчить решения систем, а именно как применять для их решения табличный процессор MS Excel.
С табличным процессором MS Excel вы знакомы уже давно, с 1 курса.
Напомню еще раз, что изученные нами на сегодняшнем занятии методы основаны на вычислениях по готовым формулам. А в MS Excel они записываются как встроенные функции. Именно они и помогут нам.

Напомню, что функция в информатике – это имя, которое возвращает нам единственное значение.

Зачем мы учимся решать системы линейных уравнений с помощью MS Excel?
Во-первых, если системы задана больших размеров (например, 4*4) ручные вычисления очень громоздкие.
Во-вторых, с их помощью можно проверять себя.

Какие же функции Excel нам необходимо знать для решения систем линейных уравнений?

Как правильно записать систему в MS Excel и как правильно записать применяемые функции, расписано у вас на листочках, которые я вам раздам.

Так как применяя метод Крамера, мы лишь вычисляем определители, то пользуемся встроенной функцией – МОПРЕД(МАССИВ).

Функция МОПРЕД - возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).
Запись формул начинается со знака «=».

Задания для закрепления материала

Решите системы линейных уравнений методом Крамера:
1)
2)
3)
4)
5)


Тема лекции: «Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений

«Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим тонким инструментом человеческого гения! В формулах увековечены ценнейшие достижения людского рода, в них заключено величие и могущества разума, его торжество над покоренной природой.»
академик И. И. Артоболевский
(из книги «Машина» под редакцией академика И.И. Артоболевского)

(ЦЕЛИ) Сегодня вы должны повторить решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и научиться решать их методом обратной матрицы, которые представляют из себя готовые формулы.
Поэтому слова Артоболевского очень хорошо отражают цель нашего занятия.
А так как формулы легко программируются, то мы также научимся сегодня применять эти методы еще и в электронном виде, т.е. решать системы линейных уравнений с помощью MS Excel, для этого будем записывать системы в виде матриц. А с матрицами вы уже знакомы и умеете выполнять с ними многие действия. Все эти знания пригодятся вам на занятии.

Метод обратной матрицы

Пусть имеется система линейных уравнений AХ=B и ее определитель не равен нулю.
Умножая слева обе части данного равенства на матрицу А-1, получим
.
Так как , то

- решение системы.

Пример:
Решить систему уравнений методом обратной матрицы:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Решение:Система как и прошлом примере, но теперь ее решим методом обратной матрицы.
Запишем данную систему уравнений на языке матриц.
.
Найдем обратную матрицу А-1: (на экране алгоритм нахождения обратной матрицы)
.
Транспонируем матрицу

Находим алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы:

Выписываем обратную матрицу:
.
Тогда
Посмотрите еще раз на оба метода. Все необходимые знания для их применения (вычисление определителей, нахождение обратной матрицы, умножение матриц) вы уже имели. И сегодня мы их повторили и научились практически применять для решения систем линейных уравнений.

Теперь рассмотрим, как можно облегчить решения систем, а именно как применять для их решения табличный процессор MS Excel.
Напомню еще раз, что изученные нами на сегодняшнем занятии методы основаны на вычислениях по готовым формулам. А в MS Excel они записываются как встроенные функции. Именно они и помогут нам.

Напомню, что функция в информатике – это имя, которое возвращает нам единственное значение.

Зачем мы учимся решать системы линейных уравнений с помощью MS Excel?
Во-первых, если системы задана больших размеров (например, 4*4) ручные вычисления очень громоздкие.
Во-вторых, с их помощью можно проверять себя.

Какие же функции Excel нам необходимо знать для решения систем линейных уравнений?

Как правильно записать систему в MS Excel и как правильно записать применяемые функции, расписано у вас на листочках, которые я вам раздам.

Применяя метод обратной матрицы пользуемся функциями – МОБР(МАССИВ) и МУМНОЖ(массив1;массив2).
Функция МОБР - возвращает обратную матрицу (матрица хранится в массиве).
Функция МУМНОЖ - возвращает произведение матриц.
Запись формул начинается со знака «=».

Задания для закрепления материала

Решите системы линейных уравнений методом обратной матрицы:






Тема лекции: «Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

План лекции
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Решение СЛАУ методом Гаусса - это один из самых простых и быстрых способов [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] систем алгебраических уравнений. В отличие от решения СЛАУ [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] он не требует вычисления множества [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] и затем тяжелого деления, у Вас просто меньше мест для ошибок. По сравнению с методом обратных матриц, метод Гаусса гораздо быстрее и не требует выполнения такой сложной операции, как вычисление [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. По признанию многих студентов решении систем алгебраических уравнений методом Гаусса гораздо проще для понимания.
Наиболее распространенным точным методом решения системы линейных уравнений является метод Гаусса.
Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему.
Пусть дана произвольная система линейных уравнений:
(1)
Будем производить над ней элементарные преобразования. Для этого выпишем матрицу из коэффициентов при неизвестных системы (1) с добавлением столбца свободных членов, другими словами расширенную матрицу
· для системы (1):

Предположим, что с помощью таких преобразований удалось привести матрицу
· к треугольному виду.

где все диагональные элементы
·11,
·22,...,
·nn отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже диагональных, равны нулю.

Из последней матрицы начиная с последней строки находят все переменные.

Приведение матрицы к треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение переменных – обратным ходом.


Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
Составим расширенную матрицу системы.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]15, откуда получаем:  x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

Контрольные вопросы:

Что такое математическое моделирование?
Что такое модель?
Классификация моделей.
Алгоритм моделирования в задачах коммерческой деятельности.

Задания для закрепления материала

Методом Гаусса решите системы уравнений:



Практические занятия

Практическое занятие №1 «Выполнение операций над матрицами»
Практическое занятие №2 «Вычисление определителей»
Практическое занятие №3 «Нахождение обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы»
Практическое занятие №4 «Решение систем линейных уравнений различными методами»
Раздел 2. Основы аналитической геометрии


Тема лекции: «Прямая на плоскости. Взаимное расположение прямых

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

1) Уравнение с угловым коэффициентом.
Дано:
( – угол с OX,
на OY отсекает b








- Уравнение с угловым коэффициентом

A (x; y) – любая точка прямой


2) Уравнение прямой, проходящей через точку A(x0; y0) под заданным углом (.










– уравнение прямой, проходящей через точку под заданным углом.
– уравнение прямой, проходящей через O(0; 0) (начало координат).


3) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку A(x0; y0) перпендикулярно данному вектору
M (x; y) – произвольная точка прямой

– координаты вектора
- Уравнение прямой, проходящей через заданную точку A(x0; y0) перпендикулярно данному вектору


Пример:
Дан (ABC: A(3; 2), B(–1; 4), C(5; 6).
Написать уравнение hB.






4) Общее уравнение прямой.

– общее уравнение прямой


Частные случаи:
1) A = 0,
By + C = 0,

y = b
2) B = 0,
Ax + C = 0,

x = a

3) C = 0,
Ax + By = 0,
через начало координат
4) x = 0
– координатные оси
y = 0



5)Уравнение прямой в отрезках.


– уравнение прямой в отрезках.






6) Пучок прямых.
Совокупность прямых, проходящих через одну общую точку, называется пучком прямых; общая точка называется центром пучка.
– текущий параметр.






7) Уравнение прямой, проходящей через две точки

– уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пример: Записать уравнение медианы треугольника ABC, проведенной из вершины A, если A(–1: 3), B(3; 5), C(1; –3).
-


8) Условие принадлежности трех точек одной прямой.


– условие принадлежности


ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ.

Условие параллельности двух прямых и имеет вид

Пример: Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти уравнение стороны AD.
Решение: , прямая . Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как прямая параллельна прямой , то в силу формулы (3.3) их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, уравнение прямой имеет вид
.

Условие перпендикулярности двух прямых и имеет вид


Пример: Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD.
Решение: Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как высота перпендикулярна прямой , то их угловые коэффициенты связаны соотношением (3.4). Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, угловой коэффициент высоты равен и уравнение прямой имеет вид . Запишем уравнение высоты в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: .

Расстояние от точки до прямой представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и определяется формулой

Пример: Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти длину высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD.

Решение: Так как перпендикулярна , то длина может быть найдена с помощью формулы (3.5). По условию , прямая определяется уравнением . В силу формулы (3.5) длина высоты равна =.

Тангенс угла между прямыми и определяется формулой


Пример: Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти тангенс угла между диагоналями и .
Решение: а) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . Следовательно, . Общее уравнение диагонали имеет вид , уравнение с угловым коэффициентом – вид , угловой коэффициент прямой равен .
б) Уравнение диагонали имеет вид , ее угловой коэффициент .
в) Тангенс угла между прямыми и определяется формулой

Следовательно, . Отсюда .


Если и , то координаты точки - середины отрезка , определяются формулами

Пример: , . Найти координаты середины отрезка АС имеем: , . Следовательно .


Контрольные вопросы:

Уравнение с угловым коэффициентом?
уравнение прямой, проходящей через точку под заданным углом?
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку A(x0; y0) перпендикулярно данному вектору.
Уравнение прямой в отрезках?
Пучок прямых?
Уравнение прямой, проходящей через две точки?
Условие параллельности прямых?
Условие перпендикулярности прямых?


Тема лекции: «Составление уравнений прямых»

Пример:








Задания для закрепления материала


А(2;3) B(4; 0) C(-3;6)


Тема лекции: «Каноническое уравнение окружности»

Основные понятия аналитической геометрии.

Аналитическая геометрия – это геометрия, изучаемая средствами алгебры с использованием систем координат. В аналитической геометрии устанавливаются соответствия:
между множеством линий на плоскости и множеством уравнений с двумя переменными (уравнений вида );
между множеством поверхностей в пространстве и множеством уравнений с тремя переменными (уравнений вида ).

Уравнением линии на плоскости (уравнением поверхности в пространстве) называют уравнение, которому удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат линии (поверхности).
Каждому уравнению с двумя (тремя) переменными соответствует линия на плоскости (поверхность в пространстве), являющаяся геометрическим местом тех и только тех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Определение: Кривой второго порядка называется линия, которая аналитически определяется уравнением 2-й степени относительно х и у.

, где
А, В, С, D, Е, F – действительные числа.
В зависимости от значения коэффициентов А, В, С получаются различные виды кривых, причем коэффициенты А, В, С не могут одновременно равняться нулю.
К кривым второго порядка относятся:
окружность
эллипс
гипербола
парабола



Уравнения окружности и сферы

Пусть дана окружность на плоскости с центром в точке и радиусом R.
Для тех и только тех точек M, которые принадлежат окружности , или, в силу :
,
;
.
Откуда:

Последнее уравнение является общим уравнением окружности.
Аналогично для сферы в пространстве может быть получено уравнение:

где a,b,c – координаты центра сферы.

Пример: Построить линии по уравнениям в прямоугольной системе координат:



Пример: Составить уравнение окружности с центром в точке С(3;4) и радиусом R=5. Проверить, лежат ли на этой окружности точки О(0;0), А(7;1), В(2;3).

М (х; у)
СМ = R = 5
СМ=


Пример: Составить уравнение линии, каждая точка которой в два раза ближе к точке , чем к началу координат.
Решение: Пусть текущая точка искомой линии. Запишем уравнение линии в векторной форме (см. рис. №№) :
.
Перейдем к координатной форме :
,
.
Следовательно,
.
Избавимся от иррациональности, возведя обе части уравнения в квадрат,
, или
.
Преобразуем уравнение, как в задании 2 б),
, или
,
окончательно имеем
.
Полученное уравнение задает окружность с центром в точке радиуса .


Пример Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и построить эту линию:
х2 + у2 + 4x + 2у +1 = 0,

Решение: Уравнение х2 + у 2 + 4х + 2у +1 =0 определяет окружность, так как А=С= 1. Для получения канонического уравнения окружности выделим полные квадраты по переменным х и у:
,
.

Итак, получено каноническое уравнение окружности с центром в точке (-2,-1) и радиусом R = 2 .


Задания для закрепления материала

Построить линии по уравнениям в прямоугольной системе координат:

Составить уравнение окружности с центром в точке С(0;2) и радиусом R=3. Проверить, лежат ли на этой окружности точки D(0;5), А(7;1), В(2;3).
Составить уравнение окружности с центром в точке С(3;1) и радиусом R=6. Проверить, лежат ли на этой окружности точки О(0;0), А(7;1), В(4;10).
Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее.







Тема лекции: «Каноническое уравнение эллипса»

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами эллипса, постоянна.
Примем за ось абсцисс прямую, соединяющую фокусы F1 и F2, начало координат расположим в точке, делящей отрезок F1F2 пополам (рис. 3.10). Обозначим расстояние между двумя фокусами через 2с, тогда фокусы имеют координаты F1 (-с, 0), F2 (с, 0). Пусть М(х, у) - произвольная точка эллипса. По определению эллипса для любой его точки М выполняется условие
(3.21)
2а - упомянутое в определении эллипса расстояние, причем 2а > 2с, то есть а >с. По формуле (2.14) имеем:


Подставим эти выражения в (3.21)

и выполним необходимые преобразования. В результате этих действий придем к уравнению

Так как а > с, то положим Тогда окончательно имеем


Последнее уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Исследуем форму эллипса по его каноническому уравнению:
так как уравнение эллипса содержит только квадраты текущих координат, то, если точка (х, у) принадлежит эллипсу, то и точки (-х, у),(-х, -у),(х, -у) тоже принадлежат эллипсу. Значит оси координат являются осями симметрии эллипса. Точка пересечения осей симметрии называется центром эллипса. Для эллипса, определяемого уравнением (3.22), центром является начало координат;
точки пересечения эллипса с осями симметрии называются вершинамиэллипса. Для эллипса, определяемого уравнением, вершинами будутточки (рис. 3.11):

Отрезок А1 А2 называется большой осью эллипса, - большой полуосью эллипса, отрезок В1В2 называется малой осью эллипса, -малой полуосью эллипса,- полуфокусным расстоянием, причем или
3) из уравнения следует, что каждое слагаемое левой части не превосходит единицы, то есть и или и . Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми (рис. 3.11). Причем при возрастании одного слагаемого в левой части уравнения (3.22) другое слагаемое будет уменьшаться, то есть, если |х| возрастает, то уменьшается и наоборот. Таким образом, эллипс имеет вид, приведенный на рис. 3.11;

4) форма эллипса зависит от величины отношения . При b = а эллипс превращается в окружность. Но в качестве характеристики формы эллипса используют отношение полуфокусного расстояния с к большой полуоси a, которое называется эксцентриситетом эллипса Причем , а при получаем окружность.
Пусть М(х, у) - произвольная точка эллипса (рис. 3.12). Длины отрезков FхM =r1, F2M-r2 называются фокальными радиусами точки М и по определению эллипса .
Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра эллипса на расстоянии от него, называются директрисами эллипса, уравнения директрис (рис. 3.12). Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояний от любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса:

Если а
Фокусы такого эллипса находятся в точках где

Пример: Построить линии по уравнениям в прямоугольной системе координат:



Пример:. Наименьшее расстояние Земли от Солнца 147,5 млн.км , наибольшее - 152,5 млн. км. Найти большую полуось и эксцентриситет эллиптической орбиты Земли.
Решение: max = a + c , min = a – c a = 150 млн. км. , с = 2,5 млн. км.
b = = 149.98 млн. км. = c/a = 0.017 , a – b = 20 т. км.

Пример: Дано: расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось рана 3 . Написать уравнение эллипса.
Решение: т.к. 2с = 8 и b = 3, то c = 4, a == 5, = c/a = 0.8, x2/25 + y2/9 = 1

Пример: Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и построить эту линию:
Решение: 1) Уравнение определяет эллипс, так как А С = 5 9 > 0. Чтобы получить каноническое уравнение эллипса, выделим полные квадраты по переменным х и у и поделим полученное уравнение на свободный член:
,
,
.

Итак, получено каноническое уравнение эллипса с центром в точке (3,-1) и полуосями а =3 (большая) и (малая) (рис. 3.23).


Пример:.




Задания для закрепления материала

Построить линии по уравнениям в прямоугольной системе координат:



3. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее.
5x2 + 9y2 ( 30x + 18y + 9 = 0.
16x2 ( 4y2 + 16x + 12y ( 9 = 0
16x2 + y2 + 48x + 32 = 0.



4.Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ox
симметрично относительно начала координат, если 2c = 6, e = 3/5.


Тема лекции: «Каноническое уравнение гиперболы»

Определение 1. Множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний, которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная равная 2а, называется гиперболой.
- каноническое уравнение гиперболы, где
а – действительная полуось; b - мнимая полуось.
- нормальное уравнение гиперболы,
- уравнение асимптот гиперболы.

. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c. где с2 = а2+ b2
Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

Пример 1:



Пример 3:Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее.


Задания для закрепления материала

Построить линию:





Тема лекции: «Каноническое уравнение параболы


Определение 1. Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой фокусом, и одной прямой, называемой директрисой, называется параболой.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.



- каноническое уравнение параболы.
Парабола асимптот не имеет.
- директриса параболы.
– фокус параболы.
Эксцентриситет параболы считается равным 1

- нормальное уравнение параболы (уравнение параболы со смещенной вершиной)

Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы,
Число p называется параметром параболы.
Если M – произвольная точка параболы, то отрезок MF и его длина называются фокальными радиусами точки M.

Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково.

Тогда получим для параболы уравнение y2 = –2px,
а для директрисы и фокуса: F(–0,5p;0) и : x – 0,5p = 0.

Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3):

Тогда уравнение параболы будет иметь вид x2 = (2py, (6)
а для директрисы и фокуса получим: F(0; ( 0,5p) и : y ( 0,5p = 0.

Пример: Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее. 2х2 + 4х - у - 2 = 0
Чтобы получить каноническое уравнение, выделим полный квадрат по переменной х и поделим полученное уравнение на коэффициент перед полным квадратом:
,
,
.


Итак, получено каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (-1,-4) и параметром

Задания для закрепления материала

Пример :Построить линию:

Пример :



ПРИМЕР. Привести к каноническому виду уравнение линии и построить ее. .
РЕШЕНИЕ. Данная линия является кривой второго порядка, в уравнении которой отсутствует произведение переменных и . Дополним члены, содержащие , и члены, содержащие , до полных квадратов. Получим

,
,
,
,
.

Имеем эллипс, центр которого лежит в точке , большая полуось , малая ось .










ПРИМЕР. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее.

РЕШЕНИЕ. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду выделим полный квадрат для x:
,
,
,
или ,
то есть имеем гиперболу, центр которой находится в точке , действительная полуось , мнимая полуось .












ПРИМЕР Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее.

РЕШЕНИЕ. Уравнение кривой преобразуется следующим образом:
или .
Отсюда , ,
имеем параболу, у которой вершина находится в точке , параметр , а ветви параболы направлены в отрицательную сторону оси .










Для построения параболы найдем точки пересечения параболы с осью . Для этого положим и решим уравнение . Тогда , .
Имеем две точки и – точки пересечения параболы с осью .



Тема лекции: «Решение задач, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости

Пример: Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от точки и прямой . Сделать чертеж.
Решение Пусть М (x, y) – любая точка искомой линии, - основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую y. Тогда точка имеет координаты . Расстояние от точки М до прямой есть расстояние между точками М и N:
.
Теперь определим расстояние между точками М и :
.
По условию задачи . Следовательно, для любой точки справедливо равенство:

или
.
Окончательно,
.
Полученное уравнение является уравнением параболы с вершиной в точке .

Пример: Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки и до прямой равно числу . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.
Решение. Пусть – текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр на прямую (рис. 2). Тогда . По условию задачи . По формуле (1) из предыдущей задачи
.
Тогда

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида , где .
Определим фокусы эллипса и . Для эллипса справедливо равенство , откуда и . То есть и – фокусы эллипса (точки и А совпадают).
Эксцентриситет эллипса .


Задания для закрепления материала

Задача1 : Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки A(3; 4) равно расстоянию до прямой у=2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.
Решение. М(х; у)текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MВ на прямую у =2 (рис. 3). Тогда В(x; 2). Так как МА=МВ, то
13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415 или


13 QUOTE 1415.
Задача2 : Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки и от оси . Сделать чертеж.
Задача3 : Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек и равна 50. Сделать чертеж.
Задача4 : Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(х1; у1) и до прямой равно числу
·. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую. А(4; 0), а = 9, .
Задача5 : Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А(х1; у1) равно расстоянию до прямой . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую. А(2; 1), b = –1.
Задача6 : Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(х,у) и данной прямой х=а равно числу k. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.
А(6 ,0) x =1,5; k=2



Практические занятия
Практическое занятие №5 «Решение задач, используя уравнения прямых на плоскости: составление уравнений прямых, их построение»
Практическое занятие №6 «Решение задач, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости: составление уравнений окружности, эллипса, их построение»
Практическое занятие №7 «Решение задач, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости: составление уравнений гиперболы и параболы и их построение»
Практическое занятие №8 «Решение задач, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости»
Раздел 3. Основы теории комплексных чисел


Тема лекции: «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Комплексным числом называется выражение вида
, (1)
где и ( действительные числа, ( мнимая единица.
Форма (1) называется алгебраической формой записи комплексного числа. Число называется действительной частью комплексного числа , а ( мнимой частью. Для этих чисел приняты обозначения: , .
Два комплексных числа и равны, если и ; , если и .
Комплексное число называется сопряженным для .
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действиительной осью, а ось ординат – мнимой осью (рис.1).
Число называется модулем комплексного числа и обозначается , т. е. . Угол , образованный вектором с положительным направлением оси Ox, называется аргументом числа и обозначается , т. е. .
Корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами, у которого , находятся по формулам
.
Если , ( корни квадратного трехчлена , то
.

Пример. Найти корни квадратного трехчлена и разложить его на множители.

Решение. По формуле корней квадратного уравнения
.
Тогда .




Из истории квадратных уравнений

а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
х2 + х = , х2 – х = 14
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

б) Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах2 + bх = с, а > 0
В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

в) Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду
х2 + bх = с,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.


Задания для закрепления материала

1. Дан квадратный трехчлен . Требуется:
а) найти корни квадратного уравнения ;
б) разложить квадратный трехчлен на множители;
в) изобразить корни на комплексной плоскости;
a = 1, b = (2, c = 4.
a = 2, b = 2, c = 1.
a = 4, b = 2, c = 1.
a = 1, b = (6, c = 12.
a = 9, b = 6, c = 2.

2. Решить уравнения: x2 = 16; б) x2 = 2; в) 3x2 = 5.

3.Решить системы уравнений:



Тема лекции: «Алгебраическая форма комплексных чисел

Определение. Алгебраической формой компле5ксного числа z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).
Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Рассмотрим частные случаи комплексных чисел.
Пусть - любое действительное число. Тогда становится действительным числом.
Пусть . Тогда - чисто мнимое число.
Таким образом, все действительные числа и все чисто мнимые числа входят в множество комплексных чисел.
Два комплексных числа и называются сопряженными комплексными числами.
Сравнение комплексных чисел осуществляется по правилам:
Два комплексных числа считаются равными, если .
Комплексное число равно нулю только тогда, когда одновременно.
Операции <, > не имеют смысла на множестве комплексных чисел.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Пусть даны два комплексных числа и .

1) Сложение (вычитание):
.
Пример. , .
.


2) Умножение:
.
В частности,
, .
Пример. , .


3) Деление:
.
Пример. , .

Все арифметические операции над комплексными числами проводятся по правилам действий над многочленами и , при этом заменяется на .

Задания для закрепления материала

1. Найти сумму комплексных чисел z1 = 2 – i и z2 = –4 + 3i.
z1 + z2 = ( 2 + (–1)
·i )+ (–4 + 3i ) = ( 2 + (–4)) + ((–1) + 3 ) i = –2+2i.
2. Найти произведение комплексных чисел z1 = 2 – 3i и z2 = –4 + 5i.
= ( 2 – 3i )
· (–4 + 5i ) = 2
·(–4) + (-4)
·(–3i) + 2
·5i – 3i
·5i =7+22i.
3. Найти частное z от деления z1 = 3 – 2 на z2 = 3 – i.
z = .
4.Выполнить все действия над комплексными числами и .
Решение





5. Вычислить: i2, i3, i4, i5, i6, i-1 , i-2.


6. Вычислить .
РЕШЕНИЕ. .

7. Выполнить действия в алгебраической форме записи:
а) б) в) ; г) ;
д) ; е)
8. Вычислить , если .
.
9. Вычислить число обратное числу z =3-i.
.

Дополнительные задачи:

1. Вычислить:
1) (3 – 2i) + (5 + 3i);
2) (1 + 2i) – (3 – i);
3) 3(2 – i)
·(1 – i);
4) (1 + 3i)(–7 + 2i);
5) (2 – i)2;
6) (1 + 2i)3.
2. Найти решение уравнений (x, y ( R):
1) (1 + i)x + (2 + i)y = 5 + 3i;
2) 2x + (1 + i)(x + y)=7 +i;
3) (3 – y + x)(1 + i) + (x – y)(2 + i) = 6 – 3i.
3. Вычислить:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) .
4. Найти z-1, если:
1) z = 7 – 12i; 2) z = 3 + 4i; 3) z = –3 + 7i; 4) z = i.




Тема лекции: «Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел, действия над ними.


Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число можно изобразить точкой плоскости xOy или ее радиус-вектором .
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действиительной осью, а ось ординат – мнимой осью.
Число называется модулем комплексного числа и обозначается , т. е. . Угол , образованный вектором с положительным направлением оси Ox, называется аргументом числа и обозначается , т. е. .
Всякое комплексное число может быть представлено
в тригонометрической форме , (1)
где , а ( решение системы удовлетворяющее условию или (называется главным значением аргумента и обозначается ).

Пример 1. Комплексные числа , , представить в тригонометрической форме.
Решение. Сначала следует найти модуль и аргумент данного комплексного числа, а после этого воспользоваться формулой (1):
, , следовательно , ;
, , следовательно ,
;
, , следовательно , .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть даны два комплексных числа
, .
1) Умножение: .
2) Деление: .
3) Возведение в степень. Формула Муавра: , где ( целое число.
4) Извлечение корня n-й степени :
, (1.3) где .
Пример 2. Вычислить , если .
Решение. Комплексное число представим в тригонометрической форме:
.
По формуле Муавра находим
.
Вычисляя косинус и синус, окончательно получим.


Показательная форма комплексного числа

Получаем:

Это есть формула Эйлера.
Заменяя в формуле ( на -( и учитывая при этом что cos( - чётная, sin( - нечётная функции, получим:

Разрешив последние равенства относительно cos( и sin( получим ещё 2 формулы Эйлера:


Действия над комплексными числами в показательной форме

Пусть и ,
1)Умножение: ,
2) Деление:
3) Возведение в степень:
4) Извлечение корня: , где к=0,1,2,3,4,5...,n-1.
Пример 3.
Написать в показательной форме комплексные числа:
а) б) ; в) ; г) д)
Решение
а)
б)
в)
г)

Пример: Представить в показательной форме комплексное число .
Решение. Находим модуль числа и один из его аргументов ., откуда, .

Пример:.Найти все значения:
a) ; б) ; в) .
Решение: а) запишем число Z=-16 в тригонометрической форме
.
Согласно формуле (1) получаем
, где k=0,1,2,3.
Следовательно,
,
,
,
.
б) Модуль числа i равен единице, а аргумент равен , поэтому
, где k=0,1,2.
Получаем
;
;
.

Пример: Дано комплексное число Требуется:
1) записать число a в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, изобразить число a точкой на комплексной плоскости;
2) вычислить и записать ответ в алгебраической, тригонометрической, показательной формах;

Решение.
1. Найдем алгебраическую форму числа a
. Числу a соответствует точка M(-1;), изображенная на рис.

Найдем модуль и аргумент числа а
. Тогда тригонометрическая и показательная формы числа а определяются равенствами

По формуле Муавра имеем.
. Из полученной показательной формы числа находим тригонометрическую и алгебраическую формы



Задания для закрепления материала

Дан квадратный трехчлен . Требуется:
а) найти корни квадратного уравнения ;
б) найти модуль и аргумент каждого из чисел и записать их в тригонометрической и показательной формах;
в) вычислить , , .
a = 1, b = (2, c = 4.
a = 2, b = 2, c = 1.
a = 4, b = 2, c = 1.
a = 1, b = (6, c = 12.
a = 9, b = 6, c = 2.
a = 4, b = 0, c = 9.

Дополнительные задачи

1. Представьте в тригонометрической и показательной формах комплексные числа:
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
2. Записать комплексное число в алгебраической и в тригонометрической формах:
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
3. Представить в тригонометрической форме комплексное число Z:
1) ,
2) .
4 . Записать комплексное число Z в алгебраической форме:
1) ,
2) ,
3) ,
4) .
5. Записать комплексное число Z в тригонометрической форме:
1) ,
2) ,
6 . Представить Z в алгебраической форме:
1) ,
2) ,
3) .
7. Представить в показательной форме комплексное числа:
1) ,
2) .
8. Записать в показательной и алгебраической формах комплексное число:
1) ,
2) ,
3) ,
9. Записать в показательной форме все значения:
1) ,
2) ,
3) ,
4) .



Практические занятия
Практическое занятие №9 «Использование понятий теории комплексных чисел при решение квадратных уравнений»
Практическое занятие №10 «Использование понятий теории комплексных чисел: действия над комплексными числами в алгебраической форме»
Практическое занятие №11 «Использование понятий теории комплексных чисел: действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах»
Раздел 4. Основы дифференциального исчисления


Тема лекции: «Производные основных элементарных функций. Дифференциал функции

Производная функции

Количественное описание сложных изменяющихся процессов жизнедеятельности с помощью элементарной математики невозможно, поскольку соответствующие математические величины, используемые для этой цели, должны сами обладать способностью к “движению” . Высшая математика, в отличие от элементарной, оперирует зависимостями и величинами, подверженными изменениям, происходящим по определенным законам. Величиной, определяющей темп изменения функциональных зависимостей в высшей математике, является производная функции.

Сведения из истории
Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова deriveе, которое ввел в 1797 году Ж. Лагранж (1736 – 1813); он же ввел современные обозначения у’, f ’. Исаак Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой. Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как .
Систематическое учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном. Если Ньютон находил в основном из задач механики, то Лейбниц по преимуществу находил из геометрических задач. Свои результаты в этой области Ньютон изложил в трактате, названным им «Метод флюксий и бесконечных рядов», но его трактат был опубликован лишь посмертно в 1736 г. Первая печатная работа по дифференциальному исчислению была опубликована Лейбницем в 1684 г., озаглавленная «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не являются препятствием дробные и рациональные количества, и особый для этого род исчисления».

Для пояснения этого понятия рассмотрим рис.1, где графически представлена некоторая произвольная функциональная зависимость y = f (x).
Приращением функции y = f(x) называется разность

где (x - приращение аргумента x. Из рис. 1 видно, что
(1)

Рис. 1

Определение производной

Пусть на множестве задана функция . Фиксируем точку и задаем приращение аргумента . Тогда точка соответствует и называется приращением функции.
Если существует предел
,
то он называется производной функции в точке .
Существуют и другие обозначения производной: , .
Операция вычисления производной функции называется операцией дифференцирования, а если конечна, то функция называется дифференцируемой.

Геометрический смысл производной: тангенс угла между касательной, проведенной к графику функции в данной точке, и осью абсцисс, числено равен значению производной функции в данной точке.

Физический смысл производной: мгновенная скорость движения в данной точке представляет собой значение в данный момент времени производной от пути по времени.
Если за время (t тело проходит путь (S, то средняя за это время скорость движения: Но на пути ( S скорость может иметь различные мгновенные значения (vмгн), которые определяются как предел отношения (S к (t при (t(0 :

Если рассматривается ускорение (а) механического движения, то мгновенное ускорение представляет собой первую производную от скорости или вторую производную от пути:

Таким образом, вторая производная имеет физический смысл ускорения.

Дифференциал функции.

Дифференциал функции (dу) - это произведение производной функции на приращение (или дифференциал) аргумента:
dу = у( (х = у dx. (5)
Аналитический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал dу представляет собой главную часть приращения функции. При малых приращениях можно считать dу ( (у.
Из смысла дифференциала следует его важное практическое значение: нахождение дифференциала функции позволяет определить, насколько изменилась функция, если произошли небольшие изменения переменной, от которой она зависит.
Пример. Имеется куб с длиной ребра l=1м. На какую величину (V изменится объем куба, если длина ребра увеличилась на (l=1см?
Эту задачу можно, конечно, решить и методами элементарной математики:
(V= (l+(l) 3- l3.
Однако, даже в этом элементарном примере необходимо выполнять довольно значительные вычисления.
Учитывая, что приращение объема куба (функции) при малых изменениях длины его ребра (аргумента) примерно равно дифференциалу объема, получим:
(V ( dV =(l3)(( (l = 3l2(l = 3(1(0,01=0,03м3.


ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Если С - постоянная, u = u(x), v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:







Все эти правила применяются к таблице производных

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.

Пример 1.
Решение.


Пример 2.
Решение.

Пример 3.
Решение.


Задания для закрепления материала

Найти производные функций:



























Дополнительные задачи


6. Найдите производную функции:

2) ; 5) ; 8) ; 11) ;
3) ; 6) ; 9) ; 12) .
7. Найдите производную функции:
1); 4); 7) ; 10) ;
2); 5) ; 8); 11) ;
3); 6) ; 9) ; 12) .

8. Найдите производную функции:
1) 5) ; 9) ;
2) 6) ; 10) ;
3) 7) ; 11)
4); 8) ; 12) .

9. Найдите производную функции:
1) ; 9) ;
2) ; 10) ;
3) ; 11) ;
4) ; 12) ;
5) ; 13);
6) ; 14);
7) ; 15);
8) ; 16).


Тема лекции: «Производная сложной функции»

Прежде чем воспользоваться таблицами производных, надо установить, является функция простой или сложной.
Функция называется сложной, если есть функция от : , т. е. .
Производная сложной функции вычисляется по формуле
,
т. е. сначала вычисляется производная функции по переменной , и затем она умножается на производную функции по переменной .

Таблица производных

1. () 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8. ()
9. () 10.
11. 12.()
13. 14.
15.

Пример . Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .
Решение. а) Функция – это сложная функция , . Тогда по формуле 1 таблицы производных , а по формуле 5 .Таким образом, .
б) Используем правило дифференцирования 3а: . Функция – сложная , . Поэтому
.
в)

=.

Задания для закрепления материала

Найти производные данных функций:
1. а) б) в)
2. а) б) в)
3. а) б) в)
4. а) б) в)
5. а) б) в)


Тема лекции: «Производные и дифференциалы высших порядков»


Если производная функции определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производную, то эта производная от называется второй производной (или производной второго порядка) функции в точке и обозначается одним из следующих символов:
, , , , , .
Третья производная определяется как производная от второй производной и т. д. Если уже введено понятие -й производной и если -я производная имеет производную в точке , то указанная производная называется -й производной (или производной -го порядка) и обозначается
, или , .
Таким образом, производные высших порядков определяются индуктивно по формуле:
.
Функция, имеющая -ю производную в точке , называется раз дифференцируемой в этой точке.

Пример. Найти функции .
Решение.


Задания для закрепления материала

Найти и :

;

;

;

;

;
;

;

;










Дополнительные задачи:

Найти производные функций указанных порядков:

Найти производную функции второго порядка в точке х0: , х0=0.
Найти производную функции второго порядка в точке х0: , х0=3.



Тема лекции: «Раскрытие неопределенностей, правило Лопиталя

Предел функции в конечной точке x0

Определение. Окрестностью точки x0 называется любой интервал, содержащий точку x0:

.
Определение. ( - окрестностью точки x0 называется интервал (-; +), длина которого 2, симметричный относительно x0:


Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x ( x0, если для любого наперед заданного малого числа
· > 0 существует такое малое число , что для любого x, принадлежащего D(f) и проколотой
·-окрестности точки x0, то есть , выполняется неравенство: .
Итак: : .
Пример
Пример Найти пределы функций:
а) ; б)
в) г)

Предел функции на бесконечности

Определение. Окрестностью бесконечно удаленной точки называют множество значений x, удовлетворяющих неравенству: , где N достаточно большое положительное число.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого малого числа
· >0 существует другое большое число N=N(
·)>0 такое, что для любого , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство: .
Этот факт записывают: .
Пример
Пример. Найти пределы функций.
а) б)
Теоремы о пределах:

Теорема Если , где с – константа, то
Теорема Пусть и тогда а)
б)
в) , если ;
г)

Математические неопределенности

Если а так же, если , то вычисление предела приводит к отношениям вида и . Если при помощи различных преобразований удается вычислить пределы указанного вида или доказать, что они существуют, то говорят, что неопределенность раскрыта.
Пример Найти предел функций:
Решение: Так как и то имеет место неопределенность вида
Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на множитель, стремящийся к нулю.

Пример Найти предел функций:
Решение:
Правило Лопиталя

При раскрытии неопределенностей , кроме классических методов вычисления пределов, во многих случаях можно пользоваться правилом Лопиталя:
Eсли или и существует предел отношения их производных , то .
Это правило справедливо и в случае .

Пример1. Применяя правило Лопиталя, найти пределы:
а) ; б) ; в) .
Решение. Убедившись, что имеет место случай или , применяем правило Лопиталя.
а) ,
б) .

Здесь мы дважды применили правило Лопиталя и воспользовались первым замечательным пределом.
в) .

При раскрытии неопределенностей для применения правила Лопиталя, данное выражение надо преобразовать к неопределенностям или путем алгебраических преобразований.
Пример 2. Найти пределы:
а) ; б) .
Решение: а) Имеем неопределенность . Приведем эту неопределенность к неопределенности , а затем применим правило Лопиталя:
.
б) Имеем неопределенность . Преобразуем к неопределенности , после чего применим правило Лопиталя:
.

Задания для закрепления материала

Задание. Найти пределы разложением на множители и по правилу Лопиталя.










Задание. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.
,
.
,
,.
,
.
,
.
.


Дополнительные задачи:

а) , б) .
а) , б) .
а) , б) .
а) , б) .
а) , б) .
а) , б) .
а) , б) .
а) , б) .
а) , б) .
а) , б) .
а) , б) .


Тема лекции: «Возрастание и убывание функций. Экстремумы функций

Исторические сведения

Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия.
Понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи ( около 1500 - 1557 гг. ) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори, а также в работах Ньютона. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лейбниц, Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
Однако у создателей дифференциального исчисления возникли проблемы, связанные с тем, что точные определения таких основных понятий как предел, непрерывность, действительное число, отсутствовали, рассуждения содержали логические пробелы, а иногда были ошибочны.
Таким образом, "новая" математика не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых, воспитанных на классических образцах греческих математиков.
Гениальная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер помогала им избегать ошибок.
Характерны 2 высказывания, относящиеся к 18-му столетию. Известный математик М. Ролль писал, что новая наука есть коллекция гениальных ошибок.
А великий французский мыслитель - Вольтер заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано.
Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и производных, был охарактеризован Марксом как "мистический".
Лозунгом многих математиков 17 века был: ”Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет".

Повторить понятие производной, правила дифференцирования, таблицу производных и производную сложной функции, геометрический смысл производной ( слайды 4-7)

Очень важно! Нужно знать!
Если функция f(x) не имеет производной в точке х0, но непрерывна в этой точке, то у графика функции в данной точке либо вообще нет касательной.

Пример:




Касательной не существует в точке (0;0).











Возрастание и убывание функций. Экстремумы функций

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.
Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной .

Достаточные условия возрастания (убывания) функции. Если функция дифференцируема на интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) на .

Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая (-окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство , ().

Максимум и минимум функции называется экстремумом функции. Функция может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения функции и в которых первая производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Достаточные условия экстремума

I Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой ( - окрестности точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума, с минуса на плюс, то - точка минимума.

II Если в точке первая производная функции равна нулю , а вторая производная существует и отлична от нуля , то в точке функция имеет экстремум. Если - максимум, если - минимум.

Схема применения производной
для нахождения интервалов монотонности и экстремумов

Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.
Найти производную f’(x).
Найти критические точки.
В каждом из интервалов, на которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и вид монотонности функции.
Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

Пример: y=2x3-3x2-36x+5

Пример:
Найдем производную функции и критические точки первого рода. Имеем:
,
а) при ;
б) при и при .
Таким образом, критических точек первого рода функция не имеет. Значит, функции не имеет экстремумов.
Точка разрыва разбивают область определения функции на две части. Определим знак производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, функция убывает на интервалах и .

Задания для закрепления материала

Найти интервалы монотонности и точки экстремумов функции:












Тема лекции: «Выпуклые функции. Точки перегиба. Асимптоты


Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен выше (ниже) любой ее касательной на этом интервале.
Теорема. Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную , то график функции в этом интервале выпуклый. Если же - график вогнутый.
Определение. Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части выпуклости и вогнутости, является точкой перегиба.

Достаточное условие существования точек перегиба. Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.
Пример 1:
Найдем вторую производную:


не существует при



В точках , , - перегиб графика.
Пример 2:
Найдем вторую производную:

при
не существует при


Т.к. при функция не определена, то точек перегиба нет.

Асимптоты

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если или , где - точка разрыва или граничная точка области определения функций.
Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции , если существует предел .
Прямая является наклонной асимптотой графика функции , если существуют пределы и .
При нахождении этих пределов удобно пользоваться правилом Лопиталя.

Пример 1:
Функция непрерывна на всей области определения, поэтому вертикальных асимптот нет.


Прямая является наклонной асимптотой графика функции.

Пример 2:
Поскольку и - точки разрыва
и ,

, ,
то и - вертикальные асимптоты.

- горизонтальная асимптота.

Задания для закрепления материала

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции, асимптоты:







Тема лекции: «Полное исследование функции

Решение любой математической задачи сводится к выполнению четкого алгоритма.
Вот и сегодня на уроке мы обобщим наши знания по изученной теме «Применение производной к исследованию функций», следуя общей схеме исследования функций, которую вы видите на доске. (плакат) Выполняя все пункты этой схемы мы сможем узнать всё необходимое о функции, для того, чтобы построить ее график. Т.е. наглядно увидеть результата наших действий.
(мотивация) Исследование функций и построение графиков часто применяется при решении прикладных задач, ведь производная имеет применение в различных сферах деятельности человека. Мы рассматривали геометрический, физический и экономический смыслы производной.

Запишите тему нашего занятия «Исследование функций и построение графиков».
Мы с вами не первое занятие изучаем производные и их применение.
Теперь перейдем к повторению и обобщению ваших знаний по данной теме.
Посмотрите на схему исследования функций. Она вам уже знакома, каждый ее пункт мы изучали в отдельности на прошлых занятиях. Сейчас мы просто освежим наши знания, уточним, как же именно выполняются все действия.
При этом будем использовать подготовленную презентацию. Каждый слайд презентации будем записывать в тетрадь после его разбора. В презентации представлен и пример исследования.

Пример: f(x)=3x5-5x3+2

Решение: 1) D(f)=R, так как f – многочлен
2) f(-x)=-3x5+5x3+2, значит f(x) ни чётная, ни нечётная; не периодическая
3),4) f’(x)=15x4-15x2=15x2(x2-1)
D(f)=R, поэтому критических точек, для которых f’(x) не существует, нет
f’(x)=0, если х2(х2-1)=0, т.е. при х=0, х=-1, х=1


5) Пересечение с осью Оу: 3х5-5х3+2=0, отсюда х=1
6) Построение графика

Как вы видите, исследование занимает немало времени и труда. А представьте, что построение графика функции является лишь промежуточной задачей.
Теперь хотелось бы привести слова Д. Юнга: «Десять страниц математики понятой, лучше ста страниц, заученных на память и не понятых, а одна страница, самостоятельно проработанная, лучше десяти страниц, понятых отчетливо, но пассивно».
Только самостоятельно выполненная работа поможет вам узнать, насколько вы усвоили тему, поэтому мы переходим к решению задач.

Пример:
Область определения:


2.
функция четная. Дальнейшее исследование проведем для .
3. Функция не является периодической.

4. при


5. Поскольку и - точки разрыва
и ,
, ,
то и - вертикальные асимптоты.

- горизонтальная асимптота.
6. Найдем первую производную:

при
не существует при .


- точка максимума.
7. Найдем вторую производную:

при
не существует при


Т.к. при функция не определена, то точек перегиба нет.
Составим таблицу:

0
(0;2)
2



0
-
Не существует
+



-

-



-

+


max

Вертикальная асимптота



Строим график функции для , затем на интервале строим линию, симметричную относительно оси (рис.2).


Задания для закрепления материала

Исследовать функцию и построить её график:
1)f(x)=-x3+3x-2 .
2) f(x)=x4-2x2-3


Тема лекции: «Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал»

Понятие функции нескольких переменных

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.
z = f(x, y)

Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Частные производные

Определение: Частной производной от функции по переменной называется конечный предел
.
Частной производной от функции по переменной называется конечный предел
.

При вычислении частных производных необходимо помнить следующее:

1) Все правила вычисления производных и все табличные производные функций одной переменной сохраняют силу.
2) При нахождении частной производной функции по  переменную считают постоянной. Это приводит к тому, что перед нами возникает функция одной переменной , от которой надо взять обычную производную. Поэтому, в частности, любые выражения, зависящие только от , будут тоже постоянными и производная по  от них равна : .
В произведении любой множитель, зависящий только от , выполняет роль множителя-константы: .
3) Аналогичным образом находят частную производную функции по .

Пример 1.  Найти частные производные первого порядка функции
.
,
.

Пример 2. Найти частные производные первого порядка функции .
При дифференцировании по х, постоянный множитель можно вынести за знак производной


Пример 3.Найти и , если .
Решение.

Так как , и постоянны, то получим
.
Аналогично

.

Пример 4. Найти частные производные функции .
Решение.
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим
,
.

Задания для закрепления материала

Найти частные производные первого порядка функции:
.
.
.






Тема лекции: «Производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных»

Определение: Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка:
, ,
, .
Частные производные и называются смешанными. Если они непрерывны, то их значения не зависят от порядка дифференцирования (они равны).
Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высокого порядка.

Пример . Найти частные производные второго порядка функции .

Решение.
Воспользуемся результатами, полученными в примере 3.
,
,
,
.

Определение: Полным дифференциалом функции называется главная, линейная относительно и часть полного приращения этой функции .
Функция, обладающая непрерывными частными производными, заведомо имеет полный дифференциал. Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. , .
Полный дифференциал функции вычисляется по формуле
.
Задания для закрепления материала

Найти частные производные второго порядка функции:
.








Практические занятия

Практическое занятие №12 «Применение методов дифференциального исчисления: вычисление производных сложных функций»
Практическое занятие №13 «Применение методов дифференциального исчисления: производные и дифференциалы высших порядков»
Практическое занятие №14 «Применение методов дифференциального исчисления: правило Лопиталя»
Практическое занятие №15 «Применение методов дифференциального исчисления: полное исследование функции. Построение графиков»
Практическое занятие №16 «Применение методов дифференциального исчисления: вычисление частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных»
Раздел 5. Основы интегрального исчисления



Тема лекции: «Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов

Первообразная и неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x), если F(x) дифференцируема и выполняется условие F`(x)=f(x).
Очевидно, что (F(x)+C)`=f(x), где C-любая константа.
Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции.
Обозначается
Основные правила интегрирования

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

Интеграл от суммы двух или нескольких функций равен сумме интегралов.

При интегрировании сложной функции перед интегралом выносится множитель .


Таблица основных интегралов

1. .
2. .
3. .
4..
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15..
16..

Основные формулы интегрирования.

1. 8)
2. 9)
3. 10)
4. 11)
5. 12)
6. 13)
7. 14)

Немного истории

Знак интеграла - стилизованная буква S от латинского слова summa - «сумма». Впервые появился у Г.В. Лейбница в 1686 году.
«Интеграл» - латинское слово integro – “восстанавливать” или integer – “целый”.
Одно из основных понятий математического анализа, возникшее в связи потребностью измерять площади, объемы, отыскивать функции по их производным.
Впервые это слово употребил в печати швецкий ученый Я. Бернулли (1690 г.).
Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод разыскания площадей, объемов и центров тяжести.
В зародышевой форме такой метод применялся ещё Архимедом . Систематическое развитие он получил в 17-м веке в работах Кавальери, Торричелли, Фермам,Паскаля. В 1659 г. И.Барроу установил связь мемжду задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. Ньютон и Лейб-
Ниц в 70-х годах 17-го века отвлекли эту связь от упомянутых частных геометрических задач. Тем самым была установлена связь между интегральным и дифференциальным исчислением.
Эта связь была использована Ньютоном , Лейбницем и их учениками для развития техники интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интегрирования в основном достигли в работах Л.Эйлера. Труды М.В.ОстроградскогГо и П.Л.Чебышева завершили развитие этих методов.

Применение интегралов:
Площадь фигуры
Объем тела вращения
Работа электрического заряда
Работа переменной силы
Центр масс
Формула энергии заряженного конденсатора

Пример: Найти интегралы:
а) ; б) .
Решение.
а) Применяя свойства (4) и (5) и формулы (6), (2), (1), получим цепочку равенств


.
Используем свойство (1) для проверки:

.
Получили подынтегральную функцию. Следовательно, интеграл найден правильно.
б) Преобразуем подынтегральное выражение и применим свойство (6), получим
.
Пример  Найти интеграл .
Решение.
.
Пример :

Задания для закрепления материала

Найти неопределенные интегралы:
1. 16.
2. 17.
3. 18.
4. 19.
5. 20.
6. 21.
7. 22.
8. 23.
9. 24.
10. 25.
11. 26.
12. 27.
13. 28.
14.
15.


Тема лекции: «Метод замены переменных в неопределенном интеграле»

Подстановка (или замена переменной) базируется на следующей теореме.
Теорема 1. Если не удается найти интеграл непосредственно, то можно выбрать такую функцию x = ((t), удовлетворяющую условиям:
1) ((t) непрерывна при t ( ((;(), соответствующем интервалу x( (a;b),
2) дифференцируемая при t( (a;b);
3) имеет обратную функцию t = (-1(x), чтобы
|
был табличный или проще. Иногда для упрощения интеграла можно сделать замену t = ((x).

Замечание. Выбор правильной подстановки в значительной степени зависит от искусства вычислителя.

Пример 1.

.

Пример 2.

.

Пример 3.

.

Пример 4.




.

Задания для закрепления материала

Найти неопределенные интегралы:




;
;





Тема лекции: «Интегрирование по частям»

Метод интегрирования по частям базируется на следующей теореме:

Теорема. Пусть функция U = U(x) и V = V(x) дифференцируемы на некотором интервале (a;b). Пусть на (a;b) функция V(x)(U’(x) имеет первообразную. Тогда на (a;b) функция U(x)(V’(x) также имеет первообразную. При этом справедливо равенство:
.

Доказательство. По форме дифференцирования:
(U(x)(V(x))’ = U’(x)(V(x) + U(x)(V’(x).
По свойству неопределенного интеграла:
.
Тогда можно записать:


Замечание 1. Определение дифференциала и свойства инвариантности его формы позволяют переписать формулу интегрирования по частям в более короткой форме:
.

Замечание 2. Для успешного вычисления интеграла необходимо разумно разбить подынтегральное выражение на два множителя u(x) и dV(x) так, чтобы интеграл оказался легко интегрируемым.

Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по частям может быть разбита на следующие три группы.

1) К первой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:
Ln x; arcsin x; arcos x; arctg x; arcctg x; ln2x; ln((x); arcsin2x;
при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.
Тогда за функцию u(x) берут соответствующую из перечисленных.

2) Ко второй группе относятся интегралы вида
, ,
, ,
где a,b,(, ,A – некоторые постоянные числа, A > 0, n ( N.
При этом в качестве u(x) следует брать (ax +b)n и интегрировать по частям n раз.

3) К третьей группе относятся интегралы вида:
, , ,
, , ,
где (, (, A – постоянные числа, A > 0, A ( 1.
Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при любом выборе u(x). Это приводит к линейному уравнению относительно предложенного интеграла, откуда его и находят.
Замечание. Указанные три группы не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.

Пример 1.


Пример 2.


Пример 3.


Пример 4.


Пример 5.


Далее необходимо решить уравнение:
Пусть , тогда уравнение запишется в виде:



Ответ:

Пример 6.

Пусть , тогда получили уравнение вида:



Ответ:

Задания для закрепления материала

Найти неопределенные интегралы:

.


.





Тема лекции: «Интегрирование рациональных дробей»

Задача интегрирования рациональной дроби сводится к умению интегрирования только правильных рациональных дробей, так как интегрирование целой части дроби (многочлена) не сложная. Если решена задача разложения правильной дроби на сумму простых дробей, то дальше надо уметь интегрировать простые дроби. Покажем, как интегрировать такие дроби.

I.

II.

III.


Интегрирование дроби IV типа проводится аналогично интегрированию дроби III типа.

Пример.

(D = 16 – 52 < 0 ( дробь III типа.(


Ответ:

Пример.


Ответ:

Итак, любая рациональная дробь интегрируема. Для этого необходимо выполнить следующие действия.

1) Если дробь является неправильной, выделить ее целую часть. То есть представить в виде:
,
где Tm-n(x) и Rr(x) – многочлены степени m-n и r соответственно (причем r
2) Разложить правильную рациональную дробь на сумму простых дробей

3) Вычислить интегралы от многочлена Tm-n(x) и каждой из простых дробей, полученных на шаге 2).

Пример.
1) Дробь - неправильная рациональная дробь. Выделим ее целую часть:

Поэтому можно записать:
2) Полученную правильную дробь разложим на сумму простых дробей:



Отсюда следует:
Значит, подынтегральная рациональная дробь представима в виде:

3) Найдем интеграл:

Ответ:

Пример.
Т.к. (, то

Приводим к общему знаменателю в правой части и из условия равенства дробей ,
приравниваем соответствующие числители
Выделяем в левой части коэффициенты при соответствующих степенях и из условия равенства многочленов

получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов А,В,С,D



Итого: =


Задания для закрепления материала

Найти неопределенные интегралы:

Пример Найти интеграл .
Решение. В квадратном трехчлене, содержащемся в знаменателе подынтегральной функции, выделим полный квадрат:

Имеем

Использована формула 16 из таблицы интегралов.

Пример Найти интеграл .
Решение. Выделим в числителе дроби такую линейную функцию, которая равнялась бы производной знаменателя:

Имеем

Заметим, что в первом из полученных интегралов . Введем новую переменную , получим табличный интеграл 3. Во втором интеграле в квадратном трехчлене выделим полный квадрат: , а интеграл сведем к табличному (формула 17). Тогда
При интегрировании рациональных дробей IV типа необходимо воспользоваться, так называемой, рекуррентной формулой:
;

Пример. Найти интеграл
Решение. Здесь После применения рекуррентной формулы получим

Если , то рекуррентной формулой нужно пользоваться несколько раз, пока интеграл не будет сведен к табличному.

Пример Найти интеграл
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию. Сначала в числителе выделим производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, далее разобьем интеграл на сумму двух, один из которых легко свести к табличному, а другой найдем по рекуррентной формуле:


Имеем
Если под знаком интеграла стоит сложная рациональная функция, то с ней предварительно выполняют следующие преобразования:
если рациональная дробь неправильная, то сначала представляют ее в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби
многочлен, стоящий в знаменателе рациональной функции, следует разложить на линейные и квадратичные множители в зависимости от того, каковы корни этого многочлена
,
где квадратный трехчлен не имеет действительных корней, а р и q ( действительные числа;
правильную рациональную дробь (степень многочлена
Р(х) меньше степени многочлена Q(x)) раскладывают на простейшие дроби:

вычисляют неопределенные коэффициенты ,
В конечном итоге интегрирование рациональной функции сводится к отысканию интеграла от суммы многочлена и простейших рациональных дробей.

Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде простейших дробей. Поясним это на примерах.

Пример .
Дробь правильная, многочлен в знаменателе уже разложен на простые множители, корни действительные и различные. Каждому действительному некратному корню многочлена в знаменателе соответствует простейшая дробь I типа.

Пример .
Дробь правильная, многочлен в знаменателе имеет один корень кратности 4.

Пример
Дробь правильная, множители знаменателя неприводимые, т.к. многочлен 4-ой степени в знаменателе имеет две пары комплексно-сопряженных различных корней.

Пример
Дробь правильная, многочлен в знаменателе имеет комплексные корни, является кратной парой комплексно-сопряженных корней.

Пример Найти .
Решение. Подынтегральная функция не является правильной рациональной дробью.
Выполним преобразования:



Пример Найти .
Решение. Под знаком интеграла стоит правильная рациональная дробь. Разложим ее на простейшие:


Сравним четвертую дробь и последнюю. Два многочлена считаются равными, если будут равны коэффициенты при одинаковых сте-
пенях х:




Складывая все три равенства, получим
или .
Из первого уравнения системы или
Из второго уравнения системы получим
или
Следовательно,
.
В результате получаем




Пример Найти .
Решение. Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная дробь. Представим ее в виде суммы целой части и правильной дроби. Предварительно поделим эту дробь «уголком»


х


Получим



Дроби с равными знаменателями будут равны, если равны и их числители.
Коэффициенты А, В, С, D найдем комбинированным методом: А и С ( методом подстановки, а В и D ( методом неопределенных коэффициентов.
Пусть , тогда или
; .
Пусть , тогда
или
; .
Преобразуем выражение


или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в последнем равенстве, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных А, В, С и D.



Учитывая, что , воспользуемся только первым и вторым уравнениями системы линейных уравнений
или
Далее найдем исходный интеграл



Пример Найти .
Решение. Под знаком интеграла стоит правильная рациональная дробь и можно было бы найти интеграл, представив эту дробь в виде суммы простейших дробей. Однако нахождение интеграла можно значительно упростить, если произвести замену переменной: .
Тогда





Тема лекции: «Интегрирование некоторых иррациональных функций»

Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. В дальнейшем будем стремиться отыскивать такие подстановки которые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду. Если при этом функция выражается через элементарные функции, то интеграл представится в конечном виде и в функции от х.
Назовем этот прием методом рационализации подынтегрального выражения.

1) Интеграл вида

Такие интегралы находят с помощью преобразований и замены, аналогичным преобразованиям и замены для нахождения интеграла от простой рациональной дроби III типа.

Пример.

Ответ:

2) Подынтегральная функция содержит .
Тогда надо выполнить замену:

Такая замена приводит интеграл от некоторого тригонометрического выражения.

Пример

3) Подынтегральная функция содержит .
Тогда надо выполнить замену:


Пример


4) Подынтегральная функция содержит .
Тогда надо выполнить замену:


Пример


5) Подынтегральная функция содержит :
Тогда надо выполнить замену:.

Пример



Пример




Задания для закрепления материала

Найти интеграл .
Решение:



где

Найти .
Решение. Преобразуем квадратный трехчлен
.
Тогда


Найти .
Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения
.

Тогда






Найти интеграл
Решение. Применим 2-ю подстановку Эйлера

;
.

где .



Тема лекции: «Интегрирование тригонометрических функций»

1) Интегралы вида или .
а) приводится к с помощью подстановки
б) приводится к , если

2) Интегралы вида .
Если подынтегральная функция зависит только от tgx или только от sinх и cosх, входящих в четных степенях, то применяется подстановка


в результате которой получим интеграл от рациональной функции:

Пример.
Решение:


3) Интегралы вида
а) m и n таковы, что по крайней мере одно из них нечетное число. Пусть для определенности n-нечетное. Тогда полагаем


б) m и n ( неотрицательные, четные числа. Полагаем ,



Возводя в степень и раскрывая скобки, получим интегралы, содержащие как в четных, так и нечетных степенях. Интегралы с нечетными степенями cos2x интегрируются как в случае а). Четные показатели степеней cos2x снова понижаем по выше указанным формулам. Продолжая так поступать, получим в конце концов слагаемые вида , которые легко интегрируются.

Пример. Найти интеграл .
Решение:
.

Пример. Найти интеграл .
Решение:


в) m и n ( четные числа, но хотя бы одно из них отрицательное.
В этом случае следует сделать замену ( или .

Пример. Найти интеграл .
Решение:


4) Интегралы вида .
Чтобы проинтегрировать данные функции, достаточно применить тригонометрические формулы:



Тогда


Аналогично вычисляются два других интеграла.

Пример. Найти интеграл .
Решение:


5) Интегралы вида
Применим так называемую универсальную тригонометрическую подстановку
, ,
,
С помощью указанной подстановки интеграл сводится к интегралу от рациональной функции
.

Пример . Найти интеграл .
Решение:



Задания для закрепления материала

Пример


Пример .


Пример.


Пример

Пример.


Пример.


Пример.
.

Пример.


Пример



Тема лекции: «Понятие определенного интеграла»

Пусть на отрезке задана непрерывная функция (рисунок 1).



Рисунок 1 – График функции


Разобьем отрезок произвольным образом на частей точками , , , , , причем . Длину частичного отрезка разбиения обозначим через , то есть . В каждом частичном отрезке произвольным образом выберем точку и найдем значение функции в каждой точке:
, , , , , .
Составим сумму

Данная сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке .
Пусть – длина наибольшего частичного отрезка разбиения: . Найдем предел интегральной суммы при :
.

Определение. Если интегральная сумма имеет предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называют определенным интегралом от функции на отрезке и обозначают .
Таким образом,
,
где – нижний предел интегрирования;
– верхний предел интегрирования;
– подынтегральная функция;
– подынтегральное выражение;
– переменная интегрирования;
– отрезок интегрирования.

Теорема Коши. Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.
Геометрический смысл определенного интеграла

Определение 8. Фигура, ограниченная сверху графиком неотрицательной функции , снизу – осью , справа и слева – прямыми и , называется криволинейной трапецией (рисунок 2).




Рисунок 2 – Геометрическая иллюстрация определенного интеграла


Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
.
В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть функция интегрируема на . Если функция непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на , то
.
Данная формула позволяет вычислить определенный интеграл.
Пример . Вычислить интеграл .
Решение.


Основные свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:
.
.
Постоянный множитель можно выносить за знак определен-ного интеграла:
,
где .
Интеграл от суммы (разности) двух или нескольких интегрируемых на отрезке функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций, то есть
.
.
Если , то .
Теорема «о среднем». Если функция непрерывна на , то существует точка такая, что
.
Число – среднее значение функции на отрезке .
Если функция на отрезке , то на этом отрезке.
Если на отрезке , то .
Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции
.


Пример . Применяя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интеграл.
Решение.
.

Пример. Вычислить определенный интеграл[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Пример . Вычислить интеграл .
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию по формуле: .
.

Пример . Вычислить определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Пример . Вычислить определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Пример . Вычислить определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
I.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Совет: перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку: а сама-то первообразная найдена правильно?

Пример . Вычислить определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Задания для закрепления материала

Вычислить интегралы:



Тема лекции: «Интегрирование заменой переменной и по частям в определенном интеграле»

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и пусть функция x = ( (t) имеет непрерывную производную ( '(t) на отрезке [(;(], область значений этой функции – отрезок [a;b], то есть a ( ( (t) ( b для x t( [(;(], причем ( (() = a, ( (() = b.
Тогда справедливо равенство:
.

Пример . Вычислить интеграл .
Решение. Перейдем к новой переменной интегрирования, полагая . При этом новая переменная выражается через старую по формуле . Так как старая переменная меняется в пределах от 4 до 9, то новая переменная будет меняться от 2 до 3, так как при , при .
Пределы изменения для новой переменной удобно находить при помощи следующей таблички: , а все преобразования удобно заключать между вертикальными линиями. Тогда получаем:

.
При замене переменной часто бывает удобно пользоваться не подстановкой для перехода к новой переменной , а наоборот, обозначать буквой некоторую функцию от и принимать ее за новую переменную: . В этом случае новые пределы и определяют сразу по формулам , .

Пример. Вычислить интеграл .
Решение.
.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема. Пусть функции u(x) и V(x) имеют непрерывные производные на [a;b]. Тогда справедливо равенство:


Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Положим , , тогда , .
Применяя формулу (5.2), получим
.

Пример. Вычислить интеграл .
Решение.
.


Пример. ; имеет бесконечный разрыв в точке , которая принадлежит . В этом случае данный интеграл разбиваем на два интеграла точкой разрыва:

, интеграл сходится.

Задания для закрепления материала

Пример.


Пример.


Пример.



Тема лекции: «Геометрические приложения определенного интеграла»


Вычисление площади плоской фигуры










Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и .
Решение: Найдем координаты точек пересечения линий:
; ; .

;


Нахождения длины дуги кривой

Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением длина дуги находится по формуле .



Пример Вычислить длину дуги кривой от до .
Решение. Дифференцируя уравнение кривой, найдем . Используя формулу, получим:
.

Нахождение объема тел вращения

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой: .

Если криволинейная трапеция ограниченна графиком непрерывной функции и прямыми , , , то объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , по аналогии с формулой (20), равен: .

Пример: Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры , вокруг оси .

Решение:
В условиях нашей задачи , , .

.


Задания для закрепления материала

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
, ,









Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2


Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

ед2
Пример 3. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной параболой и прямой

Решение. Тело образовано вращением фигуры ABC (рис. 3.10) вокруг оси ОХ. Объем этого тела может быть рассмотрен как разность объемов, полученных в результате вращения площадей ACBO и ABO вокруг оси ОХ.

Из уравнения параболы получим уравнение верхней ветви CB и нижней ветви BA, а именно уравнения кривой CB имеет вид: , уравнение кривой ВА имеет вид: .

Абсциссы точек фигуры изменяются на отрезке . Следовательно, искомый объем вычисляется по формуле: .

Задачи

Криволинейная трапеция, ограничена линией и прямыми и , вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела, которое при этом получается.
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ, фигуры, ограниченной линиями , .
Ответы.
1. 2.


Дополнительные примеры

Найти площадь плоской фигуры, которая ограничена линиями, уравнения которых даны.
Номер 1:
13 QUOTE 1415,
x+2y-8=0
y=0
x=-1
x=6
Решение. Разрешим функции относительно переменной у, получим

Построим графики этих функций и нанесем на этот же график прямые: х=1 и х=6. Закрасим ограниченную линиями область, получим

Найдем площадь области
кв. един.

Номер 2:

Решение . Построим область

Фигура состоит из двух частей: криволинейной трапеции на участке и прямоугольника на участке . Найдем ее площадь.
кв. един.


Тема лекции: «Двойной интеграл»

План:
Определение двойного интеграла
Геометрический и физический смыслы двойного интеграла
Основные свойства двойного интеграла:
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Определение двойного интеграла

Пусть в замкнутой области D плоскости xOy задана непрерывная функция . Разобьем область D произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади , , , и диаметры , , ,  (под диаметром области понимается наибольшее расстояние между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку и умножим значение функции в точке на площадь этой области.

Определение: Выражение вида
(1)
называется интегральной суммой для функции по области D.
Пусть .

Определение: Двойным интегралом от функции по области D называется предел интегральной суммы (1) при , если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения D на элементарные области и от выбора в них точек .
Обозначение: .

Геометрический и физический смыслы двойного интеграла

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу плоскостью z = 0 и сбоку цилиндрической поверхностью (образующие которой параллельны оси Oz), вырезающей на плоскости xOy область D, вычисляется по формуле
. (2)
Масса тонкой пластинки, занимающей область D, с непрерывно распределенной поверхностной плотностью определяется по формуле
. (3)

Основные свойства двойного интеграла:

1. .
2. , где c – постоянная.
3. Если , , то
.
4. , где – площадь области интегрирования D.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Область D называется правильной в направлении оси Oy (Ox), если любая прямая, параллельная оси Oy (Ox) и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает ее границу в двух точках.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Граница области D, правильной в направлении оси Oy (рис. 1), может быть задана уравнениями: , , , и двойной интеграл в этом случае вычисляется по формуле:
, (4)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл , в котором интегрирование ведется по переменной y, а переменная x считается постоянной (как и любое выражение p(x), зависящее только от x).
Граница области D, правильной в направлении оси Ox (рис. 2), может быть задана уравнениями: , , , и двойной интеграл в этом случае вычисляется по формуле:
. (5)

Определение: Правые части формул (4) и (5) называются повторными (или двукратными) интегралами.
Если область D правильная в направлении Ox и Oy (правильная область), то применимы обе формулы.
В общем случае область D разбивают на конечное число частей, являющихся правильными, и вычисляют для каждой из частей интеграл по формуле (4) или (5). Интеграл по всей области (свойство 3) равен сумме полученных интегралов.

Пример 1. Вычислить , если область D ограничена линиями , , .
Решение.
Решение разбивается на три этапа: 1) построение области D; 2) переход к повторному интегралу, расстановка пределов интегрирования; 3) вычисление повторного интеграла.
Построим область D. Первая линия – ось Ox, вторая – парабола с вершиной в точке (0; 0), третья – прямая, проходящая через точки (0; 2) и (2; 0) (рис. 3). Решая систему находим точки пересечения параболы и прямой: (1; 1) и (–2; 4), (–2; 4)(D. Так как область правильная, то можно воспользоваться любой из формул (4) или (5).
При решении по формуле (4) область придется разбить на две: OAC и CAB, так как линия OAB задается разными уравнениями:
.
При вычислении по формуле (5) приходим к одному повторному интегралу:
.
Закончим решение, пользуясь последней формулой. Вычислим внутренний интеграл:
.
Тогда
.

Задания для закрепления материала

1. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями.





Тема лекции: «Сведение двойных интегралов к повторным в случае областей 1-го и 2-го типов. Изменение порядка интегрирования»

Пример: Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле .
Решение. Вычисление этого интеграла производится повторным интегрированием: сначала вычисляется интеграл , а затем, получившаяся функция интегрируется по переменной х на отрезке [1;3].
Для изменения порядка интегрирования необходимо сначала начертить область интегрирования D, которая ограничена линиями х=1, х=3, y=-x, y= -x. Уравнения линий берутся в соответствии с пределами интегрирования. На рисунке область D – это трапеция ABFK. Координаты точек A,B,F,K находим, решая соответствующие системы уравнений. Таким образом получили A(1;1), B(3;3), F(3,-3), K(1;-1).
При изменении порядка интегрирования первое интегрирование теперь проводится по переменной y, а второе -–по переменной x. В этом случае при задании области D переменная y изменяется от –3 до 3, а переменная x от линии FKAB до линии FB. Если прямая FB задается одним уравнением х=3, то ломаная FKAB – тремя: х=1, y=-x, y= -x. Таким образом, область интегрирования D имеет смысл представить как объединение трех областей, каждая из которых задается своей системой неравенств:
FKE:
KACE:
ACB: .
Нашли, что исходный двойной интеграл после замены порядка интегрирования записывается в виде суммы трех двойных интегралов:
+ +

Задания для закрепления материала

Изменить порядок интегрирования в двойных интегралах:
;

;

;

Изменить порядок интегрирования в двойных интегралах:













Практические занятия

Практическое занятие №17 «Применение методов интегрального исчисления: интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле»
Практическое занятие №18 «Применение методов интегрального исчисления: интегрирование рациональных и иррациональных функций»
Практическое занятие №19 «Применение методов интегрального исчисления: интегрирование тригонометрических функций Универсальная подстановка»
Практическое занятие №20 «Применение методов интегрального исчисления: вычисление определенных интегралов»
Практическое занятие №21 «Применение методов интегрального исчисления: вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов»
Практическое занятие №22 «Применение методов интегрального исчисления: вычисление двойных интегралов в случае области 1 и 2 типа»
Раздел 6. Дифференциальные уравнения


Тема лекции: «Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое, кроме независимой переменной и искомой функции , входит либо производная :
,
либо дифференциалы и :
.
Удобнее рассматривать уравнение, разрешенное относительно :
. (1)
Функция называется решением уравнения (1), если она обращает его в тождество, т. е. ; график функции называется интегральной кривой уравнения (1).
Функция называется общим решением дифференциального уравнения, если она обращает уравнение в тождество и при соответствующем выборе константы из нее может быть получено любое (частное) решение исходного уравнения.

Пример.1. Доказать, что функция вида , где ( произвольная постоянная, является решением уравнения .
Решение. Найдем , подставим значения и в уравнение, получим тождество .

Задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка называют задачу, состоящую в отыскании решения уравнения (1), удовлетворяющего заданному начальному условию .
Решение задачи Коши называют частным решением дифференциального уравнения.

Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .
Решение. В предыдущем примере было показано, что функция является решением данного уравнения.
Чтобы найти искомое частное решение, достаточно определить значение по начальному условию : , .
Следовательно, частное решение имеет вид .



Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение вида
(2)
называется уравнением с разделяющимися переменными.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

1. Перепишем уравнение (2) в виде .
2. Разделим переменные, т. е. в правую часть уравнения «перенесем» все выражения, содержащие , а в левую часть ( содержащие .
3. В результате получим уравнение ,
где коэффициент при ( функция только от , при ( функция только от ).
4.Интегрируя обе части этого уравнения:
.
5.Получим его общее решение:

Пример 3. Решить задачу Коши: , .
Решение.
Запишем уравнение в виде . Умножив обе части уравнения на , получим
, .
Интегрируем:
, .
Общее решение уравнения: .
Подставим в общее решение начальные значения , получим значение :
, , .
Тогда частное решение уравнения: .

Задания для закрепления материала

Решить уравнения:


Решить задачу Коши:

, ;
, .
,
, .


Тема лекции: «Однородные дифференциальные уравнения»

Дифференциальное уравнение называется однородным, если при любых , , .
Подстановка
, , (1)
где ( новая неизвестная функция, приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общее решение уравнения .
Решение. Приведем уравнение к виду , для этого разделим обе части уравнения на :
,
получим, что .
Покажем, что уравнение однородное. Очевидно,
.
Следовательно, уравнение однородное и для сведения его решения к решению уравнения с разделяющимися переменными надо сделать подстановку (1), после этого уравнение примет вид:
.
После приведения подобных членов получим
, .
Это уравнение с разделяющимися переменными: . Разделим переменные, умножая обе части на : .
Интегрируя, получим
.
Произвольную постоянную удобно записать в виде: . Тогда последнее уравнение примет вид:
, , .
Сделаем обратную замену: , .

Пример . Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение является однородным:
(
.
Чтобы решить это уравнение, сделаем подстановку:



Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.

Вернемся к первоначальной переменной: - общий интеграл исходного уравнения.

Пример. Найти общее решение уравнения .
Решение. Приведем уравнение к виду , для этого разделим обе части уравнения на :
,
получим, что .
Покажем, что уравнение однородное. Очевидно,
.
Следовательно, уравнение однородное и для сведения его решения к решению уравнения с разделяющимися переменными надо сделать подстановку (2.3), после этого уравнение примет вид:
.
После приведения подобных членов получим
, .
Это уравнение с разделяющимися переменными: . Разделим переменные, умножая обе части на : .
Интегрируя, получим
.
Произвольную постоянную удобно записать в виде: . Тогда последнее уравнение примет вид:
, , .
Сделаем обратную замену: , .

Задания для закрепления материала

Решить уравнения:



Тема лекции: «Линейные неоднородные уравнения первого порядка»

Уравнение вида
(2)
называется линейным.
Для нахождения его решения искомую функцию представляют в виде
,
тогда .
Подставим и в уравнение (2):
,
после группировки имеем
. (3)
Найдем такую функцию , чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т. е.
. (4)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Пусть ( его решение (при вычислении не надо вводить произвольную постоянную). Тогда в силу (2.5) и (2.6) функция должна удовлетворять уравнению
.
Это уравнение с разделяющимися переменными: , , . Следовательно, общим решением уравнения (2) будет
.

Пример. Найти общее решение уравнения .
Решение. Дано линейное уравнение, в котором , .
Подставляя в него , , получим
, .
Приравнивая нулю выражение, стоящее в скобках, получим:
, т. е. , , , , .
Если , то то функция должна удовлетворять уравнению , т. е. , , , , .
Следовательно, общим решением данного уравнения будет
.

Пример. Найти общее решение уравнения .
Это уравнение является ЛНДУ. Будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций: . После этой подстановки данное уравнение примет вид:

Вынесем за скобки u:
(5)
Найдем одну из функций v, такую, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль: . Это уравнение будет с разделяющимися переменными. Решим его.

Подставим найденную функцию в уравнение (5).
.
Т.к. y = uv, то - общее решение данного уравнения. #

Уравнение Бернулли, имеющее вид , где , , сводится к линейному. Для этого надо обе его части разделить на и сделать подстановку , где ( новая неизвестная функция.

Определение типа дифференциального уравнения первого порядка

Для выбора метода решения дифференциального уравнения сначала надо определить тип, к которому оно относится. Для этого следует разрешить данное уравнение относительно производной, т. е. привести его к виду . После этого надо посмотреть, не разлагается ли функция на множители, один из которых зависит только от , а второй – только от . Если это возможно, то данное уравнение – с разделяющимися переменными.
Если , то данное уравнение – однородное.
Если и это условие не выполняется, то следует проверить, не является ли данное уравнение линейным, т. е. не имеет ли функция вид .

Задания для закрепления материала

Решение примеров:



Тема лекции: «Дифференциальные уравнения второго порядка»

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида или .
Его общим решением называется функция от и двух произвольных независимых постоянных , , обращающая данное уравнение в тождество.

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка: найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: , .


Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида
, (1)
где и – некоторые действительные числа.
Заменив в нем на , – на и – на , получим

характеристическое уравнение для уравнения (2.7).
Вид общего решения уравнения (1) зависит от корней характеристического уравнения (см. табл.1).
Таблица 1
Корни

Общее решение


, – действительные
числа и


, – действительные числа и  (один корень кратности 2)


, – комплексные числа:
,




Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: а) ; б) ; в) .
Решение.
Для каждого из данных уравнений составляем характеристическое уравнение и решаем его. По виду полученных корней записываем общее решение дифференциального уравнения (см. табл. 2.1):
а) , корни – действительные и равные, поэтому общее решение уравнения
;
б) , , корни , – действительные и различные, поэтому общее решение уравнения
;
в) , корни – комплексно-сопряженные, поэтому общее решение уравнения
.




Пример 1. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид . Его корни k1 = -2, k2 = -3
Общее решение уравнения имеет вид
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни .
Общее решение уравнения
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , . Здесь
· = -2,
· = 3.
Общее решение уравнения:
Пример 4. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни
, .
Здесь
· = 0,
· =.
Общее решение уравнения

Задания для закрепления материала

Решение примеров:
.
.
.
.
.

Решить задачу Коши:








Тема лекции: «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами»

Это уравнения вида
, (2)
Общее решение уравнения (2) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (2.7) и частного решения неоднородного уравнения (2) :
.
Структура частного решения определяется правой частью уравнения (см. табл. 2).
Таблица 2
№
Вид
Структура

1.
,
– многочлен степени

,
где

2.

,
где

3.

,
где


В таблице , , , , – известные числа, , – корни характеристического уравнения, , , – неизвестные коэффициенты, которые находятся путем подстановки в уравнение (2) (метод неопределенных коэффициентов).

Пример. Определить и записать структуру частного решения уравнения по виду функции , если а) ; б) .
Решение.
Находим корни характеристического уравнения:
, .
а) Так как , где , (случай 2 в табл. 2.2), то частное решение имеет вид
.
, т. к. среди корней характеристического уравнения нет равных .
б) Поскольку (случай 3 в табл. 2.2): , , ), то
,
множитель появился потому, что является корнем характеристического уравнения.

Пример.  Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: , .

Решение.
Характеристическое уравнение имеет корни , . Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой
.
По функции , (случай 1 в табл. 2.2), записываем структуру частного решения исходного уравнения:
,
множитель появился потому, что один из корней характеристического уравнения равен 0.
Коэффициенты и определим методом неопределенных коэффициентов. Для этого найдем
,
.
Подставим выражения для , и в исходное уравнение, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему, из которой найдем и :
,
,

откуда , . Тогда

и общее решение данного неоднородного уравнения определяется формулой
.
Используя начальные условия , и учитывая, что , составляем систему для вычисления значений и :

решение которой , . Подставив эти значения в общее решение , найдем частное решение исходного уравнения:
.

Задания для закрепления материала

Записать структуру частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части.
а) ; б) .
а) ; б) .
а) ; б) .
а) ; б) .
а) ; б) .

Решение примеров:
.
.
.
.
.
.
.
.
.



Тема лекции: «Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка»

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка (тогда говорят, что данное дифференциальное уравнение допускает понижение порядка).

1.Если дифференциальное уравнение имеет вид , то оно решается последовательным интегрированием.

2.Если в запись уравнения не входит искомая функция y(x), т.е. оно имеет вид

то такое уравнение можно решить, найдя сначала вспомогательную функцию
.

Пример: Решить уравнение .
Решение: Положим .
Исходное уравнение примет вид .
Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Возвращаясь к первоначальной функции, получаем уравнение


3.Если в запись уравнения не входит переменная x, т.е. оно имеет вид

то такое уравнение можно решить, найдя сначала вспомогательную функцию
.

Пример: Решить уравнение .
Решение: Положим . Исходное уравнение примет вид .
Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Возвращаясь к первоначальной функции, получаем уравнение


Задания для закрепления материала

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить полученное значение функции при с точностью до двух знаков после запятой.
, , , , .
, , , .
, , , .
, , , , .

Решение примеров:
.





Тема лекции: «Дифференциальные уравнения в науке и технике»

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В задачах геометрии, в которых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используются геометрическое истолкование производной (углового коэффициента касательной) и интеграла с переменным пределом (площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой).
Решение типовых примеров

Пример. Найти линию, проходящую через точку и обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями делится пополам в точке ее касания.
Решение. Пусть уравнение искомой кривой . Известно, что уравнение касательной к ней в любой точке имеет вид
,
где X,Y - текущие координаты касательной. Обозначим точки пересечения касательной с осями координат через A и B.
Полагая, Y=0 найдем абсциссу точки A пересечения касательной с осью абсцисс
.
Очевидно, что . Согласно условию задачи точка N является серединой отрезка и поэтому , то есть или . Полученное уравнение есть дифференциальное уравнение относительно искомой функции . Разделив в нем переменные, получим . Тогда , то есть .
Следовательно, указанным в условии задачи свойствам обладает любая гипербола полученного семейства. Остается выделить ту из них, которая проходит через точку . Так как подстановка значений в общий интеграл дает , то искомая гипербола имеет уравнение .

Пример. Найти кривые, у которых тангенс угла между касательной и положительным направлением оси Ох пропорционален абсциссе точки касания.
Решение. Пусть - искомая кривая. Тогда есть тангенс упоминаемого в условии задачи угла. Следовательно, где -коэффициент пропорциональности. Так как требуемое соотношение должно выполняться для всех точек искомой кривой, то имеем дифференциальное уравнение Решив его, получим кривые , удовлетворяющие условию задачи.

Задания для закрепления материала

1.Найти линию, проходящую через (1;3), если отрезок любой её касательной между точкой касания и осью ОY делится в точке пересечения с осью ОX в отношении 2:1 (считая от оси ОY).
2.Найти линию, проходящую через точку (1;0), если ордината точки пересечения любой её касательной с осью ОY вдвое больше длины радиуса – вектора точки касания.
3.Найти такую линию, проходящую через точку (1;5), чтобы угловой коэффициент любой её касательной был в 4 раза больше отрезка, отсекаемого касательной на оси ОУ.



Математические модели прикладных задач

Пример. Тело, имеющее в начальный момент времени (t=0) температуру , охлаждается в воздушной среде до температуры в течение мин. Найти время, за которое тело охладится до температуры 30°, если известно, что температура воздуха 20°, а скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха.
Решение. Обозначим температуру тела в любой момент времени t через T=T(t). Т.к. скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела T и температурой воздуха 20°, то получаем дифференциальное уравнение
. (1)
Здесь К – коэффициент пропорциональности. Уравнение (1) является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, поэтому решаем его по указанной выше схеме.
Разделив переменные, получим
.
Интегрируя, находим:
,
или
. (2)
Равенство (2) является общим решением уравнения (1). Найдем частное решение, удовлетворяющее условию :
.
Итак, частным решением является функция
. (3)
Найдем числовое значение постоянной . Для этого воспользуемся условием, что Т(20)=60:
.
Таким образом, частное решение (3) можно записать так:
. (4)
В задаче требуется определить время, за которое тело охладится до температуры 30°.
Положив в равенстве (3) Т=30°, найдем:
(мин).
Итак, тело охладится до температуры 30° в течение одного часа.
С помощью подстановки к уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и дифференциальные уравнения вида
, b
·0.

Пример. Составить уравнение кривой, проходящей через точку А(1;0), если известно, что угловой коэффициент касательной в каждой ее точке равен .
Решение. На основании геометрического смысла производной
.
В полученном уравнении и , следовательно, оно однородное.
Положим , откуда . Тогда уравнение принимает вид
.
Разделяем переменные:
.
Интегрируя это уравнение, найдем:
.
Возвращаясь к прежней функции y, будем иметь:
.
Подставляя координаты точки А в найденное общее решение, получим
.
Итак, искомое уравнение кривой имеет вид
.

Моделирование электрических цепей

Для расчета режима работы электрических цепей, содержащих любые комбинации сопротивлений R, индуктивностей L и емкостей С, используется связь между падением напряжения на элементе цепи и силой тока в нем. Эта зависимость описывается законом Ома U=RI для резистивного элемента, характеризующегося электрическим сопротивлением; для индуктивного элемента – законом для емкостного элемента где q-заряд емкостного элемента.
Резистивный, индуктивный и емкостный элементы цепи относятся к пассивным элементам цепи, к активным же элементам относятся так называемые источники электродвижущей силы (ЭДС) и источники тока.
Основными законами электрических цепей являются законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма всех токов, подходящих к любой точке цепи, равна нулю.

Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма падений напряжений на любой последовательности элементов, образующих замкнутую цепь, равна нулю.

Решение типовых примеров

Пример. Электрический контур состоит из последовательно включенных (рис.12.4) источника тока с постоянной ЭДС сопротивления R, индуктивности L и емкости С. Исследовать ток I(t) в цепи в зависимости от времени t.
Решение. В момент времени t падение напряжения на сопротивлении на индуктивном элементе на емкостном элементе (предполагается, что включение цепи происходит в момент времени t=0). По второму закону Кирхгофа т.е.

После дифференцирования полученного соотношения приходим к однородному уравнению

Начальные данные: Характеристическое уравнение имеет корни

Так как R,C,L - положительные, то и . Таким образом, как следует из структуры общего решения,


Если то

Учитывая начальные данные, имеем
Следовательно,

Если то

Используя начальные данные, имеем

Если то

Отсюда, используя начальные данные, получаем,


Задания для закрепления материала

Для данного дифференциального уравнения найти кривую, проходящую через точку А.
1.
2.
3.
4.


Практические занятия

Практическое занятие №23 «Решение дифференциальных уравнений первого порядка»
Практическое занятие №24 «Решение дифференциальных уравнений второго порядка»
Практическое занятие №25 «Решение задач с использованием дифференциальных уравнений»
КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Вопросы к экзамену

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ К СДАЧЕ ЭКЗАМЕНА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ»

Раздел 1. Основы линейной алгебры

Тема 1.1. Матрицы и определители

Матрицы. Операции над матрицами.
Операции над матрицами, их свойства.
Определители 1,2,3 порядков. Свойства.
Определители n-го порядков. Свойства.
Способы вычисления определителей.
Обратная матрица.
Ранг матрицы.
Способы вычисления ранга матрицы.

Тема 1.2Системы линейных уравнений

Общий вид систем линейных уравнений. Основные определения.
Правило Крамера решения систем линейных уравнений
Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Раздел 2. Основы аналитической геометрии

Тема 2.1. Уравнения прямых на плоскости

Прямая на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом.
Прямая на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через точку под заданным углом.
Прямая на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку A(x0; y0).перпендикулярно данному вектору.
Прямая на плоскости. Уравнение прямой в отрезках.
Прямая на плоскости. Пучок прямых.
Прямая на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Прямая на плоскости. Взаимное расположение прямых
Взаимное расположение прямых
Составление уравнений прямых
Решение задач, используя уравнения прямых на плоскости

Тема 2.2.Кривые второго порядка на плоскости

Каноническое уравнение окружности
Каноническое уравнение эллипса
Каноническое уравнение гиперболы
Каноническое уравнение параболы

Основы математического анализа

Раздел 3. Основы теории комплексных чисел

Тема 3.1. Комплексные числа и действия над ними

Определение комплексного числа.
Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
Алгебраическая форма комплексных чисел
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Тригонометрическая форма комплексных чисел.
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Показательная форма комплексных чисел.
Действия над комплексными числами в показательной форме.

Раздел 4. Основы дифференциального исчисления

Тема 4.1. Производная и дифференциал

Понятие производной.
Практические смыслы производной.
Производные основных элементарных функций.
Дифференциал функции
Правила дифференцирования
Производная сложной функции
Производные и дифференциалы высших порядков.
Определение предела функции в точке.
Определение предела функции в бесконечности.
Математические неопределенности.
Раскрытие неопределенностей, правило Лопиталя
Применение методов дифференциального исчисления. Возрастание и убывание функций.
Применение методов дифференциального исчисления. Экстремумы функций
Применение методов дифференциального исчисления. Выпуклые функции.
Применение методов дифференциального исчисления. Точки перегиба.
Применение методов дифференциального исчисления .Асимптоты.
Полное исследование функции.

Тема 4.2. Производная и дифференциал функции двух переменных

Понятие функции нескольких переменных. Основные определения.
Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных.
Дифференциал функции нескольких переменных.
Производные и дифференциалы высших порядков

Раздел 5. Основы интегрального исчисления

Тема 5.1. Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл, его свойства.
Таблица основных интегралов
Метод замены переменных.


Вопросы к дифференцированному зачету

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ К СДАЧЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ЗАЧЕТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ»


Раздел 5. Основы интегрального исчисления

Тема 5.1. Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов.
Неопределенный интеграл. Метод замены переменных.
Неопределенный интеграл. Интегрирование по частям.
Неопределенный интеграл. Интегрирование рациональных функций.
Неопределенный интеграл. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Неопределенный интеграл. Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка.

Тема 5.2. Определенный интеграл

Определенный интеграл.
Свойства определенного интеграла.
Интегрирование заменой переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Приложения определенного интеграла в геометрии.
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.
Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла.
Вычисление объема тел вращения с помощью определенного интеграла.

Тема 5.3. Интегральное исчисление функции двух переменных

Двойные интегралы.
Свойства двойных интегралов.
Повторные интегралы.
Сведение двойных интегралов к повторным в случае области 1 типа.
Сведение двойных интегралов к повторным в случае области 2 типа.

Раздел 6. Дифференциальные уравнения

Тема 6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Задача Коши для дифференциальных уравнений.
Уравнения с разделяющимися переменными. Алгоритм решения.
Однородные уравнения первого порядка. Алгоритм решения.
Линейные неоднородные уравнения первого порядка. Алгоритм решения.

Тема 6.2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Алгоритм решения.
Линейные неоднородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Алгоритм решения.
Определение вида частного решения для линейных неоднородных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решение дифференциальных уравнений, допускающих понижение степеней. Алгоритм решения.

Тема 6.3. Дифференциальные уравнения в науке и технике

Дифференциальные уравнения в науке и технике.
ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Основные источники
Григорьев В.П., Дубинский Ю. А. Элементы высшей математики : ”Москва, “Академия” – 2012.
Григорьев В. П., Сабурова Т. Н. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие: Рекомендовано ФГУ «ФИРО». 2-e изд., 2012.

Дополнительные источники
И.Д.Пехлецкий Математика:Учебник-М.: Мастерство,2010
Н.В.Богомолов Практические занятия по математике.-М.:Высшая школа, 2009
П.Е. Данко, А.Г. Попов Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1 и 2.- М.:Высшая школа 2008
В.С. Щипачев Основы высшей математики.-М.: Высшая школа, 2001
Л.А. Кузнецов Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) - электронная книга
Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности. Учебное пособие для учреждений начального и среднего профессионального образования

Периодические издания
Журнал «Математика и логика»
Журнал «Журнал вычислительной математики и математической физики»

Интернет-ресурсы
1.Информационно-справочная система «В помощь студентам». Форма доступа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2. Информационно-справочная система Форма доступа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
3. Информационно-справочная система Форма доступа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]   Математическая школа в Интернете.
5. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Для учителей математики.
6..[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Методические рекомендации.
7..uztest.net/course/view.php?id=11 Олимпиады по математике
8. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] математические публикации
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Математика в школе
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Математика
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Математическое образование: прошлое и настоящее
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Интернет- библиотека

Справочники
М. Я. Выгодский Справочник по высшей математике: Астрель, 2003
В. М. Брадис Четырехзначные математические таблицы: Дрофа, 1996










13PAGE 14115


13 PAGE \* MERGEFORMAT 14915



(

A (x; y)

x

y

b

O

B

C

x

y

( < 90(
k > 0

( > 90(
k < 0

(

(



y

x

O

M

A (x0; y0)

A

C

B

hB

y = b

b

x = a

a



O

b

a

A (x0; y0)

A

B

C

M

Рис. 1





0





(знаки y)

–

+

+

–

0

2

(знаки y)

–

–

+

(знаки y)

2

0

–

–

+

(знаки y)

2

0

–

+

2

0

(знаки y)

–

–

+

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3


















































































A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
=(a_{ij})_{m\times n} = (a_{ij}).A=
\begin{pmatrix}
a_{11} \\
a_{21} \\
\cdots \\
a_{m1}
\end{pmatrix}.E=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}.E=
\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\
0 & 0 & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}.Root Entry