Тема урока: «Целые и рациональные числа» (6 класс)

HYPERLINK "http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/umnozhenie-i-delenie-polozhitelnyh-i-otricatelnyh-chisel/ratsionalnye-chisla?seconds=0&chapter_id=2794&book_id=33" \l "videoplayer" \o "Смотреть в видеоуроке" \t "_blank" 1. Различные виды чисел. Примеры

Рассмотрим записанные числа.
Сначала записаны примеры целых чисел.  2 – это целое положительное число.  – это целое отрицательное число. Число ноль – целое число, которое не является ни положительным, ни отрицательным.
Далее записаны примеры положительных и отрицательных дробных чисел, а затем примеры смешанных чисел.
Попробуем все эти числа записать в виде отношения:

2. Целые числа  и обыкновенные дроби в виде a/n, где a ϵ Z, n ϵ NЛюбое целое число можно записать в виде такой обыкновенной дроби, взяв за знаменатель единицу, а за числитель – само это число.

Рассмотрим обыкновенные дроби. Число    уже представляет собой искомую дробь.
Дробь  можно записать как .  Отметим удобный технический прием. Знак минус, который стоит перед дробью, можно при необходимости записать или в числитель, или в знаменатель.
3. Десятичные дроби в виде  a/n, где a ϵ Z, n ϵ NПредставим рассматриваемые десятичные дроби как обыкновенные.

Итак, любую десятичную дробь можно записать в подобном виде. Для этого нужно:

 
4. Смешанные числа в виде a/n, где a ϵ Z, n ϵ NЛюбое смешанное число можно представить в виде неправильной дроби.

5. Определение рациональных чиселИтак, мы смогли записать все данные числа в виде отношения  . Более того, мы поняли, как найти     для любого известного нам числа. Значит, мы получили признак, который объединяет их в одно множество. Это множество называется множеством рациональных чисел.
Сформулируем определение.

Оказывается, есть числа, которые не являются рациональными. Примером такого числа является число π. Как мы помним, число π – это отношение длины окружности к ее диаметру. Подробнее с подобными числами вы познакомитесь в курсе математики старшей школы.
6. Перевод обыкновенных дробей в десятичныеРассмотрим примеры.
Переведем обыкновенную дробь    в десятичную. Дробную черту можно заменить знаком деления. Значит, .  Выполнив деление в столбик, получим 0,4. Заметим, что это можно было сделать иначе. Число 10 кратно 5. Поэтому дробь  можно привести к знаменателю 10, умножив ее числитель и знаменатель на 2.

Попробуем, рассуждая аналогично, перевести обыкновенную дробь    в десятичную. Будем делить 1 на 3 в столбик. Получим сначала ноль целых, потом 3 десятых. Далее при делении все время будут повторяться остаток 1, а в частном – цифра 3. Деление никогда не кончится. Эту дробь нельзя представить в виде десятичной дроби. Для записи числа  нужна бесконечная десятичная дробь.

Сделаем вывод.

Например, дроби   можно перевести в десятичную дробь, а вот дробь  перевести нельзя.
7. Периодические дробиРассмотрим дробь . Разделим 5 на 11. Получим в частном 0 целых, 4 десятых, 5 сотых. Далее при делении все время будут чередоваться остаток 5 и 6, а в частном – цифры 4 и 5. Такую запись называют периодической дробью.

Сделаем замечание.
Любое рациональное число можно записать не только в виде обыкновенной дроби, но и в виде либо десятичной, либо периодической дроби.
Рассмотрим, как записывают и читают периодические дроби:

8. ЗаключениеМы видим, что в этих записях одна или несколько цифр повторяются бесконечно много раз. Повторяющуюся часть называют периодом дроби. Данные числа можно прочесть так: ноль целых и три в периоде; ноль целых и сорок пять в периоде; ноль целых, ноль десятых и шесть в периоде.