Презентация к уроку Закон больших чисел

Гауссова криваяНезависимо от того, в какой отрасли знания получены числовые данные, они обладают определёнными свойствами, для выявления которых может потребоваться особого рода научный метод обработки. Последний известен как статистический метод или, короче, статистика. Правило: Сумма нескольких линейных случайных выборов – это НЕ линейный случайный выбор!Не паникуйте. Как бы сложно это ни звучало, на самом деле все просто. «Линейный случайный выбор» — это просто случайное событие, в котором все результаты имеют одинаковую вероятность. Бросание игральной кости – это отличный пример линейного случайного выбора. Хотя, если бросить несколько игральных костей, то возможные результаты НЕ будут иметь одинаковую вероятность. Если вы, например, бросаете две кости, то шанс получить семь довольно высок, в то время как шанс получить 12 намного меньше. Перечислив все возможности, вы поймете, почему так получается:Посмотрите, как много в этой таблице 7, и только одна маленькая 12! 123456123456723456783456789456789105678910116789101112 Мы можем продемонстрировать это на диаграмме, которая называется кривая распределения вероятности, чтобы увидеть шансы каждого из результатов: Если ширина столбцов гистограммы достаточно мала, а основания столбцов в объединении дают некоторый промежуток, то сама гистограмма похожа на график некоторой непрерывной функции, заданной на этом промежутке. Иногда такую функцию называют выравнивающей функцией. График этой функции называют кривой нормального распределения или, в честь немецкого математика Карла Гаусса, гауссовой кривой. Свойства гауссовой кривойЕдинственная точка максимумаСимметрична относительно оси ОуПлощадь под кривой равна 1Асимптотически приближается к оси Ох

Очень многие события в нашей жизни являются следствием совместного влияния большого числа мелких факторов. Например, время в пути на работу зависит от пробок, светофоров, пешеходов, и.т.д. Все эти факторы, накладываясь друг на друга, и дают итоговое время в пути. Но если постоянно ездить на работу, то вырабатывается некоторое среднее время, например, 25 минут, и маловероятно, что в какой-то день произойдет сильное отклонение от этого времени, например 80 минут. Такая устойчивость к сильным отклонениям от среднего связана с тем, что среди всего множества независимо действующих мелких факторов будут как факторы, уменьшающие время в пути, так и факторы, увеличивающие это время. Уменьшающие и увеличивающие факторы взаимно погашают друг друга, поэтому суммарное отклонение от среднего невелико. При этом чрезвычайно важны две вещи:1) все действующие факторы не должны быть сильными,2) все действующие факторы должны быть независимыми. Математической формулировкой этого принципа является закон больших чисел. Он гласит следующее: среднее арифметическое многих независимых случайных величин сходится к некоторому значению при увеличении числа этих величин. Однако ясно, что точного совпадения времени в пути со своим средним скорее всего, не будет. Вероятно, при многократном повторении поездки на работу будет некий разброс времен, например 23 мин, 26.4 мин, 24 мин, 27 мин, 25.2 мин, и.т.д.





Зададимся вопросом, какова вероятность прибыть на работу, скажем, за 26.6 мин?Ответ на этот вопрос дает так называемая центральная предельная теорема. Она гласит следующее: распределение нормированной суммы n независимых случайных величин, каждая из которых имеет не слишком большой разброс, сходится к нормальному распределению. Нормальное распределение—это и есть гауссова кривая, ее форма задана уравнением Для наглядной демонстрации нормального (гауссова) распределения иногда используют устройство, названное по имени его изобретателя доской Гальтона. Получающийся ответ-гауссов колокольчик обладает одной очень милой сердцу большинства людей особенностью-он с огромной скоростью (экспоненциально) спадает от центра. Это приводит к тому, что вероятность попасть в отрезок [центр плюс минус 3*сигма] равна 99.73%, а вероятность попасть в отрезок [центр плюс минус 5*сигма] равна 99.9998%. Таким образом, наша сумма мелких независимых факторов практически гарантированно не выйдет за пределы пяти сигм от центра. Поскольку люди очень любят гарантии (а я точно заработаю свои 35% годовых?, а я точно доеду по этой дороге?, здесь точно нет консервантов?, и. т. д.), то кривая Гаусса очень сильно полюбилась человечеству. Удивительным образом можно объяснить многие жизненные ситуации с помощью математических моделейВот пример : в системе координат на плоскости строим две оси. По вертикали откладываем уровень интеллекта человека, по горизонтали - возраст. Таким образом , уровень интеллекта в 5 и в 80 - примерно одинаковы Конечно, теорема Бернулли дает абсолютно точный ответ для вероятности наступления к событий из n, но для больших n и к формула сложнаЭти вычисления можно провести с помощью Гауссовой функции ( используя таблицы)